第二章　6.1　第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形

第3课时　用余弦定理、正弦定理解三角形

课后篇巩固提升

基础达标练

1.(2019安徽高一期中)一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是(　　)

A.10 海里 B.10 海里

C.20 海里 D.20 海里

解析根据已知条件画出示意图.如图所示,

可知在△ABC中,AB=20海里,∠BAC=30°,∠ABC=105°,所以∠C=45°,由正弦定理,有,所以BC==10(海里).故选B.

答案B

2.(2019黑龙江哈九中高三月考(文))在△ABC中,若sin 2A+sin 2B<sin 2C,则△ABC的形状是(　　)

A.钝角三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.不能确定

解析因为在△ABC中,满足sin 2A+sin2B<sin 2C,所以由正弦定理知sin A=,sin B=,sin C=,R为三角形外接圆的半径,代入上式得a2+b2<c2,

又由余弦定理可得cos C=<0,因为C是三角形的内角,所以C∈,π,

所以△ABC为钝角三角形.故选A.

答案A

3.(2020天津静海一中高一月考)若点A在点C的北偏东60°方向上,点B在点C的南偏东30°方向上,且AC=BC,则点A在点B的(　　)

A.北偏东15°方向上 

B.北偏西15°方向上

C.北偏东10°方向上 

D.北偏西10°方向上

解析由

题意,点A在点C的北偏东60°方向上,点B在点C的南偏东30°方向上,且AC=BC,可得几何位置关系如图所示:

过点B作平行于y轴的直线BE,

则∠CBE=30°,∠ABC=45°,所以∠ABE=15°,故点A在点B的北偏东15°方向上.故选A.

答案A

4.(多选)某人在A处向正东方向走x km后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3 km到达C处,结果他离出发点恰好 km,那么x的值为(　　)

A. B.2 C.3 D.3

解析由题意得∠ABC=30°,由余弦定理的推论得cos 30°=,整理得x2-3x+6=0,解得x=2或x=.故选AB.

答案AB

5.(多选)在△ABC中,以下结论正确的是(　　)

A.若a2>b2+c2,则△ABC为钝角三角形

B.若a2=b2+c2+bc,则A为120°

C.若a2+b2>c2,则△ABC为锐角三角形

D.若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3

解析由cos A=<0,可知角A为钝角,则△ABC为钝角三角形,故A正确;

由a2=b2+c2+bc,结合余弦定理可知cos A=-,所以A=120°,故B正确;

由a2+b2>c2,结合余弦定理可知cos C=>0,只能判断角C为锐角,不能判断角A,B的情况,所以△ABC不一定为锐角三角形,故C错误;

由A∶B∶C=1∶2∶3可得A=30°,B=60°,C=90°,则a∶b∶c=sin 30°∶sin 60°∶sin 90°=∶1≠1∶2∶3,故D错误.故选AB.

答案AB

能力提升练

1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了三种测量方案:(△ABC的内角A,B,C所对的边分别记为a,b,c):

①测量A,C,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a.

一定能确定A,B间距离的所有方案的序号为(　　)

A.①② B.②③

C.①③ D.①②③

解析①测量A,C,b,因为知道A,C,可求出B,由正弦定理可求出c;②测量a,b,C,已知两边及夹角,可利用余弦定理求出c;③测量A,B,a,因为知道A,B,可求出C,由正弦定理可求出c,故三种方法都可以.

答案D

2.在△ABC中,D在线段AB上,且AD=5,BD=3,若CB=2CD,cos∠CDB=-,则(　　)

A.sin∠CDB=

B.△ABC的面积为8

C.△ABC的周长为8+4

D.△ABC为钝角三角形

解析因为cos∠CDB=-,所以sin∠CDB=,故A错误;

设CD=a(a>0),则BC=2a,在△BCD中,BC2=CD2+BD2-2BD·CD·cos∠CDB,解得a=,所以S△DBC=BD·CD·sin∠CDB=×3×=3,所以S△ABC=S△DBC=8,故B正确;

因为∠ADC=π-∠CDB,

所以cos∠ADC=cos(π-∠CDB)=-cos∠CDB=,

在△ADC中,AC2=AD2+CD2-2AD·DC·cos∠ADC,

解得AC=2,

所以C△ABC=AB+AC+BC=(3+5)+2+2=8+4,故C正确;

因为AB=8为最大边,

所以cos C==-<0,即∠C为钝角,所以△ABC为钝角三角形,故D正确.

故选BCD.

答案BCD

3.(2019江苏高二开学考试)已知一船以每小时15 km的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°,行驶4 h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔的距离为　　　　 km. 

解析依题意,作图如图,

由题意可知AC=15×4=60(km),在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=105°,

所以∠ABC=180°-30°-105°=45°,

所以由正弦定理知,

所以BC==30(km).

答案30

4.(2020北京人大附中高三期中)已知在四边形ABCD中,BC⊥CD,AC=BC,∠ABC=.

(1)求∠ACB的值;

(2)若BC=,AD=,求BD的长.

解(1)在△ABC中,由正弦定理可得,

又由AC=BC,解得sin∠BAC=,

因为∠BAC为锐角,所以∠BAC=,

因此∠ACB=π-∠ABC-∠BAC=.

(2)因为BC⊥CD,所以∠BCD=,

所以∠ACD=.

设CD=x(x>0),在△ACD中,AC=BC=3,

由余弦定理得AD2=AC2+CD2-2AC·CD·cos,

即=32+x2-2×3×x×,

整理得x2-3x-4=0,解得x=4.

因此,BD=.

素养培优练

　(2019海南高一期中)如图,在海岸A处发现北偏东45°方向,距A处(-1)海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向,距A处2海里的C处是我方的缉私船,并奉命以10海里/时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/时的速度从B处向北偏东30方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?求出所需时间.(注:≈2.5,结果精确到0.1)

解设缉私船应沿CD方向行驶t小时,才能最快截获走私船(在D点),

则CD=10t海里,BD=10t海里,

在△ABC中,由余弦定理,得

BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A

=+22-2·(-1)·2·cos 120°=6,

解得BC=.

又因为,

所以sin∠ABC=,

所以∠ABC=45°,故B点在C点的正东方向上,

所以∠CBD=90°+30°=120°,

在△BCD中,由正弦定理,得,

所以sin∠BCD=.所以∠BCD=30°,所以缉私船沿北偏东60°的方向行驶.

又在△BCD中,∠CBD=120°,∠BCD=30°,

所以∠D=30°,所以BD=BC,即10t=,

解得t=小时≈15.0分钟.

所以缉私船应沿北偏东60°的方向行驶,才能最快截获走私船,大约需要15.0分钟.