10.2磁场对运动电荷的作用（原卷版）-2023年高考物理一轮复习提升核心素养

10.2磁场对运动电荷的作用

一、洛伦兹力的大小和方向

1．定义：磁场对      的作用力．

2．大小

(1)v∥B时，F＝0；

(2)v⊥B时，F＝    ；

(3)v与B的夹角为θ时，F＝qvBsin θ.

3．方向

(1)判定方法：应用左手定则，注意四指应指向正电荷运动方向或负电荷运动的反方向；

(2)方向特点：F⊥B，F⊥v.即F垂直于     决定的平面．(注意B和v可以有任意夹角)

4．做功：洛伦兹力     ．

二、带电粒子在匀强磁场中的运动

1．若v∥B，带电粒子以入射速度v做       运动．

2．若v⊥B时，带电粒子在垂直于磁感线的平面内，以入射速度v做     运动．

3．基本公式

(1)向心力公式：qvB＝m；

(2)轨道半径公式：r＝；

(3)周期公式：T＝.

注意：带电粒子在匀强磁场中运动的周期与速率    ．

洛伦兹力的理解和应用

1．洛伦兹力方向的特点

(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。

(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。

(3)左手定则判断洛伦兹力方向，但一定分清正、负电荷。

2．洛伦兹力与电场力的比较

例题1.（2022·广东·高考真题）如图所示，一个立方体空间被对角平面划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是（　　）

A． B．

C． D．

(2022·浙江高三模拟)一根通电直导线水平放置，通过直导线的恒定电流方向如图所示，现有一电子从直导线下方以水平向右的初速度v开始运动，不考虑电子重力，关于接下来电子的运动，下列说法正确的是(　　)

A．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变大

B．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变小

C．电子将向上偏转，运动的半径逐渐变大

D．电子将向下偏转，运动的半径逐渐变小

某带电粒子以速度v沿垂直于磁场方向射入匀强磁场中．粒子做半径为R的匀速圆周运动，若粒子的速度为2v，则下列说法正确的是(　　)

A．粒子运动的周期变为原来的

B．粒子运动的半径仍为R

C．粒子运动的加速度变为原来的4倍

D．粒子运动轨迹所包围的磁通量变为原来的4倍

带电粒子在匀强磁场中的运动

1．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的思想方法和理论依据

一般说来，要把握好“一找圆心，二定半径，三求时间”的分析方法。在具体问题中，要依据题目条件和情景而定。解题的理论依据主要是由牛顿第二定律列式：qvB＝m，求半径r＝及运动周期T＝＝。

2．圆心的确定方法

法一　若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，则可根据洛伦兹力F⊥v，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。

法二　若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，则可作出此两点的连线(即过这两点的圆弧的弦)的中垂线，中垂线与过已知点速度方向的垂线的交点即为圆心，如图乙。

3．半径的确定和计算

利用平面几何关系，求出该圆的可能半径(或圆心角)，求解时注意以下几何特点：

粒子速度的偏向角(φ)等于圆心角(α)，并等于AB弦与切线的夹角(弦切角θ)的2倍(如图)，即φ＝α＝2θ＝ωt。

4．运动时间的确定

粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间可由下式表示：

t＝T，t＝(l为弧长)。

5．常见运动轨迹的确定

(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)。

(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)。

(3)圆形边界(沿径向射入必沿径向射出，如图所示)。

6．常用解题知识

(1)几何知识：三角函数、勾股定理、偏向角与圆心角关系。根据几何知识可以由已知长度、角度计算粒子运动的轨迹半径，或根据粒子运动的轨迹半径计算未知长度、角度。

(2)半径公式、周期公式：R＝、T＝。根据两个公式可由q、m、v、B计算粒子运动的半径、周期，也可根据粒子运动的半径或周期计算磁感应强度、粒子的电荷量、质量等。

(3)运动时间计算式：计算粒子的运动时间或已知粒子的运动时间计算圆心角或周期时，常用到t＝T。

例题2.（多选）（2022·湖北·高考真题）在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（　　）

A．kBL，0° B．kBL，0° C．kBL，60° D．2kBL，60°

（2022·湖北武汉·模拟预测）如图为地球赤道剖面图，地球半径为R。把地面上高度为区域内的地磁场视为方向垂直于剖面的匀强磁场，一带电粒子以一定速度正对地心射入该磁场区域，轨迹恰好与地面相切。不计粒子重力，则（　　）

A．粒子带正电荷 B．轨迹半径为 C．轨迹半径为 D．轨迹半径为

（2021·北京·高考真题）如图所示，在xOy坐标系的第一象限内存在匀强磁场。一带电粒子在P点以与x轴正方向成60的方向垂直磁场射入，并恰好垂直于y轴射出磁场。已知带电粒子质量为m、电荷量为q，OP = a。不计重力。根据上述信息可以得出（　　）

A．带电粒子在磁场中运动的轨迹方程

B．带电粒子在磁场中运动的速率

C．带电粒子在磁场中运动的时间

D．该匀强磁场的磁感应强度

带电粒子在匀强磁场中运动的临界、极值问题

1．解决带电粒子在磁场中的临界问题的关键

(1)以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口。

(2)寻找临界点常用的结论

①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

②当速度v一定时，弧长(或弦长)越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

③当速度v变化时，圆心角越大，运动时间越长。

2．临界问题的一般解题流程

例题3.（多选）（2022·河北省玉田县第一中学模拟预测）如图所示,在边长L=10cm的正方形ABCD的CD边上方空间有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B=0.2T，在正方形的AD边中点处有一粒子源S，能够不断向纸面内各个方向发射速率不同的同种带正电粒子，粒子的比荷为1×108C/kg，不计粒子重力和粒子间的相互作用。下列说法中正确的是（　　）

A．经过B点的粒子速度不小于5×105m/s

B．水平向右射出的速率大于5×105m/s的粒子都能从AB所在直线穿过

C．水平向右发射的粒子从AB边射出正方形区域的最短时间为×10-7s

D．速率为1×106m/s的粒子可到达CD边上区域的长度为5cm

(多选)如图所示，质量为m、电荷量为＋q的圆环可在水平放置的足够长的粗糙细杆上滑动，细杆处于磁感应强度大小为B、垂直于纸面向里的匀强磁场中，不计空气阻力，现给圆环向右的初速度v0，在以后的运动过程中，圆环运动的速度—时间图像可能是下列选项中的(　　)

（2022·吉林·长春十一高模拟预测）一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为方向与ad边夹角为30°，如图所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m（重力不计）。

（1）若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求的大小；

（2）若粒子带正电，使粒子能从ad边射出磁场，求的最大值。

带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题

例题4. 在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示．一个质量为m、带电荷量为＋q的粒子(不计重力)在t＝0时刻平行于Oc边从O点射入磁场中．已知正方形边长为L，磁感应强度的大小为B0，规定垂直于纸面向外的方向为磁场的正方向．

(1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0.

(2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值．

(3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小．

如图甲所示，在xOy平面内存在大小随时间周期性变化的磁场和电场，变化规律分别如图乙、丙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向、沿y轴正方向电场强度为正)．在t＝0时刻由原点O发射初速度大小为v0，方向沿y轴正方向的带负电粒子．v0、t0、B0为已知量，粒子的比荷为，不计粒子的重力．求：

(1)t＝t0时，粒子的位置坐标；

(2)若t＝5t0时粒子回到原点，0～5t0时间内粒子距x轴的最大距离；

(3)若粒子能够回到原点，满足条件的所有E0值．

(多选)如图所示，边长为L的等边三角形区域ACD内、外的匀强磁场的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外．三角形顶点A处有一质子源，能沿∠A的角平分线发射速度大小不等、方向相同的质子(质子重力不计、质子间的相互作用可忽略)，所有质子恰能通过D点，已知质子的比荷＝k，则质子的速度可能为(　　)

A.   B．BkL

C.   D.

1. 如图，光滑绝缘的圆弧轨道MON固定在竖直平面内．O为其最低点，M、N等高，匀强磁场方向与轨道平面垂直．将一个带正电的小球自M点由静止释放，它在轨道上M、N间往复运动．下列说法中正确的是(　　)

A．小球在M点和N点时均处于平衡状态

B．小球由M到O所用的时间小于由N到O所用的时间

C．小球每次经过O点时对轨道的压力均相等

D．小球每次经过O点时所受合外力均相等

2. (多选)核聚变具有极高效率、原料丰富以及安全清洁等优势，中科院等离子体物理研究所设计制造了全超导非圆界面托卡马克实验装置(EAST)，这是我国科学家率先建成世界上第一个全超导核聚变“人造太阳”实验装置．将原子核在约束磁场中的运动简化为带电粒子在匀强磁场中的运动，如图所示，磁场水平向右分布在空间中，所有粒子的质量均为m，电荷量均为q，且粒子的速度在纸面内，忽略粒子重力的影响，以下判断正确的是(　　)

A．甲粒子受到的洛伦兹力大小为qvB，且方向水平向右

B．乙粒子受到的洛伦兹力大小为0，做匀速直线运动

C．丙粒子做匀速圆周运动

D．所有粒子运动过程中动能不变

3. 如图所示，为洛伦兹力演示仪的结构示意图．由电子枪产生电子束，玻璃泡内充有稀薄气体，在电子束通过时能够显示电子的径迹．当通有恒定电流时前后两个励磁线圈之间产生匀强磁场，磁场方向与两个线圈中心的连线平行．电子速度的大小和磁感应强度可以分别通过电子枪的加速电压U和励磁线圈的电流I来调节．适当调节U和I，玻璃泡中就会出现电子束的圆形径迹．通过下列调节，一定能让圆形径迹半径减小的是(　　)

A．减小U，增大I

B．增大U，减小I

C．同时减小U和I

D．同时增大U和I

4. (多选)如图所示，虚线MN上方存在匀强磁场，磁感应强度大小为B.一群电子以不同速率从边界MN上的P点以相同的入射方向射入磁场．其中某一速率为v的电子从Q点射出边界．已知电子入射方向与边界MN的夹角为θ，则(　　)

A．该匀强磁场的方向垂直纸面向里

B．所有电子在磁场中的轨迹半径相同

C．速率越大的电子在磁场中运动时间越长

D．在此过程中每个电子的速度方向都改变2θ

5. 如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计粒子的重力，下列判断正确的是(　　)

A．粒子a带负电，粒子b带正电

B．粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶

C．粒子a和b在磁场中运动的速率之比为∶1

D．粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2

6. (多选)如图所示的虚线框为一正方形区域，该区域内有一垂直于纸面向里的匀强磁场，一带电粒子从a点沿与ab边成30°角方向射入磁场，恰好从b点飞出磁场；另一带电粒子以相同的速率从a点沿ad方向射入磁场后，从c点飞出磁场，不计重力，则两带电粒子的比荷之比及在磁场中的运动时间之比分别为(　　)

A.∶＝1∶1

B.∶＝2∶1

C．t1∶t2＝2∶3

D．t1∶t2＝1∶3

7. 如图所示，在纸面内存在水平向右的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B，一水平固定绝缘杆上套有带电小球P，P的质量为m、电荷量为－q，P与杆间的动摩擦因数为μ。小球由静止开始滑动，设电场、磁场区域足够大，杆足够长，在运动过程中小球的最大加速度为a0，最大速度为v0，则下列判断正确的是(　　)

A．小球先加速后减速，加速度先增大后减小

B．当v＝v0时，小球的加速度最大

C．当v＝v0时，小球一定处于加速度减小阶段

D．当a＝a0时，>

8. 如图所示，A点距坐标原点的距离为L，坐标平面内有边界过A点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于坐标平面向里。有一电子(质量为m、电荷量为e)从A点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，从x轴上的B点射出磁场区域，此时速度方向与x轴的正方向之间的夹角为60°，求：

(1)磁场的磁感应强度大小；

(2)磁场区域的圆心O1的坐标；

(3)电子在磁场中运动的时间。

9. 如图所示，圆心为O的两个同心圆a、b的半径分别为R和2R，a和b之间的环状区域存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，圆a内存在着垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为，一质量为m、电荷量为＋q的带电粒子从圆b边缘上的M点以某一初速度v0射入磁场，当v0的方向与MN的夹角为30°时，粒子能够到达N点，已知粒子在环状磁场中的运动半径为R，带电粒子的重力忽略不计。

(1)求粒子初速度v0的大小；

(2)求粒子从M到N的运动时间；

(3)若调整粒子的初速度大小和方向，使粒子不进入圆a仍然能够到达N点，且运动时间最短，求粒子初速度的大小。

10. （2022·河南·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系xOy的第一象限内，y轴与x=d之间有斜向右上，方向与x轴正方向成45°角、电场强度大小为E的匀强电场，x=d与x=2d之间有垂直于坐标平面向外的匀强磁场I，在x=2d与x=3d之间有垂直于坐标平面向内的匀强磁场Ⅱ。若在坐标原点O处由静止释放一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子a，粒子a经电场加速后第一次在磁场I中运动的轨迹恰与x=2d相切。若在坐标原点O处由静止释放一个带正电的粒子b，粒子b经磁场I运动后进入磁场Ⅱ，粒子b第一次在磁场I中运动的偏向角为90°，粒子b第一次在磁场Ⅱ中运动轨迹恰好与x=3d相切，不计两个粒子的重力，求：

（1）匀强磁场I的磁感应强度大小；

（2）粒子b的比荷大小；

（3）粒子b第三次经过x=d时的位置坐标。