2022-2023学年江苏省盐城市上冈高级中学、龙冈中学等高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省盐城市上冈高级中学、龙冈中学等高一上学期期中联考数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据交集的定义直接求解即可.

【详解】因为，

所以.

故选:B.

2．已知不等式的解集为，则的值是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】由韦达定理即可求解.

【详解】由题可知：3和4是方程的两个实数根，

由韦达定理可知：，解得：，

则.

故选：C

3．命题“”的否定为（    ）

A． B．不存在

C． D．

【答案】D

【分析】通过改量词，否结论，即可容易求得结果.

【详解】命题“”的否定为“”.

故选：D.

4．设，，则=（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由对数的运算性质即可求解.

【详解】

.

故选：D

5．已知，则a，b，c，d的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，即可判断和选择.

【详解】是上的单调增函数，故，故；

又是上的单调减函数，故，即；

又是上的单调增函数，故，即；

综上所述：.

故选：A.

6．已知集合，记命题，命题，则p是q的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【答案】A

【分析】求得函数的值域和的定义域，求得集合，再根据集合之间的包含关系，即可判断和选择.

【详解】要使得函数有意义，则，解得，

又当时，，，故；

要使得有意义，则，解得，故；

又集合是集合的真子集，故是的充分不必要条件.

故选：A.

7．设与均为实数，且，已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由函数图象可知函数过点与，即可得到方程组求出、的值，再解一元二次不等式即可.

【详解】解：由函数图象可知函数过点与，

所以，解得，

所以不等式，即，即，解得，

即不等式的解集为.

故选：B

8．若在区间上是减函数，则实数a的取值范围为（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由对数型复合函数的定义域和单调性，结合二次函数性质，列不等式组即可得解.

【详解】设，

由题意得：在上恒成立，

且由复合函数单调性“同增异减”原则可知：

函数在上单调递减，

则有，解得：.

故选：A

二、多选题

9．下列函数既是奇函数，又在定义域内单调递增的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据奇偶性的定义和常见函数的单调性，即可判断和选择.

【详解】对A：定义域为，且，故为奇函数；

又是上的单调增函数，故A满足题意；

对B：定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，B不满足题意；

对C：的定义域为，且，故为奇函数；

又都是上的单调增函数，故是上的单调增函数，C满足题意；

对D：的定义域为，其在定义域上不是单调增函数，故D不满足题意.

故选：AC.

10．下列说法正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】AB

【分析】根据不等式的性质判断A、B，利用特殊值判断C，利用作差法判断D.

【详解】解：对于A：因为，又，所以，所以，故A正确；

对于B：若，，则，故B正确

对于C：当，，，时满足，，但不满足，故C错误；

对于D：若，，则，，

所以，所以，故D错误.

故选：AB

11．已知函数是奇函数，下列选项正确的是（    ）

A．

B．函数在上的值域为

C．，且，恒有

D．若，恒有充分不必要条件为

【答案】ACD

【分析】对于A，根据可求的值，验证即可；对于B，由，可得为增函数，从而可求值域；对于C，根据函数的单调性即可判断；对于D，根据函数的单调性可转化为对于恒成立，求出其成立的充要条件，根据集合间的包含关系及充分不必要条件的定义即可判断.

【详解】因为函数是奇函数，且定义域为，

所以，解得.

当时，，

则，故函数是奇函数，故A正确；

因为在上单调递增，且，

所以函数在上的值域为，故B错误；

因为单调递增，

所以，且，恒有，故C正确；

因为单调递增，

所以可转化为，即对于恒成立.

当时，不恒成立，不符合题意；

当时，可得，解得.

故，恒有的充要条件为.

因为，

所以，恒有充分不必要条件为，故D正确.

故选:ACD.

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也称为取整函数，例如：，下列函数中，满足函数的值域中有且仅有两个元素的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ACD

【分析】先求的值域，再根据取整函数的定义，求解的值域，即可判断和选择.

【详解】对A：当时，，；当时，，，

故的值域为，满足题意；

对B：在单调递减，在单调递增，

又，故，则，

即的值域为，不满足题意；

下证在单调递减：

在上任取，则，

因为，故，则，

故在上单调递减，同理在单调递增；

对C：，则，故，

又，故，即的值域为，满足题意；

对D：，又，则，，

即的值域为，，则的值域为，满足题意.

故选：ACD.

三、填空题

13．已知函数，则函数的定义域为_________

【答案】

【分析】首先根据对数函数的真数大于求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则求出的定义域.

【详解】解：因为，所以，解得，即的定义域为，

对于，则，解得，

所以的定义域为.

故答案为：

14．已知，若，则________

【答案】

【分析】根据函数中部分具备奇函数的特点求值即可.

【详解】根据题意得，，

，

，

∴故答案为：．

15．设实数，，且满足，则的最小值为___________

【答案】

【分析】由已知等式可得，将所求式子化为，利用基本不等式可求得结果.

【详解】由得：，

，

，，，，

（当且仅当，时取等号），

.

故答案为：.

四、双空题

16．已知函数，方程有六个不同的实数根，则实数m的取值范围为_________；的取值范围为________

【答案】         

【分析】设，画出函数的图象，可得实数m的取值范围；由图可得，与关于对称，与关于对称，且，，从而，根据对勾函数的性质即可求解.

【详解】设，画出函数的图象如图所示：

由图可得，若方程有六个不同的实数根，则.

由图可得，与关于对称，与关于对称，且，

所以.

又，所以.

所以.

因为在上单调递增，所以.

故答案为:;.

五、解答题

17．已知命题p：方程有两个相异实根，命题q：不等式恒成立.

(1)命题p是真命题，求实数a的取值范围；

(2)若命题p与命题q中有且仅有一个是真命题，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由判别式大于0即可求解；

（2）分p真q假和p假q真两种情况，列不等式组即可求解.

【详解】（1）∵命题p是真命题，

∴有两个相异实根，

∴，解得.

∴实数a的取值范围为

（2）∵命题p与命题q中有且仅有一个是真命题,

∴有p真q假和p假q真两种情况.

当q是真命题时，不等式恒成立，

即有，得，

由（1）可知，当p是真命题时，实数a的取值范围为，

当p真q假时，有，.

当p假q真时，有，得.

所以实数a的取值范围为.

综上：实数a的取值范围为

18．

(1)设a为正实数，已知，求的值；

(2)求值：.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用立方差公式与完全平方公式求解即可；

（2）利用对数的运算法则求解即可.

【详解】（1）∵，∴，则，

∴原式

（2）原式.

19．我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为.类似地，对于集合A，B，我们把集合叫作集合A的B的差集，记作.例如.，则有，据此，试回答下列问题：

已知集合 ，集合

(1)当时，求A—B；

(2)若，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)（—∞，2]

【分析】（1）根据差集的定义直接求解即可.

（2）利用分类讨论的思想求解即可.

【详解】（1）∵

∴..

（2）∵

又∵

当时，

∴

当时，

∴

综上所述，实数m的取值范围为

20．为了推介东台旅游.某旅行社推出了“东台一日游”线路，为了测算运行成本，某旅行社设计了如下路线：从东台某宾馆上车→东台西溪天仙缘景区→东台安丰古镇→东台三仓现代农业产业园→东台条子泥→东台黄海国家森林公园→该宾馆下车，全程约180千米某旅游大巴以每小时x千米的速度匀速行驶，按交通法规限制（单位：千米/时）.假设汽油的价格是每升9元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时72元（仅按实际开车时间计算）

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.

【答案】(1)，

(2)当千米/时，总费用最低，最低费用的值为540元.

【分析】（1）计算时间为再根据题意将各项费用相加即可.

（2）直接根据均值不等式计算得到答案.

【详解】（1）所用时间为

故

（2），当且仅当，即时等号成立.

故当千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为540元.

21．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，

(1)求函数的解析式，并指出函数在上的的单调性（不需要证明）；

(2)解关于的不等式.

【答案】(1)，单调递增

(2)答案见解析

【分析】（1）根据奇函数的性质可得，再设，即可求出，根据奇函数的性质求出时函数解析式，即可得到函数的解析式，再根据一次函数与幂函数的性质判断函数在上的单调性，即可得到函数在上的单调性，即可得解.

（2）根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式即，对分类讨论，分别求出不等式的解集.

【详解】（1）解：∵函数是定义在上的奇函数，

∴

又∵当时，，

设，则，，

又，

∴，

∴，

当时与均单调递增，所以在上单调递增，

所以在上也单调递增，且当时，当时，，

所以函数在上单调递增.

（2）解：∵函数是定义域上的单调递增函数，

又∵，

∴即，

∴关于的不等式等价于，

1.当时，原不等式等价于，

∴原不等式的解集为.

2.当时，原不等式等价于，

1）当时，原不等式等价于，

∴原不等式的解集为，

2）当时，原不等式等价于，

①当时，即时，原不等式的.解集为，

②当时，即时，原不等式的解集为，

③当时，即时，原不等式的解集为，

综上所述：当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为，

当时，原不等式的解集为.

22．已知函数的定义域为，且对于任意的，恒有，且，当时，恒有.

(1)求的值：

(2)求证：在上是单调增函数；

(3)如果，求函数的最小值的表达式.

【答案】(1)2；

(2)证明见解析；

(3).

【分析】（1）由函数的定义不难得解；

（2）由函数单调性的定义即可证明；

（3）利用换元法，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）∵对于任意的，

恒有，且,

（2）设是上的任意两个数，且，则,

,

又∵当时，恒有，∴，

∴，

即，∴，

∴在上是单调递增函数.

（3）∵,

∴,

又∵在上是单调增函数.

∴，即,

又∵函数,

令，则,

,

（1）当时，在上单调递增,

∴,

（2）当时，在上单调递减,

∴,

（3）当时，,

综上所述，函数的最小值.