2022-2023学年福建省福州第八中学高一上学期12月份适应性练习数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省福州第八中学高一上学期12月份适应性练习数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据含量词的命题的否定形式可以得出结果.

【详解】根据特称命题的否定形式可以得出命题“，”的否定为

.

故选：B

2．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，则函数在下列哪个区间内必有零点（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用零点存在定理可直接判断.

【详解】，,，由零点存在定理可知，在内必有零点.

故选：C

3．如果角的终边过点，则的值等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先计算三角函数值得，再根据三角函数的定义求解即可.

【详解】解：由题意得，它与原点的距离，

所以.

故选：C.

4．设a>0，则的最小值为（    ）

A． B．2

C．4 D．5

【答案】D

【分析】根据基本不等式可求解.

【详解】，，当且仅当a=2时取等号，

所以的最小值为5.

故选：D.

5．设，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指对函数的单调性即可作出判断.

【详解】.

故选：D

6．下列计算或化简结果错误的是（    ）

A． B．若，则

C．若，则 D．若为第一象限角，则

【答案】C

【解析】利用同角三角函数关系，对每个选项进行逐一分析即可.

【详解】A正确，；

 B正确，；

 C不正确，；

 D正确，∵为第一象限角，∴原式.

综上，A，B，D正确.

故选：C.

【点睛】本题考查同角三角函数关系的简单应用，属同步基础题.

7．若是偶函数，且、都有，若，则不等式的解集为（    ）

A．或 B．或

C．或 D．

【答案】D

【分析】分析出偶函数在上为增函数，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，即可得出原不等式的解集.

【详解】、都有，不妨设，则，

故函数在上为增函数，

因为函数为偶函数，故，

由可得，可得，解得.

因此，不等式的解集为.

故选：D.

8．设函数是定义在上的奇函数，对任意，都有，且当时，，若函数（且）在上恰有4个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分析可知，函数的周期为4，作出函数的图像，依题意可得数与的图像在上有4个不同的交点，然后分及讨论即可．

【详解】解：函数是定义在上的奇函数，当时，，

当时，，所以，

即当时，

又对任意，都有，则关于对称，且，

，即函数的周期为，

又由函数且在上恰有个不同的零点，

得函数与的图像在上有个不同的交点，又，

当时，由图可得，解得；

当时，由图可得，解得．

综上可得.

故选：C．

二、多选题

9．下列说法错误的是（       ）

A．与735°终边相同的角是15°

B．若一扇形的圆心角为15°，半径为3cm，则扇形面积为

C．设是锐角，则角为第一或第二象限角

D．设是第一象限，则为第一或第三象限角

【答案】ABC

【分析】令终边相同的角的关系可判断A，利用角的范围或特例可判断CD的正误，利用公式计算扇形的面积后可判断B.

【详解】对于A，，故与终边也相同，故A错误.

对于B，扇形面积为，故B错误.

对于C，如果，则，此时为轴线角，故C错误.

对于D，因为是第一象限，故，

故，故为第一或第三象限角，故D正确.

故选：ABC.

10．下列计算正确的有（    ）

A．（，） B．

C． D．已知，则

【答案】AC

【分析】利用指数幂和根式的运算进行化简，即可判断.

【详解】解：由于，，则，故A正确；

，故B不正确；

，故C正确；

已知，则，所以，故D不正确.

故选：AC.

11．已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（       ）

A．函数为增函数 B．函数为偶函数

C．若，则 D．若，则.

【答案】ACD

【分析】由函数图像经过点(4,2)求得,再根据对数函数的性质逐个选项分析即可.

【详解】由题,故.

对A,函数为增函数正确.

对B, 不为偶函数.

对C,当时, 成立.

对D,因为往上凸,故若，则成立.

故选：ACD

【点睛】本题主要考查了对数函数的图像与性质,属于基础题型.

12．已知定义在R上的函数 满足 ， ，且对任意的 ，当 时，都有 ，则以下判断正确的是（    ）

A．函数是偶函数 B．函数在上单调递增

C．x=2是函数的对称轴 D．函数的最小正周期是12

【答案】BCD

【分析】根据函数的奇偶性的定义判断A;由结合函数的奇偶性可推得以及，从而判断函数的对称轴和周期，判断C,D；根据函数的对称性和单调性以及周期性可判断B;

【详解】因为定义在R上的函数 满足，即，

故函数是奇函数，故A错误；

因为，故，而，

所以，即的图象关于对称，

则x=2是函数的对称轴，故C正确；

因为，所以，

故12是函数的周期；

对任意的 ，当 时，都有 ，

即，

故时，单调递减，又因为为奇函数，所以时，单调递减，

又因为的图象关于对称，故时，单调递增，

因为12是函数的周期，故函数在 单调性与时的单调性相同，

故函数在上单调递增，故B正确，

作出函数的大致图象如图示：

结合图象可得知12是函数的最小正周期，D正确；

故选：BCD

【点睛】本题考查了函数的奇偶性单调性以及对称性和周期性的判断，综合性强，推理复杂，要能熟练地应用相应概念进行相应的推理，解答的关键是函数单调性对称性以及奇偶性周期性的综合应用.

三、填空题

13．函数的定义域是___________.

【答案】

【分析】根据函数定义域求法解决即可.

【详解】由题知，函数，

所以，解得，

所以定义域为，

故答案为：

14．对任意实数，函数的图象必过定点___________.

【答案】

【分析】根据指数函数图象性质解决即可.

【详解】由题知，函数，，

根据指数函数图象性质恒过定点，

所以令，得，此时，

所以函数的图象必过定点，

故答案为：

15．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k、b为常数）．若该食品在0的保鲜时间设计192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是______小时.

【答案】24

【详解】由题意得：，所以时，.

【解析】函数及其应用.

16．对于定义域为I的函数，如果存在区间，同时满足下列两个余件：（1）在区间上是单调的；（2）当定义域是时，的值域也是，则称是函数的一个“黄金区间”.如果是函数的一个“黄金区间”，则的最大值为___________.

【答案】##

【分析】根据题意得到在上单调，从而得到为方程的两个同号实数根，然后化简，进而结合根与系数的关系得到答案.

【详解】由题意， 在和上均是增函数，而函数在“黄金区间” 上单调，

所以或，且在上单调递增，故，即为方程的两个同号实数根，

即方程有两个同号的实数根，

因为，所以只需要或，

又，所以，

则当时，有最大值.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）计算：；

（2）设，求的值．

【答案】（1）4；（2）2．

【分析】（1）根据指数的运算性质直接计算即可；

（2）通过换底公式可得，，进而可得解.

【详解】（1）原式．

（2）∵，

∴．同理可得，，

则，，

∴．

∴．

18．已知幂函数的图象关于轴对称，集合.

(1)求的值；

(2)当时，的值域为集合，若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据幂函数的定义可得，求出的值，再检验即可得出答案.

(2) 先求出函数的值域，即得出集合，然后由题意知，根据集合的包含关系得到不等式组，从而求出答案.

【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或，

当时，的图象不关于轴对称，舍去，

当时，的图象关于轴对称，

因此.

（2）当时，的值域为，则集合，

由题意知 ，得，解得.

19．已知．

（1）的值

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）3．

【分析】（1）根据题意得，进而利用诱导公式化简求值即可得答案；

（2）根据诱导公式化简，并构造齐次式求解即可得答案.

【详解】（1）由，解得．

（2）由（1）得，

所以

20．为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.

（1）将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

（2）该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

【答案】（1）；（2）该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.

【分析】（1）根据题意，当时，x=1，进而代入已知等式解出k，然后求出每件产品的销售价格，最后得到函数的解析式；

（2）根据（1）中的式子，结合基本不等式即可得到答案.

【详解】（1）由题意，当时，x=1，则，于是，所以.

（2）由（1），，

当且仅当时“=”成立.

所以，该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.

21．1.已知函数，函数（且）

(1)求函数的值域；

(2)已知，若不等式在上有解，求实数的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先通过对数的运算性质将函数化简，进而通过换元法，结合二次函数求值域的方法求得答案；

（2）根据题意求出，结合函数的单调性可知，进而进行参变分离，最后通过对勾函数的图象求得答案.

【详解】（1），，设，即函数的值域为：.

（2）由，则，易知其在上单调递增.又不等式在上有解，所以…①，且满足在上有解.

设，，如图：

易知，的值域为，则，于是，结合①，实数的最大值为.

22．已知函数，．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围．

【答案】（1）答案见解析；（2）．

【分析】（1）先因式分解，对两根大小作讨论，求出解集；

（2）先令，由，则可得，再将有四个不同的实根，转化为有两个不同正根，根据根与系数的关系，求出的取值范围．

【详解】（1）由题意，，即，

解方程得，.

①当时，即当时，解不等式，得或，

此时的解集为；

②当时，即时，解不等式，得，

此时的解集为；

③当时，即当时，解不等式，得或，

此时的解集为；

综上，当时，的解集为；

当时，的解集为；

当时，的解集为；

（2）当时，令，当且仅当时，等号成立；

则关于的方程可化为，

关于的方程有四个不等实根，

即有两个不同正根，

则，

由②③式可得，

由①知：存在使不等式成立，

故，

即，解得或.

故实数的取值范围是．

【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．