2022-2023学年河北省高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年河北省高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，则（    ）

A． B．） C． D．

【答案】A

【分析】解二次不等式化简集合，再利用集合的补集运算即可求得结果.

【详解】由得或，故或，

所以.

故选：A.

2．下列函数是幂函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据幂函数概念即可得解.

【详解】因为函数叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数，

对于A，是二次函数；

对于B，是一次函数；

对于C，，由前的系数不为，故不是幂函数；

对于D，满足幂函数的概念，故是幂函数.

故选D.

3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用抽象函数定义域的求法求解即可.

【详解】由，得，

所以的定义域为.

故选：C.

4．若与都是等腰三角形，则“”是“且”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由全等三角形的性质易证充分性，举反例排除必要性，由此得证.

【详解】若，则且，故“”是“且”的充分条件；

若且，则AB与AC可能都是等腰三角形的腰，从而推不出，故“”是“且”的不必要条件；

综上：“”是“且”的充分不必要条件；

故选：A.

5．关于命题“至少有一个，使得为偶函数”，下列判断正确的是（    ）

A．该命题是全称量词命题，且是真命题

B．该命题是存在量词命题，且是真命题

C．该命题是全称量词命题，且是假命题

D．该命题是存在量词命题，且是假命题

【答案】B

【分析】先判断命题是存在量词命题，再找出一个满足条件的即可判断其为真.

【详解】“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词，因此该命题是存在量词命题；

当时，，

此时，的定义域为，又，

所以为偶函数，

因此该命题是真命题．

故选：B.

6．已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】分析可知，，可得出，，再利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.

【详解】由图可知，函数的图象与轴相切，对称轴为直线，且该函数的图象开口向下，

所以，，且，则，，

所以，不等式即为，即，解得.

故不等式的解集为.

故选：A.

7．已知，则的最小值为（    ）

A． B． C．20 D．4

【答案】D

【分析】利用基本不等式中“1”的妙用解之即可.

【详解】因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

故的最小值为4.

故选：D.

8．已知圆锥的体积为，其中S为圆锥的底面积，h为圆锥的高．现有一个空杯子，盛水部分为圆锥（底面半径为3cm，高为6cm），现向杯中以6ml/s的速度匀速注入水，则注水t（0＜t＜5）s后，杯中水的高度为（    ）

A．cm B．cm C．cm D．cm

【答案】C

【分析】利用注入的水的体积与杯中水的体积相等即可求解.

【详解】假设注水后，杯中水的水面半径为xcm，则杯中水的高度，则由注入的水的体积与杯中水的体积相等得，解得，

故杯中水的高度cm．

故选：C.

二、多选题

9．若函数满足），则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据奇偶性的定义判断即可.

【详解】解：因为，，均为奇函数，

所以，，均满足，故A、C、D正确；

对于B：，则，即为偶函数，

则，故B错误．

故选：ACD

10．已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】根据题意讨论和情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.

【详解】由题意集合，，

因为，所以当时，，即 ；

当时，有 ，解得，

故,则M的一个真子集可以是或，

故选：BC.

11．下列命题是真命题的是（    ）

A．若，则

B．若，则的最大值为

C．若，，则

D．若，则的最小值为3

【答案】ACD

【分析】根据基本不等式、结合比较法逐一判断即可.

【详解】A：因为，

所以，即，所以本选项是真命题；

B：因为，

所以，

当且仅当时，即时取等号，所以本选项是假命题；

C：因为，，

所以，

即，所以本选项是真命题；

D：由，

，

当且仅当时，即时取等号，因此本选项是真命题，

故选：ACD

【点睛】关键点睛：运用比较法、基本不等式是解题的关键.

12．已知是定义在R上的函数，，且存在满足条件Ω，则Ω可能为（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】AC

【分析】根据函数的概念，利用赋值法结合条件逐项分析即得.

【详解】若，则且，所以A正确；

由，令，得，又，所以B错误；

若，则且，所以C正确；

由，令，得，又，所以，令，得，所以D错误．

故选：AC.

三、填空题

13．命题p：的否定为________．

【答案】

【分析】根据全称命题的否定的结构形式可得命题的否定.

【详解】命题p：的否定为.

故答案为：.

14．若函数在上是增函数，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】根据分段函数在上的单调性，列式求解即可.

【详解】解：函数在上是增函数，由题意可得解得．

故答案为：.

15．若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值：________．

【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可）

【分析】由题意知区间长度大于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解.

【详解】依题意可得，解得，

则．

所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10，

所以，解得．

故答案为：7（答案不唯一）.

四、双空题

16．如图所示，定义域和值域均为R的函数的图象给人以“一波三折”的曲线之美．

（1）若在上有最大值，则a的取值范围是______；

（2）方程的解的个数为______．

【答案】     ；    

【分析】（1）利用数形结合思想，结合最大值的定义进行求解即可；

（2）利用换元法，结合数形结合法进行求解即可.

【详解】（1）由图象可知：该函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，

要想在上有最大值，则有，a的取值范围是；

（2）令，，或，

若，根据函数图象，可知该方程有三个不相等实根；

若，根据函数图象，可知该方程有一个实根，

所以方程的解的个数为，

故答案为：；

五、解答题

17．已知集合，．

(1)若，求，；

(2)若，且，求的值．

【答案】(1)，

(2)或

【分析】（1）首先求出集合，再根据交集、并集的定义计算可得；

（2）首先表示出集合，由，可得，即可求出参数的值.

【详解】（1）解：当时，又，

所以，.

（2）解：当时，

因为，所以，

所以或.

18．已知函数．

(1)求f（x）的解析式；

(2)若f（x）在[－2，4]上单调递减，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）利用换元法令，得代入原函数中化简即可得f（x）的解析式

（2）利用二次函数的性质，即可证明.

【详解】（1）令，得

由，

得

＝

故f（x）的解析式为

（2）证明：由（1）知f（x）的图像关于直线对称

因为f（x）在[－2，4]上单调递减，所以

解得

故．

19．已知f（x）是定义在[－3，3]上的偶函数．

(1)设g（x）是定义在[－3，3]上的奇函数，将下面两个图补充完整；

(2)当时，讨论f（x）在[－3，m]上的值域．

【答案】(1)作图见解析

(2)当时，函数f（x）在上的值域为[－3m－5，4]，

当时，函数（x）在[－3，m]上的值域为[－2，4].

【分析】(1)根据偶函数图像关于轴对称，奇函数图象关于原点对称即可求解；

(2)根据图象，设其解析式，再根据图象上点的坐标列出方程组，解之即可求出函数解析式，然后根据图象进行分类讨论即可.

【详解】（1）补充完整的两个图如下图所示：

（2）由图可知，f（x）在[－3，－1]上的图象为线段，设其对应的解析式为，由题意可知：则，

解得，所以．

当时，f（x）在[－3，m]上单调递减，所以f（x）在[－3，m]上的最大值为4，最小值为f（m）＝，则f（x）在上的值域为[－3m－5，4]，

当时，由图可知（x）在[－3，m]上的值域为[－2，4]，

综上可知：当时，函数f（x）在上的值域为[－3m－5，4]，

当时，函数（x）在[－3，m]上的值域为[－2，4].

20．小张同学在求解“若，求的最小值”这道题时，他的解答过程如下：

（第一步）因为，所以a，b同号，所以均为正数，

（第二步）所以，，

（第三步）所以，故的最小值为

请你指出他在解答过程中存在的问题，并作出相应的修改．

【答案】答案见解析过程.

【分析】根据基本不等式成立的条件进行判断，再通过乘法运算法则，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】从第三步是错误的，理由如下：

因为当且仅当时，即时，不等式才能取等号，

当且仅当时，即时，不等式才能取等号，

因为，所以两个不等式不能同时取等号，所以不等式，

因此此法求不出最小值，正确的做法如下：

因为，所以a，b同号，所以均为正数，

由，

当且仅当时，即当时取等号，

因此的最小值为.

21．近几年，极端天气的天数较往年增加了许多，环境的保护越来越受到民众的关注，企业的节能减排被国家纳入了发展纲要中，这也为检测环境的仪器企业带来了发展机遇．某仪器公司的生产环境检测仪全年需要固定投入500万元，每生产x百台检测仪器还需要投入y万元，其中，，且每台检测仪售价2万元，且每年生产的检测仪器都可以售完．

(1)求该公司生产的环境检测仪的年利润（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式；

(2)求该公司生产的环境检测仪年利润的最大值．

【答案】(1);

(2)5400万元.

【分析】（1）根据利润=销售收入—固定成本一投入成本，即可得到年利润（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；

（2）当时，利用二次函数的性质，求出的最大值，当 时利用导数求得的最大值，再比较两者的大小，取较大者即得答案.

【详解】（1）由题意知，当时， ，

当，,

综上， ;

（2）当时， ，

所以当 时，取得最大值2383，

当，，，

令，

当时，递增，当时，递减，

故当 时，取得最大值 ，

因为 ，

故当（百台），该公司生产的环境检测仪年利润最大，最大值为5400万元.

22．已知函数．

(1)判断在上的单调性，并用定义加以证明；

(2)设函数，若，求a的取值范围．

【答案】(1)单调递减，证明见解析

(2)[－,－2]

【分析】（1）在上单调递减，根据单调性的定义设，作差判断符号，即可得单调性；

（2）先确定函数在上的值域，再根据，确定与值域的关系，即可得a的取值范围．

【详解】（1）解：在上单调递减，理由如下：

证明：设，则

．

∵，∴∴

∴，即，

∴在上单调递减．

（2）解：当时，同（1）可得为增函数．

若，则，

∵，∴，

则在上的值域为.

所以

若，则，则．

依题意可得．

则,解得，故a的取值范围为[－,－2]．