2022-2023学年北京市朝阳区北京中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年北京市朝阳区北京中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．点到直线的距离为（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据点到直线的距离公式可直接求出答案.

【详解】点到直线的距离为.

故选：B.

2．若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由方向向量的概念求解，

【详解】由，l的方向向量与平行，只有选项A满足题意，

故选：A

3．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则

A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b

【答案】B

【分析】由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.

【详解】椭圆的离心率,化简得,

故选B.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.

4．“”是“直线与直线垂直”的

A．充分必要条件 B．充分非必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】先由两直线垂直求出的值，再由充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.

【详解】因为直线与直线垂直，

则，即，解得或；

因此由“”能推出“直线与直线垂直”，反之不能推出，

所以“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件.

故选B

【点睛】本题主要考查命题充分不必要条件的判定，熟记充分条件与必要条件的概念，以及两直线垂直的判定条件即可，属于常考题型.

5．圆和圆的位置关系是（    ）

A．内含 B．内切 C．外切 D．相交

【答案】D

【分析】根据圆的一般方程分别求出两圆的圆心坐标和半径，进而求出两圆心的距离，结合

即可得出结果.

【详解】由题意可知

圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，

所以，又，

所以圆和圆的位置关系是相交，

故选：D．

6．已知，，且，则向量与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用空间向量数量积的坐标运算可得出的值，再利用空间向量数量积可求得与的夹角.

【详解】由已知可得，可得，，，

所以，，

，因此，.

故选：A.

7．已知直线与圆：相交于两点，且为等边三角形，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据圆的标准方程及等边三角形的性质，结合勾股定理及点到直线的距离公式即可求解.

【详解】由题意可知，圆：的圆心坐标为,半径为，

因为直线与圆：相交于两点，且为等边三角形，

所以的边长为，

则圆心到直线的距离为，

即，解得.

所以实数的值为.

故选：D.

8．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（    ）．

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【分析】求出圆心的轨迹方程后，根据圆心到原点的距离减去半径1可得答案.

【详解】设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A.

【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.

9．如图：在平行六面体中，为，的交点．若，，，则向量（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用平行六面体的性质及向量的线性运算即可求解.

【详解】由题意可知，在平行六面体中，为，的交点,

所以是的中点，

所以,

所以,

故选：A.

10．在平面直角坐标系中，已知点，，为直线上的动点，关于直线的对称点为，则线段的长度的最大值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】转化条件得点轨迹为以为圆心，为半径的圆（不包括点），由即可得解.

【详解】解：关于直线的对称点记为，为直线上的动点，

，

点轨迹为以为圆心，为半径的圆（不包括点），如图，

又 ，

.

故选：C.

二、填空题

11．若P，Q是圆上的两个动点，则的最大值为____________．

【答案】2

【分析】当P，Q在直径两端时，最大.

【详解】圆的标准方程为，

圆心为，半径为1，

当P，Q在直径两端时，最大，

所以的最大值为.

故答案为：2

12．写出一条与圆相切的直线l的方程：________________________．

【答案】（答案不唯一）

【分析】由直线与圆的位置关系求解，

【详解】由题意得直线与圆相切，

故答案为：（答案不唯一）

13．已知空间中单位向量、，且，则的值为________.

【答案】

【分析】根据向量的运算法则计算，得到答案.

【详解】，故.

故答案为：.

14．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有____________．

①椭圆的长轴长为；

②线段长度的取值范围是；

③面积的最小值是4；

④的周长为．

【答案】①②④

【分析】由题意可得b、c，然后可得a，可判断①；由椭圆性质可判断②；取特值，结合长度的取值范围可判断③；由椭圆定义可判断④.

【详解】解：由题知，椭圆中的几何量，所以，

则，故①正确；

因为，由椭圆性质可知，所以，故②正确；

记，则

取，则，故③错误；

由椭圆定义知，，

所以的周长，故④正确.

故答案为：①②④

三、双空题

15．已知椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则________，的大小为________.

【答案】     2    

【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求，在焦点三角形中应用余弦定理求的余弦值，进而确定其大小.

【详解】∵，，

∴，

∴，又，，

∴，由余弦定理，得，

∴.

故答案为：2，

四、解答题

16．已知圆C经过两点，，且圆心在直线上．

(1)求线段AB的垂直平分线的方程；

(2)求圆C的标准方程；

(3)求圆C被直线截得的弦长．

【答案】(1)；

(2)；

(3)6.

【分析】（1）由题可得线段的中点坐标及斜率，然后利用点斜式即得；

（2）由可得圆心坐标，进而即得；

（3）利用弦长公式即得.

【详解】（1）由，，可得其中点为，，

所以线段AB的垂直平分线的斜率为2，

故线段AB的垂直平分线的方程为，即；

（2）由，可得，

所以圆心，圆C的半径为，

所以圆C的标准方程为；

（3）因为圆心，圆C的半径为5，

所以圆心到直线的距离为，

所以圆C被直线截得的弦长为.

17．如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，ADBC，，．E为PD的中点，点F在PC上，且．

(1)求证：CD⊥平面PAD；

(2)求平面AEF与平面AEP的夹角的余弦值；

(3)设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)在，证明见解析

【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明，

（2）建立空间直角坐标系，由空间向量求解，

（3）由空间向量的位置关系判断，

【详解】（1）由平面，平面，，

而，，平面，平面，

平面

（2）过作，垂足为，如图所示建立空间直角坐标系，

，，，，

，，

，则，，

设平面的一个法向量为，则

令得，

平面的一个法向量为，

平面AEF与平面AEP的夹角的余弦值为

（3），，，

，而，故，

所以直线AG在平面AEF内．

18．如图1，在矩形中，，，为的中点，为中点．将沿折起到，使得平面平面（如图2）．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在线段上是否存在点，使得平面? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【分析】（1）先证明平面．再证明.(2) 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系（如图）,利用向量法求直线与平面所成角的正弦值.(3) 假设在线段上存在点，使得平面.设，且，根据平面求得，所以当时，平面．

【详解】（1）由已知，

因为为中点，所以．

因为平面平面，且平面平面，

平面，所以平面．

又因为平面，所以．

（2）设为线段上靠近点的四等分点，为中点．

由已知易得．

由（1）可知，平面，

所以，.

以为原点，所在直线分别为轴

建立空间直角坐标系（如图）．

因为，，

所以．

设平面的一个法向量为，

因为，

所以   即  

取，得．

而 .

所以直线与平面所成角的正弦值

（3）在线段上存在点，使得平面.

设，且，则，．

因为，所以，

所以，

所以，．

若平面，则.即.

由（2）可知，平面的一个法向量，

即，解得，

所以当时，平面．

【点睛】（1）本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查二面角的求法和直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.(2) 直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法），其中是直线的方向向量，是平面的法向量，是直线和平面所成的角.

19．设椭圆的离心率为，上、下顶点分别为A，B，．过点，且斜率为k的直线l与x轴相交于点F，与椭圆相交于C，D两点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若，求k的值；

(3)是否存在实数k，使？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)

(3)不存在实数，使直线平行于直线，证明见解析.

【分析】（1）直接由离心率和顶点坐标求解即可；

（2）由得到的中点重合，联立直线和椭圆方程，分别求出的中点坐标，解方程即可；

（3）假设存在，利用建立等式，解方程得不存在即可.

【详解】（1）由题意，解得，故椭圆的方程为；

（2）

由题意知，，直线的方程为，则，联立，可得，

，设，有，则中点横坐标为，

又，则中点横坐标为，又因为，且四点共线，取中点，则，

所以，即，所以是的中点，即的中点重合，即，解得.

（3）不存在实数，使直线平行于直线，证明如下：由题意，，则，

若，则，所以，即，即，

化简得，，由（2）得，，解得，

解得，所以，整理得，无解，

所以不存在实数，使直线平行于直线.

20．已知椭圆过点两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；

（Ⅱ）设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【详解】试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可．

试题解析：（Ⅰ）由题意得，．

所以椭圆的方程．

又，

所以离心率．

（Ⅱ）设，则．

又，，所以，

直线的方程为．

令，得，从而．

直线的方程为．

令，得，从而

所以四边形的面积

．

从而四边形的面积为定值．

【解析】1、椭圆方程；2、直线和椭圆的关系．

【方法点晴】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，以及考查逻辑思维能力、分析与解决问题的综合能力、运算求解能力、方程思想与分类讨论的思想．第一小题根据两顶点坐标可知，的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；第二小题四边形的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线，的值求乘积为定值即可．

21．已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合：

，．

其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．

若对于任意的，总有，则称集合具有性质．

（Ⅰ）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和．

（Ⅱ）对任何具有性质的集合，证明．

（Ⅲ）判断和的大小关系，并证明你的结论．

【答案】（Ⅰ）集合不具有性质，集合具有性质，相应集合，，集合，（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

【详解】解：集合不具有性质．

集合具有性质，其相应的集合和是，

．

（II）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．

因为，所以；

又因为当时，时，，所以当时，．

从而，集合中元素的个数最多为，

即．

（III）解：，证明如下：

（1）对于，根据定义，，，且，从而．

如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，

故与也是的不同元素．

可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，

由（1）（2）可知，．