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初中数学苏科版七年级下册7.2 探索平行线的性质同步达标检测题
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这是一份初中数学苏科版七年级下册7.2 探索平行线的性质同步达标检测题，共46页。
7.9平行线的性质与判定（拔高篇）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．
(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若BF⊥AC，∠2=132°，求∠AFG的度数．
2．（2022春·江苏南通·七年级校考期中）已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠C的度数．
3．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，已知AB∥CD，∠C＝∠B．
(1)求证：CF∥BD；
(2)如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝96°，求∠B的度数．
4．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，BD平分∠ABC，∠C=30°，∠ABD=75°，AE、BD交于点F．
(1)说明：AB ∥CD；
(2)如果AE∥BC，那么 可求．请从①∠AFD，②∠A中选择一项填在空格处（填写序号），并写出求解过程．
5．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）如图，点D、E、F、G在△ABC的边上，且BF∥DE，∠1＋∠2＝180°．
(1)求证：GF∥BC；
(2)若BF平分∠ABC，∠2＝138°，求∠AGF的度数．
6．（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，点E在AC上，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1+∠2=180°，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由．
7．（2022春·江苏苏州·七年级校联考期中）如图，在ΔABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：CD//EF；
(2)如果∠1=∠2，且∠3=100°，求∠ACB的度数．
8．（2023春·七年级单元测试）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2=90°，且∠2:∠3=2:5．
(1)求∠BOF的度数；
(2)试说明AB∥CD的理由．
9．（2023春·七年级单元测试）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
10．（2022·江苏·七年级假期作业）如图，点E在直线DC上，射线EF、EB分别平分∠AED、∠AEC．
(1)试判断EF、EB的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=∠5，且∠4+∠5=90°，求证：AB∥EF．
11．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
12．（2022春·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF，分别与BD、CE交于点G、H．已知∠1=52°，∠2=128°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠A=∠F，试判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．
13．（2019·江苏苏州·七年级统考期中）如图，直线AB∥CD，E、F是AB、CD上的两点，直线l与AB、CD分别交于点G、H，点P是直线l上的一个动点（不与点G、H重合），连接PE、PF．
（1）当点P与点E、F在一直线上时，∠GEP＝∠EGP，∠FHP＝60°，则∠PFD＝ ．
（2）若点P与点E、F不在一直线上，试探索∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系，并证明你的结论．
14．（2022春·江苏淮安·七年级校考期末）如图，FN交HE、MD于点A、点C，过C作射线CG交HE于点B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠ABG的度数．
15．（2022春·江苏南京·七年级校考期末）如图，在△ABC中，∠B=35°，点D在BC上，∠BAC=∠ADC，点E在AB上，
(1)若DE∥AC，求∠ADE的度数．
(2)当∠BED的度数是______时，△BDE是直角三角形．
16．（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．
(1)若∠O=40°，则∠ECF= ；
(2)求证：CG平分∠OCD；
(3)当∠O= 时，CD将∠OCF分为1︰2两部分．
17．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠EHF=80°，∠D=30°，求∠AEC的度数．
18．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，∠1=50°，∠2=130°，∠A=∠F．探索∠C与∠E的数量关系，并说明理由．
19．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在AB上，EF⊥BC，垂足为F．
(1)AD与EF平行吗？为什么？
(2)如果∠1=∠2，且∠3=110°，求∠BAC的度数．
20．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，探索这两个角的关系，并说明理由．
(1)如图（一），AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2的关系是________．
(2)如图（二），AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2的关系是________．
(3)经过上述证明，我们可以得到一个结论：________．
(4)若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别是多少度？
21．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，∠1=∠2，∠DEH+∠EHG=180°，∠C=∠A
(1)试说明：∠AEH=∠F；
(2)若∠B=40°，∠F=25°，则∠DEF=________．
22．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，BD是△ABC的角平分线，ED∥BC，交AB于点E．
(1)若∠A=44°，∠BDC=60°，求∠BED的度数；
(2)若∠A-∠ABD=31°，∠EDC=76°，求∠ADB的度数．
23．（2022春·江苏盐城·七年级统考期中）已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．
(1)∠2与∠DCB相等吗？为什么？
(2)试说明CD是△ABC的高．
24．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）如图，点E、A、F在同一条直线上，AB平分∠EAC，AD平分∠FAC．
(1)求∠BAD的度数；
(2)若直线EF∥直线MN，∠1=39°，则∠ADC=__________°
25．（浙江省杭州市采荷中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）设∠ACE=α．
(1)若α=30°，说明AB∥CE；
(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若DE∥BC，求α的度数．
26．（广东省江门市第二中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）已知，AB∥CD．
(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；
(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数．
27．（浙江省杭州市上城区建兰中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．
(1)当∠FDC+∠ABC=180°时：
①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．
②若∠ABC=130°求∠DFB的度数．
(2)当∠C=α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．
28．（广东省东莞市光明中学2021—2022学年七年级下学期期中数学试题）阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
(1)求证：EG⊥FG；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 ．
②如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ．
29．（陕西省汉中市略阳县2021-2022学年七年级上学期数学期末试题）解答下列问题
(1)（问题情景）如图1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°．过点P作PM∥AB，求∠EPF的度数；
(2)（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，用含有α的式子表示∠EGF的度数．
30．（陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
答案与解析
一、解答题
1．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．
(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若BF⊥AC，∠2=132°，求∠AFG的度数．
【答案】(1)BF∥DE，见解析
(2)42°
【分析】（1）根据同位角相等两直线平行可得GF∥BC，可证∠1=∠3，结合∠1+∠2=180°，可得∠3+∠2=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得解；
（2）由∠2=132°得∠1=48°，继而得到∠AFG的度数．
【详解】（1）解：BF∥DE；理由如下：
∵∠AGF=∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1=∠3，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠2=180°，
∴BF∥DE；
（2）解：∵∠1+∠2=180°，∠2=132°，
∴∠1=48°，
又∵BF⊥AC，
∴∠BFA=90°，
∴∠AFG=∠BFA−∠1=90°−48°=42°；
故∠AFG的度数为42°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是平行线的判定和性质的灵活运用，解题时注意与方程思想相结合．
2．（2022春·江苏南通·七年级校考期中）已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠C的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠C=30°
【分析】（1）先证明AE∥GF，可得∠EAB=∠FGB，再证明∠CEA=∠EAB，从而可得答案；
（2）由AB∥CD，可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°，再把∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70° 代入进行计算即可.
【详解】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠EAB=∠FGB，
∵∠CEA=∠FGB，
∴∠CEA=∠EAB，
∴AB∥CD；
（2）解：由（1）得，AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°，
∵∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°，
∴∠ABC+70°+∠ABC+50°=180°
∴∠ABC=30°，
∴∠C=∠ABC=30°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，方程思想的应用，掌握“平行线的判定与性质”是解本题的关键.
3．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，已知AB∥CD，∠C＝∠B．
(1)求证：CF∥BD；
(2)如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝96°，求∠B的度数．
【答案】(1)见解析
(2)42°
【分析】（1）利用平行线的性质定理和判定定理可得结论；
（2）由∠ADB+∠FAD=180°，可得∠FAD，易得∠FAB=42°，由CF∥BD，再根据平行线的性质推出∠B=∠FAB=42°．
（1）
证明：∵AB∥CD，
∴∠C=∠FAB，
∴∠C=∠B，
∴∠B=∠FAB，
∴CF∥BD；
（2）
解：∵CF∥BD，
∴∠FAD+∠ADB=180°，
∵∠ADB=96°，
∴∠FAD=180°-96°=84°，
∵AB平分∠FAD，
∴∠FAB=12∠FAD＝12×84°=42°，
∵CF∥BD，
∴∠B=∠FAB=42°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．
4．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，BD平分∠ABC，∠C=30°，∠ABD=75°，AE、BD交于点F．
(1)说明：AB ∥CD；
(2)如果AE∥BC，那么 可求．请从①∠AFD，②∠A中选择一项填在空格处（填写序号），并写出求解过程．
【答案】(1)见解析
(2)①②，求解过程见解析
【分析】（1）由BD平分∠ABC可得∠ABC=2∠ABD=2∠DBC=150°，从而得到∠ABC+∠C=180°，即可说明AB∥CD；
（2）利用平行线的性质，可求得∠AFD，∠A的度数．
（1）
解：∵BD平分∠ABC，∠ABD=75°，
∴∠ABC=2∠DBC=2∠ABD=150°，
∵∠C=30°，
∴∠C+∠ABC=180°，
∴AB∥CD；
（2）
解：填①②．
∵BD平分∠ABC，∠ABD=75°，
∴∠DBC=∠ABD=75°，
∵AE∥BC，
∴∠DFE=∠DBC=75°，
∴∠AFD=180°-75°=105°；
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴∠A=180°-150°=30°．
故答案为：①或②．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
5．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）如图，点D、E、F、G在△ABC的边上，且BF∥DE，∠1＋∠2＝180°．
(1)求证：GF∥BC；
(2)若BF平分∠ABC，∠2＝138°，求∠AGF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)84°
【分析】（1）根据BF∥DE，可得∠2+∠3=180°，从而得到∠1=∠3，即可求证；
（2）根据∠2＝138°，可得∠3=42°，从而得到∠ABC=84°，再由GF∥BC，即可求解．
（1）
证明：∵BF∥DE，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠1＋∠2＝180°．
∴∠1=∠3，
∴GF∥BC；
（2）
解：∵BF∥DE，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠2＝138°，
∴∠3=42°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC=84°，
∵GF∥BC，
∴∠AGF=∠ABC=84°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键．
6．（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，点E在AC上，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1+∠2=180°，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】DG⊥BC；理由见解析
【分析】根据EF⊥AB，CD⊥AB，得出CD∥EF，根据平行线的性质得出∠2+∠DCE=180°，根据∠1+∠2=180°，得出∠1=∠DCE，即可得出DG∥AC，根据∠ACB=90°，即可得出结果．
【详解】解：DG⊥BC；理由如下：
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2+∠DCE=180°，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠DCE，
∴DG∥AC，
∵∠ACB=90°，
∴∠DGB=∠ACB=90°，
∴DG⊥BC．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，熟练掌握内错角相等，两直线平行，两直线平行同旁内角互补，是解题的关键．
7．（2022春·江苏苏州·七年级校联考期中）如图，在ΔABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：CD//EF；
(2)如果∠1=∠2，且∠3=100°，求∠ACB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ACB＝100°
【分析】（1）先根据垂直的定义得到∠BFE＝∠BDC＝90°，然后根据同位角相等，两直线平行即可证明CD//EF；
（2）由于CD//EF，则∠2＝∠BCD，利用∠1＝∠2得到∠BCD＝∠1，根据内错角相等，两直线平行得到DG//BC，然后根据平行线的性质求解．
（1）
证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠BFE＝∠BDC＝90°，
∴CD∥EF；
（2）
解：∵CD//EF，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠BCD＝∠1，
∴DG//BC，
∴∠ACB＝∠3＝100°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
8．（2023春·七年级单元测试）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2=90°，且∠2:∠3=2:5．
(1)求∠BOF的度数；
(2)试说明AB∥CD的理由．
【答案】(1)∠BOF的度数为140°
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义推出∠2+∠AOC=90°，再根据对顶角性质求解即可；
（2）结合等量代换得出∠1=∠AOC，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．
【详解】（1）解：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠AOE=∠AOC=12∠COE，∠2=∠BOE=12∠DOE，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴∠2+∠AOC=90°，
∵∠COE=∠3，
∴∠AOC=12∠3，
∴∠2+12∠3=90°，
∵∠2:∠3=2:5，
∴∠3=52∠2，
∴∠2+12×52∠2=90°，
∴∠2=40°，
∴∠3=100°，
∴∠BOF=∠2+∠3=140°；
（2）解：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠AOC=90°，
∴∠1=∠AOC，
∴AB∥CD．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，余角的性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
9．（2023春·七年级单元测试）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)CD∥OE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CD∥OE．
【详解】（1）证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CD∥OE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CD∥OE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
10．（2022·江苏·七年级假期作业）如图，点E在直线DC上，射线EF、EB分别平分∠AED、∠AEC．
(1)试判断EF、EB的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=∠5，且∠4+∠5=90°，求证：AB∥EF．
【答案】(1)EB⊥EF，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线定义以及平角的定义即可求证；
（2）由等角的余角相等可证得∠2=∠5，进而可得∠2=∠A，再由内错角相等两直线平行即可证得．
(1)
解：EB⊥EF，
理由如下：
∵EB平分∠AEC，EF平分∠AED，
∴∠3=∠4=12∠AEC，∠1=∠2=12∠AED，
∵∠AED+∠AEC=180°，
∴∠BEF=∠2+∠3=12∠AED+12∠AEC=12(∠AED+∠AEC)=12×180°=90°，
∴EB⊥EF；
(2)
证明：∵∠2+∠3=90°（已证），∠4+∠5=90°（已知），
又∵∠3=∠4，
∴∠2=∠5，
∵∠A=∠5，
∴∠2=∠A，
∴AB∥EF．
【点睛】本题考查了角平分线定义，平角定义，平行线的判定，等角的余角相等，综合掌握以上知识并熟练应用是解题的关键．
11．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
【答案】（1）AD∥BC，理由详见解析；（2）AB∥EF，理由详见解析
【分析】（1）先根据补角的性质证明∠ADF=∠BCF，然后根据同位角相等两直线平行即可证明AD∥BC；
（2）根据BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E可证∠E=∠ABE，结论：AB∥EF， 然后根据内错角相等两直线平行即可证明AB∥EF．
【详解】（1）AD∥BC，
理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠BCF，
∴AD∥BC；．
（2）AB∥EF，
理由是：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵∠ABC＝2∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB∥EF．
【点睛】本题考查了补角的性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（2022春·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF，分别与BD、CE交于点G、H．已知∠1=52°，∠2=128°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠A=∠F，试判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠C=∠D，理由见解析.
【分析】（1）根据对顶角相等得出∠DGH的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论；
（2）先根据BD∥CE得出∠D=∠CEF，再由∠A=∠F得出AC∥DF，据此可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠DGH=52°，∠2=128°，
∴∠DGH+∠2=180°，
∴BD∥CE；
（2）解：∠C=∠D．
理由：∵BD∥CE，
∴∠D=∠CEF．
∵∠A=∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C=∠CEF，
∴∠C=∠D．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
13．（2019·江苏苏州·七年级统考期中）如图，直线AB∥CD，E、F是AB、CD上的两点，直线l与AB、CD分别交于点G、H，点P是直线l上的一个动点（不与点G、H重合），连接PE、PF．
（1）当点P与点E、F在一直线上时，∠GEP＝∠EGP，∠FHP＝60°，则∠PFD＝ ．
（2）若点P与点E、F不在一直线上，试探索∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）120°；（2）①当E、F在直线l的两侧时，∠EPF＝∠AEP+∠CFP；②当E、F在直线l的同侧时，∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°.
【分析】（1）根据平行线的性质和邻补角定义计算可得结论；
（2）分两种情况
①当E、F在直线l的两侧时，∠EPF＝∠AEP+∠CFP，
②当E、F在直线l的同侧时，∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°，分别根据平行线的性质证明可得结论．
【详解】（1）如图1，
∵AB∥CD，
∴∠GEP＝∠PFH，∠EGP＝∠PHF＝60°，
∵∠GEP＝∠EGP，
∴∠PFH＝60°，
∴∠PFD＝180°﹣60°＝120°，
故答案为120°；
（2）分两种情况：
①当E、F在直线l的两侧时，∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由是：
如图2，过P作PQ∥AB，
∵AB∥C，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP＝∠EPQ，∠CFP＝∠FPQ，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠AEP+∠CFP，
即∠EPF＝∠AEP+∠CFP；
②当E、F在直线l的同侧时，∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°，理由是：
如图3，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP+∠EPQ＝180°，∠CFP+∠FPQ＝180°，
∴∠EPQ+∠FPQ+∠AEP+∠CFP＝360°，
即∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，熟练掌握平行线的性质是关键．
14．（2022春·江苏淮安·七年级校考期末）如图，FN交HE、MD于点A、点C，过C作射线CG交HE于点B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠ABG的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)135°
【分析】（1）由对顶角相等得到∠NCM＝∠FCD，即可得到∠EAF＝∠FCD，即可判定AB∥CD；
（2）由平角的定义得到∠BCD＝180°−∠MCB＝135°，再根据平行线的性质即可得解．
（1）
证明：∵∠EAF＝∠NCM，∠NCM＝∠FCD，
∴∠EAF＝∠FCD，
∴AB∥CD；
（2）
解：∵∠MCB＋∠BCD＝180°，∠MCB＝45°，
∴∠BCD＝180°−∠MCB＝135°，
由（1）知，AB∥CD，
∴∠ABG＝∠BCD，
∠ABG＝135°，
故∠ABG的度数是135°．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
15．（2022春·江苏南京·七年级校考期末）如图，在△ABC中，∠B=35°，点D在BC上，∠BAC=∠ADC，点E在AB上，
(1)若DE∥AC，求∠ADE的度数．
(2)当∠BED的度数是______时，△BDE是直角三角形．
【答案】(1)35°
(2)90°或55°
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BED=∠BAC，再根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角和即可得∠ADE=∠B=35°；
（2）根据直角三角形两个锐角互余可得∠BED=90°−35°=55°，然后利用直角三角形定义即可得结论．
（1）
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠BAC，
∵∠BAC=∠ADC，
∴∠BED=∠ADC，
∵∠BED=∠EAD+∠ADE，∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠ADE=∠B=35°；
（2）
当∠BED的度数是90°或55°时，△BDE是直角三角形．
理由如下：
当∠BED的度数是90°时，△BDE是直角三角形．
当∠BDE=90°，
∴∠BED=90°−35°=55°时，△BDE是直角三角形．
故答案为：90°或55°．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质定理，平行线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的外角的性质定理．
16．（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．
(1)若∠O=40°，则∠ECF= ；
(2)求证：CG平分∠OCD；
(3)当∠O= 时，CD将∠OCF分为1︰2两部分．
【答案】(1)110°；
(2)见解析；
(3)36°或90°．
【分析】（1）根据平行线的性质，得到∠ACE=40°，根据平角的定义以及角平分线的定义，即可得到∠ACF=70°，进而得出∠ECF的度数；
（2）根据∠DCG+∠DCF=90°，∠GCO+∠FCA=90°，以及∠ACF=∠DCF，运用等角的余角相等，即可得到∠GCO=∠GCD，即CG平分∠OCD；
（3）当∠O=36°时，根据平行线的性质，得出∠DCO=∠O=36°，再根据角平分线的定义，即可得到∠DCF=72°，据此可得2∠DCO=∠DCF．同理：当当∠O=90°时，可得∠DCO=2∠DCF．
（1）
解：∵DE∥OB，
∴∠O=∠ACE（两直线平行，同位角相等），
∵∠O=40°，
∴∠ACE=40°，
∵∠ACD+∠ACE=180°（平角定义），
∴∠ACD=140°，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=70°（角平分线定义），
∴∠ECF=70°+40°=110°；
故答案为：110°；
（2）
证明：∵CG⊥CF，
∴∠FCG=90°，
∴∠DCG+∠DCF=90°，
又∵∠AOC=180°（平角定义），
∴∠GCO+∠FCA=90°，
∵∠ACF=∠DCF，
∴∠GCO=∠GCD（等角的余角相等），
即CG平分∠OCD．
（3）
解：当∠O=36°时，CD将∠OCF分为1：2两部分．
当∠O=36°时，
∵DE∥OB，
∴∠DCO=∠O=36°．
∴∠ACD=144°．
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF=72°，
∴2∠DCO=∠DCF．
当∠O=90°时，CD将∠OCF分为1：2两部分．
当∠O=90°时，
∵DE∥OB，
∴∠DCO=∠O=90°．
∴∠ACD=90°．
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF=45°，
∴∠DCO=2∠DCF，
故答案为：36°或90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题时注意：两直线平行，同位角相等，内错角相等．
17．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠EHF=80°，∠D=30°，求∠AEC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70°
【分析】（1）先证明CE∥FG，证明∠FGD=∠EFG，得证AB∥CD．
（2）先根据三角形内角和定理计算∠FGD=70°，再根据AB∥CD，得∠FGD=∠AFG=70°，根据CE∥FG，得∠AEC=∠AFG=70°．
（1）
因为∠CED=∠GHD，
所以CE∥FG，
所以∠C=∠FGD，
因为∠C=∠EFG，
所以∠FGD=∠EFG，
所以AB∥CD．
（2）
因为∠EHF=80°=∠GHD，
根据三角形内角和定理，得
∠FGD=180°-∠EHF-∠D=180°-30°-80°=70°，
因为AB∥CD，
所以∠FGD=∠AFG=70°，
因为CE∥FG，
所以∠AEC=∠AFG=70°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
18．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，∠1=50°，∠2=130°，∠A=∠F．探索∠C与∠E的数量关系，并说明理由．
【答案】∠C=∠E；理由见解析
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解:∠C=∠E，理由如下，如图：
∵∠1=∠3=50°，∠2=130°
∴∠3+∠2=180°
∴BF∥AD
∴∠A=∠CBF
∵∠A=∠F
∴∠CBF=∠F
∴AC∥EF
∴∠C=∠E．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,熟记“同旁内角互补，两直线平行”、“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
19．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在AB上，EF⊥BC，垂足为F．
(1)AD与EF平行吗？为什么？
(2)如果∠1=∠2，且∠3=110°，求∠BAC的度数．
【答案】(1)AD与EF平行，理由见解析
(2)110°
【分析】（1）根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可判断AD∥EF；
（2）根据平行线的性质由AD∥EF得∠2=∠BAD，而∠1=∠2，所以∠1=∠BAD，则可根据平行线的判定方法得到AB∥DG，然后利用平行线的性质得∠BAC=∠3=110°．
（1）
解：AD与EF平行．
理由如下：
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF；
（2）
∵AD∥EF，
∴∠2=∠BAD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BAD，
∴AB∥DG，
∴∠BAC=∠3，
∵∠3=110°，
∴∠BAC=110°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质，并能熟练运用是解题的关键．
20．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，探索这两个角的关系，并说明理由．
(1)如图（一），AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2的关系是________．
(2)如图（二），AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2的关系是________．
(3)经过上述证明，我们可以得到一个结论：________．
(4)若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别是多少度？
【答案】(1)相等
(2)互补
(3)结论见解析
(4)30°，30°或70°，110°
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得出结论；
（2）根据两直线平行，同位角相等，得到∠1=∠3，再根据对顶角相等，得到∠3=∠4，进而得到∠1=∠4，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
（3）通过（1）、（2）小题，即可得出结论；
（4）分情况讨论，当两个角相等时，即x=2x−30，即可得出角的度数，当两个角互补时，即x+2x−30=180，即可得出角的度数．
（1）
解：∵AB∥EF，
∴∠1=∠3，
又∵BC∥DE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴∠1与∠2相等，
（2）
解：∵AB∥EF，
∴∠1=∠3，
又∵∠3=∠4（对顶角相等），
∴∠1=∠4，
又∵BC∥DE，
∴∠2+∠4=180°，
∴∠2+∠1=180°，
∴∠1与∠2互补，
（3）
经过上述证明，我们可以得到一个结论：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
（4）
设其中一个角为x°，
当两个角相等时，即x=2x−30，
解得x=30，
2x−30=30，
当两个角互补时，即x+2x−30=180，
解得x=70，
2x−30=110，
答：这两个角分别是30°，30°或70°，110°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、等量代换等知识点，解本题的关键在熟练掌握平行线的性质．
21．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，∠1=∠2，∠DEH+∠EHG=180°，∠C=∠A
(1)试说明：∠AEH=∠F；
(2)若∠B=40°，∠F=25°，则∠DEF=________．
【答案】(1)见解析
(2)85°
【分析】（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
（1）
解：∵∠DEH+∠EHG=180°
∴DE∥AC
∴∠1=∠C，∠2=∠DGC
∵∠C=∠A，∠1=∠2
∴∠A=∠DGC
∴AB∥DF
∴∠AEH=∠F
（2）
解：∵AB∥DF，
∴∠CDF=∠B=40°，
∵∠1+∠2+∠CDF=180°，∠1=∠2，
∴∠1=∠2=70°，
∵∠F=25°，∠F+∠2+∠DEF=180°，
∴∠DEF=180°-25°-70°=85°．
故答案为：85°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
22．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，BD是△ABC的角平分线，ED∥BC，交AB于点E．
(1)若∠A=44°，∠BDC=60°，求∠BED的度数；
(2)若∠A-∠ABD=31°，∠EDC=76°，求∠ADB的度数．
【答案】(1)148°
(2)119°
【分析】（1）如图，根据邻补角的定义、△ABD内角和定理以及平行线的性质进行计算；
（2）根据平行线的性质求得∠C=104°；然后利用三角形内角和定理和已知条件易求∠1=∠2=15°，所以根据三角形外角的性质易求∠ADB的度数．
（1）
解：如图，∵∠BDC=60°，
∴∠ADB=120°．
又∵∠A=44°，
∴∠2=180°-44°-120°=16°．
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2=16°．
又ED//BC，
∴∠BED+2∠1=180°，
∴∠BED=180°-32°=148°；
（2）
∵ED//BC，
∴∠EDC+∠C=180°．
又∵∠EDC=76°，
∴∠C=104°．
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2．
∵∠A-∠2=31°，∠A+2∠2+∠C=180°
∴∠1=∠2=15°，
∴∠ADB=∠1+∠C=119°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题综合性比较强，需要学生对知识有一系统的掌握．
23．（2022春·江苏盐城·七年级统考期中）已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．
(1)∠2与∠DCB相等吗？为什么？
(2)试说明CD是△ABC的高．
【答案】(1)∠2=∠DCB，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得到DE//BC，再根据两直线平行，同位角相等证明结论；
（2）根据平行线的性质得到CD⊥AB，根据三角形的概念证明即可．
【详解】（1）∠2=∠DCB，
理由如下：∵∠1=∠ACB，
∴DE∥BC，
∴∠2=∠DCB；
（2）∵∠2=∠3，∠2=∠DCB，
∴∠3=∠DCB，
∴HF∥CD，
∵FH⊥AB，
∴CD⊥AB，即CD是ΔABC的高．
【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质、三角形的高的概念，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
24．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）如图，点E、A、F在同一条直线上，AB平分∠EAC，AD平分∠FAC．
(1)求∠BAD的度数；
(2)若直线EF∥直线MN，∠1=39°，则∠ADC=__________°
【答案】(1)90°
(2)51
【分析】（1）根据角平分线的定义及平角的概念进行求解；
（2）根据角平分线的定义及平行线的性质进行求解．
(1)
∵ AB平分∠EAC， AD平分∠FAC
∴∠2=12∠EAC， ∠3=12∠FAC
∵∠EAC+∠FAC=180°
∴∠2+∠3=12(∠EAC+∠FAC)=90°
即∠BAD=90°
(2)
解：∵AB平分∠EAC，AD平分∠FAC
∴∠2=∠1=39°，∠3=∠FAD，
∴∠3=∠FAD=12×(180°−78°)=51°，
∵EF//MN
∴∠FAD=∠ADC=51°，
故答案为：51；
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理，利用等量代换的思想求解．
25．（浙江省杭州市采荷中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）设∠ACE=α．
(1)若α=30°，说明AB∥CE；
(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若DE∥BC，求α的度数．
【答案】(1)见解析
(2)15°或165°
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）分两种情形：如图②中，当DE∥CE时，如图③中，当DE∥BC时，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图①中，
∵∠ACE=α=30°，∠A=30°，
∴∠ACE=∠A，
∴AB∥CE；
（2）解：如图②中，当DE∥CE时，则∠BCE=∠E=45°，
∴α=∠ACE=∠ACB−∠BCE=60°−45°=15°；
如图③中，当DE∥BC时，则∠BCD=∠D=90°，
∴α=∠ACE=360°−∠ACB−∠ECD−∠BCD=360°−60°−45°−90°=165°．
综上所述，α的值为15°或165°．
【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
26．（广东省江门市第二中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）已知，AB∥CD．
(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；
(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)150°
【分析】（1）过点E作EF∥AB于点F，先根据平行线的性质可得∠A=180°−∠AEF，再根据平行公理推论可得EF∥CD，然后根据平行线的性质可得∠C=180°−∠CEF，最后计算∠A−∠C即可得证；
（2）过点F作FG∥CE于点G，先根据平行线的性质可得∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，从而可得∠CEF+∠ECF=75°，再根据角平分线的定义可得∠AEC+∠ECD=150°，然后根据（1）的结论即可得．
（1）
证明：如图，过点E作EF∥AB于点F，
∴∠A=180°−∠AEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠C=180°−∠CEF，
∴∠A−∠C=180°−∠AEF−180°−∠CEF=∠AEC．
（2）
解：如图，过点F作FG∥CE于点G，
∴∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，
∵∠EFC=105°，
∴∠EFG−∠CFG=180°−∠CEF−∠ECF=105°，
解得∠CEF+∠ECF=75°，
∵EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，
∴∠AEC=2∠CEF,∠ECD=2∠ECF，
∴∠AEC+∠ECD=2∠CEF+∠ECF=150°，
由（1）已得：∠A−∠ECD=∠AEC，
∴∠A=∠AEC+∠ECD=150°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
27．（浙江省杭州市上城区建兰中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．
(1)当∠FDC+∠ABC=180°时：
①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．
②若∠ABC=130°求∠DFB的度数．
(2)当∠C=α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)①AD∥BC；理由见解析；②∠DFB＝115°
(2)∠DFB＝180°−12α
【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠EDF＝∠DAB，根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADC，根据平行线的判定定理即可得到结论；
②根据角平分线的定义可求∠CBF，再根据平行线的性质可求∠DFB；
（2）作CG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCD＝360°−2∠DFB，即可得到结论．
（1）
解：①AD∥BC，理由如下：
∵ED∥AB，
∴∠EDF＝∠DAB，
∵DA是∠CDE的角平分线，
∴∠EDF＝∠ADC，
∴∠DAB＝∠ADC，
∵∠FDC＋∠ABC＝180°，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
②∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝130°，
∴∠FBC＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠DFB＝180°−∠FBC＝115°．
（2）
作CG∥AB，如图所示：
∵AB∥DE，
∴CG∥AB∥DE，
∴∠1＝180°−∠EDC，
∠2＝180°−∠ABC，
∴∠BCD＝∠1＋∠2
＝180°−∠EDC＋180°−∠ABC
＝180°−2∠EDA＋180°−2∠ABF
＝180°−2∠DAB＋180°−2∠ABF
＝360°−2（∠DAB＋∠ABF）
＝360°−2∠DFB
＝α
∴∠DFB＝180°−12α．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，作出辅助线，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．
28．（广东省东莞市光明中学2021—2022学年七年级下学期期中数学试题）阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
(1)求证：EG⊥FG；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 ．
②如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ．
【答案】(1)见解析
(2)①45°；②结论：∠EOF=2∠EPF
【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；
（2）①利用基本结论∠EMF=∠BEM+∠MFD求解即可；②利用基本结论∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GH∥CD，
∴∠BEG=∠EGH，∠DFG=∠FGH，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEB=12∠BEF，∠GFD=12∠DFE，
∴∠GEB+∠GFD=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=90°，
在ΔEFG中，∠GEF+∠GFE+∠G=180°，
∴∠EGF=∠GEB+∠GFD=90°，
∴EG⊥FG；
（2）解：①如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG=90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
∴∠BEM+∠MFD=12(∠BEG+∠DFG)=45°，
∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°，
故答案为：45°；
②结论：∠EOF=2∠EPF．
理由：如图3中，由题意，∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠BEO=2∠BEP，∠DFO=2∠DFP，
∴∠EOF=2∠EPF，
故答案为：∠EOF=2∠EPF．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
29．（陕西省汉中市略阳县2021-2022学年七年级上学期数学期末试题）解答下列问题
(1)（问题情景）如图1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°．过点P作PM∥AB，求∠EPF的度数；
(2)（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，用含有α的式子表示∠EGF的度数．
【答案】(1)90°
(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由见解析
(3)12α
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求出∠1=∠AEP=40°，根据两直线平分线同旁内角互补得到∠2=180°−130°=50°，进而可求出∠EPF的度数；
（2）首先根据平行线的性质得到∠PEA=∠NPE，然后根据平行线的性质得到∠FPN=∠PFC，进而可得到∠PFC=∠PEA+∠EPF；
（3）首先根据两直线平分线内错角相等得到∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG，然后根据角平分线的概念得到∠HGE=∠AEG=12∠AEP,∠HGF=∠CFG=12∠CFP，最后结合（2）的结论求解即可．
【详解】（1）解：∵AB∥PM，
∴∠1=∠AEP=40°．
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD=180°．
∵∠PFD=130°，
∴∠2=180°−130°=50°．
∴∠1+∠2=40°+50°=90°．
即∠EPF=90°．
（2）解：∠PFC=∠PEA+∠EPF．
理由：∵PN∥AB，
∴∠PEA=∠NPE，
∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，
∵PN∥AB,AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠FPN=∠PFC，
∴∠PFC=∠PEA+∠FPE．
（3）解：∵GH∥AB,AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE=∠AEG=12∠AEP,∠HGF=∠CFG=12∠CFP，
由（2）可知，∠CFP=∠FPE+∠AEP，
∴∠HGF=12(∠FPE+∠AEP)=12(α+∠AEP)，
∴∠EGF=∠HGF−∠HGE=12(α+∠AEP)−∠HGE=12α+12∠AEP−∠HGE=12α．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的概念，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
30．（陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
【答案】(1)AB∥CD，见解析
(2)平行，理由见解析
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；
（2）先求得∠EPF=90°，则EG⊥PF，由GH⊥EG即可得到结论．
【详解】（1）解：AB∥CD，
理由：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD．
（2）解：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
∵AB∥PQ,AB∥CD,
∴∠EPQ=∠BEP=12∠BEF,PQ∥CD，
∴∠FPQ=∠PFD=12∠EFD，
∴∠EPQ+∠FPQ=12(∠BEF+∠EFD),
∴∠EPF=90°，
即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题解题的关键．
7.9平行线的性质与判定（拔高篇）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题
1．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．
(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若BF⊥AC，∠2=132°，求∠AFG的度数．
2．（2022春·江苏南通·七年级校考期中）已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠C的度数．
3．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，已知AB∥CD，∠C＝∠B．
(1)求证：CF∥BD；
(2)如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝96°，求∠B的度数．
4．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，BD平分∠ABC，∠C=30°，∠ABD=75°，AE、BD交于点F．
(1)说明：AB ∥CD；
(2)如果AE∥BC，那么 可求．请从①∠AFD，②∠A中选择一项填在空格处（填写序号），并写出求解过程．
5．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）如图，点D、E、F、G在△ABC的边上，且BF∥DE，∠1＋∠2＝180°．
(1)求证：GF∥BC；
(2)若BF平分∠ABC，∠2＝138°，求∠AGF的度数．
6．（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，点E在AC上，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1+∠2=180°，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由．
7．（2022春·江苏苏州·七年级校联考期中）如图，在ΔABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：CD//EF；
(2)如果∠1=∠2，且∠3=100°，求∠ACB的度数．
8．（2023春·七年级单元测试）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2=90°，且∠2:∠3=2:5．
(1)求∠BOF的度数；
(2)试说明AB∥CD的理由．
9．（2023春·七年级单元测试）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
10．（2022·江苏·七年级假期作业）如图，点E在直线DC上，射线EF、EB分别平分∠AED、∠AEC．
(1)试判断EF、EB的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=∠5，且∠4+∠5=90°，求证：AB∥EF．
11．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
12．（2022春·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF，分别与BD、CE交于点G、H．已知∠1=52°，∠2=128°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠A=∠F，试判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．
13．（2019·江苏苏州·七年级统考期中）如图，直线AB∥CD，E、F是AB、CD上的两点，直线l与AB、CD分别交于点G、H，点P是直线l上的一个动点（不与点G、H重合），连接PE、PF．
（1）当点P与点E、F在一直线上时，∠GEP＝∠EGP，∠FHP＝60°，则∠PFD＝ ．
（2）若点P与点E、F不在一直线上，试探索∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系，并证明你的结论．
14．（2022春·江苏淮安·七年级校考期末）如图，FN交HE、MD于点A、点C，过C作射线CG交HE于点B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠ABG的度数．
15．（2022春·江苏南京·七年级校考期末）如图，在△ABC中，∠B=35°，点D在BC上，∠BAC=∠ADC，点E在AB上，
(1)若DE∥AC，求∠ADE的度数．
(2)当∠BED的度数是______时，△BDE是直角三角形．
16．（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．
(1)若∠O=40°，则∠ECF= ；
(2)求证：CG平分∠OCD；
(3)当∠O= 时，CD将∠OCF分为1︰2两部分．
17．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠EHF=80°，∠D=30°，求∠AEC的度数．
18．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，∠1=50°，∠2=130°，∠A=∠F．探索∠C与∠E的数量关系，并说明理由．
19．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在AB上，EF⊥BC，垂足为F．
(1)AD与EF平行吗？为什么？
(2)如果∠1=∠2，且∠3=110°，求∠BAC的度数．
20．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，探索这两个角的关系，并说明理由．
(1)如图（一），AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2的关系是________．
(2)如图（二），AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2的关系是________．
(3)经过上述证明，我们可以得到一个结论：________．
(4)若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别是多少度？
21．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，∠1=∠2，∠DEH+∠EHG=180°，∠C=∠A
(1)试说明：∠AEH=∠F；
(2)若∠B=40°，∠F=25°，则∠DEF=________．
22．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，BD是△ABC的角平分线，ED∥BC，交AB于点E．
(1)若∠A=44°，∠BDC=60°，求∠BED的度数；
(2)若∠A-∠ABD=31°，∠EDC=76°，求∠ADB的度数．
23．（2022春·江苏盐城·七年级统考期中）已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．
(1)∠2与∠DCB相等吗？为什么？
(2)试说明CD是△ABC的高．
24．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）如图，点E、A、F在同一条直线上，AB平分∠EAC，AD平分∠FAC．
(1)求∠BAD的度数；
(2)若直线EF∥直线MN，∠1=39°，则∠ADC=__________°
25．（浙江省杭州市采荷中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）设∠ACE=α．
(1)若α=30°，说明AB∥CE；
(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若DE∥BC，求α的度数．
26．（广东省江门市第二中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）已知，AB∥CD．
(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；
(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数．
27．（浙江省杭州市上城区建兰中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．
(1)当∠FDC+∠ABC=180°时：
①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．
②若∠ABC=130°求∠DFB的度数．
(2)当∠C=α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．
28．（广东省东莞市光明中学2021—2022学年七年级下学期期中数学试题）阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
(1)求证：EG⊥FG；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 ．
②如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ．
29．（陕西省汉中市略阳县2021-2022学年七年级上学期数学期末试题）解答下列问题
(1)（问题情景）如图1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°．过点P作PM∥AB，求∠EPF的度数；
(2)（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，用含有α的式子表示∠EGF的度数．
30．（陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
答案与解析
一、解答题
1．（2022春·江苏泰州·七年级校联考阶段练习）如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．
(1)试判断BF与DE的位置关系，并说明理由；
(2)若BF⊥AC，∠2=132°，求∠AFG的度数．
【答案】(1)BF∥DE，见解析
(2)42°
【分析】（1）根据同位角相等两直线平行可得GF∥BC，可证∠1=∠3，结合∠1+∠2=180°，可得∠3+∠2=180°，根据同旁内角互补，两直线平行即可得解；
（2）由∠2=132°得∠1=48°，继而得到∠AFG的度数．
【详解】（1）解：BF∥DE；理由如下：
∵∠AGF=∠ABC，
∴GF∥BC，
∴∠1=∠3，
又∵∠1+∠2=180°，
∴∠3+∠2=180°，
∴BF∥DE；
（2）解：∵∠1+∠2=180°，∠2=132°，
∴∠1=48°，
又∵BF⊥AC，
∴∠BFA=90°，
∴∠AFG=∠BFA−∠1=90°−48°=42°；
故∠AFG的度数为42°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解决本题的关键是平行线的判定和性质的灵活运用，解题时注意与方程思想相结合．
2．（2022春·江苏南通·七年级校考期中）已知：如图，AE⊥BC,FG⊥BC，∠CEA=∠FGB，∠D=∠ABC+50°，∠CBD=70°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠C的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)∠C=30°
【分析】（1）先证明AE∥GF，可得∠EAB=∠FGB，再证明∠CEA=∠EAB，从而可得答案；
（2）由AB∥CD，可得∠D+∠CBD+∠ABC=180°，再把∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70° 代入进行计算即可.
【详解】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴AE∥GF，
∴∠EAB=∠FGB，
∵∠CEA=∠FGB，
∴∠CEA=∠EAB，
∴AB∥CD；
（2）解：由（1）得，AB∥CD，
∴∠D+∠CBD+∠ABC=180°，
∵∠D=∠ABC+50°,∠CBD=70°，
∴∠ABC+70°+∠ABC+50°=180°
∴∠ABC=30°，
∴∠C=∠ABC=30°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，方程思想的应用，掌握“平行线的判定与性质”是解本题的关键.
3．（2022春·江苏扬州·七年级校考阶段练习）如图，已知AB∥CD，∠C＝∠B．
(1)求证：CF∥BD；
(2)如果AB是∠FAD的平分线，且∠ADB＝96°，求∠B的度数．
【答案】(1)见解析
(2)42°
【分析】（1）利用平行线的性质定理和判定定理可得结论；
（2）由∠ADB+∠FAD=180°，可得∠FAD，易得∠FAB=42°，由CF∥BD，再根据平行线的性质推出∠B=∠FAB=42°．
（1）
证明：∵AB∥CD，
∴∠C=∠FAB，
∴∠C=∠B，
∴∠B=∠FAB，
∴CF∥BD；
（2）
解：∵CF∥BD，
∴∠FAD+∠ADB=180°，
∵∠ADB=96°，
∴∠FAD=180°-96°=84°，
∵AB平分∠FAD，
∴∠FAB=12∠FAD＝12×84°=42°，
∵CF∥BD，
∴∠B=∠FAB=42°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．
4．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，BD平分∠ABC，∠C=30°，∠ABD=75°，AE、BD交于点F．
(1)说明：AB ∥CD；
(2)如果AE∥BC，那么 可求．请从①∠AFD，②∠A中选择一项填在空格处（填写序号），并写出求解过程．
【答案】(1)见解析
(2)①②，求解过程见解析
【分析】（1）由BD平分∠ABC可得∠ABC=2∠ABD=2∠DBC=150°，从而得到∠ABC+∠C=180°，即可说明AB∥CD；
（2）利用平行线的性质，可求得∠AFD，∠A的度数．
（1）
解：∵BD平分∠ABC，∠ABD=75°，
∴∠ABC=2∠DBC=2∠ABD=150°，
∵∠C=30°，
∴∠C+∠ABC=180°，
∴AB∥CD；
（2）
解：填①②．
∵BD平分∠ABC，∠ABD=75°，
∴∠DBC=∠ABD=75°，
∵AE∥BC，
∴∠DFE=∠DBC=75°，
∴∠AFD=180°-75°=105°；
∵AE∥BC，
∴∠ABC+∠A=180°，
∴∠A=180°-150°=30°．
故答案为：①或②．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
5．（2022春·江苏扬州·七年级统考期末）如图，点D、E、F、G在△ABC的边上，且BF∥DE，∠1＋∠2＝180°．
(1)求证：GF∥BC；
(2)若BF平分∠ABC，∠2＝138°，求∠AGF的度数．
【答案】(1)见解析
(2)84°
【分析】（1）根据BF∥DE，可得∠2+∠3=180°，从而得到∠1=∠3，即可求证；
（2）根据∠2＝138°，可得∠3=42°，从而得到∠ABC=84°，再由GF∥BC，即可求解．
（1）
证明：∵BF∥DE，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠1＋∠2＝180°．
∴∠1=∠3，
∴GF∥BC；
（2）
解：∵BF∥DE，
∴∠2+∠3=180°，
∵∠2＝138°，
∴∠3=42°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC=84°，
∵GF∥BC，
∴∠AGF=∠ABC=84°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等是解题的关键．
6．（2022春·江苏徐州·七年级统考期中）如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，点E在AC上，EF⊥AB，垂足为点F，若∠1+∠2=180°，则DG与BC有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】DG⊥BC；理由见解析
【分析】根据EF⊥AB，CD⊥AB，得出CD∥EF，根据平行线的性质得出∠2+∠DCE=180°，根据∠1+∠2=180°，得出∠1=∠DCE，即可得出DG∥AC，根据∠ACB=90°，即可得出结果．
【详解】解：DG⊥BC；理由如下：
∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2+∠DCE=180°，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠DCE，
∴DG∥AC，
∵∠ACB=90°，
∴∠DGB=∠ACB=90°，
∴DG⊥BC．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，熟练掌握内错角相等，两直线平行，两直线平行同旁内角互补，是解题的关键．
7．（2022春·江苏苏州·七年级校联考期中）如图，在ΔABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F．
(1)求证：CD//EF；
(2)如果∠1=∠2，且∠3=100°，求∠ACB的度数．
【答案】(1)见解析
(2)∠ACB＝100°
【分析】（1）先根据垂直的定义得到∠BFE＝∠BDC＝90°，然后根据同位角相等，两直线平行即可证明CD//EF；
（2）由于CD//EF，则∠2＝∠BCD，利用∠1＝∠2得到∠BCD＝∠1，根据内错角相等，两直线平行得到DG//BC，然后根据平行线的性质求解．
（1）
证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴∠BFE＝∠BDC＝90°，
∴CD∥EF；
（2）
解：∵CD//EF，
∴∠2＝∠BCD，
∵∠1＝∠2，
∴∠BCD＝∠1，
∴DG//BC，
∴∠ACB＝∠3＝100°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟知同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
8．（2023春·七年级单元测试）如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，已知∠1+∠2=90°，且∠2:∠3=2:5．
(1)求∠BOF的度数；
(2)试说明AB∥CD的理由．
【答案】(1)∠BOF的度数为140°
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线的定义推出∠2+∠AOC=90°，再根据对顶角性质求解即可；
（2）结合等量代换得出∠1=∠AOC，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解．
【详解】（1）解：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，
∴∠AOE=∠AOC=12∠COE，∠2=∠BOE=12∠DOE，
∵∠COE+∠DOE=180°，
∴∠2+∠AOC=90°，
∵∠COE=∠3，
∴∠AOC=12∠3，
∴∠2+12∠3=90°，
∵∠2:∠3=2:5，
∴∠3=52∠2，
∴∠2+12×52∠2=90°，
∴∠2=40°，
∴∠3=100°，
∴∠BOF=∠2+∠3=140°；
（2）解：∵∠1+∠2=90°，∠2+∠AOC=90°，
∴∠1=∠AOC，
∴AB∥CD．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，余角的性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
9．（2023春·七年级单元测试）如图，已知点O在直线AB上，射线OE平分∠AOC，过点O作OD⊥OE，G是射线OB上一点，连接DG，使∠ODG+∠DOG=90°．
(1)求证：∠AOE=∠ODG；
(2)若∠ODG=∠C，试判断CD与OE的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)CD∥OE，理由见解析
【分析】（1）由OD⊥OE得到∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，再利用等角的余角相等即可证明∠AOE=∠ODG；
（2）证明∠EOC=∠C，利用内错角相等两直线平行，即可证明CD∥OE．
【详解】（1）证明：∵OD⊥OE，
∴∠EOC+∠COD=∠AOE+∠DOG=90°，
∵∠ODG+∠DOG=90°，
∴∠AOE=∠ODG；
（2）解：CD∥OE．理由如下：
由（1）得∠AOE=∠ODG，
∵射线OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠EOC，
∵∠ODG=∠C，
∴∠EOC=∠C，
∴CD∥OE．
【点睛】本题考查了角平分线定义，垂直的定义，平行线的判定，等角的余角相等，正确识图是解题的关键．
10．（2022·江苏·七年级假期作业）如图，点E在直线DC上，射线EF、EB分别平分∠AED、∠AEC．
(1)试判断EF、EB的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=∠5，且∠4+∠5=90°，求证：AB∥EF．
【答案】(1)EB⊥EF，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据角平分线定义以及平角的定义即可求证；
（2）由等角的余角相等可证得∠2=∠5，进而可得∠2=∠A，再由内错角相等两直线平行即可证得．
(1)
解：EB⊥EF，
理由如下：
∵EB平分∠AEC，EF平分∠AED，
∴∠3=∠4=12∠AEC，∠1=∠2=12∠AED，
∵∠AED+∠AEC=180°，
∴∠BEF=∠2+∠3=12∠AED+12∠AEC=12(∠AED+∠AEC)=12×180°=90°，
∴EB⊥EF；
(2)
证明：∵∠2+∠3=90°（已证），∠4+∠5=90°（已知），
又∵∠3=∠4，
∴∠2=∠5，
∵∠A=∠5，
∴∠2=∠A，
∴AB∥EF．
【点睛】本题考查了角平分线定义，平角定义，平行线的判定，等角的余角相等，综合掌握以上知识并熟练应用是解题的关键．
11．（2022春·江苏·七年级专题练习）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AD与BC平行吗？请说明理由；
（2）AB与EF的位置关系如何？为什么？
【答案】（1）AD∥BC，理由详见解析；（2）AB∥EF，理由详见解析
【分析】（1）先根据补角的性质证明∠ADF=∠BCF，然后根据同位角相等两直线平行即可证明AD∥BC；
（2）根据BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E可证∠E=∠ABE，结论：AB∥EF， 然后根据内错角相等两直线平行即可证明AB∥EF．
【详解】（1）AD∥BC，
理由是：∵∠ADE+∠BCF＝180°，∠ADE+∠ADF＝180°，
∴∠ADF＝∠BCF，
∴AD∥BC；．
（2）AB∥EF，
理由是：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵∠ABC＝2∠E，
∴∠ABE＝∠E，
∴AB∥EF．
【点睛】本题考查了补角的性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（2022春·江苏宿迁·七年级校考期中）如图，点A在CB的延长线上，点F在DE的延长线上，连接AF，分别与BD、CE交于点G、H．已知∠1=52°，∠2=128°．
（1）求证：BD∥CE；
（2）若∠A=∠F，试判断∠C与∠D的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠C=∠D，理由见解析.
【分析】（1）根据对顶角相等得出∠DGH的度数，再由平行线的判定定理即可得出结论；
（2）先根据BD∥CE得出∠D=∠CEF，再由∠A=∠F得出AC∥DF，据此可得出结论．
【详解】（1）证明：∵∠1=∠DGH=52°，∠2=128°，
∴∠DGH+∠2=180°，
∴BD∥CE；
（2）解：∠C=∠D．
理由：∵BD∥CE，
∴∠D=∠CEF．
∵∠A=∠F，
∴AC∥DF，
∴∠C=∠CEF，
∴∠C=∠D．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
13．（2019·江苏苏州·七年级统考期中）如图，直线AB∥CD，E、F是AB、CD上的两点，直线l与AB、CD分别交于点G、H，点P是直线l上的一个动点（不与点G、H重合），连接PE、PF．
（1）当点P与点E、F在一直线上时，∠GEP＝∠EGP，∠FHP＝60°，则∠PFD＝ ．
（2）若点P与点E、F不在一直线上，试探索∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）120°；（2）①当E、F在直线l的两侧时，∠EPF＝∠AEP+∠CFP；②当E、F在直线l的同侧时，∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°.
【分析】（1）根据平行线的性质和邻补角定义计算可得结论；
（2）分两种情况
①当E、F在直线l的两侧时，∠EPF＝∠AEP+∠CFP，
②当E、F在直线l的同侧时，∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°，分别根据平行线的性质证明可得结论．
【详解】（1）如图1，
∵AB∥CD，
∴∠GEP＝∠PFH，∠EGP＝∠PHF＝60°，
∵∠GEP＝∠EGP，
∴∠PFH＝60°，
∴∠PFD＝180°﹣60°＝120°，
故答案为120°；
（2）分两种情况：
①当E、F在直线l的两侧时，∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由是：
如图2，过P作PQ∥AB，
∵AB∥C，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP＝∠EPQ，∠CFP＝∠FPQ，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠AEP+∠CFP，
即∠EPF＝∠AEP+∠CFP；
②当E、F在直线l的同侧时，∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°，理由是：
如图3，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP+∠EPQ＝180°，∠CFP+∠FPQ＝180°，
∴∠EPQ+∠FPQ+∠AEP+∠CFP＝360°，
即∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，熟练掌握平行线的性质是关键．
14．（2022春·江苏淮安·七年级校考期末）如图，FN交HE、MD于点A、点C，过C作射线CG交HE于点B．若∠EAF＝∠NCM＝∠MCB＝45°．
(1)求证：AB∥CD；
(2)求∠ABG的度数．
【答案】(1)证明见解析；
(2)135°
【分析】（1）由对顶角相等得到∠NCM＝∠FCD，即可得到∠EAF＝∠FCD，即可判定AB∥CD；
（2）由平角的定义得到∠BCD＝180°−∠MCB＝135°，再根据平行线的性质即可得解．
（1）
证明：∵∠EAF＝∠NCM，∠NCM＝∠FCD，
∴∠EAF＝∠FCD，
∴AB∥CD；
（2）
解：∵∠MCB＋∠BCD＝180°，∠MCB＝45°，
∴∠BCD＝180°−∠MCB＝135°，
由（1）知，AB∥CD，
∴∠ABG＝∠BCD，
∠ABG＝135°，
故∠ABG的度数是135°．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
15．（2022春·江苏南京·七年级校考期末）如图，在△ABC中，∠B=35°，点D在BC上，∠BAC=∠ADC，点E在AB上，
(1)若DE∥AC，求∠ADE的度数．
(2)当∠BED的度数是______时，△BDE是直角三角形．
【答案】(1)35°
(2)90°或55°
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠BED=∠BAC，再根据三角形外角等于和它不相邻的两个内角和即可得∠ADE=∠B=35°；
（2）根据直角三角形两个锐角互余可得∠BED=90°−35°=55°，然后利用直角三角形定义即可得结论．
（1）
∵DE∥AC，
∴∠BED=∠BAC，
∵∠BAC=∠ADC，
∴∠BED=∠ADC，
∵∠BED=∠EAD+∠ADE，∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠ADE=∠B=35°；
（2）
当∠BED的度数是90°或55°时，△BDE是直角三角形．
理由如下：
当∠BED的度数是90°时，△BDE是直角三角形．
当∠BDE=90°，
∴∠BED=90°−35°=55°时，△BDE是直角三角形．
故答案为：90°或55°．
【点睛】本题考查了三角形的外角的性质定理，平行线的性质，解决本题的关键是掌握三角形的外角的性质定理．
16．（2022春·江苏南通·七年级校考阶段练习）已知：如图，点C在∠AOB的一边OA上，过点C的直线DE∥OB，CF平分∠ACD，CG⊥CF于C．
(1)若∠O=40°，则∠ECF= ；
(2)求证：CG平分∠OCD；
(3)当∠O= 时，CD将∠OCF分为1︰2两部分．
【答案】(1)110°；
(2)见解析；
(3)36°或90°．
【分析】（1）根据平行线的性质，得到∠ACE=40°，根据平角的定义以及角平分线的定义，即可得到∠ACF=70°，进而得出∠ECF的度数；
（2）根据∠DCG+∠DCF=90°，∠GCO+∠FCA=90°，以及∠ACF=∠DCF，运用等角的余角相等，即可得到∠GCO=∠GCD，即CG平分∠OCD；
（3）当∠O=36°时，根据平行线的性质，得出∠DCO=∠O=36°，再根据角平分线的定义，即可得到∠DCF=72°，据此可得2∠DCO=∠DCF．同理：当当∠O=90°时，可得∠DCO=2∠DCF．
（1）
解：∵DE∥OB，
∴∠O=∠ACE（两直线平行，同位角相等），
∵∠O=40°，
∴∠ACE=40°，
∵∠ACD+∠ACE=180°（平角定义），
∴∠ACD=140°，
又∵CF平分∠ACD，
∴∠ACF=70°（角平分线定义），
∴∠ECF=70°+40°=110°；
故答案为：110°；
（2）
证明：∵CG⊥CF，
∴∠FCG=90°，
∴∠DCG+∠DCF=90°，
又∵∠AOC=180°（平角定义），
∴∠GCO+∠FCA=90°，
∵∠ACF=∠DCF，
∴∠GCO=∠GCD（等角的余角相等），
即CG平分∠OCD．
（3）
解：当∠O=36°时，CD将∠OCF分为1：2两部分．
当∠O=36°时，
∵DE∥OB，
∴∠DCO=∠O=36°．
∴∠ACD=144°．
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF=72°，
∴2∠DCO=∠DCF．
当∠O=90°时，CD将∠OCF分为1：2两部分．
当∠O=90°时，
∵DE∥OB，
∴∠DCO=∠O=90°．
∴∠ACD=90°．
又∵CF平分∠ACD，
∴∠DCF=45°，
∴∠DCO=2∠DCF，
故答案为：36°或90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解题时注意：两直线平行，同位角相等，内错角相等．
17．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD．
(1)求证：AB∥CD；
(2)若∠EHF=80°，∠D=30°，求∠AEC的度数．
【答案】(1)见解析
(2)70°
【分析】（1）先证明CE∥FG，证明∠FGD=∠EFG，得证AB∥CD．
（2）先根据三角形内角和定理计算∠FGD=70°，再根据AB∥CD，得∠FGD=∠AFG=70°，根据CE∥FG，得∠AEC=∠AFG=70°．
（1）
因为∠CED=∠GHD，
所以CE∥FG，
所以∠C=∠FGD，
因为∠C=∠EFG，
所以∠FGD=∠EFG，
所以AB∥CD．
（2）
因为∠EHF=80°=∠GHD，
根据三角形内角和定理，得
∠FGD=180°-∠EHF-∠D=180°-30°-80°=70°，
因为AB∥CD，
所以∠FGD=∠AFG=70°，
因为CE∥FG，
所以∠AEC=∠AFG=70°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键．
18．（2022春·江苏泰州·七年级校考阶段练习）如图，∠1=50°，∠2=130°，∠A=∠F．探索∠C与∠E的数量关系，并说明理由．
【答案】∠C=∠E；理由见解析
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解:∠C=∠E，理由如下，如图：
∵∠1=∠3=50°，∠2=130°
∴∠3+∠2=180°
∴BF∥AD
∴∠A=∠CBF
∵∠A=∠F
∴∠CBF=∠F
∴AC∥EF
∴∠C=∠E．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质,熟记“同旁内角互补，两直线平行”、“同位角相等，两直线平行”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
19．（2022春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在AB上，EF⊥BC，垂足为F．
(1)AD与EF平行吗？为什么？
(2)如果∠1=∠2，且∠3=110°，求∠BAC的度数．
【答案】(1)AD与EF平行，理由见解析
(2)110°
【分析】（1）根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行可判断AD∥EF；
（2）根据平行线的性质由AD∥EF得∠2=∠BAD，而∠1=∠2，所以∠1=∠BAD，则可根据平行线的判定方法得到AB∥DG，然后利用平行线的性质得∠BAC=∠3=110°．
（1）
解：AD与EF平行．
理由如下：
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF；
（2）
∵AD∥EF，
∴∠2=∠BAD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BAD，
∴AB∥DG，
∴∠BAC=∠3，
∵∠3=110°，
∴∠BAC=110°．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，掌握平行线的判定与性质，并能熟练运用是解题的关键．
20．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，探索这两个角的关系，并说明理由．
(1)如图（一），AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2的关系是________．
(2)如图（二），AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2的关系是________．
(3)经过上述证明，我们可以得到一个结论：________．
(4)若两个角的两边分别平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别是多少度？
【答案】(1)相等
(2)互补
(3)结论见解析
(4)30°，30°或70°，110°
【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得出结论；
（2）根据两直线平行，同位角相等，得到∠1=∠3，再根据对顶角相等，得到∠3=∠4，进而得到∠1=∠4，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；
（3）通过（1）、（2）小题，即可得出结论；
（4）分情况讨论，当两个角相等时，即x=2x−30，即可得出角的度数，当两个角互补时，即x+2x−30=180，即可得出角的度数．
（1）
解：∵AB∥EF，
∴∠1=∠3，
又∵BC∥DE，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴∠1与∠2相等，
（2）
解：∵AB∥EF，
∴∠1=∠3，
又∵∠3=∠4（对顶角相等），
∴∠1=∠4，
又∵BC∥DE，
∴∠2+∠4=180°，
∴∠2+∠1=180°，
∴∠1与∠2互补，
（3）
经过上述证明，我们可以得到一个结论：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．
（4）
设其中一个角为x°，
当两个角相等时，即x=2x−30，
解得x=30，
2x−30=30，
当两个角互补时，即x+2x−30=180，
解得x=70，
2x−30=110，
答：这两个角分别是30°，30°或70°，110°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、等量代换等知识点，解本题的关键在熟练掌握平行线的性质．
21．（2022春·江苏镇江·七年级统考期中）如图，∠1=∠2，∠DEH+∠EHG=180°，∠C=∠A
(1)试说明：∠AEH=∠F；
(2)若∠B=40°，∠F=25°，则∠DEF=________．
【答案】(1)见解析
(2)85°
【分析】（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
（1）
解：∵∠DEH+∠EHG=180°
∴DE∥AC
∴∠1=∠C，∠2=∠DGC
∵∠C=∠A，∠1=∠2
∴∠A=∠DGC
∴AB∥DF
∴∠AEH=∠F
（2）
解：∵AB∥DF，
∴∠CDF=∠B=40°，
∵∠1+∠2+∠CDF=180°，∠1=∠2，
∴∠1=∠2=70°，
∵∠F=25°，∠F+∠2+∠DEF=180°，
∴∠DEF=180°-25°-70°=85°．
故答案为：85°．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
22．（2022春·江苏盐城·七年级校联考期中）如图，BD是△ABC的角平分线，ED∥BC，交AB于点E．
(1)若∠A=44°，∠BDC=60°，求∠BED的度数；
(2)若∠A-∠ABD=31°，∠EDC=76°，求∠ADB的度数．
【答案】(1)148°
(2)119°
【分析】（1）如图，根据邻补角的定义、△ABD内角和定理以及平行线的性质进行计算；
（2）根据平行线的性质求得∠C=104°；然后利用三角形内角和定理和已知条件易求∠1=∠2=15°，所以根据三角形外角的性质易求∠ADB的度数．
（1）
解：如图，∵∠BDC=60°，
∴∠ADB=120°．
又∵∠A=44°，
∴∠2=180°-44°-120°=16°．
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2=16°．
又ED//BC，
∴∠BED+2∠1=180°，
∴∠BED=180°-32°=148°；
（2）
∵ED//BC，
∴∠EDC+∠C=180°．
又∵∠EDC=76°，
∴∠C=104°．
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠1=∠2．
∵∠A-∠2=31°，∠A+2∠2+∠C=180°
∴∠1=∠2=15°，
∴∠ADB=∠1+∠C=119°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质．此题综合性比较强，需要学生对知识有一系统的掌握．
23．（2022春·江苏盐城·七年级统考期中）已知，如图，∠1=∠ACB，∠2=∠3，FH⊥AB于H．
(1)∠2与∠DCB相等吗？为什么？
(2)试说明CD是△ABC的高．
【答案】(1)∠2=∠DCB，理由见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行得到DE//BC，再根据两直线平行，同位角相等证明结论；
（2）根据平行线的性质得到CD⊥AB，根据三角形的概念证明即可．
【详解】（1）∠2=∠DCB，
理由如下：∵∠1=∠ACB，
∴DE∥BC，
∴∠2=∠DCB；
（2）∵∠2=∠3，∠2=∠DCB，
∴∠3=∠DCB，
∴HF∥CD，
∵FH⊥AB，
∴CD⊥AB，即CD是ΔABC的高．
【点睛】本题考查的是平行线的判定和性质、三角形的高的概念，掌握平行线的判定定理是解题的关键．
24．（2022春·江苏镇江·七年级统考期末）如图，点E、A、F在同一条直线上，AB平分∠EAC，AD平分∠FAC．
(1)求∠BAD的度数；
(2)若直线EF∥直线MN，∠1=39°，则∠ADC=__________°
【答案】(1)90°
(2)51
【分析】（1）根据角平分线的定义及平角的概念进行求解；
（2）根据角平分线的定义及平行线的性质进行求解．
(1)
∵ AB平分∠EAC， AD平分∠FAC
∴∠2=12∠EAC， ∠3=12∠FAC
∵∠EAC+∠FAC=180°
∴∠2+∠3=12(∠EAC+∠FAC)=90°
即∠BAD=90°
(2)
解：∵AB平分∠EAC，AD平分∠FAC
∴∠2=∠1=39°，∠3=∠FAD，
∴∠3=∠FAD=12×(180°−78°)=51°，
∵EF//MN
∴∠FAD=∠ADC=51°，
故答案为：51；
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，解题的关键是掌握相应的性质定理，利用等量代换的思想求解．
25．（浙江省杭州市采荷中学教育集团2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）将一副三角板中的两块直角三角尺顶点C按照如图①方式叠放在一起（其中∠ABC=∠CDE=90°，∠ACB=60°，∠A=30°，∠E=∠ECD=45°）设∠ACE=α．
(1)若α=30°，说明AB∥CE；
(2)将三角形CDE绕点C顺时针转动，若DE∥BC，求α的度数．
【答案】(1)见解析
(2)15°或165°
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）分两种情形：如图②中，当DE∥CE时，如图③中，当DE∥BC时，分别求解即可．
【详解】（1）解：如图①中，
∵∠ACE=α=30°，∠A=30°，
∴∠ACE=∠A，
∴AB∥CE；
（2）解：如图②中，当DE∥CE时，则∠BCE=∠E=45°，
∴α=∠ACE=∠ACB−∠BCE=60°−45°=15°；
如图③中，当DE∥BC时，则∠BCD=∠D=90°，
∴α=∠ACE=360°−∠ACB−∠ECD−∠BCD=360°−60°−45°−90°=165°．
综上所述，α的值为15°或165°．
【点睛】本题考查旋转的性质，平行线的性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
26．（广东省江门市第二中学2021-2022学年七年级下学期期中考试数学试题）已知，AB∥CD．
(1)如图1，求证：∠A﹣∠C＝∠E；
(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)150°
【分析】（1）过点E作EF∥AB于点F，先根据平行线的性质可得∠A=180°−∠AEF，再根据平行公理推论可得EF∥CD，然后根据平行线的性质可得∠C=180°−∠CEF，最后计算∠A−∠C即可得证；
（2）过点F作FG∥CE于点G，先根据平行线的性质可得∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，从而可得∠CEF+∠ECF=75°，再根据角平分线的定义可得∠AEC+∠ECD=150°，然后根据（1）的结论即可得．
（1）
证明：如图，过点E作EF∥AB于点F，
∴∠A=180°−∠AEF，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠C=180°−∠CEF，
∴∠A−∠C=180°−∠AEF−180°−∠CEF=∠AEC．
（2）
解：如图，过点F作FG∥CE于点G，
∴∠EFG=180°−∠CEF，∠CFG=∠ECF，
∵∠EFC=105°，
∴∠EFG−∠CFG=180°−∠CEF−∠ECF=105°，
解得∠CEF+∠ECF=75°，
∵EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，
∴∠AEC=2∠CEF,∠ECD=2∠ECF，
∴∠AEC+∠ECD=2∠CEF+∠ECF=150°，
由（1）已得：∠A−∠ECD=∠AEC，
∴∠A=∠AEC+∠ECD=150°．
【点睛】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
27．（浙江省杭州市上城区建兰中学2021-2022学年七年级下学期期中数学试题）如图，已知C为两条相互平行的直线AB，ED之间一点，∠ABC和∠CDE的角平分线相交于F．
(1)当∠FDC+∠ABC=180°时：
①判断直线AD与BC的关系，并说明理由．
②若∠ABC=130°求∠DFB的度数．
(2)当∠C=α时，直接写出∠DFB的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】(1)①AD∥BC；理由见解析；②∠DFB＝115°
(2)∠DFB＝180°−12α
【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠EDF＝∠DAB，根据角平分线的定义得到∠EDF＝∠ADC，根据平行线的判定定理即可得到结论；
②根据角平分线的定义可求∠CBF，再根据平行线的性质可求∠DFB；
（2）作CG∥AB，根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCD＝360°−2∠DFB，即可得到结论．
（1）
解：①AD∥BC，理由如下：
∵ED∥AB，
∴∠EDF＝∠DAB，
∵DA是∠CDE的角平分线，
∴∠EDF＝∠ADC，
∴∠DAB＝∠ADC，
∵∠FDC＋∠ABC＝180°，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
②∵BE是∠ABC的角平分线，∠ABC＝130°，
∴∠FBC＝65°，
∵AD∥BC，
∴∠DFB＝180°−∠FBC＝115°．
（2）
作CG∥AB，如图所示：
∵AB∥DE，
∴CG∥AB∥DE，
∴∠1＝180°−∠EDC，
∠2＝180°−∠ABC，
∴∠BCD＝∠1＋∠2
＝180°−∠EDC＋180°−∠ABC
＝180°−2∠EDA＋180°−2∠ABF
＝180°−2∠DAB＋180°−2∠ABF
＝360°−2（∠DAB＋∠ABF）
＝360°−2∠DFB
＝α
∴∠DFB＝180°−12α．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理的应用，作出辅助线，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．
28．（广东省东莞市光明中学2021—2022学年七年级下学期期中数学试题）阅读下面内容，并解答问题．
已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．
(1)求证：EG⊥FG；
(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．
①在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，则∠EMF的度数为 ．
②如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，则∠EOF与∠EPF满足的数量关系为 ．
【答案】(1)见解析
(2)①45°；②结论：∠EOF=2∠EPF
【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；
（2）①利用基本结论∠EMF=∠BEM+∠MFD求解即可；②利用基本结论∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，求解即可．
【详解】（1）证明：如图，过G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥GH∥CD，
∴∠BEG=∠EGH，∠DFG=∠FGH，
∴∠BEF+∠DFE=180°，
∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，
∴∠GEB=12∠BEF，∠GFD=12∠DFE，
∴∠GEB+∠GFD=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=90°，
在ΔEFG中，∠GEF+∠GFE+∠G=180°，
∴∠EGF=∠GEB+∠GFD=90°，
∴EG⊥FG；
（2）解：①如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG=90°，
∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，
∴∠BEM+∠MFD=12(∠BEG+∠DFG)=45°，
∴∠EMF=∠BEM+∠MFD=45°，
故答案为：45°；
②结论：∠EOF=2∠EPF．
理由：如图3中，由题意，∠EOF=∠BEO+∠DFO，∠EPF=∠BEP+∠DFP，
∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，
∴∠BEO=2∠BEP，∠DFO=2∠DFP，
∴∠EOF=2∠EPF，
故答案为：∠EOF=2∠EPF．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．
29．（陕西省汉中市略阳县2021-2022学年七年级上学期数学期末试题）解答下列问题
(1)（问题情景）如图1，若AB∥CD，∠AEP=40°，∠PFD=130°．过点P作PM∥AB，求∠EPF的度数；
(2)（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，点E，F分别在AB，CD上，连接PE，PF，过P点作PN∥AB，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；
(3)（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF=α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，过点G作GH∥AB，用含有α的式子表示∠EGF的度数．
【答案】(1)90°
(2)∠PFC=∠PEA+∠EPF，理由见解析
(3)12α
【分析】（1）根据两直线平行内错角相等求出∠1=∠AEP=40°，根据两直线平分线同旁内角互补得到∠2=180°−130°=50°，进而可求出∠EPF的度数；
（2）首先根据平行线的性质得到∠PEA=∠NPE，然后根据平行线的性质得到∠FPN=∠PFC，进而可得到∠PFC=∠PEA+∠EPF；
（3）首先根据两直线平分线内错角相等得到∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG，然后根据角平分线的概念得到∠HGE=∠AEG=12∠AEP,∠HGF=∠CFG=12∠CFP，最后结合（2）的结论求解即可．
【详解】（1）解：∵AB∥PM，
∴∠1=∠AEP=40°．
∵AB∥CD，
∴PM∥CD，
∴∠2+∠PFD=180°．
∵∠PFD=130°，
∴∠2=180°−130°=50°．
∴∠1+∠2=40°+50°=90°．
即∠EPF=90°．
（2）解：∠PFC=∠PEA+∠EPF．
理由：∵PN∥AB，
∴∠PEA=∠NPE，
∵∠FPN=∠NPE+∠FPE，
∴∠FPN=∠PEA+∠FPE，
∵PN∥AB,AB∥CD，
∴PN∥CD，
∴∠FPN=∠PFC，
∴∠PFC=∠PEA+∠FPE．
（3）解：∵GH∥AB,AB∥CD，
∴GH∥AB∥CD，
∴∠HGE=∠AEG,∠HGF=∠CFG，
又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，
∴∠HGE=∠AEG=12∠AEP,∠HGF=∠CFG=12∠CFP，
由（2）可知，∠CFP=∠FPE+∠AEP，
∴∠HGF=12(∠FPE+∠AEP)=12(α+∠AEP)，
∴∠EGF=∠HGF−∠HGE=12(α+∠AEP)−∠HGE=12α+12∠AEP−∠HGE=12α．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线的概念，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
30．（陕西省汉中市镇巴县2021-2022学年七年级上学期期末考试数学试卷）如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1+∠2=180°．
(1)试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，延长EP交CD于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，过点P作PQ∥AB，则PF与GH平行吗？为什么？
【答案】(1)AB∥CD，见解析
(2)平行，理由见解析
【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行即可得到结论；
（2）先求得∠EPF=90°，则EG⊥PF，由GH⊥EG即可得到结论．
【详解】（1）解：AB∥CD，
理由：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠AEF，∠2=∠CFE，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∴AB∥CD．
（2）解：由（1）知，AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°．
∵AB∥PQ,AB∥CD,
∴∠EPQ=∠BEP=12∠BEF,PQ∥CD，
∴∠FPQ=∠PFD=12∠EFD，
∴∠EPQ+∠FPQ=12(∠BEF+∠EFD),
∴∠EPF=90°，
即EG⊥PF．
∵GH⊥EG，
∴PF∥GH．
【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，灵活应用平行线的判定和性质是解题解题的关键．
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