2022-2023学年北京市顺义区高一上学期期末质量监测数学试题含解析

2022-2023学年北京市顺义区高一上学期期末质量监测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的概念，直接求解，即可得出结果.

【详解】因为，，所以.

故选：C.

2．已知函数，那么的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据真数大于0求解可得.

【详解】由解得,

所以函数的定义域为.

故选：D

3．命题：“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据全称量词命题的否定形式直接判断可得.

【详解】全称量词命题的否定为特称量词命题，

所以的否定为.

故选：A

4．下列函数中，在区间上是减函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由解析式直接得到函数的单调性，选出正确答案.

【详解】在上单调递增，A错误；

在上单调递增，B错误；

在上单调递增，C错误；

在上单调递增，在上单调递减，D正确.

故选：D

5．已知函数.在下列区间中，包含零点的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】依次求出的符号，由零点存在定理判断即可.

【详解】，由零点存在定理可知，包含零点的是.

故选：A

6．已知，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由对数运算直接求出，由为增函数可得，即可判断.

【详解】，由为增函数可知，即.

故选：B

7．已知，则是的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】由不等式的可加性可以直接推出；反之，可以赋值验证不成立.

【详解】已知，若，由不等式的可加性，则成立；

已知，若成立，则不一定成立，例如，令，，，，满足，，但.

所以是的充分不必要条件.

故选：A.

8．若函数的图象关于直线对称，则的值可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令,，然后对赋值可得.

【详解】由，，得

取可得.

故选：C

9．已知，且存在使得，则的值是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式得到，代入函数解析式即可得到，从而求出的值.

【详解】解：因为存在使得，

即存在使得，

即，

即，

因为，所以，

所以，所以.

故选：B

二、解答题

10．中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，一般情况下，折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而成.设制作扇子的扇形面积为，圆面中剩下部分的面积为，当时，扇面看上去形状较为美观.那么，此时制作扇子的扇形圆心角约为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设扇子的扇形的圆心角为，圆面中剩下部分的圆心角为，半径为，根据扇形的面积公式得到，再由，求出，即可得解.

【详解】解：设扇子的扇形的圆心角为，圆面中剩下部分的圆心角为，半径为

则，即，

又，

，

故，

所以，；

故选：C．

11．已知函数定义域为集合A，集合.

(1)求集合A；

(2)求.

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）定义域满足即可；

（2）按定义直接进行并集、补集运算即可

【详解】（1）由已知得，，∴；

（2），∴.

12．已知函数其中，.

(1)求与的值；

(2)求的最大值.

【答案】(1),.

(2)

【分析】（1）根据分段函数的解析式可求出结果；

（2）利用函数的单调性分段求出最大值，再比较可得结果.

【详解】（1）,

.

（2）当时，为增函数，，

当时，为增函数，，

因为，所以的最大值为.

13．已知函数，满足.

(1)求的值；

(2)求函数的单调递增区间.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据代入计算可得；

（2）由（1）可得的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.

【详解】（1）解：因为且，

所以，即，又，所以.

（2）解：由（1）可得，

令，解得，

所以函数的单调递增区间为.

14．在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于第一象限的点.

(1)求的值；

(2)将角的终边绕坐标原点按逆时针方向旋转角后与单位圆交于点，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，求的值.

①；②；③.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)若选①，则；若选②，则；若选③，则.

【分析】（1）根据点为单位圆上位于第一象限的点，直接求解即可；

（2）根据三角函数的定义，先得到，，，；再结合所选条件，利用诱导公式，即可求解.

【详解】（1）（1）因为角的终边与单位圆交于第一象限的点，

所以，解得；

（2）（2）由（1）根据三角函数的定义可得，，，，；

若选条件①，

则；

若选条件②，

则；

若选条件③，

则.

15．悬链线是生活中常见的一种曲线，如沾满露珠自然下垂的蜘蛛丝；如两根电线杆之间的电线；如横跨深涧的观光索道的电缆等等.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.这类悬链线对应的函数表达式为是非零常数，无理数.

(1)当时，判断的奇偶性并说明理由；

(2)如果为上的单调函数，请写出一组符合条件的值；

(3)如果的最小值为2，求的最小值.

【答案】(1)奇函数，理由见解析；

(2)（均可）

(3)2

【分析】（1）由奇偶函数的定义判断即可；

（2）为上的单调函数，则或单调性相同即可，结合指数函数单调性判断即可；

（3）当时，单调无最小值，再结合均值不等式分别讨论、时是否有最小值，即可得a、b的关系式，从而进一步求的最小值.

【详解】（1）为奇函数. 理由如下：

当时，，，∵，∴为奇函数.

（2）∵为上的单调函数，则或单调性相同即可，故.

一组符合条件的值为（均可）.

（3）的最小值为2，由（2）得当时，单调无最小值，故.

当时，，当且仅当时取等号，且当时，的最小值为2，此时，当且仅当时取等号；

当时，，无最小值，不合题意.

综上，的最小值为2.

16．已知是非空数集，如果对任意，都有，则称是封闭集.

(1)判断集合是否为封闭集，并说明理由；

(2)判断以下两个命题的真假，并说明理由；

命题：若非空集合是封闭集，则也是封闭集；

命题：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集；

(3)若非空集合是封闭集合，且为全体实数集，求证：不是封闭集.

【答案】(1)集合都是封闭集，理由见解析；

(2)命题为假命题，命题q为真命题，理由见解析；

(3)见解析.

【分析】(1)根据封闭集的定义判断即可；

(2) 对命题举反例说明即可；

对于命题：设，由是封闭集，可得，从而判断为正确；

(3)根据题意，令，只需证明不是封闭集即可，取中的即可证明.

【详解】（1）解：对于集合 因为，

所以是封闭集；

对于集合，因为，，，

所以集合是封闭集；

（2）解：对命题：令，

则集合是封闭集，如，但不是封闭集，故错误；

对于命题：设，则有，又因为集合是封闭集，

所以，

同理可得，

所以，

所以是封闭集，故正确；

（3）证明：因为非空集合是封闭集合，且

所以，

假设是封闭集，

由(2)的命题可知：若非空集合是封闭集，且，则也是封闭集，

又因为，

所以不是封闭集.

得证.

三、双空题

17．计算：（1）__________；（2）__________.

【答案】     ##0.25     ##-0.5

【分析】（1）由对数运算性质即可求.

（2）由诱导公式即可求.

【详解】（1）；

（2）.

故答案为：；.

四、填空题

18．不等式的解集是__________.

【答案】或

【分析】将不等式变形为，即可求出不等式的解集.

【详解】解：不等式，即，即，

解得或，

所以不等式的解集为或.

故答案为：或

19．函数的最小正周期是_________.

【答案】

【分析】直接由周期公式得解．

【详解】函数的最小正周期是：

故填：

【点睛】本题主要考查了的周期公式，属于基础题．

20．A､B､C三个物体同时从同一点出发向同向而行，位移关于时间的函数关系式分别为，则下列结论中，所有正确结论的序号是__________.

①当时，A总走在最前面；

②当时，C总走在最前面；

③当时，一定走在前面.

【答案】①②

【分析】画出三函数的图象，结合三种类型函数的增长速度，数形结合得到结论.

【详解】在同一坐标系内画出的函数图象，

当时，指数函数的增长速度>幂函数的增长速度>对数函数的增长速度，

当时，，故当时，A总走在最前面，①正确；

当时，由图象可知：C总走在最前面，②正确；

当时，，

当时，，

由于幂函数的增长速度>对数函数的增长速度，

故时，B走在C前面，

当时，走在后面，③错误.

故答案为：①②

21．下表是某班10个学生的一次测试成绩，对单科成绩分别评等级：

在这10名学生中，已知数学成绩为“A等”的有8人，语文成绩为“A等”的有7人，数学与语文两科成绩全是“A等”的有6人，则下列说法中，所有正确说法的序号是__________.

①当时，；

②当时，；

③恰有1名学生两科均不是“A等”；

④学号1~6的学生两科成绩全“A等”.

【答案】①③④

【分析】根据各科成绩排名及“A等”成绩的人数，分别讨论、、时数学成绩为“A等”的情况，、、时语文成绩为“A等”的情况，

最后再结合符合的情况分类讨论数学与语文成绩全是“A等”的情况，即可得出所有符合的情形，最后依次对各序号判断即可.

【详解】当，数学成绩为“A等”的8人从高到低为号；

当，数学成绩为“A等”不为8人，不合题意；

当，数学成绩为“A等”的8人为号.

当，语文成绩为“A等”的7人为号；

当，语文成绩为“A等”不为7人，不合题意；

当，语文成绩为“A等”的7人为号.

故当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共7人，不合题意；

当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意；

当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意；

当，时，数学与语文两科成绩全是“A等”的有号，共6人，符合题意.

综上可知：

对①，当时，，①对；

对②，当时，，②错；

对③，当，、，、，时，两科均不是“A等”的学生依次为8、9、10号，均恰有1名，③对；

对④，学号1~6的学生两科成绩全“A等”，④对.

故答案为：①③④