2022-2023学年广东省广州市十六中高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市十六中高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，则的子集的个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可．

【详解】由题意，因此它的子集个数为4．

故选：D．

2．若函数则的值是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】令，可得，将代入表达式可求得函数值

【详解】令，得，则

答案选B

【点睛】本题考查函数值的求法，根据对应关系解题相对比较快捷，也可采用换元法令，将函数表示成关于的表达式，再进行求值

3．（    ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】B

【分析】利用分数指数幂的运算性质求解即可.

【详解】，

故选：B

4．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数单调性直接判断可得结果.

【详解】对于A，为上的减函数，A错误；

对于B，在，上单调递减，B错误；

对于C，在上单调递减，在上单调递增，C错误；

对于D，，则在上为增函数，D正确.

故选：D.

5．函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（    ）

A．为奇函数 B．为偶函数

C．为奇函数 D．为偶函数

【答案】C

【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.

【详解】令，则,且，

既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；

令，则,且，

是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；

故选：C

6．已知函数是(－∞，＋∞)上的减函数，则a的取值范围是（    ）

A．(0，3) B．(0，3] C．(0，2) D．(0，2]

【答案】D

【分析】直接由两段函数分别为减函数以及端点值的大小关系解不等式组即可.

【详解】由函数是(－∞，＋∞)上的减函数可得解得.

故选：D.

7．已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求出命题为真时实数的取值范围，即可求出命题为假时实数的取值范围.

【详解】若“，”是真命题，

即判别式，解得：，

所以命题“，”是假命题，

则实数的取值范围为：.

故选：A.

8．已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，若实数x满足，则x的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数在上单调递增，且，从而得到，，，，，，，，再分类讨论解不等式即可.

【详解】因为奇函数在上单调递增，定义域为，，

所以函数在上单调递增，且.

所以，，，，

，，，.

因为，

当时，，即或，

解得.

当时，符合题意.

当时，，或，

解得.

综上：或.

故选：A

二、多选题

9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ）

A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bd

C．若ab>0，bc-ad>0，则 D．若a>b，c>d>0，则

【答案】AC

【分析】根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案.

【详解】解：由不等式性质逐项分析：

A选项：由，故，根据不等式同向相加的原则，故A正确

B选项：若，则，故B错误；

C选项：，，则，化简得，故C正确；

D选项：，，，则，故D错误.

故选：AC

10．（多选）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是（    ）

A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min

B．甲从家到公园的时间是30 min

C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快

D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x

【答案】BD

【分析】根据图表逐项判断即可

【详解】在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；

由题中图象知，B正确；

甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；

当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得，D正确.

故选：BD

11．对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.

【详解】由，分类讨论如下：

当时，；

当时，；

当时，或；

当时，；

当时，或.

故选：AB.

12．定义一种运算.设（为常数），且，则使函数最大值为4的值可以是（    ）

A．-2 B．6 C．4 D．-4

【答案】AC

【解析】根据定义，先计算在，上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可．

【详解】在，上的最大值为5，

所以由，解得或，

所以时，，

所以要使函数最大值为4，则根据定义可知，

当时，即时，，此时解得，符合题意；

当时，即时，，此时解得，符合题意；

故或4，

故选：AC

三、填空题

13．函数的定义域为____________．

【答案】

【分析】根据函数解析式有意义，列出不等式组，解不等式即可得答案.

【详解】解：由题意得，解得或，

所以函数的定义域是．

故答案为：.

14．已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为______.

【答案】

【解析】根据函数是幂函数得，求得或1，再检验是否符合题意即可.

【详解】因为是幂函数，，解得或1，

当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递增，不符合题意，

当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递减，符合题意，

.

故答案为：.

15．已知，若恒成立，则实数m的取值范围是____________．

【答案】

【分析】由基本不等式可得，所以，从而得解.

【详解】因为，

所以，

当且仅当，即时取等号.

又因为恒成立，所以，解得.

故答案为：

16．若是奇函数，当时的解析式是，则当时，的最大值是______．

【答案】

【分析】先利用奇函数的定义求出时的解析式，再结合二次函数的性质求解即可

【详解】当时，，

∵时，，

∴，又为奇函数，

∴，

∴，

因为时，，

所以当时，取得最大值.

故答案为：

四、解答题

17．设全集，集合，集合．

(1)当时，求；

(2)若命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）求出集合后，再求；

（2）由p是q的充分不必要条件，可得，然后列不等式组可求得结果.

【详解】（1）当时，，

由，得，所以，

所以，；

（2）因为命题，命题，且p是q的充分不必要条件，

所以，

所以，解得，

所以实数m的取值范围为．

18．已知函数．

（1）在如图给定的直角坐标系内画出的图象；

（2）写出的单调递增区间及值域；

（3）求不等式的解集．

【答案】（1）见解析

（2）的单调递增区间， 值域为；

（3）

【分析】（1）要利用描点法分别画出f(x)在区间[-1,2]和内的图象.

（2）再借助图象可求出其单调递增区间.并且求出值域.

（3）由图象可观察出函数值大于1时对应的x的取值集合.

【详解】（1）

（2）由图可知的单调递增区间， 值域为；

（3）令，解得或（舍去）；

令，解得.

结合图象可知的解集为

19．已知，且.

(1)求的最小值；

(2)若恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)64

(2)

【分析】（1）利用基本不等式构建不等式，即可得出的最小值；

（2）由题可知，恒成立，则，利用“乘1法”和基本不等式即可得出的最小值，从而求得实数的取值范围．

【详解】（1）因为，，，

则，得，

当且仅当即时等号成立，所以的最小值为64；

（2）因为恒成立，则，

，

当且仅当即时等号成立，即的最小值为18，

所以实数的取值范围:.

20．已知函数是定义在上的奇函数，且

(1)求的解析式

(2)用定义证明在上是增函数

(3)解不等式

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）根据奇函数的性质和所给的条件，代入函数解析式即可；

（2）不妨假设 ，判断 的符号即可；

（3）根据 是奇函数，并是增函数的特点，根据函数定义域即可求出t的范围.

【详解】（1）由函数

是定义在上的奇函数，得，即，

又∵，解得，

∴；

（2）设，，且，

则，

∵，，，，

∴，即，

∴在上是增函数；

（3）由为上的奇函数，如等价于．

则由在上是增函数，可得，

解得，

即不等式的解集为；

综上，，的解集为.

21．选修4-5不等式选讲

设均为正数，且，证明：

（Ⅰ）若，则；

（Ⅱ）是的充要条件．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．

【详解】（Ⅰ）因为，，由题设，，得．因此．

（Ⅱ）（ⅰ）若，则．即．因为，所以，由（Ⅰ）得．

（ⅱ）若，则，即．因为，所以，于是．因此，综上，是的充要条件．

【解析】推理证明．

22．作为“中华有为”的华为公司，计划在2021年生产某新款手机，经市场调查数据分析显示：生产此款手机全年需投入固定成本250万，而且每生产（千部）手机，还需另投入成本万元，且，若每部手机售价为7000元，且当年所生产的手机能全部售完，请你帮忙解决以下问题：

(1)求2021年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）；

(2)求2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)当时，利润有最大值为.

【分析】（1）考虑和两种情况，分别计算利润得到答案.

（2）利用二次函数性质和均值不等式分别计算和的最值，比较得到答案.

【详解】（1）当时，，

当时，，

故.

（2）当时，，当时，利润有最大值为万元；

当时，，

当，即时等号成立.

综上所述：当时，利润有最大值为.