2023届福建省福州格致中学高三上学期期中线上数学适应性训练试题含解析

2023届福建省福州格致中学高三上学期期中线上数学适应性训练试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先化简集合，再由交集并集的定义可判断AB，有子集的定义可判断CD

【详解】因为，

，

所以，故A错误；

，故B错误；

，故C错误，D正确；

故选：D

2．复数的实部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用复数乘方运算、除法运算求出复数z即可作答.

【详解】因，则，

所以的实部为．

故选：D

3．如图是一款多功能粉碎机的实物图，它的进物仓为正四棱台，已知该四棱台的上底面棱长为40，下底面棱长为20，侧棱长为20，则该款粉碎机进物仓的体积为（    ）

A．14000 B．2800 C． D．

【答案】D

【分析】先画出满足题意的正四棱台，过点作于点，过点作于点，根据正棱台的结构特征，求出该棱台的高，再根据棱台的体积公式，即可求出结果.

【详解】画出满足题意的正四棱台如下，

则上底面的棱长为，下底面的棱长为，侧棱，

则，，

上底面的面积为，下底面的面积为，

过点作于点，过点作于点，

根据正四棱台的结构特征可得：与都是该正棱台的高，且，，

因此，

所以正四棱台的体积为，

即该款粉碎机进物仓的体积为.

故选：D.

4．七巧板，又称七巧图、智慧板．某同学用边长为4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中任取出2个，则这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题得，利用古典概型的概率公式得解.

【详解】解：如图所示，易知．

△ADO，△ABO，△GHO，△BEF，△MCF分别记为，，，，，从这5个三角形中任取出2个，则样本空间，共有10个样本点．

记事件N表示“从5个三角形中任取出2个，这2个三角形的面积之和不小于另外3个三角形面积之和”，则事件N包含的样本点为，，，共3个，

所以．

故选：D．

5．已知，，则（    ）

A． B． C．2 D．－2

【答案】B

【分析】根据同角关系可得，由正切的二倍角公式以及诱导公式即可求解.

【详解】因为所以由得，因此，

由二倍角公式可得

，

故选：B

6．已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，由题意可得，，所以在上递增，然后由可得答案.

【详解】因为（），

所以，所以，

令，则，，

所以在上递增，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以，所以，

故选：C

【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数判断函数的单调性，考查利用函数单调性比较大小，解题的关键是根据题意构造函数，求导后，结合已知条件可得在上递增，然后利用函数的单调性比较大小即可，考查数学转化思想，属于较难题.

7．已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，以为半径的圆交双曲线C的右支于P，Q两点（O为坐标原点），的一个内角为，则双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题设易知为等边三角形，应用正弦定理可得，进而确定坐标，代入双曲线方程结合参数关系，得到双曲线参数的齐次方程，进而求离心率.

【详解】由题设，易知为等边三角形，且，则，

所以坐标为，则，

整理得，又，可得，故.

故选：A

二、多选题

8．已知函数及其导函数的定义域均为R，记．若，均为偶函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】由上下平移均满足题设即可判断A选项；由得即可判断B选项；由函数的轴对称以及中心对称即可判断C、D选项.

【详解】对于A，令，定义域为R，则，，，

又，则，显然也满足题设，即上下平移均满足题设，显然的值不确定，A错误；

对于B，，则，即，

，令可得，则，B正确；

对于C，由即，则，令，

显然满足要求，则关于对称，又可得关于对称，则，C错误；

对于D，由可得关于对称，则；由可得关于对称，

则 ，D正确.

故选：BD.

【点睛】本题的关键点在于通过复合函数的导数运算得到函数的对称轴及对称中心，通过函数的轴对称以及中心对称的性质得出函数的周期性即可求解.

9．为推动学校体育运动发展，引导学生积极参与体育锻炼，增强健康管理意识，某校根据性别比例采用分层抽样方法随机抽取了120名男生和80名女生，调查并分别绘制出男、女生每天在校平均体育活动时间的频率分布直方图（如图所示），则（    ）

A． B．该校男生每天在校平均体育活动时间中位数的估计值为75

C．估计该校至少有一半学生每天在校平均体育活动时间超过一小时 D．估计该校每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为

【答案】AC

【分析】根据频率分布直方图，求出样本的数字特征，根据样本数字特征即可估计总体数字特征.根据各小矩形面积之和等于1，即可解出a的值；中位数是小矩形面积之和累计为0.5的值；分别求出活动时间超过一小时的男生和女生，即可判断；分别求出活动时间不低于80分钟的男生和女生，即可判断.

【详解】A：由已知得，10a+10×0.020+10×0.035+10×0.020+10a+10×0.005=1，解得，；

B：，前两个小矩形面积之和为0.3，即中位数在内，设为m，

则有，解得，该校男生每天在校平均体育活动时间中位数的估计值为65.7；

C：根据频率分布直方图可得，男生中每天在校平均体育活动时间超过一小时的频率为10×(0.035+0.020+0.010+0.005)=0.700，人数为；女生中每天在校平均体育活动时间超过一小时的频率为10×(0.030+0.010+0.005)=0.450，人数为.则可得，学生每天在校平均体育活动时间超过一小时的频率为，所以该校至少有一半学生每天在校平均体育活动时间超过一小时；

D：根据频率分布直方图可得，男生中每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的频率为10×(0.010+0.005)=0.15，人数为；女生中每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的频率为10×0.005=0.050，人数为，所以每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为，所以该校每天在校平均体育活动时间不低于80分钟的学生中男、女生人数比例为9:2.

故选：AC.

10．已知向量，则（    ）

A．，则 B．

C．与的夹角正弦值为 D．向量在向量上的投影向量为

【答案】ACD

【分析】求出即可判断A；根据平面向量共线的坐标表示即可判断B；求出两向量夹角的余弦值，从而可判断C，根据投影向量的计算公式计算即可判断D.

【详解】解：对于A，因为，

所以，故A正确；

对于B，，

因为，所以与不平行，故B错误；

对于C，，

则，

所以与的夹角正弦值为，故C正确；

对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确.

故选：ACD.

11．设直线：与圆：交于不同的两点，已知，，记数列的前项和为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据点到直线距离公式得到，利用垂径定理得到，从而，构造等比数列，求出，进而求和及用裂项相消法判断D选项.

【详解】圆心到直线的距离，则，即，所以，从而，又，所以是首项为2，公比是2的等比数列，所以，故，A错误，B正确；

，C正确；

，故

，D正确

故选：BCD

12．在直角坐标系中，抛物线与直线交于P，Q两点，且.抛物线C的准线与x轴交于点M，是以M为圆心，为半径的圆上的一点（非原点），过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B.则（    ）

A． B．直线AB的方程为

C． D．面积的最大值是

【答案】BC

【分析】利用向量的数量积等于0可求得，判断A；确定抛物线方程，利用导数表示出抛物线切线方程，结合两点确定一条直线可得AB方程,判断B；求出以为圆心，为半径的圆的方程，即可知，判断C；求出弦长AB,求出点到直线的距离，即可表示出面积，从而求得其最大值，判断D.

【详解】依题意可设，则,

因为，所以，故.

又，所以,故抛物线的方程为，A错误；

不妨设在第一象限，在第四象限，

由可得，，

所以直线的斜率为，则直线的方程为，

化简为；同理求得的方程为，

因为点在直线，上，所以 ，

由此可知,的坐标都满足,由于两点确定一条直线，

故可得直线AB的方程为，B正确；

由A的分析可知抛物线的准线方程为，故,

所以以为圆心，为半径的圆的方程为 ，

由于为圆上动点（非原点），故，C正确；

联立方程组，整理得，

,

则，

故，

点到直线的距离，

故的面积，

由题可知，，则圆的方程为，

故，因为，

所以，所以，

故面积的最大值为，D错误；

故选：BC

【点睛】关键点点睛：抛物线切线方程的求法以及三角形面积最值的求解.

三、填空题

13．展开式中的常数项是______.

【答案】

【分析】根据二项式的展开式的通项即得.

【详解】由题意的展开式的通项为，

令，则，

所以的展开式中的常数项为.

故答案为：.

14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数：______.

①；②当时，；③是奇函数.

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据对数的运算性质及对数函数的导数，结合题设性质写出一个满足要求的函数解析式即可.

【详解】①由，即满足；

②对于，在上要使导函数恒成立，故，所以；

③由②知：，注意定义域要关于原点对称，满足是奇函数；

综上，且，满足上述要求.

故答案为：（答案不唯一）

15．己知是圆上两点，若，则的最大值为______.

【答案】4

【分析】根据表示两点到直线的距离之和，结合两点到直线的距离之和等于线段的中点到直线的距离的2倍，求出线段的中点到直线的距离的最大值即可.

【详解】解：由，得为等腰直角三角形，

设为的中点，则，且，

则点在以为圆心，为半径的圆上，

表示两点到直线的距离之和，

两点到直线的距离之和等于中点到直线的距离的2倍，

点到直线的距离为，

所以点直线的距离的最大值为，

所以的最大值为，

所以的最大值为.

故答案为：4.

16．已知等腰内接于圆O，点M是下半圆弧上的动点（不含端点，如图所示）.现将上半圆面沿AB折起，使所成的二面角为.则直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为______.

【答案】##0.5

【分析】取下半圆弧的中点D，连接OC，OD，以点O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.

【详解】在折后的图形中，取下半圆弧的中点D，连接OC，OD，如图，

依题意，平面，于是得平面，

且是二面角的平面角，即，在平面内过点O作，

因此射线两两垂直，以点O为原点，射线分别为非负半轴建立空间直角坐标系，

令，则，设点，显然有，

于是得，令直线AC与直线OM所成的角为，

因此

，

当且仅当，即时取等号，显然直线AC与直线OM为异面直线，即，

而余弦函数在上单调递减，因此取最大值时，角取最小值，，

所以直线AC与直线OM所成角的正弦值最小值为.

故答案为：

【点睛】思路点睛：求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起变量的函数，求出函数最值即可.

四、解答题

17．已知各项均为正数的数列中，且满足，数列的前n项和为，满足.

(1)求数列，的通项公式；

(2)若在与之间依次插入数列中的k项构成新数列，求数列中前40项的和.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）利用平方差公式将变形，得出数列是等差，可求出数列的通项；利用消去得到与的递推关系，得出数列是等比数列，可求出通项；

（2）分析中前40项中与各有多少项，分别求和即可．

【详解】（1）由题设得：，

∵，则，故是首项，公差为2的等差数列，

∴，

当时，得：，

当，由①，②，

由①－②整理得：，，

∴，故，

∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，故.

（2）依题意知：新数列中，（含）前面共有：项．

由，（）得：，

∴新数列中含有数列的前8项：，，……，，含有数列的前32项：，，，……，；

∴．

18．近年来，随着社会对教育的重视，家庭的平均教育支出增长较快，某机构随机调查了某市2015-2021年的家庭教育支出（单位：万元），得到如下折线图.（附：年份代码1-7分别对应2015-2021年）.经计算得，.

(1)用一元线性回归模型拟合y与t的关系，求出相关系数r（精确到0.01），并说明y与t相关性的强弱；

(2)建立y关于t的回归直线方程；

(3)若2023年该市某家庭总支出为10万元，预测2023年该家庭的教育支出.

附：①相关系数；

②在回归直线方程中，.

【答案】(1)，相关性很强；

(2)；

(3)万元.

【分析】（1）由公式计算相关系数并判断相关性即可；

（2）由公式算，再由算即可；

（3）2023年对应的年份代码，代入回归方程即可得到教育支出占比，即可预测2023年该家庭的教育支出

【详解】（1）由题意得，，

则，故，

故，

∵，

∴y与t高度相关，即y与t的相关性很强．

（2）根据题意，得，

，

∴y关于t的回归直线方程为．

（3）2023年对应的年份代码，当时，，

故预测2023年该家庭的教育支出为（万元）．

19．“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我．”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块平面四边形的麦田里成为守望者．如图所示，为了分割麦田，他将B，D连接，经测量知，．

(1)霍尔顿发现无论多长，都为一个定值，请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；

(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．

【答案】(1)证明见解析，；

(2).

【分析】（1）在和中，利用余弦定理即可计算推理作答.

（2）由（1）的结论，利用三角形面积定理列出函数关系，结合二次函数最值求解作答.

【详解】（1）在中，由余弦定理得：，

即，

在中，，即，

因此，即，

所以．

（2）显然，，

于是得，由（1）知，

因此，

在中，，在中，，则，

由，得，即有，

从而当时，，所以的最大值是．

20．已知直线与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点，点N在抛物线C上，直线MN与y轴平行.

(1)证明：抛物线在点N处的切线与直线l平行；

(2)若，求抛物线C的方程.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理求出N点坐标，进而设出切线方程与抛物线方程联立，利用求出切线斜率即可证明；

（2）设，由及韦达定理即可求解.

【详解】（1）证明：由题意，

联立直线与抛物线的方程得，

即，

所以，

设，则，

由题意，抛物线在点处的切线斜率存在且不为0，设切线方程为，

由，可得，

因为，解得，

所以抛物线在点处的切线为，

所以切线与直线平行；

（2）解：设，

由题意有，即，

所以，

又，

将式代入上式，可得，解得或（舍去），

所以抛物线的方程为.

21．已知点是椭圆C：（）的左焦点，且椭圆C经过点．过点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线l：的垂线，垂足为E．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)求证：直线过定点，并求定点的坐标．

【答案】(1)

(2)证明见解析；过定点.

【分析】（1）由，解方程组可得答案；

（2）设直线为，，，，联立直线与椭圆方程结合韦达定理可得直线方程，令可得答案.

【详解】（1）由题意知，所以，而，

故椭圆的标准方程为．

（2）由题意，设直线：，，，，

联立，整理得，显然恒成立，

则，，易知：，

又，所以直线：，

令，则．

所以直线过定点．

22．已知函数在处的切线经过点.

(1)若函数至多有一个零点，求实数a的取值范围；

(2)若函数有两个不同的零点，且，求证：.（）

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据切线过点可得，参变分离后研究的单调性，得到极值，数形结合得到答案；（2）在第一问基础上，得到，对不等式变形，结合放缩，转化为只需证，二次求导后得到证明.

【详解】（1），∴，∴处的切线方程为，

切线过点，所以，∴.

∵的零点不为1，

∴在上至多一个解.设，

则在上至多一个解.

，令得：，令得：或，

∴在和上单调递减， 上单调递增，当时，恒成立，当时，在处取得极小值，且，

画出函数图象如图所示：

所以时，至多有一个零点，∴

（2）由（1）知，要想有两个不同零点，则且，即，

故要证，只需证，

由（1）知，故只需证，

∵.只需证：，即，令，

，∴在上递增，

∴，∴在上递增，

∴，∴，∴

【点睛】导函数研究函数零点问题，参变分离是一种重要方法，把零点问题转化为函数交点问题，通过构造函数，研究构造函数的单调性，极值和最值，数形结合得到答案.