2022-2023学年北京市陈经纶中学高一上学期期中诊断数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市陈经纶中学高一上学期期中诊断数学试题

一、单选题

1．设全集，若集合满足．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由补集的概念得后对选项逐一判断

【详解】由题意得，故B正确

故选：B

2．若实数a，b，且，则下列不等式恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用不等关系与不等式的性质，逐项分析即可求解.（解决此题的关键是熟记不等式的性质）

【详解】由题意可得，实数且，

若，则，故A错误；

若，则，故B错误；

若，则，故C错误；

已知，，则恒成立，故D正确；

故选：D.

3．全称量词命题“ “ 的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】全称命题否定为特称命题，改量词否结论即可

【详解】解：命题“ “ 的否定为“”，

故选：B

4．下列函数中，是奇函数且在区间上单调递减的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据函数的单调性和奇偶性对各个选项逐一分析即可.

【详解】对A，函数的图象关于轴对称，

故是偶函数，故A错误；

对B，函数的定义域为不关于原点对称，

故是非奇非偶函数，故B错误；

对C，函数的图象关于原点对称，

故是奇函数，且在上单调递减，故C正确；

对D，函数的图象关于原点对称，

故是奇函数，但在上单调递增，故D错误.

故选：C.

5．设函数若f（a）＝4，则实数a＝（    ）

A．－4或－2 B．－4或2

C．－2或4 D．－2或2

【答案】B

【分析】讨论的范围，代入不同解析式，即可容易求得结果.

【详解】当时，，解得；

当时，，解得，

因为，所以，

综上，或，

故选：

【点睛】本题考查分段函数自变量的求解，属简单题.

6．已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.

【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为，

若在上的最大值为，

比如，

但在为减函数，在为增函数，

故在上的最大值为推不出在上单调递增，

故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，

故选：A.

7．已知函数的图象为折线OAB，则（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】根据图象求出解析式再代入函数值计算可得答案.

【详解】因为、、在函数的图象上，

时，设解析式为，所以，解得，即，

当时，设解析式为，所以，解得，

即，

所以，，

即..

故选：C.

8．函数的图象可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据函数的奇偶性和函数值的符号可得正确的选项.

【详解】函数定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，排除BC，

又当时，，当时，，故A正确，D错误.

故选：A.

9．德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷（1805年2月13日~1859年5月5日），对函数论、三角级数论等都有重要贡献，主要著作有《数论讲义》《定积分》等.狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为则下列关于狄利克雷函数的判断错误的是（    ）

A．对任意有理数t，

B．对任意实数x，

C．既不是奇函数也不是偶函数

D．存在实数x，y，

【答案】C

【分析】根据狄利克雷函数的定义判断ABD，结合奇偶性的定义判断C．

【详解】对于A，对任意有理数t，当x为有理数时，为有理数，则；当x为无理数时，为无理数，则，故A正确；

对于B，若x为有理数，则；若x为无理数，则，故B正确；

对于C，当x为有理数时，则为有理数，则；当x为无理数时，则为无理数，则，于是对任意实数x，都有，即狄利克雷函数为偶函数，故C错误；

对于D，取，，因为为无理数，所以，故D正确.

故选：C.

10．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（    ）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】B

【分析】先由题意得到必是常数，设，（为常数），得，根据题意求出，即可得出结果.

【详解】由，且是定义域为的单调函数，可知必是常数，

设，（为常数），得，且，解得，

∴，因此.

故选B

【点睛】本题考查了单调函数的定义，单调函数中的和的对应关系，考查了推理和计算能力，属于常考题型．

二、填空题

11．的值是______．

【答案】##0.0625

【分析】根据指数幂的运算性质即可求解．

【详解】．

故答案为：．

12．函数的定义域为__________．

【答案】 且

【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．

【详解】要使函数有意义，则，

得，即且，

即函数的定义域为，

故答案为： 且.

13．已知集合，若，则的取值范围为________.

【答案】

【分析】求得集合，根据为，得到元素一定在集合中，即可求解.

【详解】由题意，集合，

因为，可得至少有一个属于集合中，

若或在集合A中，则元素一定在集合中，所以只要保证即可，所以，

即实数的取值范围为.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及利用集合的交集运算求解参数，其中解答中熟记集合的交集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

14．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】为二次函数，且开口向上，求出对称轴，根据在区间上单调递增，列出不等式，求出的范围，然后求解的取值范围．

【详解】由题知，为二次函数，且开口向上，对称轴，

因为在区间上单调递增，则，得：，

则，故的取值范围是．

故答案为：．

15．若，则的最小值是___________.

【答案】8.

【解析】先判断和，再根据基本不等式求的最小值即可.

【详解】解：因为，所以，，

所以

当且仅当即时，取等号，

所以的最小值是8.

故答案为：8

【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，是基础题.

三、双空题

16．设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，则在下列集合中：①；②；③；④，以0为聚点的集合有 ___和 ___．

【答案】     ①     ③

【分析】根据题设中关于集合聚点的新定义，逐一分析四个集合中元素的性质，并判断是否满足集合聚点的定义，进而得到答案.

【详解】由对任意，都存在，使得，称为集合的聚点，

①中，集合，对于任意的，都存在，使得，

所以是集合的聚点；

②中，对于某个，比如，

此时对于任意的，都有或者，

也就是说不可能，所以不是的聚点；

③中，集合中元素时极限为的数列，对于任意，存在，

使得，所以是集合的聚点；

④中，集合中为极限为的数列，除了第一项之外，其余的都至少比大，所以在时，不存在满足的值，

所以不是的聚点.

故答案为：①③.

四、解答题

17．设全集，集合，.

（1）求；

（2）若集合，满足，求实数的取值范围.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）首先求出集合，与集合进行交集运算，再求补集即可.

（2）求出中不等式的解集，确定出集合，由可得，从而利用数轴列出关于的不等式，即可得的取值范围.

【详解】（1）∵

∴ ，

∴或；

（2）由得，

，

根据数轴可得，

从而

【点睛】本题主要考查了集合的交集和补集运算，以及利用集合的包含关系求参数的范围，属于中档题.

18．己知函数

(1)当时，求在上的最值；

(2)当时，求关于x的不等式的解集．

【答案】(1)，；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据二次函数的单调性，即可容易求得结果；

（2）对参数的范围进行分类讨论，在不同情况下求其解集即可.

【详解】（1）当时，，；

在区间上，单调递减；在上，单调递增，

所以，当时，；

又，，所以当时，.

（2），即，

当时，得，，不等式解集为；

当时，由，得，，

当时，，此时不等式解集为；

当时，，此时不等式解集为；

当时，，不等式解集为；

综上所述：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；

当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.

19．经观测，某公路段在某时段内的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间有函数关系：．

(1)在该时段内，当汽车的平均速度为多少时车流量最大？最大车流量为多少？（精确到）

(2)为保证在该时段内车流量至少为千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？

【答案】(1)当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时；

(2)汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）.

【分析】（1）利用基本不等式可求得的最大值，及其对应的值，即可得出结论；

（2）解不等式即可得解.

【详解】（1）解：，（千辆/小时），

当且仅当时，即当（千米/小时）时，车流量最大，最大值约为千辆/小时.

（2）解：据题意有，即，即，

解得，

所以汽车的平均速度应控制在这个范围内（单位：千米/小时）.

20．已知定义在上的奇函数，且．

(1)求的值；

(2)判断在上的单调性，并用定义证明之；

(3)解关于实数的不等式．

【答案】(1)；

(2)在上单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）利用列方程组，解方程组求得；

（2）首先判断出单调性，再根据定义法证明单调性；

（3）根据的奇偶性和单调性，列出关于的不等式即可求解

【详解】（1）因为为奇函数，所以即，

整理得，解得，

又因为，解得，

综上所述，，；

（2）在上单调递增，证明如下：

由（1）可得，

对于任意，，且，

，，即，

，

在上单调递增，得证；

（3）由是奇函数，则不等式可整理成，

因为是定义在的奇函数，且在上单调递增，

所以在上是增函数，则，解得，

所以的取值范围是

21．已知集合，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素，若都不能整除，则称集合A是S的“好子集”．

(1)分别判断数集与是否是集合S的“好子集”，并说明理由；

(2)证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，，都有；

(3)求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．

【答案】(1)集合P不是集合S的“好子集”；集合Q是集合S的“好子集”；理由见解析

(2)证明见解析

(3)334

【分析】（1）根据“好子集”定义，在P中找到整除，即可判断，对于中元素两两作差作和，发现满足“好子集”定义.

（2）采取反证法，首先排除的情况，然后假设存在A中的任意两个不同的元素，使得，从而得出与原条件相矛盾的结论.

（3）假设集合是集合好子集，通过（2）可知其中任意两元素差值大于等于3，则（，2，3，…），通过累加法得到．得到，解出范围得到最值.

【详解】（1）由于整除，所以集合P不是集合S的“好子集”；

由于不能整除，不能整除，不能整除，

所以集合Q是集合S的“好子集”．

（2）（反证）首先，由于A是S“好子集”，所以，（因为若等于1，则必会被整除）

假设存在A中的任意两个不同的元素x，，使得，

则x与y同为奇数或同为偶数，

从而是偶数，

此时，能整除，与A是S“好子集”矛盾．

故若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，，都有；

（3）设集合是集合S的一个“好子集”，

令：，（，2，3，…），

由（2）知，（，2，3，…）

，，

于是累加得．

从而：

所以：．

另一方面：取，其中任意两元素差值都不能整除，故其是好子集，

此时集合A有334个元素，且是集合S的一个“好子集”，

故集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值为334．

【点睛】本题是集合新定义问题，关键是充分理解其定义，利用其定义去解决问题，反证法在一些证明题有着很重要的运用，它让一些不易证明的结论变得非常简介易证，关键是要假设相反，出现矛盾，得到证明，第三问难度要求较高，首先要对集合中的元素进行一定假设，穿插着累加的方法，得到关于的不等式，解出其范围，再找到满足最大值时集合的具体元素情况.