广东省广州西关外语学校与广州理工实验学校联盟2022-2023学年高二上学期期中数学试题(原卷版+解析)

这是一份广东省广州西关外语学校与广州理工实验学校联盟2022-2023学年高二上学期期中数学试题(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了 已知两条平行直线， 已知向量，，，则等内容，欢迎下载使用。
高二数学
（考试时间：120分钟满分：150分）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共四大题22小题，满分150分.
注意事项：
1.答卷前，考生务必在答卷和答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B铅笔把对应考号涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图.答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；不允许使用涂改液、涂改带等进行涂改，不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则“”是“P，A，B，C四点共面”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 经过点且圆心是两直线与的交点的圆的方程为（ ）
A B.
C. D.
5. 如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆与圆恰有三条公切线，则实数a的值是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 16
7. 已知两条平行直线：与：间的距离为3，则（ ）
A. 25或－5B. 25C. 5D. 21或－9
8. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 设点，若直线与线段没有交点，则a的取值可能是（ ）
A. B. C. 1D.
11. 如图，在正三棱柱中，AB＝1，AA1＝2，D，E分别是中点，则（ ）
A. B. BE∥平面
C. 与CD所成角余弦值为D. 与平面所成角的余弦值为
12. 关于直线与圆，下列说法正确是（ ）
A. 若直线l与圆C相切，则为定值B. 若，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C. 若，则直线l与圆C相离D. 是直线l与圆C有公共点充分不必要条件
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 若直线与直线垂直，则______.
14. 若圆的方程为，则圆中过点的最短的弦长为______.
15. 已知向量，若共面，则________．
16. 已知圆是圆上的一条动直径，点是直线上的动点，则的最小值是____.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤.
17. 已知向量，，点，.
（1）求；
（2）若直线AB上存在一点E，使得，其中O为原点，求E点的坐标.
18. 已知直线l的方程为，．
（1）求证：直线l恒过点P，并求出点P的坐标．
（2）若直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．
19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E，F分别是的中点.
（1）求证：；
（2）在平面内求一点G，使平面.
20. 已知圆C：，直线l恒过点
（1）若直线l与圆C相切，求l的方程；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.
21. 如图，在直角中，，，，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图.
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值；
（3）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值.
22. 已知过点A（0，4），且斜率为的直线与圆C：，相交于不同两点M、N.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：为定值；
（3）若O为坐标原点，问是否存在以MN为直径的圆恰过点O，若存在则求的值，若不存在，说明理由．
广州西关外语学校与广州理工实验学校联盟
2022学年第一学期期中测试试题
高二数学
（考试时间：120分钟满分：150分）
本试卷分选择题和非选择题两部分，共四大题22小题，满分150分.
注意事项：
1.答卷前，考生务必在答卷和答题卡上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B铅笔把对应考号涂黑.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图.答案必须写在答卷各题目指定区域内的相应位置上；不允许使用涂改液、涂改带等进行涂改，不按以上要求作答的答案无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
【解析】
分析：根据方程得到直线的斜率，然后可得答案.
【详解】由可得此直线的斜率为，倾斜角为，
故选：A
2. 经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
【解析】
分析：根据两点式直线方程即可求解.
【详解】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用，
由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线.
故选:C
3. 已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则“”是“P，A，B，C四点共面”的（ ）
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】
分析：先找到P，A，B，C四点共面的充要条件，再进行判断.
【详解】若A， B， C三点共线，所以存在实数非零实数，使得，
∴，即，即，
∴，其中，
若P， A， B， C四点共面， 且A， B， C三点不共线，所以存在实数m， n， 使得 ， 其中，
∴，即，
∴，即， 其中；
因为，但，
所以“”是“P， A， B， C四点共面”的充分不必要条件
故选：B
4. 经过点且圆心是两直线与的交点的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
【解析】
分析：求出圆心坐标和半径后，直接写出圆的标准方程.
【详解】由得，
即所求圆的圆心坐标为.
由该圆过点，得其半径为1，
故圆的方程为.
故选：B.
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
5. 如图，在三棱锥中，E为OA的中点，点F在BC上，满足，记，，分别为，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
【解析】
分析：根据空间向量的加减法进行求解.
【详解】解：三棱锥中
，E为OA的中点
，，
所以
故选：A
6. 已知圆与圆恰有三条公切线，则实数a的值是（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 16
答案：D
【解析】
分析：由题可知，圆与圆外切，则有圆心距.
【详解】圆化为：，
则圆心为，半径，
圆，圆心为，半径，
若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切.
两圆心的距离，
则有，即，解得.
故选：D
7. 已知两条平行直线：与：间的距离为3，则（ ）
A. 25或－5B. 25C. 5D. 21或－9
答案：A
【解析】
分析：根据平行直线的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可.
【详解】因为直线：与：平行，
所以有，
因为两条平行直线：与：间距离为3，
所以，或，
当时，；
当时，，
故选：A
8. 在四棱锥中，平面，底面为矩形，.若边上有且只有一个点，使得，此时二面角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
【解析】
分析：由线面垂直的性质与判定可证得平面，进而得到，设，，，利用勾股定理可得关于的方程，由方程有且仅有一个范围内的解可由求得的值；以为坐标原点，利用二面角的向量求法可求得结果.
【详解】平面，平面，，
又，，平面，平面，
又平面，；
设，，，
，，，
，即，
关于的方程有且仅有一个范围内的解，对称轴为，
，解得：，，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
轴平面，平面的一个法向量；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，
由图形可知：二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用向量法求解二面角的问题；解题关键是能够根据线面垂直的判定与性质证得，从而利用勾股定理构造关于的一元二次方程，根据其根的分布可求得和的长度，进而得到利用向量法求解时所需的线段长度.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，，则（ ）
A. B.
C. D.
答案：BCD
【解析】
分析：根据空间向量线性运算的坐标表示及数量积的坐标运算一一计算可得.
【详解】解：因为，，
所以，所以，故A错误；
因为，，所以，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为，，所以，所以，故D正确.
故选：BCD
10. 设点，若直线与线段没有交点，则a的取值可能是（ ）
A. B. C. 1D.
答案：AC
【解析】
分析：直线过定点，求出直线的斜率，由图形可得直线与线段有公共点时的范围，从而可得无交点时的范围，由此可得正确选项．
【详解】易知直线过定点，
，，
直线的斜率为，由图知或，
所以或时有交点，
因此当时，直线与线段无交点，
故选：AC．
11. 如图，在正三棱柱中，AB＝1，AA1＝2，D，E分别是的中点，则（ ）
A. B. BE∥平面
C. 与CD所成角的余弦值为D. 与平面所成角的余弦值为
答案：BCD
【解析】
分析：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，对选项ACD一一判断；对选项B，连接与交于点，连接，易知，则由线面平行的判定定理可知BE∥平面，即可判断B.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，
对于A，，，所以，所以与不垂直，所以A错误；
对于B，连接与交于点，连接，易知，所以面，面，所以BE∥平面，所以B正确；
对于C，，，所以，，所以，与CD所成角的余弦值为，故C正确；
对于D，，设面，，
，令，，所以，
与平面所成角为，，
所以，与平面所成角的余弦值为，故D正确.
故选：BCD.
12. 关于直线与圆，下列说法正确的是（ ）
A. 若直线l与圆C相切，则为定值B. 若，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C. 若，则直线l与圆C相离D. 是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件
答案：ABD
【解析】
分析：利用圆心到直线的距离，判断A；利用弦长公式，判断B；直线方程与圆的方程联立，利用判断C；利用直线与轴的交点，判断D.
【详解】A. 若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离，整理为，即，故A正确；
B.弦长，当时，，故B正确；
C联立方程，，得，
，当时，
整理为恒成立，所以直线与圆相交，故C错误；
D.直线与轴的交点是，当时，在圆内，过圆内的点的直线一定与圆有交点，但反过来，直线与轴的交点在圆上的直线也与圆有交点，或直线与轴的交点在圆外，也有直线与圆相交，所以是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件，故D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 若直线与直线垂直，则______.
答案：或.
【解析】
分析：直线与直线垂直的充要条件是.
【详解】由于直线与直线垂直，
所以，
解得或.
故答案为：或.
14. 若圆的方程为，则圆中过点的最短的弦长为______.
答案：
【解析】
分析：由题可知点在圆内，则最短的弦是以为中点的弦，进而即得.
【详解】由题可得圆的标准方程为，即圆是以为圆心，5为半径的圆，
且由，即点在圆内，
则最短的弦是以为中点的弦，
所以圆中过点的最短的弦长为.
故答案为：.
15. 已知向量，若共面，则________．
答案：±1
【解析】
分析：利用共面向量定理直接求解
【详解】因为向量共面,
所以存在实数m、n，使得,m≠0,n≠0,即,
所以，解得,所以x=±1.
故答案为：±1.
16. 已知圆是圆上的一条动直径，点是直线上的动点，则的最小值是____.
答案：
【解析】
分析：由题意得，＝＝﹣＝，即可求的最小值．
【详解】圆，得，则圆心C（1，2），半径R＝，
如图可得：＝＝﹣＝，
点是直线上，所以＝（）2＝，
∴的最小值是＝.
故答案为： ．
【点睛】本题考查了向量的数量积、转化和数形结合的思想，点到直线的距离，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤.
17. 已知向量，，点，.
（1）求；
（2）若直线AB上存在一点E，使得，其中O为原点，求E点的坐标.
答案：（1）5 （2）
【解析】
分析：（1）根据空间向量坐标表示的线性运算求出，再根据向量模的坐标公式即可得解；
（2）设，根据求出，再根据可得，从而可求得，即可求出，从而可得出答案.
【小问1详解】
解：因为，，
所以，
所以；
【小问2详解】
解：设，
由，，得，
则，
故，
因为，
所以，
即，解得，
所以，
设，
则，
所以，解得，
所以.
18. 已知直线l的方程为，．
（1）求证：直线l恒过点P，并求出点P的坐标．
（2）若直线l在x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．
答案：（1）证明见解析，
（2）或
【解析】
分析：将式子变形得到，令可得到所过定点；（2）由题意得到，，分别求出在y轴上的截距为，在x轴上的截距为，由，解方程可求得或，进而得到直线方程.
【小问1详解】
将转化为．
由，解得故直线l恒过点．
【小问2详解】
由题意得直线l在x轴、y轴上的截距相等
所以，．
令得，，故l在y轴上的截距为．
令得，，故l在x轴上的截距为．
由得，解得或
当时，化简得，
当时，化简得，
故直线l的方程为或．
19. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E，F分别是的中点.
（1）求证：；
（2）在平面内求一点G，使平面.
答案：（1）证明见解析；
（2）G为AD的中点.
【解析】
分析：（1）建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，求得向量，由即得；
（2）设，求出平面内两个不共线向量，由和求得确定点位置．
【小问1详解】
因为底面，平面，平面，
所以，，又底面为正方形，
所以，
以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
设，则D(0，0，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，P(0，0，a)，F，
∴，，
∴＝0，
∴，即EF⊥CD；
【小问2详解】
设，则，，，
若使GF⊥平面PCB，则需且，
由，
解得，
由，
解得，
因为为平面内两条相交直线，故平面，
∴G点坐标为，即G为AD的中点．
20. 已知圆C：，直线l恒过点
（1）若直线l与圆C相切，求l的方程；
（2）当直线l与圆C相交于A，B两点，且时，求l的方程.
答案：（1）或
（2）或
【解析】
分析：(1)分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线l的距离等于圆的半径计算即可；
(2)由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可.
【小问1详解】
由题意可知，圆C的圆心为，半径，
①当直线l的斜率不存在时，即l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意；
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，直线l的方程为，
化为一般式：，若直线l与圆相切，
则，即，解得，
：，即l：，
综上，当直线l与圆C相切时，直线l的方程为或；
【小问2详解】
由题意可知，直线l的斜率一定存在，设斜率为k，
直线l的方程为，即，
设圆心到直线l的距离为d，则，
由垂径定理可得，，即，
整理得，，解得或，
则直线l的方程为或
21. 如图，在直角中，，，，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图.
（1）求证：平面；
（2）若，求与平面所成角的正弦值；
（3）当点在何处时，的长度最小，并求出最小值.
答案：（1）证明见解析
（2）
（3）当为中点时，长度取得最小值
【解析】
分析：（1）由平行关系可得，结合，由线面垂直的判定可证得结论；
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可求得结果；
（3）设，利用空间向量模长坐标运算可得，根据二次函数最值的求法可求得结果.
【小问1详解】
由题意知：，又，，即，；
又，，平面，
平面.
【小问2详解】
，即，又，，
以为坐标原点，的方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
，
即直线与平面所成角正弦值为.
【小问3详解】
设，则，
，，，
，
当，即为中点时，长度取得最小值.
22. 已知过点A（0，4），且斜率为的直线与圆C：，相交于不同两点M、N.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：为定值；
（3）若O为坐标原点，问是否存在以MN为直径的圆恰过点O，若存在则求的值，若不存在，说明理由．
答案：（1）；(2)见解析；（3）不存在.
【解析】
分析：（1）设出直线的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列不等式，可求得的取值范围.（2）联立直线的方程和圆的方程，写出韦达定理.代入并化简，可证得为定值.（3）先假设存在这样的直线，利用两个向量的数量积为零建立方程并化简成一元二次方程的形式，计算其判别式，可知不存在.
【详解】（1）（法一）设直线方程为，即，点C（2，3）到直线的距离为
,解得
（法二）设直线方程为，联立圆C的方程得
,此方程有两个不同的实根
,解得
(2)设直线方程为，联立圆C的方程得
,设M,
则

（3）假设存在满足条件的直线，则有
得，从而得,此方程无实根
所以，不存在以MN为直径的圆过原点．
【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系.要直线和圆由两个交点，可以用圆心到直线的距离小于半径来列不等式解决.