2023届福建省福州第十一中学高三上学期期末线上适应性训练数学试题（解析版）

这是一份2023届福建省福州第十一中学高三上学期期末线上适应性训练数学试题（解析版），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届福建省福州第十一中学高三上学期期末线上适应性训练数学试题

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式求出，，从而求出交集.
【详解】，
，解得：，
所以，
故.
故选：A
2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘除运算将复数化为代数形式，然后求出对应点的坐标，再判断对应点的象限即可.
【详解】，其对应点的坐标为位于第一象限.
故选：A
3．的展开式中，的系数等于（    ）
A． B． C．10 D．45
【答案】D
【分析】由二项式展开式的通项公式即可求出的系数.
【详解】的通项为，
令，解得，
所以项的系数为：.
故选：D
4．目前，国际上常用身体质量指数BMI来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．某公司对员工的BMI值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.
【详解】设公司男、女员工的人数分别为和，
则男员工中，肥胖者有人，
女员工中，肥胖者有人，
设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，
则，，
则.
故选：D.
5．如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若，则A的值等于（    ）

A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】先求出周期，再根据求，最后根据点和即可求.
【详解】由图可知：，得，所以，
将代入方程得：，，
又，,
，，所以，
，，

解得：或（舍）.
故选：B
6．已知抛物线C的焦点为F，准线为l，过F的直线m与C交于A、B两点，点A在l上的投影为D，若，则（    ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】结合图像，分析出点为的中点，从而利用抛物线的定义即可求得结果.
【详解】过点作，垂足为，作，垂足为，如图，
.
又因为，所以四边形为矩形，所以，
因为，，所以点为的中点，
所以，故，
由抛物线的定义可得，，所以，即.
故选：B.
7．已知矩形ABCD中，，将沿BD折起至，当与AD所成角最大时，三棱锥的体积等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断当与所成角最大时，，进而证得面，再证得是直角三角形，故可由求得结果.
【详解】因为异面直线最大角为直角，故当时，与所成角最大，
因为四边形是矩形，所以，
又，，面，
故面，又因为面，所以，
在中，，所以，
又，所以，故，
所以.
故选：C.

8．已知定义在上的奇函数满足，当时，．若与的图象交于点、、、，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析可知函数是以为周期的周期函数，且直线是函数图象的一条对称轴，点是函数图象的一个对称中心，直线关于点对称，作出图形，结合对称性可求得结果.
【详解】由题意可得，所以，，
故函数是以为周期的周期函数，且直线是函数图象的一条对称轴，
且，故点是函数图象的一个对称中心，
作出函数的图象如下图所示：

且当时，；当时，.
且直线关于点对称，
由图可知，直线与曲线有个不同的公共点，
故，，
因此，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题的关键在于分析函数的对称性与周期性，利用图象并结合对称性来处理.

二、多选题
9．已知直线与圆交于A，B两点，点M为圆C上的一动点，点，记M到l的距离为d，则（    ）
A． B．d的最大值为
C．是等腰三角形 D．的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，根据垂径定理以及弦长公式，可得答案；
对于B，根据题意作图，结合圆上点与直线的位置关系，可得答案；
对于C，求弦的中垂线的直线方程，根据中垂线的性质，可得答案；
对于D，由题意，作图，根据线段组合，求得答案.
【详解】对于A，由圆，可得，半径为，
点到直线的距离为，则，故A正确；
对于B，由题意，可作下图：

点为弦的中点，直线，则，故B错误；
对于C，由选项B与题意，如下图：

易知，，则直线的斜率，
由，则直线的斜率，由，
则直线的方程为，则，
即点在直线上，为的中垂线，是等腰三角形，
故C正确；
对于D，由题意，可作图：

则，显然，则，
故D正确；
故选：ACD.
10．某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（    ）
A．这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”
B．这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏
C．该校约有5%的学生迷恋电子游戏
D．该校约有2%的学生迷恋电子游戏
【答案】AC
【分析】先由题意计算出回答问题一的人数50人，再计算出回答问题一“是”的人数25人，故可得到回答问题二“是”的人数5人,最后逐一分析四个选项即可.
【详解】由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3的倍数的概率为，故理论上回答问题一的人数为人.掷出点数为奇数的概率为，理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”，故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.
对于A, 抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A正确.
对于B, 抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B错.
对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，有5名学生回答“是”， 故该校迷恋电子游戏的学生约为，故C正确.
对于D,由C可知该校迷恋电子游戏的学生约为，故D错.
故选：AC.
11．设函数，则下列判断正确的是（　　）
A．存在两个极值点
B．当时，存在两个零点
C．当时，存在一个零点
D．若有两个零点，则
【答案】BD
【分析】利用导数与极值点的关系可判断A，利用与图像结合条件可判断BC，根据零点的概念结合不等式的性质可判断D.
【详解】因为函数的定义域为，
，
设，，
且方程的两根之积为，
在上有一个正根，设为，
在上，，函数单调递增，
在上，，函数单调递减，
所以存在一个极大值点，A错误；
令，即，
函数的零点即为与的交点，
如图所示：

函数图像与轴的交点为，
当时，与有两个不同的交点，即存在两个零点，B正确；
当时，与有两个不同的交点，
所以当时，存在一个零点，此说法不正确，C错误；
若有两个零点，假设，
则有
即
两式相减得：，
，则，
，，
所以，即，D正确.
故选：BD.
12．已知正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（    ）
A．平面 B．球的表面积为
C．的最小值为 D．与平面所成角的最大值为60°
【答案】ACD
【分析】对于A，利用平行四边形证得，进而证得平面；
对于B，先假设的位置，利用勾股定理与半径相等得到及，解得，进而确定的位置，故可求得球的表面积为；
对于C，先判断落上，再进一步判断与重合时，取得最小值为；
对于D，利用面面垂直的性质作出面，故为与平面所成角，再利用得知当与重合时，取得最大值，再利用对顶角相等求得此时，进而得到的最大值为.
【详解】对于A，如图1，
由棱台的结构特征易知与的延长线必交于一点，故共面，
又面面，而面面，面面，故，即；
由平面几何易得，即；
所以四边形是平行四边形，故，
而面，面，故平面，故A正确；
.
对于B，如图2，设为的中点，为正四棱台外接球的球心，则，
在等腰梯形中，易得，即，
为方便计算，不妨设，则由，
即，即，又，
解得，即与重合，故，
故球的表面积为，故B错误；
.
对于C，由图2易得，，，面，
故面，
不妨设落在图3处，过作，则面，故，
故在中，（勾股边小于斜边）；同理，，
所以，故动点只有落在上，才有可能取得最小值；
再看图4，由可知，

故，故C正确，
.
对于D，由选项C可知，面，面，故面面，
在面内过作交于，如图5，
则面，面面，故面，故为与平面所成角，
在中，，故当取得最小值时，取得最大值，即取得最大值，
显然，动点与重合时，取得最小值，即取得最大值，且，
在中，，，，故为正三角形，即，即与平面所成角的最大值为，故D正确.
故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于确定的位置，先假设在外（记为），由勾股边小于斜边推得，进而得到只有落在上，再利用为定值及基本不等式，推得与重合时，取得最小值；对于动点，我们一般要考虑特殊位置，可提高我们做题速度.

三、填空题
13．设，为单位向量，且，则___________.
【答案】
【分析】根据，是单位向量以及，求出的值，通过求解即可得到的值.
【详解】解：由题意，，为单位向量，且
∴
解得：
∵
∴
故答案为：.
14．曲线在处的切线方程为 _____．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义即得.
【详解】因为，
所以，
当时，，，
故切线方程为：，即.
故答案为：.
15．已知等比数列的公比，，，则_____________.
【答案】
【分析】根据已知条件求出和的值，得到公比，即可求出的表达式．
【详解】解：在等比数列中，公比，，
，解得：．
∵，∴解得：或．
当时，；
当时，，不合题意，舍去．
∴，此时，解得：．
∴．
故答案为：.
16．在平面直角坐标系xOy中，已知为双曲线的左、右焦点，为C的左、右顶点，P为C左支上一点，若PO平分，直线与的斜率分别为，且，则C的离心率等于_______．
【答案】2
【分析】根据角平分线和三角形面积的关系得出，再根据斜率的关系得出，又有，从而可求出，最后根据即可求得离心率.
【详解】如图所示：，，

易知：，
而，
又，所以有，
过点作轴，垂足为，
因为，所以和关于对称，
即有，，
又因为，解得：，
，，
设直线的倾斜角为，则，，
所以在Rt中，，即，
化简得：，即离心率.
故答案为：2

四、解答题
17．已知数列各项均为正数，且．
(1)求的通项公式
(2)设，求．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由题知，进而得为等差数列，再根据等差数列通项公式求解即可；
（2）结合（1），根据分组并项求和法求即可即可.
【详解】（1）解：因为
所以，，
因为数列各项均为正数，即，
所以，，即数列为等差数列，公差为，首项为.
所以
（2）解：由（1）知，其公差为，
所以，
所以，
18．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知
(1)求A；
(2)若，求的周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据正弦定理即可求得角；
（2）利用三角函数求值域求周长的取值范围.
【详解】（1），
，
由正弦定理得：
，
又，所以，
所以.
（2）由正弦定理得：，
所以
，
，，
所以，所以，
所以周长.
19．如图，三棱柱的所有棱长都为2，，.

(1)求证：平面⊥平面；
(2)在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若不存在，请说明理由：若存在，求的长.
【答案】(1)证明见详解.
(2)在棱上存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，
的长为.

【分析】（1）取中点连接．证明平面．得，计算出后由勾股定理逆定理得，从而可得平面，得证面面垂直．
（2）假设在棱上是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，由共线得，用空间向量法求二面角的余弦，从而可得，进一步求出的长.
【详解】（1）证明：取中点连接，如图所示：

因为三棱柱的所有棱长都为2，
所以，
又因为且平面，
所以平面，
又因为平面，
所以．
在直角三角形中，，
所以，
在三角形中，，
所以，
所以，
又因为平面
所以平面．
又因为平面，
所以平面平面．
（2）假设在棱上存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，
则以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
因此，，．
因为点在棱上，
则设，其中．
则
设平面的法向量为，
由得，取
所以平面的一个法向量为．
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
化简得解得，
所以，
所以在棱上存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，
此时的长为.
【点睛】方法点睛：本题考查证明面面垂直，由线面角确定点的位置．掌握面面垂直、线面垂直、线线垂直的相互转化是证明垂直的关键．求线面角常用方法：
（1）定义法：作出直线与平面所成的角并证明，然后在直角三角形中计算可得；
（2）向量法：建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦的绝对值等于直线与平面所成角的正弦值计算．
20．武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.
（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：

现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在内的人数为，求；
（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：
劳动节当日客流量



频数（年）
2
4
4

以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.
该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：
劳动节当日客流量



型游船最多使用量
1
2
3

若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大？
【答案】（1）；（2）投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大
【分析】（1）首先计算出在，内抽取的人数，然后利用超几何分布概率计算公式，计算出.
（2）分别计算出投入艘游艇时，总利润的期望值，由此确定当日游艇投放量.
【详解】（1）年龄在内的游客人数为150，年龄在内的游客人数为100；若采用分层抽样的方法抽取10人，则年龄在内的人数为6人，年龄在内的人数为4人.
可得.
（2）①当投入1艘型游船时，因客流量总大于1，则（万元）.
②当投入2艘型游船时，
若，则，此时；
若，则，此时；
此时的分布列如下表：

2.5
6




此时（万元）.
③当投入3艘型游船时，
若，则，此时；
若，则，此时；
若，则，此时；
此时的分布列如下表：

2
5.5
9





此时（万元）.
由于，则该游船中心在2020年劳动节当日应投入3艘型游船使其当日获得的总利润最大.
【点睛】本小题主要考查分层抽样，考查超几何分布概率计算公式，考查随机变量分布列和期望的求法，考查分析与思考问题的能力，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
21．已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF．
(1)求C的方程；
(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．
【答案】(1)
(2)过定点；证明过程见详解

【分析】（1）由题可得，结合条件可知，将点的坐标代入椭圆的方程，即可得解；
（2）设点，求出点的坐标，写出直线的方程，结合条件变形即得.
【详解】（1）设点，其中，则，
因为椭圆过点，则，
将点的坐标代入椭圆的方程得，
所以，解得，
因此椭圆的标准方程为；
（2）设点， 则，所以直线的垂线的斜率为，
由题可知，故直线的方程为，
在直线的方程中，令，可得，即点，
所以直线的方程为，
即，
因为，所以，
所以，
所以，
所以直线过定点．

【点睛】求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
22．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)若在有两个极值点，求证：．
【答案】(1)当时，在上单调递增；
当或时，在上单调递减，
在和上单调递增.
(2)见解析

【分析】（1）由题意，求导，根据含参二次函数的性质，由判别式进行分类讨论，可得答案；
（2）由题意，根据极值点与导数零点的关系，结合韦达定理，化简不等式以及明确参数的取值范围，构造函数，求导研究新函数的单调性，可得答案.
【详解】（1）由，
求导得，
易知恒成立，故看的正负，即由判别式进行判断，
①当时，即，，则在上单调递增；
②当时，即或，
令时，解得或，
当时，，
则在上单调递减；
当或，，
则在和上单调递增；
综上所述，当时，在上单调递增；
当或时，在上单调递减，
在和上单调递增.
（2）在上由两个极值点，
或，且为方程的两个根，即，，
，，即，



将，代入上式，可得：
，
由题意，需证，令，
求导得，
当时，，则在上单调递减，即，
故.