2022-2023学年北京市顺义区第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市顺义区第二中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义可求.

【详解】由题设有，

故选：B .

2．命题：“，”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可；

【详解】解：命题：“，”为全称量词命题，其否定为：；

故选：D

3．下列四个函数中，与表示同一函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据相等函数的判断性质进行定义域和对应法则的判断.

根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，这样的两个函数是同一函数，进行判断即可．

【详解】解：对于选项A：，与的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 

对于选项B：，与的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故B正确； 

对于选项C：，与的对应关系不同，所以不是同一函数，故C错误；

对于选项D：，与的定义域不同，所以不是同一函数，故D错误．

故选：B．

4．下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.

【详解】是偶函数，且在上递增，符合题意.

、、不是偶函数，不符合题意.

故选：A

5．若，，，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数的知识确定正确答案.

【详解】函数在上递增，函数在上递减，

所以，

所以.

故选：A

6．“”是“”的

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】试题分析：根据题意，的解集为，故当x>3时可以推出后者成立，而后者成立不一定得到x>3，所以是充分不必要条件

【解析】常用逻辑用语中的充分必要条件的推理

7．若，则 的最小值是（    ）

A． B．2 C． D．3

【答案】C

【分析】利用基本不等式，直接求解即可.

【详解】因为，故，当且仅当且，即时取得等号.

故选：C.

8．已知不等式的解集为，则实数的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】结合根与系数关系求得.

【详解】由于不等式的解集是，

所以.

故选：D

9．二次函数，，则函数在此区间上的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次函数的性质求解即可.

【详解】解：，

则，

所以函数在此区间上的值域为.

故选：A.

10．数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数“，下列说法错误的是（    ）

A．对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个

B．可以是某个圆的“优美函数”

C．函数可以同时是无数个圆的“优美函数”

D．函数是“优美函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形

【答案】D

【分析】根据“优美函数”的定义对选项进行分析，从而确定说法错误的选项.

【详解】A选项，对于任意一个圆，以圆心为原点建立如下图所示平面直角坐标系，

则函数，，是圆的“优美函数”，所以A选项说法正确.

B选项，是奇函数，图象关于原点对称，

对于以原点为圆心，半径为的圆，将圆的周长和面积同时平分，

所以B选项说法正确.

C选项，以原点为圆心的任意一个圆，都是圆的“优美函数”，C选项说法正确.

D选项，如下图所示，函数是“优美函数”，

但函数的图象不是中心对称图形，所以D选项说法错误.

故选：D

二、填空题

11．已知的定义域是________________.

【答案】

【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案.

【详解】依题意，解得且，

所以的定义域是.

故答案为：

12．已知幂函数的图象过点，则______．

【答案】3

【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.

【详解】设，由于图象过点,

得，

，

，故答案为3.

【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.

13．若恒成立，则实数的取值范围为________.

【答案】.

【分析】根据命题恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.

【详解】由题意，命题恒成立，

可得，解得，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

14．已知函数在上为奇函数，且在上为增函数，，则不等式的解集为_____．

【答案】（－2,0）∪（0,2）

【详解】试题分析：为奇函数，，．

为奇函数且在上单调递增，所以在上也单调递增．

由数形结合解可得或．即解集为．

【解析】1奇函数的性质；2数形结合思想．

三、双空题

15．函数在上的最大值为__________，最小值为 __________.

【答案】         

【分析】结合函数的单调性求得正确答案.

【详解】函数在上递减，

所以当时取得最大值；

当时取得最小值.

故答案为：；

四、解答题

16．设全集为R，集合

(1)求，；

(2)求.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合，再根据交集和并集的定义即可得解；

（2）根据补集和交集的定义即可得解.

【详解】（1）解：，

则，；

（2）解：或，

所以.

17．计算下列各式的值：

(1)；

(2).

【答案】(1)13

(2)

【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可；

（2）由对数的运算性质求解即可

【详解】（1）

；

（2）

18．已知函数.

(1)求函数的定义域；

(2)判断函数在上的单调性，并给出证明；

(3)若，求函数的最大值和最小值.

【答案】(1)

(2)减函数，理由见解析

(3)

【分析】（1）根据分母不等于0即可得解；

（2）令，利用作差法证明即可；

（3）根据函数的单调性即可得解.

【详解】（1）解：由得，

所以函数的定义域为；

（2）解：函数在上单调递减，

理由：令，

，

因为，所以，

所以，

所以函数在上单调递减；

（3）解：由（2）得，.

19．已知函数

(1)求和的函数解析式；

(2)设，判断的奇偶性，并加以证明；

(3)若，请直接写出x的取值范围

【答案】(1)

(2)是偶函数，证明详见解析

(3)

【分析】（1）根据的值求得，从而求得正确答案.

（2）根据函数的奇偶性的知识证得的奇偶性.

（3）根据函数的单调性求得的取值范围.

【详解】（1）由于，所以，

所以.

（2），是偶函数，证明如下：

的定义域为，

，所以是偶函数.

（3），即，

由于在上递增，所以，

所以的取值范围是.

20．已知函数.

(1)求的值；

(2)画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间；

(3)若，求x的取值范围.

【答案】(1)

(2)图象详见解析，减区间，增区间

(3)

【分析】（1）先求得，然后求得.

（2）根据函数的解析式画出的图象，由此求得的单调区间.

（3）由以及函数图象求得的取值范围.

【详解】（1）.

（2），所以的图象如下图所示，

由图可知，的减区间为，增区间为

（3），

由图象可知，满足的的取值范围是.

21．已知定义域为R的函数是奇函数.

（1）求实数a的值；

（2）判断该函数在定义域R上的单调性（不要求写证明过程）.

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围；

（4）设关于x的函数有零点，求实数b的取值范围.

【答案】（1）；（2）减函数；（3）；（4）

【分析】（1）利用可构造方程求得结果；

（2）通过分离常数的方法可判断出函数的单调性；

（3）利用奇偶性将不等式变为，利用单调性得到自变量的大小关系，利用分离变量的方式将问题转化为，通过求解二次函数的最小值求得结果；

（4）利用奇偶性将问题转化为方程有根，根据单调性得到方程有根，进而得到；根据二次函数型的复合函数的值域求解方法可求得，从而求得结果.

【详解】（1）为定义在上的奇函数    ，解得：

（2）由（1）知：

为上的增函数    为上的减函数

为上的减函数

（3）由得：

由（2）知：为上的减函数    ，即

    ，即的取值范围为

（4）有零点等价于方程有根

即方程有根

为上的减函数    ，即

当时，取得最小值，最小值为    

若有根，则

即当时，函数有零点

【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到根据奇偶性求解参数值、函数单调性的判断、利用函数奇偶性和单调性求解函数不等式、根据函数有零点求解参数范围的问题；求解函数零点问题的关键是将问题转化为方程有根的问题，进而根据单调性将问题转化为能成立问题的求解.