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2022-2023学年天津市蓟州区中考数学专项提升仿真模拟试题（3月4月）含解析
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这是一份2022-2023学年天津市蓟州区中考数学专项提升仿真模拟试题（3月4月）含解析，共52页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年天津市蓟州区中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. ﹣2的相反数是（ ）
A. 2 B. C. ﹣2 D. 以上都没有对
2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. 且 D.
3. π、中，无理数的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
5. 如图，已知直线、被直线所截，，E是直线右边任意一点（点E没有在直线，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
6. 若没有等式组无解，则m取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数
0
1
2
3
4
人数
4
12
16
17
1
关于这组数据，下列说确的是（ ）
A. 中位数是2 B. 众数是17 C. 平均数是2 D. 方差是2
8. 下面计算中正确是（ ）
A. B. C. D.
9. 我国“神七”在2008年9月26日顺利升空，宇航员在27日下午4点30分在距离地球表面423公里的太空中完成了太空行走，这是我国航天事业的又一历史性时刻．将423公里用科学记数法表示应为（ ）米．
A. 42.3×104 B. 4.23×102 C. 4.23×105 D. 4.23×106
10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于( )
A. 112 B. 136 C. 124 D. 84
11. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和点（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＜0，其中正确结论的个数是（ ）
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
12. 如图：△ADB、△BCD均为等边三角形，若点顶点A、C均在反比例函数y=上，若C的坐标点（a、），则k的值为（ ）
A. 2 B. 3+ C. 3+2 D. 2
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
13. 已知，则a+b=_____
14. 化简：÷（﹣1）•a＝_____．
15. 已知关于x的方程x2＋2kx＋k2＋k＋3＝0的两根分别是x1，x2，则(x1－1)2＋(x2－1)2的最小值是________．
16. 敌我两军相距14千米，敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑，现我军以7千米/小时的速度追击_____小时后可追上敌军．
17. 如图，AB是的直径，弦，则阴影部分图形的面积为___________．
三、解 答 题（本题共7小题，共69分）
18. 先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x﹣5），其中x=．
19. 如图：△ABD和△ACE都是Rt△，其中∠ABD=∠ACE=90°，C在AB上，连接DE，M是DE中点，求证：MC=MB．
20. 抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
21. 某校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践．如图，她在山坡坡脚A出测得这座楼房的楼顶B点的仰角为60°，沿山坡往上走到C处再测得B点的仰角为45°．已知OA=200m，此山坡的坡比i=，且O、A、D在同一条直线上．
（1）求楼房OB高度；
（2）求小红在山坡上走过的距离AC．（计算过程和结果均没有取近似值）
22. 设C为线段AB中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD.
求证：（1）AD是⊙B的切线；
（2）AD＝AQ；
（3）BC2＝CF×EG．
23. 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，量将减少10个．设每个定价增加x元．
（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
（3）商店若要获得利润，则每个应定价多少元？获得的利润是多少？
24. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为 度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为 ；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA、PB、PC满足的等量关系为 ．
2022-2023学年天津市蓟州区中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. ﹣2的相反数是（ ）
A. 2 B. C. ﹣2 D. 以上都没有对
【正确答案】A
【详解】﹣2相反数是2，
故选:A.
2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. 且 D.
【正确答案】C
【详解】,解得x≥﹣1且x≠ . 故选C.
3. π、中，无理数的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【分析】根据无理数的定义即可判断.
【详解】解：在π、中，
无理数是：π，共2个．
故选B．
此题主要考查无理数的判断，解题的关键是熟知无理数的定义.
4. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，底数没有变指数相加；幂的乘方，底数没有变指数相乘；同底数相除，底数没有变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、，正确；
B、应为，故本选项错误；
C、a与没有是同类项，没有能合并，故本选项错误
D、应为，故本选项错误．
故选A．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，没有是同类项的一定没有能合并．
5. 如图，已知直线、被直线所截，，E是直线右边任意一点（点E没有在直线，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【正确答案】A
【分析】根据点E有3种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC=α-β．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β．
即①α+β，②α-β，③β-α，都成立．
故选A．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
6. 若没有等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】没有等式组无解，即两个没有等式的解集没有公共部分，据此即可解答.
【详解】解：∵没有等式组无解，
∴
故选D.
求一元没有等式组解集的口诀为“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小找没有到”，本题没有等式组无解，满足“小小找没有到”，注意没有等号考虑m=3是否满足条件.
7. 在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数
0
1
2
3
4
人数
4
12
16
17
1
关于这组数据，下列说确的是（ ）
A. 中位数是2 B. 众数是17 C. 平均数是2 D. 方差是2
【正确答案】A
【分析】分别根据中位数、众数的定义以及平均数、方差的计算公式，求出中位数、众数、平均数和方差，即可得出结论．
【详解】解：A. 这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，则这组数据的中位数为2；故此选项正确；
B.这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数至多，则这组数据的众数是3；故此选项错误；
C.这组样本数据的平均数为：（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=1.98（册）；故此选项错误；
D.方差是： ；故此选项错误；
故选：A．
本题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，熟练掌握各知识点的计算方法是解题的关键．
8. 下面计算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题解析：A、原式没有能合并，错误；
B、原式=3-2=，正确；
C、原式=|-3|=3，错误；
D、原式=-1，错误.
故选B.
9. 我国“神七”在2008年9月26日顺利升空，宇航员在27日下午4点30分在距离地球表面423公里的太空中完成了太空行走，这是我国航天事业的又一历史性时刻．将423公里用科学记数法表示应为（ ）米．
A. 42.3×104 B. 4.23×102 C. 4.23×105 D. 4.23×106
【正确答案】C
【详解】423公里=423 000米=4.23×105米．
故选C．
10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于( )
A. 112 B. 136 C. 124 D. 84
【正确答案】B
【详解】试题解析：该几何体是三棱柱.
如图：
由勾股定理
全面积为：
故该几何体的全面积等于136．
故选B.
11. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和点（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＜0，其中正确结论的个数是（ ）
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
【正确答案】B
【分析】根据函数与x中轴的交点的个数，以及对称轴，函数的增减性进行判断．
【详解】①函数与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
②函数的对称轴是x＝﹣1，开口向下，所以当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故②正确；
③当x＝1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c＜0，则③正确；
④根据图象可知：抛物线的值没有确定，
∴方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根时，m的值没有确定，故④错误，
⑤∵对称轴x＝﹣1＝﹣，
∴b＝2a，
∵a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故⑤正确，
所以正确的选项有②③⑤，
故选：B．
本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与X轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12. 如图：△ADB、△BCD均为等边三角形，若点顶点A、C均在反比例函数y=上，若C的坐标点（a、），则k的值为（ ）
A. 2 B. 3+ C. 3+2 D. 2
【正确答案】C
【详解】如图，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，
设OA=OB=2x，
∵△ADB、△BCD均为等边三角形，C（a，），
∴AE=x，BF=1，
∴A（x，x），C（2x+1，）．
∵A、C两点均在反比例函数的图象上，
∴x2=（2x+1），解得x1=1+，x2=1﹣（没有合题意），
∴C（3+2，），
∴k=（3+2×=3+2．
故选C．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
13. 已知，则a+b=_____
【正确答案】-4
【详解】分析：首先根据值和算术平方根的非负性，求出a、b，然后代入多项式．
详解：∵
∴
∴a=−8，b=4，
∴a+b=−4，
故答案为:−4.
点睛：考查非负数的性质，注意两个非负数的和为零，那么它们的每一项都为零.
14. 化简：÷（﹣1）•a＝_____．
【正确答案】﹣a﹣1
【详解】原式==﹣（a+1）=﹣a﹣1，
故答案为﹣a﹣1.
15. 已知关于x的方程x2＋2kx＋k2＋k＋3＝0的两根分别是x1，x2，则(x1－1)2＋(x2－1)2的最小值是________．
【正确答案】8
【详解】∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，
∴x1+x2=﹣2k，x1•x2=k2+k+3，
∵△=4k2﹣4（k2+k+3）=﹣4k﹣12≥0，解得k≤﹣3，
∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2
=x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1
=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2
=（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2
=2k2+2k﹣4
=2（k+）2﹣
当k=-3时，（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的值最小，最小为8.
故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8．
故答案为8．
点睛：本题考查根与系数的关系和配方法的应用，根与系数的关系是数学中的内容，此题进行配方是解决问题的关键．
16. 敌我两军相距14千米，敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑，现我军以7千米/小时的速度追击_____小时后可追上敌军．
【正确答案】6
【详解】设x小时后追上敌军，可列方程为7x-4x=14+4×1，解得x=6，则6小时后追上敌军．
故6．
17. 如图，AB是的直径，弦，则阴影部分图形的面积为___________．
【正确答案】
【分析】根据垂径定理求得，然后由圆周角定理知，然后通过解直角三角形求得线段、的长度，将相关线段的长度代入．
【详解】解：如图，假设线段、交于点，
是的直径，弦，
，
又，
，，
，，
．
故．
本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
三、解 答 题（本题共7小题，共69分）
18. 先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x﹣5），其中x=．
【正确答案】﹣6x+9，0．
【分析】根据平方差公式和多项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可得解.
【详解】解：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x﹣5）
=4﹣x2+x2﹣6x+5
=﹣6x+9，
当x=时，原式=﹣6×+9=﹣9+9=0．
19. 如图：△ABD和△ACE都是Rt△，其中∠ABD=∠ACE=90°，C在AB上，连接DE，M是DE中点，求证：MC=MB．
【正确答案】证明见解析
【详解】试题分析：延长CM、DB交于G，先证△ECM≌△DMG，得CM=MG，于是在Rt△CBG中，BM＝=CM.
试题解析：
延长CM、DB交于G，
∵△ABD和△ACE都是Rt△，
∴CE∥BD，即CE∥DG，
∴∠CEM=∠GDM，∠MCE=∠MGD
又∵M是DE中点，即DM=EM，
∴△ECM≌△DMG，
∴CM=MG，
∵G在DB的延长线上，
∴△CBG是Rt△CBG，
∴在Rt△CBG中，BM＝=CM．
20. 抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
【正确答案】（1）50；（2）16；（3）56（4）抽取的两人恰好都是男生的概率为，树状图见解析
【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；
（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）10÷20%=50（名）
答：本次抽样共抽取了50名学生.
（2）50-10-20-4=16（名）
答：测试结果为C等级的学生有16名.
图形统计图补充完整如下图所示：
（3）700×=56（名）
答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名.
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率=．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算A或B的概率．也考查了统计图．
21. 某校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践．如图，她在山坡坡脚A出测得这座楼房的楼顶B点的仰角为60°，沿山坡往上走到C处再测得B点的仰角为45°．已知OA=200m，此山坡的坡比i=，且O、A、D在同一条直线上．
（1）求楼房OB的高度；
（2）求小红在山坡上走过的距离AC．（计算过程和结果均没有取近似值）
【正确答案】（1）200 m；（2）m．
【分析】（1）由在Rt△ABO中，∠BAO=60°，OA=200，则可得tan60°=，则利用正切函数的知识即可求得答案；
（2）首先过点C作CE⊥BO于E，CH⊥OD于H，由题意可知i=,然后设CH=x，AH=2x，在Rt△BEC中，∠BCE=45°，利用直角三角形的性质，即可得方程：200﹣x=200+2x，由在Rt△ACH中，利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）在Rt△ABO中，∠BAO=60°，OA=200m．
∵tan60°=，即，
∴OB=OA=200（m）．
（2）如图，过点C作CE⊥BO于E，CH⊥OD于H．
则OE=CH，EC=OH．
根据题意，知i=，
可设CH=x，AH=2x． …
在Rt△BEC中，∠BCE=45°，
∴BE=CE，
即OB﹣OE=OA+AH．
∴200﹣x=200+2x．
解得x=． …
在Rt△ACH中，
∵AC2=AH2+CH2，
∴AC2=（2x）2+x2=5x2．
∴AC=x=（m）．
答：高楼OB的高度为200m，小玲在山坡上走过的距离AC为 m．
22. 设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD.
求证：（1）AD是⊙B的切线；
（2）AD＝AQ；
（3）BC2＝CF×EG．
【正确答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】连接BD，由，C为AB的中点，由线段垂直平分线的性质，可得，再根据正方形的性质，可得；
由与，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得，继而求得，由等角对等边，可证得；
易求得，，即可证得∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．
【详解】证明：连接BD，
四边形BCDE是正方形，
，，即，
为AB的中点，
是线段AB的垂直平分线，
，
，
，
即，
为半径，
是的切线；
，
，
，
，
，
，，
，
；
连接DF，
在中，，
，
又，
，
，
在与中，
，，
∽，
，
又，
．
本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是注意掌握数形思想的应用，注意辅助线的作法．
23. 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，量将减少10个．设每个定价增加x元．
（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
（3）商店若要获得利润，则每个应定价多少元？获得的利润是多少？
【正确答案】（1）50+x﹣40=x+10（元）；（2）要使进货量较少,则每个定价为70元,应进货200个；（3）每个定价为65元时得利润,可获得的利润是6250元．
【分析】（1）根据利润=价-进价列关系式,
（2）总利润=每个利润×量,量为400-10x,列方程求解,根据题意取舍,
（3）利用函数的性质求最值.
【详解】由题意得:（1）50+x-40=x+10（元）,
（2）设每个定价增加x元,
列出方程为:（x+10）（400-10x）=6000,解得:x1=10,x2=20,要使进货量较少,则每个定价为70元,应进货200个,
（3）设每个定价增加x元,获得利润为y元,
y=（x+10）（400-10x）=-10x2+300x+4000=-10（x-15）2+6250,当x=15时,y有值为6250,所以每个定价为65元时得利润,可获得的利润是6250元.
24. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为 度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为 ；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA、PB、PC满足的等量关系为 ．
【正确答案】（1）150，（2）证明见解析（3）
【分析】（1）根据旋转变换的性质得到△PAP′为等边三角形，得到∠P′PC＝90°，根据勾股定理解答即可；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，根据余弦的定义得到PP′＝PA，根据勾股定理解答即可；
（3）与（2）类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可．
试题解析：
【详解】解：（1）∵△ABP≌△ACP′，
∴AP＝AP′，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′＝60°，P′C＝PB，
∴△PAP′为等边三角形，
∴∠APP′＝60°，
∵∠PAC＋∠PCA＝×60° ＝30°，
∴∠APC＝150°，
∴∠P′PC＝90°，
∴PP′2＋PC2＝P′C2，
∴PA2＋PC2＝PB2，
故答案为150，PA2＋PC2＝PB2；
（2）如图，作°，使，连接，．过点A作AD⊥于D点．
∵°，
即，
∴．
∵AB＝AC，，
∴.
∴，°．
∵AD⊥，
∴°.
∴Rt中，.
∴．
∵°，
∴°.
∴°．
∴在Rt中，.
∴；
（3）如图2，与（2）的方法类似，
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换性质可知，∠PAP′＝α，P′C＝PB，
∴∠APP′＝90°－，
∵∠PAC＋∠PCA＝，
∴∠APC＝180°－，
∴∠P′PC＝（180°－）－（90°－）＝90°，
∴PP′2＋PC2＝P′C2，
∵∠APP′＝90°－，
∴PD＝PA•cos（90°－）＝PA•sin，
∴PP′＝2PA•sin，
∴4PA2sin2＋PC2＝PB2，
故答案为4PA2sin2＋PC2＝PB2．
本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用，掌握等边三角形的性质、旋转变换的性质、灵活运用类比思想是解题的关键．
2022-2023学年天津市蓟州区中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（本题共16个小题，共42分）
1. 在实数﹣ ，0.21， ，， ，0.20202中，无理数的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是对称图形的有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
3. 下列算式中，结果等于x6的是（ ）
A. x2•x2•x2 B. x2+x2+x2 C. x2•x3 D. x4+x2
4. 如图，AB∥CD，∠ABK角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（ ）
A. 76° B. 78° C. 80° D. 82°
5. 一组样本容量为5的数据中，其中a1=2.5，a2=3.5，a3=4，a4与a5的和为5，当a4、a5依次取多少时，这组样本方差有最小值（ ）
A. 1.5，3.5 B. 1，4 C. 2.5，2.5 D. 2，3
6. 如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）
A. 右转 B. 左转 C. 右转 D. 左转
7. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. 3x+2=0 B. 2x+3y=5 C. x2+x﹣1=0 D. x2+x+1=0
8. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A. 4：9 B. 2：5 C. 2：3 D. ：
9. 当，互为相反数时，代数式的值为（ ）
A. 2 B. 0 C. -2 D. 1
10. 如图，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示－1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示－2015的点与圆周上表示数字（ ）的点重合．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于⊙O，EF 与 BC，CD 分别相交于点 G，H，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
13. 没有等式组的解集是（ ）
A. x＞ B. x＞﹣5 C. ＜x＜﹣5 D. x≥﹣5
14. 画正三角形ABC（如图）水平放置的直观图△A′B′C′，正确的是（ ）
A B. C. D.
15. 如图1，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作，将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成次旋转，再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…，如图2，是六次旋转的位置图象，图中虚线是点M的运动轨迹，则在第四次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A. 1.4 B. 1.1 C. 0.8 D. 0.6
16. 如图，函数y= （x＜0）的图象与直线y= x+m相交于点A和点B．过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，P为线段AB上的一点，连接PE、PF．若△PAE和△PBF的面积相等，且xP=﹣ ，xA﹣xB=﹣3，则k的值是（ ）
A. ﹣5 B. C. ﹣2 D. ﹣1
二、填 空 题（本大题共3小题，共10分）
17. 计算：4cos60°﹣ +（3﹣π）0=_____．
18. 化简 的结果为_____．
19. 如图中虚线网格为菱形网格，每一个小菱形的面积均为1，网格中虚线的交点称为格点，顶点都在格点的多边形称为格点多边形，如：格点▱ABCD的面积是6．
（1）格点△PMN的面积是_____；
（2）格点四边形EFGH的面积是_____．
三、解 答 题（本大题共7小题，共68分）
20. ．
21. 如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．
（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；
（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为_____；
（3）在（1）的条件下，若CD=6，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．
22. 已知n边形的对角线共有 条（n是没有小于3的整数）；
（1）五边形的对角线共有_____条；
（2）若n边形的对角线共有35条，求边数n；
（3）若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n．
23. 抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
24. 兄弟二人分吃一碗饺子，每人吃饺子的个数如下表：
（1）写出兄吃饺子数y与弟吃饺子数x之间函数关系式（没有要求写xy的取值范围）：_____；
（2）虽然当弟吃的饺子个数增多时，兄吃的饺子数（y）在减少，但y与x是成反例吗？答：_____（填“是”或“没有是”）．
25. 如图，AB是⊙O的直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
26. 已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，
（1）求证抛物线与x轴必有两个没有同交点；
（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．
2022-2023学年天津市蓟州区中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（本题共16个小题，共42分）
1. 在实数﹣ ，0.21， ，， ，0.20202中，无理数的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】在实数﹣，0.21， ， ， ，0.20202中，
根据无理数的定义可得其中无理数有﹣，，，共三个．
故选C．
2. 有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是对称图形的有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【正确答案】C
【详解】矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；
等腰三角形是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
平行四边形没有是轴对称图形，是对称图形，没有符合题意．
共3个既是轴对称图形又是对称图形．
故选C．
3. 下列算式中，结果等于x6的是（ ）
A. x2•x2•x2 B. x2+x2+x2 C. x2•x3 D. x4+x2
【正确答案】A
【详解】解：A、x2•x2•x2=x6，故选项A符合题意；
B、x2+x2+x2=3x2，故选项B没有符合题意；
C、x2•x3=x5，故选项C没有符合题意；
D、x4+x2，无法计算，故选项D没有符合题意．
故选A．
4. 如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（ ）
A. 76° B. 78° C. 80° D. 82°
【正确答案】B
【详解】如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，
∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK），
∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°，
∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC，
又∠BKC﹣∠BHC=27°，
∴∠BHC=∠BKC﹣27°，
∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°），
∴∠BKC=78°，
故选B．
5. 一组样本容量为5的数据中，其中a1=2.5，a2=3.5，a3=4，a4与a5的和为5，当a4、a5依次取多少时，这组样本方差有最小值（ ）
A. 1.5，3.5 B. 1，4 C. 2.5，2.5 D. 2，3
【正确答案】C
【详解】解：=（2.5+3.5+4+5）÷5=3，设a4=x，则a5=5﹣x，S2=[（2.5﹣3）2+（3.5﹣3）2+（4﹣3）2+（x﹣3）2+（5﹣x﹣3）2]=（x﹣2.5）2+，当x=2.5时，方差有最小值，∴a4=2.5，则a5=2.5．
故选C．
6. 如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）
A. 右转 B. 左转 C. 右转 D. 左转
【正确答案】A
【分析】根据两直线平行同位角相等的性质进行计算即可．
【详解】为了把方向调整到与出发时相一致，小明先转20°使其正面向北，再向北偏东转60°，即得到了与出发时一致的方向，所以，调整应是右转20°+60°=80°，
故选：A．
本题考查了两直线平行同位角相等的性质，方位角的定义，掌握两直线平行同位角相等的性质是解题的关键．
7. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. 3x+2=0 B. 2x+3y=5 C. x2+x﹣1=0 D. x2+x+1=0
【正确答案】D
【详解】试题解析： A.一元方程，有实数根.
B.二元方程有实数根.
C.一元二次方程，方程有两个没有相等的实数根.
D.一元二次方程，方程有没有实数根.
故选D.
点睛：一元二次方程根的判别式：
时，方程有两个没有相等实数根.
时，方程有两个相等的实数根.
时，方程没有实数根
8. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A. 4：9 B. 2：5 C. 2：3 D. ：
【正确答案】A
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，
故选：A．
本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.
9. 当，互为相反数时，代数式的值为（ ）
A. 2 B. 0 C. -2 D. 1
【正确答案】C
【分析】将a=−b 代入式中变形后即可计算得出结果．
【详解】∵与互为相反数，
∴，
∴，
∴．
故C．
10. 如图，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示－1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示－2015的点与圆周上表示数字（ ）的点重合．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】C
【详解】试题分析：∵﹣1﹣（﹣2015）=2014，2014÷4=503…2，∴数轴上表示数﹣2015的点与圆周上的数字2重合．故选C．
考点：数轴．
11. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意有，原计划每小时植树x棵，实际每小时植树棵，利用“实际比计划提前20分钟完成任务”列出方程即可．
【详解】解：根据题意有，
故选：A．
本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
12. 如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于⊙O，EF 与 BC，CD 分别相交于点 G，H，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【正确答案】C
【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出EF：GH的值是多少即可．
【详解】
解：如图，连接AC、BD、OF，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r•sin60°=r，
∴EF=r×2=r，
∵AO=2OI，
∴OI=r，CI=r-r=r，
∴ ，
∴GH=BD=r，
∴．
故选：C．
此题主要考查了正多边形与圆的关系、相似三角形的判断和性质以及角的锐角三角函数值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念．
13. 没有等式组的解集是（ ）
A. x＞ B. x＞﹣5 C. ＜x＜﹣5 D. x≥﹣5
【正确答案】D
【详解】解：没有等式组解集是x≥－5．故选D．
14. 画正三角形ABC（如图）水平放置的直观图△A′B′C′，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】步：在已知正三角形ABC中，取AB所在的直线为x轴，取对称轴CO为y轴，画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°，
第二步：在x′轴上取O′A′=OA，O′B′=OB，在y’轴上取O′C′=OC，
第三步：连接A′C′，B′C′，
所得三角形A′B′C′就是正三角形ABC的直观图，
根据画正三角形的直观图的方法可知此题选D，
故选D．
15. 如图1，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作，将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成次旋转，再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…，如图2，是六次旋转的位置图象，图中虚线是点M的运动轨迹，则在第四次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A. 1.4 B. 1.1 C. 0.8 D. 0.6
【正确答案】D
【详解】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1．故选D．
点睛：本题考查了正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
16. 如图，函数y= （x＜0）的图象与直线y= x+m相交于点A和点B．过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，P为线段AB上的一点，连接PE、PF．若△PAE和△PBF的面积相等，且xP=﹣ ，xA﹣xB=﹣3，则k的值是（ ）
A. ﹣5 B. C. ﹣2 D. ﹣1
【正确答案】C
【详解】解：由题意可得：xA、xB是方程=x+m即x2+2mx﹣2k=0的两根，∴xA+xB=﹣2m，xA•xB=﹣2k．∵点A、B在反比例函数y=的图象上，∴xA•yA=xB•yB=k．
∵S△PAE=S△PBF，∴yA（xP﹣xA）=（﹣xB）（yB﹣yP），整理得xP•yA=xB•yP，∴﹣=xB•yP，∴﹣k=xA•xB•yP=﹣2kyP．
∵k≠0，∴yP=，∴×（﹣）+m=，∴m=．
∵xA﹣xB=﹣3，∴（xA﹣xB）2=（xA+xB）2﹣4xA•xB=（﹣2×）2+8k=9，∴k=﹣2．
故选C．
点睛：本题主要考查了运用待定系数法求直线的解析式、根与系数的关系、完全平方公式等知识，运用根与系数的关系是解决本题的关键．
二、填 空 题（本大题共3小题，共10分）
17. 计算：4cos60°﹣ +（3﹣π）0=_____．
【正确答案】1
【详解】解：原式=4×﹣2+1=2﹣2+1=1．故答案为1．
18. 化简 的结果为_____．
【正确答案】x+1
【详解】解：原式==x+1．故答案为x+1．
19. 如图中的虚线网格为菱形网格，每一个小菱形的面积均为1，网格中虚线的交点称为格点，顶点都在格点的多边形称为格点多边形，如：格点▱ABCD的面积是6．
（1）格点△PMN的面积是_____；
（2）格点四边形EFGH的面积是_____．
【正确答案】 ①. 6 ②. 28
【详解】解：（1）如图，S△PMN=•S平行四边形MNEF=×12=6．故答案为6．
（2）S四边形EFGH=S平行四边形LJKT﹣S△LEH﹣S△HTG﹣S△FKG﹣S△EFJ=60﹣2﹣9﹣6﹣15=28．故答案为28．
故答案为6，28．
点睛：本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．
三、解 答 题（本大题共7小题，共68分）
20. ．
【正确答案】4 -2
【详解】试题分析：先用平方差公式计算，再用完全平方公式计算即可．
试题解析：解：原式=
=
=
=
=．
21. 如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．
（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；
（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为_____；
（3）在（1）的条件下，若CD=6，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．
【正确答案】(1)见解析 （2）AD=BE+DE （3）8
【详解】试题分析：（1）延长DA到F，使DF=DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得证；
（2）在AD上截取DF=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得到AD=BE+DE；
（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD，然后求出AD的长，再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解．
试题解析：（1）证明：如图①，延长DA到F，使DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°．又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即AD+BE=DE；
（2）解：如图②，在AD上截取DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°．又∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD=AF+DF=BE+DE，即AD=BE+DE；
故答案为AD=BE+DE．
（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=45°+45°=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴CD=DF=DE=6．∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，∴AD=×6=2，∴AE=AD+DE=2+6=8．
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度没有是很大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
22. 已知n边形的对角线共有 条（n是没有小于3的整数）；
（1）五边形的对角线共有_____条；
（2）若n边形的对角线共有35条，求边数n；
（3）若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n．
【正确答案】（1）5；（2）10； （3）10.
【详解】试题分析：（1）把n=5代入即可求得五边形的对角线的条数；
（2）根据题意得=35求得n值即可；
（3）﹣=9，求得n的值即可．
试题解析：解：（1）当n=5时，==5．故答案为5．
（2）=35，整理得：n2﹣3n﹣70=0，解得：n=10或n=﹣7（舍去），所以边数n=10．
（3）根据题意得：﹣=9，解得：n=10．
所以边数n=10．
23. 抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
【正确答案】（1）50；（2）16；（3）56（4）抽取的两人恰好都是男生的概率为，树状图见解析
【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；
（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）10÷20%=50（名）
答：本次抽样共抽取了50名学生.
（2）50-10-20-4=16（名）
答：测试结果为C等级的学生有16名.
图形统计图补充完整如下图所示：
（3）700×=56（名）
答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名.
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率=．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算A或B的概率．也考查了统计图．
24. 兄弟二人分吃一碗饺子，每人吃饺子的个数如下表：
（1）写出兄吃饺子数y与弟吃饺子数x之间的函数关系式（没有要求写xy的取值范围）：_____；
（2）虽然当弟吃的饺子个数增多时，兄吃的饺子数（y）在减少，但y与x是成反例吗？答：_____（填“是”或“没有是”）．
【正确答案】 ①. y=30﹣x ②. 没有是
【详解】试题分析：（1）根据题意，观察图表可得：x与y的和为定值30；故可得到y与x之间的函数关系式；
（2）依据反比例函数的定义即可求解．
试题解析：解：（1）观察表格可知，x+y=30即：y=30﹣x；
（2）x与y的乘积没有是定值，故y与x没有是成反例．
故答案为（1）y=30﹣x；（2）没有是．
25. 如图，AB是⊙O直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
【正确答案】（1）45°；（2）见解析；（3）①∠ACD=15°；∠ACD=105°；∠ACD=60°；∠ACD=120°；②36或．
【分析】（1）易得△ABC是等腰直角三角形，从而∠BAC=∠CBA=45°；
（2）分当 B在PA的中垂线上，且P在右时；B在PA的中垂线上，且P在左；A在PB的中垂线上，且P在右时；A在PB的中垂线上，且P在左时四中情况求解；
（3）①先说明四边形OHEF是正方形，再利用△DOH∽△DFE求出EF的长，然后利用割补法求面积；
②根据△EPC∽△EBA可求PC=4，根据△PDC∽△PCA可求PD •PA=PC2=16，再根据S△ABP=S△ABC得到，利用勾股定理求出k2,然后利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解：（1）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CBA=45°；
（2）解：∵，
∴∠CDB=∠CDP=45°，CB= CA，
∴CD平分∠BDP
又∵CD⊥BP，
∴BE=EP，
即CD是PB的中垂线，
∴CP=CB= CA，
（3）① （Ⅰ）如图2，当 B在PA的中垂线上，且P在右时，∠ACD=15°；
（Ⅱ）如图3，当B在PA的中垂线上，且P在左，∠ACD=105°；
（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD=60°；
（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD=120°
②（Ⅰ）如图6， ,
.
（Ⅱ）如图7， ,
,
.
，
.
,
,
.
设BD=9k,PD=2k,
,
,
,
.
本题是圆的综合题，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，同底等高的三角形的面积相等是解答本题的关键.
26. 已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，
（1）求证抛物线与x轴必有两个没有同交点；
（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．
【正确答案】（1）见解析 （2）1
【详解】试题分析：（1）先判断出△的符号即可得出结论；
（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b=﹣（p﹣1）2﹣1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．
试题解析：解：（1）∵△=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4＞0，∴抛物线与x轴必有两个没有同交点．
（2）设A（x1，0），B（x2，0），则|AB|2=|x2﹣x1|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4，∴|AB|=2．
又设顶点M（a，b），由y=（x+p）2﹣（p﹣1）2﹣1．
得：b=﹣（p﹣1）2﹣1．
当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM=|AB||b|取最小值1．
点睛：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．
2022-2023学年天津市蓟州区中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. ﹣2的相反数是（ ）
A. 2 B. C. ﹣2 D. 以上都没有对
2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. 且 D.
3. π、中，无理数的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
5. 如图，已知直线、被直线所截，，E是直线右边任意一点（点E没有在直线，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
6. 若没有等式组无解，则m取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数
0
1
2
3
4
人数
4
12
16
17
1
关于这组数据，下列说确的是（ ）
A. 中位数是2 B. 众数是17 C. 平均数是2 D. 方差是2
8. 下面计算中正确是（ ）
A. B. C. D.
9. 我国“神七”在2008年9月26日顺利升空，宇航员在27日下午4点30分在距离地球表面423公里的太空中完成了太空行走，这是我国航天事业的又一历史性时刻．将423公里用科学记数法表示应为（ ）米．
A. 42.3×104 B. 4.23×102 C. 4.23×105 D. 4.23×106
10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于( )
A. 112 B. 136 C. 124 D. 84
11. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和点（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＜0，其中正确结论的个数是（ ）
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
12. 如图：△ADB、△BCD均为等边三角形，若点顶点A、C均在反比例函数y=上，若C的坐标点（a、），则k的值为（ ）
A. 2 B. 3+ C. 3+2 D. 2
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
13. 已知，则a+b=_____
14. 化简：÷（﹣1）•a＝_____．
15. 已知关于x的方程x2＋2kx＋k2＋k＋3＝0的两根分别是x1，x2，则(x1－1)2＋(x2－1)2的最小值是________．
16. 敌我两军相距14千米，敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑，现我军以7千米/小时的速度追击_____小时后可追上敌军．
17. 如图，AB是的直径，弦，则阴影部分图形的面积为___________．
三、解 答 题（本题共7小题，共69分）
18. 先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x﹣5），其中x=．
19. 如图：△ABD和△ACE都是Rt△，其中∠ABD=∠ACE=90°，C在AB上，连接DE，M是DE中点，求证：MC=MB．
20. 抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
21. 某校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践．如图，她在山坡坡脚A出测得这座楼房的楼顶B点的仰角为60°，沿山坡往上走到C处再测得B点的仰角为45°．已知OA=200m，此山坡的坡比i=，且O、A、D在同一条直线上．
（1）求楼房OB高度；
（2）求小红在山坡上走过的距离AC．（计算过程和结果均没有取近似值）
22. 设C为线段AB中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD.
求证：（1）AD是⊙B的切线；
（2）AD＝AQ；
（3）BC2＝CF×EG．
23. 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，量将减少10个．设每个定价增加x元．
（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
（3）商店若要获得利润，则每个应定价多少元？获得的利润是多少？
24. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为 度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为 ；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA、PB、PC满足的等量关系为 ．
2022-2023学年天津市蓟州区中考数学专项提升仿真模拟试题
（3月）
一、选一选（每小题3分，共36分）
1. ﹣2的相反数是（ ）
A. 2 B. C. ﹣2 D. 以上都没有对
【正确答案】A
【详解】﹣2相反数是2，
故选:A.
2. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. 且 D.
【正确答案】C
【详解】,解得x≥﹣1且x≠ . 故选C.
3. π、中，无理数的个数是（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】B
【分析】根据无理数的定义即可判断.
【详解】解：在π、中，
无理数是：π，共2个．
故选B．
此题主要考查无理数的判断，解题的关键是熟知无理数的定义.
4. 下列计算正确的是
A. B. (a3)2=a5 C. D.
【正确答案】A
【分析】根据同底数幂相乘，底数没有变指数相加；幂的乘方，底数没有变指数相乘；同底数相除，底数没有变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】A、，正确；
B、应为，故本选项错误；
C、a与没有是同类项，没有能合并，故本选项错误
D、应为，故本选项错误．
故选A．
本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，合并同类项时，没有是同类项的一定没有能合并．
5. 如图，已知直线、被直线所截，，E是直线右边任意一点（点E没有在直线，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④
【正确答案】A
【分析】根据点E有3种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC=α-β．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β．
即①α+β，②α-β，③β-α，都成立．
故选A．
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
6. 若没有等式组无解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】没有等式组无解，即两个没有等式的解集没有公共部分，据此即可解答.
【详解】解：∵没有等式组无解，
∴
故选D.
求一元没有等式组解集的口诀为“同大取大，同小取小，大小小大中间找，小小找没有到”，本题没有等式组无解，满足“小小找没有到”，注意没有等号考虑m=3是否满足条件.
7. 在“朗读者”节目的影响下，某中学开展了“好书伴我成长”读书．为了解5月份八年级300名学生读书情况，随机了八年级50名学生读书的册数，统计数据如下表所示：
册数
0
1
2
3
4
人数
4
12
16
17
1
关于这组数据，下列说确的是（ ）
A. 中位数是2 B. 众数是17 C. 平均数是2 D. 方差是2
【正确答案】A
【分析】分别根据中位数、众数的定义以及平均数、方差的计算公式，求出中位数、众数、平均数和方差，即可得出结论．
【详解】解：A. 这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是2，则这组数据的中位数为2；故此选项正确；
B.这组样本数据中，3出现了17次，出现的次数至多，则这组数据的众数是3；故此选项错误；
C.这组样本数据的平均数为：（0×4+1×12+2×16+3×17+4×1）÷50=1.98（册）；故此选项错误；
D.方差是： ；故此选项错误；
故选：A．
本题考查了平均数、众数、中位数及方差的知识，熟练掌握各知识点的计算方法是解题的关键．
8. 下面计算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【详解】试题解析：A、原式没有能合并，错误；
B、原式=3-2=，正确；
C、原式=|-3|=3，错误；
D、原式=-1，错误.
故选B.
9. 我国“神七”在2008年9月26日顺利升空，宇航员在27日下午4点30分在距离地球表面423公里的太空中完成了太空行走，这是我国航天事业的又一历史性时刻．将423公里用科学记数法表示应为（ ）米．
A. 42.3×104 B. 4.23×102 C. 4.23×105 D. 4.23×106
【正确答案】C
【详解】423公里=423 000米=4.23×105米．
故选C．
10. 如图是某几何体的三视图，则该几何体的全面积等于( )
A. 112 B. 136 C. 124 D. 84
【正确答案】B
【详解】试题解析：该几何体是三棱柱.
如图：
由勾股定理
全面积为：
故该几何体的全面积等于136．
故选B.
11. 抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和点（﹣2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①b2﹣4ac＜0；②当x＞﹣1时，y随x的增大而减小；③a+b+c＜0；④若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2；⑤3a+c＜0，其中正确结论的个数是（ ）
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
【正确答案】B
【分析】根据函数与x中轴的交点的个数，以及对称轴，函数的增减性进行判断．
【详解】①函数与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①错误；
②函数的对称轴是x＝﹣1，开口向下，所以当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故②正确；
③当x＝1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c＜0，则③正确；
④根据图象可知：抛物线的值没有确定，
∴方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根时，m的值没有确定，故④错误，
⑤∵对称轴x＝﹣1＝﹣，
∴b＝2a，
∵a+b+c＜0，
∴3a+c＜0，故⑤正确，
所以正确的选项有②③⑤，
故选：B．
本题考查二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与X轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12. 如图：△ADB、△BCD均为等边三角形，若点顶点A、C均在反比例函数y=上，若C的坐标点（a、），则k的值为（ ）
A. 2 B. 3+ C. 3+2 D. 2
【正确答案】C
【详解】如图，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为E、F，
设OA=OB=2x，
∵△ADB、△BCD均为等边三角形，C（a，），
∴AE=x，BF=1，
∴A（x，x），C（2x+1，）．
∵A、C两点均在反比例函数的图象上，
∴x2=（2x+1），解得x1=1+，x2=1﹣（没有合题意），
∴C（3+2，），
∴k=（3+2×=3+2．
故选C．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
二、填 空 题（每小题3分，共15分）
13. 已知，则a+b=_____
【正确答案】-4
【详解】分析：首先根据值和算术平方根的非负性，求出a、b，然后代入多项式．
详解：∵
∴
∴a=−8，b=4，
∴a+b=−4，
故答案为:−4.
点睛：考查非负数的性质，注意两个非负数的和为零，那么它们的每一项都为零.
14. 化简：÷（﹣1）•a＝_____．
【正确答案】﹣a﹣1
【详解】原式==﹣（a+1）=﹣a﹣1，
故答案为﹣a﹣1.
15. 已知关于x的方程x2＋2kx＋k2＋k＋3＝0的两根分别是x1，x2，则(x1－1)2＋(x2－1)2的最小值是________．
【正确答案】8
【详解】∵关于x的方程x2+2kx+k2+k+3=0的两根分别是x1、x2，
∴x1+x2=﹣2k，x1•x2=k2+k+3，
∵△=4k2﹣4（k2+k+3）=﹣4k﹣12≥0，解得k≤﹣3，
∴（x1﹣1）2+（x2﹣1）2
=x12﹣2x1+1+x22﹣2x2+1
=（x1+x2）2﹣2x1x2﹣2（x1+x2）+2
=（﹣2k）2﹣2（k2+k+3）﹣2（﹣2k）+2
=2k2+2k﹣4
=2（k+）2﹣
当k=-3时，（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的值最小，最小为8.
故（x1﹣1）2+（x2﹣1）2的最小值是8．
故答案为8．
点睛：本题考查根与系数的关系和配方法的应用，根与系数的关系是数学中的内容，此题进行配方是解决问题的关键．
16. 敌我两军相距14千米，敌军于1小时前以4千米/小时的速度逃跑，现我军以7千米/小时的速度追击_____小时后可追上敌军．
【正确答案】6
【详解】设x小时后追上敌军，可列方程为7x-4x=14+4×1，解得x=6，则6小时后追上敌军．
故6．
17. 如图，AB是的直径，弦，则阴影部分图形的面积为___________．
【正确答案】
【分析】根据垂径定理求得，然后由圆周角定理知，然后通过解直角三角形求得线段、的长度，将相关线段的长度代入．
【详解】解：如图，假设线段、交于点，
是的直径，弦，
，
又，
，，
，，
．
故．
本题考查了垂径定理、扇形面积的计算，通过解直角三角形得到相关线段的长度是解答本题的关键．
三、解 答 题（本题共7小题，共69分）
18. 先化简，再求值：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x﹣5），其中x=．
【正确答案】﹣6x+9，0．
【分析】根据平方差公式和多项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可得解.
【详解】解：（2+x）（2﹣x）+（x﹣1）（x﹣5）
=4﹣x2+x2﹣6x+5
=﹣6x+9，
当x=时，原式=﹣6×+9=﹣9+9=0．
19. 如图：△ABD和△ACE都是Rt△，其中∠ABD=∠ACE=90°，C在AB上，连接DE，M是DE中点，求证：MC=MB．
【正确答案】证明见解析
【详解】试题分析：延长CM、DB交于G，先证△ECM≌△DMG，得CM=MG，于是在Rt△CBG中，BM＝=CM.
试题解析：
延长CM、DB交于G，
∵△ABD和△ACE都是Rt△，
∴CE∥BD，即CE∥DG，
∴∠CEM=∠GDM，∠MCE=∠MGD
又∵M是DE中点，即DM=EM，
∴△ECM≌△DMG，
∴CM=MG，
∵G在DB的延长线上，
∴△CBG是Rt△CBG，
∴在Rt△CBG中，BM＝=CM．
20. 抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
【正确答案】（1）50；（2）16；（3）56（4）抽取的两人恰好都是男生的概率为，树状图见解析
【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；
（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）10÷20%=50（名）
答：本次抽样共抽取了50名学生.
（2）50-10-20-4=16（名）
答：测试结果为C等级的学生有16名.
图形统计图补充完整如下图所示：
（3）700×=56（名）
答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名.
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率=．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算A或B的概率．也考查了统计图．
21. 某校九年级的小红同学，在自己家附近进行测量一座楼房高度的实践．如图，她在山坡坡脚A出测得这座楼房的楼顶B点的仰角为60°，沿山坡往上走到C处再测得B点的仰角为45°．已知OA=200m，此山坡的坡比i=，且O、A、D在同一条直线上．
（1）求楼房OB的高度；
（2）求小红在山坡上走过的距离AC．（计算过程和结果均没有取近似值）
【正确答案】（1）200 m；（2）m．
【分析】（1）由在Rt△ABO中，∠BAO=60°，OA=200，则可得tan60°=，则利用正切函数的知识即可求得答案；
（2）首先过点C作CE⊥BO于E，CH⊥OD于H，由题意可知i=,然后设CH=x，AH=2x，在Rt△BEC中，∠BCE=45°，利用直角三角形的性质，即可得方程：200﹣x=200+2x，由在Rt△ACH中，利用勾股定理即可求得答案．
【详解】解：（1）在Rt△ABO中，∠BAO=60°，OA=200m．
∵tan60°=，即，
∴OB=OA=200（m）．
（2）如图，过点C作CE⊥BO于E，CH⊥OD于H．
则OE=CH，EC=OH．
根据题意，知i=，
可设CH=x，AH=2x． …
在Rt△BEC中，∠BCE=45°，
∴BE=CE，
即OB﹣OE=OA+AH．
∴200﹣x=200+2x．
解得x=． …
在Rt△ACH中，
∵AC2=AH2+CH2，
∴AC2=（2x）2+x2=5x2．
∴AC=x=（m）．
答：高楼OB的高度为200m，小玲在山坡上走过的距离AC为 m．
22. 设C为线段AB的中点，四边形BCDE是以BC为一边的正方形，以B为圆心，BD长为半径的⊙B与AB相交于F点，延长EB交⊙B于G点，连接DG交于AB于Q点，连接AD.
求证：（1）AD是⊙B的切线；
（2）AD＝AQ；
（3）BC2＝CF×EG．
【正确答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】连接BD，由，C为AB的中点，由线段垂直平分线的性质，可得，再根据正方形的性质，可得；
由与，利用等边对等角与平行线的性质，即可求得，继而求得，由等角对等边，可证得；
易求得，，即可证得∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可证得结论．
【详解】证明：连接BD，
四边形BCDE是正方形，
，，即，
为AB的中点，
是线段AB的垂直平分线，
，
，
，
即，
为半径，
是的切线；
，
，
，
，
，
，，
，
；
连接DF，
在中，，
，
又，
，
，
在与中，
，，
∽，
，
又，
．
本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、正方形的性质以及等腰三角形的判定与性质.解题的关键是注意掌握数形思想的应用，注意辅助线的作法．
23. 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，量将减少10个．设每个定价增加x元．
（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x的代数式表示）？
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
（3）商店若要获得利润，则每个应定价多少元？获得的利润是多少？
【正确答案】（1）50+x﹣40=x+10（元）；（2）要使进货量较少,则每个定价为70元,应进货200个；（3）每个定价为65元时得利润,可获得的利润是6250元．
【分析】（1）根据利润=价-进价列关系式,
（2）总利润=每个利润×量,量为400-10x,列方程求解,根据题意取舍,
（3）利用函数的性质求最值.
【详解】由题意得:（1）50+x-40=x+10（元）,
（2）设每个定价增加x元,
列出方程为:（x+10）（400-10x）=6000,解得:x1=10,x2=20,要使进货量较少,则每个定价为70元,应进货200个,
（3）设每个定价增加x元,获得利润为y元,
y=（x+10）（400-10x）=-10x2+300x+4000=-10（x-15）2+6250,当x=15时,y有值为6250,所以每个定价为65元时得利润,可获得的利润是6250元.
24. 在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P是△ABC内一点，且∠PAC+∠PCA=，连接PB，试探究PA、PB、PC满足的等量关系．
（1）当α=60°时，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，连接PP′，如图1所示．由△ABP≌△ACP′可以证得△APP′是等边三角形，再由∠PAC+∠PCA=30°可得∠APC的大小为 度，进而得到△CPP′是直角三角形，这样可以得到PA、PB、PC满足的等量关系为 ；
（2）如图2，当α=120°时，参考（1）中的方法，探究PA、PB、PC满足的等量关系，并给出证明；
（3）PA、PB、PC满足的等量关系为 ．
【正确答案】（1）150，（2）证明见解析（3）
【分析】（1）根据旋转变换的性质得到△PAP′为等边三角形，得到∠P′PC＝90°，根据勾股定理解答即可；
（2）如图2，作将△ABP绕点A逆时针旋转120°得到△ACP′，连接PP′，作AD⊥PP′于D，根据余弦的定义得到PP′＝PA，根据勾股定理解答即可；
（3）与（2）类似，根据旋转变换的性质、勾股定理和余弦、正弦的关系计算即可．
试题解析：
【详解】解：（1）∵△ABP≌△ACP′，
∴AP＝AP′，
由旋转变换的性质可知，∠PAP′＝60°，P′C＝PB，
∴△PAP′为等边三角形，
∴∠APP′＝60°，
∵∠PAC＋∠PCA＝×60° ＝30°，
∴∠APC＝150°，
∴∠P′PC＝90°，
∴PP′2＋PC2＝P′C2，
∴PA2＋PC2＝PB2，
故答案为150，PA2＋PC2＝PB2；
（2）如图，作°，使，连接，．过点A作AD⊥于D点．
∵°，
即，
∴．
∵AB＝AC，，
∴.
∴，°．
∵AD⊥，
∴°.
∴Rt中，.
∴．
∵°，
∴°.
∴°．
∴在Rt中，.
∴；
（3）如图2，与（2）的方法类似，
作将△ABP绕点A逆时针旋转α得到△ACP′，连接PP′，
作AD⊥PP′于D，
由旋转变换性质可知，∠PAP′＝α，P′C＝PB，
∴∠APP′＝90°－，
∵∠PAC＋∠PCA＝，
∴∠APC＝180°－，
∴∠P′PC＝（180°－）－（90°－）＝90°，
∴PP′2＋PC2＝P′C2，
∵∠APP′＝90°－，
∴PD＝PA•cos（90°－）＝PA•sin，
∴PP′＝2PA•sin，
∴4PA2sin2＋PC2＝PB2，
故答案为4PA2sin2＋PC2＝PB2．
本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的性质、勾股定理的应用，掌握等边三角形的性质、旋转变换的性质、灵活运用类比思想是解题的关键．
2022-2023学年天津市蓟州区中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（本题共16个小题，共42分）
1. 在实数﹣ ，0.21， ，， ，0.20202中，无理数的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是对称图形的有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
3. 下列算式中，结果等于x6的是（ ）
A. x2•x2•x2 B. x2+x2+x2 C. x2•x3 D. x4+x2
4. 如图，AB∥CD，∠ABK角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（ ）
A. 76° B. 78° C. 80° D. 82°
5. 一组样本容量为5的数据中，其中a1=2.5，a2=3.5，a3=4，a4与a5的和为5，当a4、a5依次取多少时，这组样本方差有最小值（ ）
A. 1.5，3.5 B. 1，4 C. 2.5，2.5 D. 2，3
6. 如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）
A. 右转 B. 左转 C. 右转 D. 左转
7. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. 3x+2=0 B. 2x+3y=5 C. x2+x﹣1=0 D. x2+x+1=0
8. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A. 4：9 B. 2：5 C. 2：3 D. ：
9. 当，互为相反数时，代数式的值为（ ）
A. 2 B. 0 C. -2 D. 1
10. 如图，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示－1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示－2015的点与圆周上表示数字（ ）的点重合．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于⊙O，EF 与 BC，CD 分别相交于点 G，H，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
13. 没有等式组的解集是（ ）
A. x＞ B. x＞﹣5 C. ＜x＜﹣5 D. x≥﹣5
14. 画正三角形ABC（如图）水平放置的直观图△A′B′C′，正确的是（ ）
A B. C. D.
15. 如图1，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作，将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成次旋转，再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…，如图2，是六次旋转的位置图象，图中虚线是点M的运动轨迹，则在第四次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A. 1.4 B. 1.1 C. 0.8 D. 0.6
16. 如图，函数y= （x＜0）的图象与直线y= x+m相交于点A和点B．过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，P为线段AB上的一点，连接PE、PF．若△PAE和△PBF的面积相等，且xP=﹣ ，xA﹣xB=﹣3，则k的值是（ ）
A. ﹣5 B. C. ﹣2 D. ﹣1
二、填 空 题（本大题共3小题，共10分）
17. 计算：4cos60°﹣ +（3﹣π）0=_____．
18. 化简 的结果为_____．
19. 如图中虚线网格为菱形网格，每一个小菱形的面积均为1，网格中虚线的交点称为格点，顶点都在格点的多边形称为格点多边形，如：格点▱ABCD的面积是6．
（1）格点△PMN的面积是_____；
（2）格点四边形EFGH的面积是_____．
三、解 答 题（本大题共7小题，共68分）
20. ．
21. 如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．
（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；
（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为_____；
（3）在（1）的条件下，若CD=6，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．
22. 已知n边形的对角线共有 条（n是没有小于3的整数）；
（1）五边形的对角线共有_____条；
（2）若n边形的对角线共有35条，求边数n；
（3）若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n．
23. 抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
24. 兄弟二人分吃一碗饺子，每人吃饺子的个数如下表：
（1）写出兄吃饺子数y与弟吃饺子数x之间函数关系式（没有要求写xy的取值范围）：_____；
（2）虽然当弟吃的饺子个数增多时，兄吃的饺子数（y）在减少，但y与x是成反例吗？答：_____（填“是”或“没有是”）．
25. 如图，AB是⊙O的直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
26. 已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，
（1）求证抛物线与x轴必有两个没有同交点；
（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．
2022-2023学年天津市蓟州区中考数学专项提升仿真模拟试题
（4月）
一、选一选（本题共16个小题，共42分）
1. 在实数﹣ ，0.21， ，， ，0.20202中，无理数的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【正确答案】C
【详解】在实数﹣，0.21， ， ， ，0.20202中，
根据无理数的定义可得其中无理数有﹣，，，共三个．
故选C．
2. 有以下图形：平行四边形、矩形、等腰三角形、线段、菱形，其中既是轴对称图形又是对称图形的有（ ）
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
【正确答案】C
【详解】矩形，线段、菱形是轴对称图形，也是对称图形，符合题意；
等腰三角形是轴对称图形，没有是对称图形，没有符合题意；
平行四边形没有是轴对称图形，是对称图形，没有符合题意．
共3个既是轴对称图形又是对称图形．
故选C．
3. 下列算式中，结果等于x6的是（ ）
A. x2•x2•x2 B. x2+x2+x2 C. x2•x3 D. x4+x2
【正确答案】A
【详解】解：A、x2•x2•x2=x6，故选项A符合题意；
B、x2+x2+x2=3x2，故选项B没有符合题意；
C、x2•x3=x5，故选项C没有符合题意；
D、x4+x2，无法计算，故选项D没有符合题意．
故选A．
4. 如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（ ）
A. 76° B. 78° C. 80° D. 82°
【正确答案】B
【详解】如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，
∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK），
∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°，
∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC，
又∠BKC﹣∠BHC=27°，
∴∠BHC=∠BKC﹣27°，
∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°），
∴∠BKC=78°，
故选B．
5. 一组样本容量为5的数据中，其中a1=2.5，a2=3.5，a3=4，a4与a5的和为5，当a4、a5依次取多少时，这组样本方差有最小值（ ）
A. 1.5，3.5 B. 1，4 C. 2.5，2.5 D. 2，3
【正确答案】C
【详解】解：=（2.5+3.5+4+5）÷5=3，设a4=x，则a5=5﹣x，S2=[（2.5﹣3）2+（3.5﹣3）2+（4﹣3）2+（x﹣3）2+（5﹣x﹣3）2]=（x﹣2.5）2+，当x=2.5时，方差有最小值，∴a4=2.5，则a5=2.5．
故选C．
6. 如图，小明从处出发沿北偏东方向行走至处，又沿北偏西方向行走至处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ）
A. 右转 B. 左转 C. 右转 D. 左转
【正确答案】A
【分析】根据两直线平行同位角相等的性质进行计算即可．
【详解】为了把方向调整到与出发时相一致，小明先转20°使其正面向北，再向北偏东转60°，即得到了与出发时一致的方向，所以，调整应是右转20°+60°=80°，
故选：A．
本题考查了两直线平行同位角相等的性质，方位角的定义，掌握两直线平行同位角相等的性质是解题的关键．
7. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. 3x+2=0 B. 2x+3y=5 C. x2+x﹣1=0 D. x2+x+1=0
【正确答案】D
【详解】试题解析： A.一元方程，有实数根.
B.二元方程有实数根.
C.一元二次方程，方程有两个没有相等的实数根.
D.一元二次方程，方程有没有实数根.
故选D.
点睛：一元二次方程根的判别式：
时，方程有两个没有相等实数根.
时，方程有两个相等的实数根.
时，方程没有实数根
8. 如图，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似的位似图形，若OA：OA′＝2：3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为（ ）
A. 4：9 B. 2：5 C. 2：3 D. ：
【正确答案】A
【分析】根据题意求出两个相似多边形的相似比，根据相似多边形的性质解答．
【详解】解：∵四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似的位似图形，OA：OA′＝2：3，
∴DA：D′A′＝OA：OA′＝2：3，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为：4：9，
故选：A．
本题是对相似图形的考查，熟练掌握多边形相似的性质是解决本题的关键.
9. 当，互为相反数时，代数式的值为（ ）
A. 2 B. 0 C. -2 D. 1
【正确答案】C
【分析】将a=−b 代入式中变形后即可计算得出结果．
【详解】∵与互为相反数，
∴，
∴，
∴．
故C．
10. 如图，圆的周长为4个单位．在该圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示－1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示－2015的点与圆周上表示数字（ ）的点重合．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】C
【详解】试题分析：∵﹣1﹣（﹣2015）=2014，2014÷4=503…2，∴数轴上表示数﹣2015的点与圆周上的数字2重合．故选C．
考点：数轴．
11. 为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级(1)班全体师生义务植树300棵.原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务.则下面所列方程中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据题意有，原计划每小时植树x棵，实际每小时植树棵，利用“实际比计划提前20分钟完成任务”列出方程即可．
【详解】解：根据题意有，
故选：A．
本题主要考查列分式方程，读懂题意找到等量关系是解题的关键．
12. 如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于⊙O，EF 与 BC，CD 分别相交于点 G，H，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【正确答案】C
【分析】首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，再用EF的值比上GH的值，求出EF：GH的值是多少即可．
【详解】
解：如图，连接AC、BD、OF，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r•sin60°=r，
∴EF=r×2=r，
∵AO=2OI，
∴OI=r，CI=r-r=r，
∴ ，
∴GH=BD=r，
∴．
故选：C．
此题主要考查了正多边形与圆的关系、相似三角形的判断和性质以及角的锐角三角函数值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念．
13. 没有等式组的解集是（ ）
A. x＞ B. x＞﹣5 C. ＜x＜﹣5 D. x≥﹣5
【正确答案】D
【详解】解：没有等式组解集是x≥－5．故选D．
14. 画正三角形ABC（如图）水平放置的直观图△A′B′C′，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】步：在已知正三角形ABC中，取AB所在的直线为x轴，取对称轴CO为y轴，画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′=45°，
第二步：在x′轴上取O′A′=OA，O′B′=OB，在y’轴上取O′C′=OC，
第三步：连接A′C′，B′C′，
所得三角形A′B′C′就是正三角形ABC的直观图，
根据画正三角形的直观图的方法可知此题选D，
故选D．
15. 如图1，已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK边与AB边重合，如图所示，按下列步骤操作，将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转，使KM边与BC边重合，完成次旋转，再绕点C顺时针旋转，使MN边与CD边重合，完成第二次旋转；…，如图2，是六次旋转的位置图象，图中虚线是点M的运动轨迹，则在第四次旋转的过程中，点B，M间的距离可能是（ ）
A. 1.4 B. 1.1 C. 0.8 D. 0.6
【正确答案】D
【详解】解：如图，在这样连续6次旋转的过程中，点M的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点B，M间的距离大于等于2﹣小于等于1．故选D．
点睛：本题考查了正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点M的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
16. 如图，函数y= （x＜0）的图象与直线y= x+m相交于点A和点B．过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥y轴于点F，P为线段AB上的一点，连接PE、PF．若△PAE和△PBF的面积相等，且xP=﹣ ，xA﹣xB=﹣3，则k的值是（ ）
A. ﹣5 B. C. ﹣2 D. ﹣1
【正确答案】C
【详解】解：由题意可得：xA、xB是方程=x+m即x2+2mx﹣2k=0的两根，∴xA+xB=﹣2m，xA•xB=﹣2k．∵点A、B在反比例函数y=的图象上，∴xA•yA=xB•yB=k．
∵S△PAE=S△PBF，∴yA（xP﹣xA）=（﹣xB）（yB﹣yP），整理得xP•yA=xB•yP，∴﹣=xB•yP，∴﹣k=xA•xB•yP=﹣2kyP．
∵k≠0，∴yP=，∴×（﹣）+m=，∴m=．
∵xA﹣xB=﹣3，∴（xA﹣xB）2=（xA+xB）2﹣4xA•xB=（﹣2×）2+8k=9，∴k=﹣2．
故选C．
点睛：本题主要考查了运用待定系数法求直线的解析式、根与系数的关系、完全平方公式等知识，运用根与系数的关系是解决本题的关键．
二、填 空 题（本大题共3小题，共10分）
17. 计算：4cos60°﹣ +（3﹣π）0=_____．
【正确答案】1
【详解】解：原式=4×﹣2+1=2﹣2+1=1．故答案为1．
18. 化简 的结果为_____．
【正确答案】x+1
【详解】解：原式==x+1．故答案为x+1．
19. 如图中的虚线网格为菱形网格，每一个小菱形的面积均为1，网格中虚线的交点称为格点，顶点都在格点的多边形称为格点多边形，如：格点▱ABCD的面积是6．
（1）格点△PMN的面积是_____；
（2）格点四边形EFGH的面积是_____．
【正确答案】 ①. 6 ②. 28
【详解】解：（1）如图，S△PMN=•S平行四边形MNEF=×12=6．故答案为6．
（2）S四边形EFGH=S平行四边形LJKT﹣S△LEH﹣S△HTG﹣S△FKG﹣S△EFJ=60﹣2﹣9﹣6﹣15=28．故答案为28．
故答案为6，28．
点睛：本题考查了菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求面积，属于中考常考题型．
三、解 答 题（本大题共7小题，共68分）
20. ．
【正确答案】4 -2
【详解】试题分析：先用平方差公式计算，再用完全平方公式计算即可．
试题解析：解：原式=
=
=
=
=．
21. 如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．
（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；
（2）如图②，当CQ在∠ACB外部时，则线段AD、BE与DE的关系为_____；
（3）在（1）的条件下，若CD=6，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．
【正确答案】(1)见解析 （2）AD=BE+DE （3）8
【详解】试题分析：（1）延长DA到F，使DF=DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得证；
（2）在AD上截取DF=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得到AD=BE+DE；
（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD，然后求出AD的长，再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解．
试题解析：（1）证明：如图①，延长DA到F，使DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°．又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，∴∠ACD+∠BCE=90°﹣45°=45°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即AD+BE=DE；
（2）解：如图②，在AD上截取DF=DE．∵CD⊥AE，∴CE=CF，∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°．又∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCE．在△ACF和△BCE中，∵，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，∴AD=AF+DF=BE+DE，即AD=BE+DE；
故答案为AD=BE+DE．
（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=45°+45°=90°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴CD=DF=DE=6．∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，∴AD=×6=2，∴AE=AD+DE=2+6=8．
点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，综合性较强，但难度没有是很大，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
22. 已知n边形的对角线共有 条（n是没有小于3的整数）；
（1）五边形的对角线共有_____条；
（2）若n边形的对角线共有35条，求边数n；
（3）若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n．
【正确答案】（1）5；（2）10； （3）10.
【详解】试题分析：（1）把n=5代入即可求得五边形的对角线的条数；
（2）根据题意得=35求得n值即可；
（3）﹣=9，求得n的值即可．
试题解析：解：（1）当n=5时，==5．故答案为5．
（2）=35，整理得：n2﹣3n﹣70=0，解得：n=10或n=﹣7（舍去），所以边数n=10．
（3）根据题意得：﹣=9，解得：n=10．
所以边数n=10．
23. 抚顺某中学为了解八年级学生的体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
（1）本次抽样共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
（4）若从体能为A等级的2名男生2名女生中随机的抽取2名学生，做为该校培养运动员的对象，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的两人恰好都是男生的概率．
【正确答案】（1）50；（2）16；（3）56（4）抽取的两人恰好都是男生的概率为，树状图见解析
【分析】（1）用A等级的频数除以它所占的百分比即可得到样本容量；
（2）用总人数分别减去A、B、D等级的人数得到C等级的人数，然后补全条形图；（3）用700乘以D等级的百分比可估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生数；
（4）画树状图展示12种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好都是男生的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】（1）10÷20%=50（名）
答：本次抽样共抽取了50名学生.
（2）50-10-20-4=16（名）
答：测试结果为C等级的学生有16名.
图形统计图补充完整如下图所示：
（3）700×=56（名）
答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名.
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好都是男生的结果数为2，
所以抽取的两人恰好都是男生的概率=．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算A或B的概率．也考查了统计图．
24. 兄弟二人分吃一碗饺子，每人吃饺子的个数如下表：
（1）写出兄吃饺子数y与弟吃饺子数x之间的函数关系式（没有要求写xy的取值范围）：_____；
（2）虽然当弟吃的饺子个数增多时，兄吃的饺子数（y）在减少，但y与x是成反例吗？答：_____（填“是”或“没有是”）．
【正确答案】 ①. y=30﹣x ②. 没有是
【详解】试题分析：（1）根据题意，观察图表可得：x与y的和为定值30；故可得到y与x之间的函数关系式；
（2）依据反比例函数的定义即可求解．
试题解析：解：（1）观察表格可知，x+y=30即：y=30﹣x；
（2）x与y的乘积没有是定值，故y与x没有是成反例．
故答案为（1）y=30﹣x；（2）没有是．
25. 如图，AB是⊙O直径，，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上的一个动点，直线PA与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．
（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段PA的中垂线上时，求出所有满足条件的∠ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
【正确答案】（1）45°；（2）见解析；（3）①∠ACD=15°；∠ACD=105°；∠ACD=60°；∠ACD=120°；②36或．
【分析】（1）易得△ABC是等腰直角三角形，从而∠BAC=∠CBA=45°；
（2）分当 B在PA的中垂线上，且P在右时；B在PA的中垂线上，且P在左；A在PB的中垂线上，且P在右时；A在PB的中垂线上，且P在左时四中情况求解；
（3）①先说明四边形OHEF是正方形，再利用△DOH∽△DFE求出EF的长，然后利用割补法求面积；
②根据△EPC∽△EBA可求PC=4，根据△PDC∽△PCA可求PD •PA=PC2=16，再根据S△ABP=S△ABC得到，利用勾股定理求出k2,然后利用三角形面积公式求解.
【详解】（1）解：（1）连接BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°.
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CBA=45°；
（2）解：∵，
∴∠CDB=∠CDP=45°，CB= CA，
∴CD平分∠BDP
又∵CD⊥BP，
∴BE=EP，
即CD是PB的中垂线，
∴CP=CB= CA，
（3）① （Ⅰ）如图2，当 B在PA的中垂线上，且P在右时，∠ACD=15°；
（Ⅱ）如图3，当B在PA的中垂线上，且P在左，∠ACD=105°；
（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD=60°；
（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD=120°
②（Ⅰ）如图6， ,
.
（Ⅱ）如图7， ,
,
.
，
.
,
,
.
设BD=9k,PD=2k,
,
,
,
.
本题是圆的综合题，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半，平行线的性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，同底等高的三角形的面积相等是解答本题的关键.
26. 已知抛物线y=x2+2px+2p﹣2的顶点为M，
（1）求证抛物线与x轴必有两个没有同交点；
（2）设抛物线与x轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小．
【正确答案】（1）见解析 （2）1
【详解】试题分析：（1）先判断出△的符号即可得出结论；
（2）设A（x1，0），B（x2，0），利用两点间的距离公式即可得出|AB|的表达式，设顶点M（a，b），再把原式化为顶点式的形式，即可得到b=﹣（p﹣1）2﹣1，根据二次函数的最值及三角形的面积公式即可解答．
试题解析：解：（1）∵△=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4＞0，∴抛物线与x轴必有两个没有同交点．
（2）设A（x1，0），B（x2，0），则|AB|2=|x2﹣x1|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=4p2﹣8p+8=4（p﹣1）2+4，∴|AB|=2．
又设顶点M（a，b），由y=（x+p）2﹣（p﹣1）2﹣1．
得：b=﹣（p﹣1）2﹣1．
当p=1时，|b|及|AB|均取最小，此时S△ABM=|AB||b|取最小值1．
点睛：本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，涉及的知识点为：根的判别式、两点间的距离公式、二次函数的顶点式及三角形的面积，熟知以上知识是解答此题的关键．
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