2022-2023学年辽宁省营口市中考数学专项突破仿真模拟卷（一模二模）含解析

这是一份2022-2023学年辽宁省营口市中考数学专项突破仿真模拟卷（一模二模）含解析，共46页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年辽宁省营口市中考数学专项突破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（共10小题，每题4分，满分40分）
1. 计算﹣2+3的结果是（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. ﹣5 D. ﹣6
2. 下列四个几何体中，三视图都是相同图形的是（　　）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（　　）
A. a+a=a2 B. a•a=a2 C. （a3）2=a5 D. a2•a3=a6
4. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠0 B. x＞2 C. x≥2 D. x≠2
5. “明天下雨的概率为80%”这句话指的是（　　）
A. 明天一定下雨
B. 明天80%的地区下雨，20%的地区没有下雨
C. 明天下雨的可能性是80%
D. 明天80%的时间下雨，20%的时间没有下雨
6. 正方形网格中，如图放置，则的值为（　　）

A. B. C. D.
7. 没有等式组解集是（　　）
A. x＞-1 B. -1＜x＜2 C. x＜2 D. x＜-1或x＞2
8. a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
9. 如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则的值为（）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，﹣b）．如f（1，2）=（1，﹣2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，﹣9））=
A. （5，﹣9） B. （﹣9，﹣5） C. （5，9） D. （9，5）
二、填 空 题（共6小题，每题4分，满分24分）
11. 相反数是_________.
12. “节约光荣，浪费可耻”，据统计我国每年浪费粮食约8000000吨，这个数据用科学记数法可表示___吨．
13. 抛物线的顶点坐标为_______．
14. 数据27，30，28，29，30，29，30的中位数是_____．
15. 正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为______．

16. 如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在OB上，若将△ABC沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上的点D处，则点C的坐标是_____．

三、解 答 题（共8小题，满分86分）
17. （1）计算：|﹣3|﹣﹣2sin30°+（﹣）﹣2
（2）化简.
18. 如图，已知AB∥CD，若∠A=20°，∠E=35°，求∠C的度数．

19. 《九章算术》中有一道阐述“盈没有足术”问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，没有足四．问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
20. 小莉和哥哥玩扑克牌游戏，小莉有数字为1，2，3，5的四张牌，哥哥有数字为4，6，7，8的四张牌，按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉胜；如果和为奇数，则哥哥胜．
（1）请用树状图或列表法分别求出小莉胜和哥哥胜的概率；
（2）这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若没有公平，请你设计一种公平的游戏规则．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；（保留作图痕迹，没有写作法）
（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．

22. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，ta，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D、E，得到DE弧．
（1）求证：AB为⊙C的切线．
（2）求图中阴影部分的面积．

23. 某同学用两个完全相同的直角三角形纸片重叠在一起(如图1)固定△ABC没有动，将△DEF沿线段AB向右平移．

(1)若∠A=60°，斜边AB=4，设AD=x(0≤x≤4)，两个直角三角形纸片重叠部分的面积为y，试求出y与x的函数关系式;
(2)在运动过程中，四边形CDBF能否为正方形，若能，请指出此时点D位置，并说明理由; 若没有能，请你添加一个条件，并说明四边形CDBF为正方形？
24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线点，.

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，
①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
②点在轴上运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”.请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值.













2022-2023学年辽宁省营口市中考数学专项突破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（共10小题，每题4分，满分40分）
1. 计算﹣2+3的结果是（ ）
A. 1 B. ﹣1 C. ﹣5 D. ﹣6
【正确答案】A

【详解】试题分析：根据异号两数相加的法则进行计算即可．
解：因为﹣2，3异号，且|﹣2|＜|3|，所以﹣2+3=1．
故选A．
点评：本题主要考查了异号两数相加，取值较大的符号，并用较大的值减去较小的值．
2. 下列四个几何体中，三视图都是相同图形的是（　　）
A. B. C. D.
【正确答案】C

【分析】根据简单几何体的三视图进行分析即可
【详解】解：A、长方体的三视图分别为长方形，长方形，正方形，没有符合题意；
B、圆柱的三视图分别为长方形，长方形，圆，没有符合题意；
C、球的三视图均为圆，正确；
D、正三棱柱的主视图为两个长方形的组合体，左视图为长方形，俯视图为三角形，错误，
故选C．
简单几何体的三视图．
3. 下列计算正确是（　　）
A. a+a=a2 B. a•a=a2 C. （a3）2=a5 D. a2•a3=a6
【正确答案】B

【详解】分析：根据合并同类项法则，幂的乘方，同底数幂的乘法分别求出每个式子的值，再判断即可.
详解：A、结果是2a，故本选项错误；
B、结果是a2，故本选项正确；
C、结果是a6，故本选项错误；
D、结果是a5，故本选项错误；
故选B．
点睛：本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法的应用，能正确运用法则进行计算是解题的关键，本题难度没有大.
4. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A. x≠0 B. x＞2 C. x≥2 D. x≠2
【正确答案】D

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二分式分母没有为0的条件，要使在实数范围内有意义，即可
【详解】由题意得：．
故选D．
5. “明天下雨的概率为80%”这句话指的是（　　）
A. 明天一定下雨
B. 明天80%的地区下雨，20%的地区没有下雨
C. 明天下雨的可能性是80%
D. 明天80%的时间下雨，20%的时间没有下雨
【正确答案】C

【详解】解：“明天下雨的概率为80%”说明明天下雨的可能性是80%，即P（A）=80%．
故选C．
本题考查概率的意义．
6. 正方形网格中，如图放置，则的值为（　　）

A. B. C. D.
【正确答案】A

【分析】作EF⊥OB，则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题．
【详解】解：如图，作EF⊥OB，

则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．

故选A．
本题考查的是锐角三角函数，本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．
7. 没有等式组的解集是（　　）
A. x＞-1 B. -1＜x＜2 C. x＜2 D. x＜-1或x＞2
【正确答案】B

【详解】试题分析：
由①得，x＞-1，
由②得，x＜2，
∴原没有等式组的解集是-1＜x＜2．
故选B．
考点：解一元没有等式组．
8. a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
【正确答案】D

【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项
【详解】当a＞0时，函数y＝ 的图象位于一、三象限，y＝﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，
当a＜0时，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；
故选D．
本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度没有大．
9. 如图，点A，B坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则的值为（）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【正确答案】B

【分析】先根据点A、B及其对应点的坐标得出平移方向和距离，据此求出a、b的值，继而可得答案．
【详解】解：由点A（2，0）的对应点A1（4，b）知向右平移2个单位，
由点B（0，1）的对应点B1（a，2）知向上平移1个单位，
∴a=0+2=2，b=0+1=1，
∴a+b=2+1=3，
故B．
本题主要考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握横坐标的平移规律为：右移加，左移减；纵坐标的平移规律为：上移加，下移减．
10. 对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，﹣b）．如f（1，2）=（1，﹣2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，﹣9））=
A. （5，﹣9） B. （﹣9，﹣5） C. （5，9） D. （9，5）
【正确答案】D

【详解】试题分析：根据两种变换的规则，先计算f（5，﹣9）=（5，9），再计算g（5，9）即可：
g（f（5，﹣9））=g（5，9）=（9，5）．故选D．
二、填 空 题（共6小题，每题4分，满分24分）
11. 的相反数是_________.
【正确答案】

【分析】相反数：只有符号没有同的两个数互为相反数.
【详解】∵与只有符号没有同
∴答案是.
考相反数的概念，掌握即可解题.
12. “节约光荣，浪费可耻”，据统计我国每年浪费粮食约8000000吨，这个数据用科学记数法可表示为___吨．
【正确答案】8×106．

【详解】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于1．当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）．8000000一共7位，从而8000000=8×106．　
考点：科学记数法．
13. 抛物线的顶点坐标为_______．
【正确答案】

【分析】直接利用顶点式的特点可求顶点坐标．
【详解】解：∵是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，2）．
故（1，2）．
此题考查二次函数的性质，掌握顶点式的性质是解决问题的关键．
14. 数据27，30，28，29，30，29，30的中位数是_____．
【正确答案】29

【详解】分析：找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
详解：将原数据按照从小到大重新排列为27、28、29、29、30、30、30，
所以中位数为29，
故答案为29．
点睛：本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
15. 正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上，且DP＝1，点Q是AC上一动点，则DQ＋PQ的最小值为______．

【正确答案】5

【分析】要求DQ+PQ的最小值，DQ，PQ没有能直接求，可考虑通过作辅助线转化DQ，PQ的值，从而找出其最小值求解．
【详解】解：如图，连接BP，

由正方形ABCD的性质可知点B和点D关于直线AC对称，
∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，
∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，
∴CP=3，
∴BP=，
∴DQ+PQ的最小值是5．
故答案为5．
本题考查轴对称-最短路线问题、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握轴对称-最短路线问题、勾股定理及正方形的性质是解题的关键．
16. 如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在OB上，若将△ABC沿AC折叠，使点B恰好落在x轴上的点D处，则点C的坐标是_____．

【正确答案】C（0，1.5）．

【详解】试题分析：利用三角形全等性质．
试题解析：由题意得：A（-3，0），B（0，4）；
∴OA=3，OB=4．那么可得AB=5．
易得△ABC≌△ADC，∴AD=AB=5，∴OD=AD-OA=2．
设OC为x．那么BC=CD=4-x．那么x2+22=（4-x）2，
解得x=1.5，
∴C（0，1.5）．
考点：函数综合题．
三、解 答 题（共8小题，满分86分）
17. （1）计算：|﹣3|﹣﹣2sin30°+（﹣）﹣2
（2）化简.
【正确答案】(1)2;(2) x﹣y．

【详解】分析：（1）本题涉及了二次根式的化简、值、负指数幂及三角函数值，在计算时，需要针对每个知识 点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．（2）原式括号中两项利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分即可得到结果.
详解：（1）原式=3﹣4﹣2×+4=2；
（2）原式=•=x﹣y．
点睛：（1）本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、二次根式的化简、值及三角函数值等考点的运算；（2）考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
18. 如图，已知AB∥CD，若∠A=20°，∠E=35°，求∠C的度数．

【正确答案】55°．

【详解】试题分析：根据三角形的外角等于和它没有相邻的两个内角的和以及平行线的性质进行求解．
试题解析：∵∠A=20°，∠E=35°，
∴∠EFB=∠A+∠E=55°，
∵AB∥CD，
∴∠C=∠EFB=55°．
考点：1.三角形的外角性质；2.平行线的性质．
19. 《九章算术》中有一道阐述“盈没有足术”的问题，原文如下：
今有人共买物，人出八，盈三；人出七，没有足四．问人数，物价各几何？
译文为：
现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？
请解答上述问题．
【正确答案】共有7人，这个物品的价格是53元．

【分析】根据题意，找出等量关系，列出一元方程.
【详解】解：设共有x人，这个物品的价格是y元，
解得
答：共有7人，这个物品的价格是53元.
本题考查了二元方程的应用.
20. 小莉和哥哥玩扑克牌游戏，小莉有数字为1，2，3，5的四张牌，哥哥有数字为4，6，7，8的四张牌，按如下游戏规则进行：小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小莉胜；如果和为奇数，则哥哥胜．
（1）请用树状图或列表法分别求出小莉胜和哥哥胜概率；
（2）这个游戏公平吗？若公平，请说明理由；若没有公平，请你设计一种公平的游戏规则．
【正确答案】(1);(2) 游戏是公平的．

【详解】分析：（1）用列表法列举出所以出现的情况，再用概率公式求出概率即可．（2）游戏是否公平，关键要看是否游戏双方各有50%赢的机会，本题中即两纸牌上的数字之和为偶数或奇数时的概率是否相等，求出概率比较，即可得出结论．
详解：（1）画树状图得：

一共有16种等可能结果，其中和为偶数的有6种，和为奇数的有10种，
所以小丽获胜的概率为=、哥哥获胜的概率为=；
（2）由（1）列表的结果可知：小莉获胜的概率为，哥哥去的概率为，
所以游戏没有公平，对哥哥有利．
游戏规则改为：若和为偶数则小莉得，若和为奇数则哥哥得，则游戏是公平的．
点睛：此题主要考查了游戏公平性的判断．列表法或画树状图法可以没有重复没有遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏没有公平．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=2．
（1）利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；（保留作图痕迹，没有写作法）
（2）若△ADE的周长为a，先化简T=（a+1）2﹣a（a﹣1），再求T的值．

【正确答案】(1)作图见解析（2）10+.

【详解】分析：（1）垂直平分线的尺规作图方法：先以A为圆心，以大于线段AC一半的长度画弧，然后再以C为圆心，以相同长度为半径画弧，两条圆弧交于两点，连接该两点的直线即为线段AC的垂直平分线．（2）先化简，然后利用三角形的周长求出a，代入即可求得T的值．
详解：（1）如图所示，DE即为所求；

（2）由题可得，AE=AC=，∠A=30°，
∴Rt△ADE中，DE=AD，
设DE=x，则AD=2x，
∴Rt△ADE中，x2+（）2=（2x）2，
解得x=1，
∴△ADE的周长a=1+2+=3+，
∵T=（a+1）2﹣a（a﹣1）=3a+1，
∴当a=3+时，T=3（3+）+1=10+3．
点睛：本题考查了基本作图及含30度角的直角三角形的性质，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
22. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，ta，半径为2的⊙C分别交AC，BC于点D、E，得到DE弧．
（1）求证：AB为⊙C的切线．
（2）求图中阴影部分的面积．

【正确答案】(1)证明见解析；(2)5-π.

【分析】（1）解直角三角形求出BC，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CF，根据切线的判定得出即可；
（2）分别求出△ACB的面积和扇形DCE的面积，即可得出答案．
【详解】（1）过C作CF⊥AB于F．
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC，ta，∴BC＝2，由勾股定理得：AB5．
∵△ACB的面积S，∴CF2，∴CF为⊙C的半径．
∵CF⊥AB，∴AB为⊙C的切线；

（2）图中阴影部分的面积＝S△ACB﹣S扇形DCE5﹣π．
本题考查了勾股定理，扇形的面积，解直角三角形，切线的性质和判定等知识点，能求出CF的长是解答此题的关键．
23. 某同学用两个完全相同的直角三角形纸片重叠在一起(如图1)固定△ABC没有动，将△DEF沿线段AB向右平移．

(1)若∠A=60°，斜边AB=4，设AD=x(0≤x≤4)，两个直角三角形纸片重叠部分的面积为y，试求出y与x的函数关系式;
(2)在运动过程中，四边形CDBF能否为正方形，若能，请指出此时点D的位置，并说明理由; 若没有能，请你添加一个条件，并说明四边形CDBF为正方形？
【正确答案】(1)(0≤x≤4)，
(2)没有能为正方形，添加条件：AC=BC，当点D运动到AB中点位置时四边形CDBF为正方形

【分析】(1)根据平移的性质得到DFAC，所以由平行线的性质、勾股定理求得GD=，，所以由三角形的面积公式列出函数关系式;
(2)没有能为正方形，添加条件：AC=BC时，点D运动到AB中点时，四边形CDBF为正方形; 当D运动到AB中点时，四边形CDBF是菱形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知CD=AB，BF=DE，所以AD=CD=BD=CF，又有BE=AD，则CD=BD=BF=CF，故四边形CDBF是菱形，根据有一内角为直角的菱形是正方形来添加条件．
【详解】解：(1)如图(1)所示：
∵DFAC，
∴∠DGB=∠C=90°，∠GDB=∠A=60°，∠GBD=30°
∵BD=4-x，
∴GD=，BG=，
y=S△BDG=(0≤x≤4)；

(2)没有能为正方形，添加条件：AC=BC，当点D运动到AB中点位置时四边形CDBF为正方形．
∵∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=AB，
∵AD=DB，AD=BE，
∴DB=BE，
∵∠DFE=90°，DB=BE，
∴BF=DE，
∴CD=BD=BF=BE，
∵CF=BD，
∴CD=BD=BF=CF，
∴四边形CDBF是菱形;
∵AC=BC，D是AB的中点．
∴CD⊥AB即∠CDB=90°
∵四边形CDBF菱形，
∴四边形CDBF是正方形．
本题是几何变换综合题型，主要考查了平移变换的性质，勾股定理，正方形的判定，菱形的判定与性质以及直角三角形斜边上的中线; 第二问难度稍大，根据三角形斜边上的中线推知CD=BD=BF=BE是解题的关键．
24. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线点，.

（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为x轴上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N，
①点在线段上运动，若以，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标；
②点在轴上运动，若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称，，三点为“共谐点”.请直接写出使得，，三点成为“共谐点”的的值.
【正确答案】（1）B（0，2），；（2）①点M的坐标为（，0）或M（，0）；②m=-1或m=或m=.

【分析】(1)把点代入求得c值，即可得点B的坐标；抛物线点，即可求得b值，从而求得抛物线的解析式；（2）由轴，M（m，0），可得N()，①分∠P=90°和∠BNP =90°两种情况求点M的坐标；②分N为PM的中点、P为NM的中点、M为PN的中点3种情况求m的值.
【详解】（1）直线与轴交于点，
∴，解得c=2
∴B（0，2），
∵抛物线点，
∴，∴b=
∴抛物线的解析式为；
（2）∵轴，M（m，0），∴N()
①有（1）知直线AB的解析式为，OA=3，OB=2
∵在△APM中和△BPN中，∠APM=∠BPN, ∠AMP=90°，
若使△APM中和△BPN相似，则必须∠P=90°或∠BNP =90°，
分两种情况讨论如下：
（I）当∠P=90°时，过点N作NC轴于点C，
则∠C+∠BNC=90°，NC=m，
BC=
∵∠P=90°，∴∠C+∠ABO=90°，
∴∠BNC=∠ABO，
∴Rt△NCB∽ Rt△BOA
∴,即，解得m=0（舍去）或m=
∴M（，0）；
（II）当∠BNP=90°时， BNMN，
∴点N的纵坐标为2，
∴
解得m=0（舍去）或m=
∴M（，0）；
综上，点M的坐标为（，0）或M（，0）；
②由①可知M(m,0),P(m,),N(m,)，
∵M，P，N三点为“共谐点”，
∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，
当P为线段MN的中点时,则有2()=,解得m=3(三点重合,舍去)或m=；
当M为线段PN的中点时,则有+()=0,解得m=3(舍去)或m=−1；
当N为线段PM的中点时,则有=2(),解得m=3(舍去)或m=；
综上可知当M,P,N三点成为“共谐点”时m的值为或−1或.
考点：二次函数综合题.







2022-2023学年辽宁省营口市中考数学专项突破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题10题，每小题3分，共30分）．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. 在实数0，﹣2，，2中，的是（ ）
A. 0 B. ﹣2 C. D. 2
2. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是对称图形的是【 】
A. B. C. D.
3. 某篮球队10名队员的年龄如下表所示：

则这10名队员年龄的众数和中位数分别是（　　）
A. 19，19 B. 19，19.5 C. 20，19 D. 20，19.5
4. 下列计算正确的是　　
A. B. C. D.
5. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（　　）

A. 115° B. 120°
C. 145° D. 135°
6. 关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2，则另一个根是（　　）
A. -6 B. -3 C. 3 D. 6
7. 世界文化遗产长城总长约670000米，将数670000用科学记数法可表示为（　　）
A. 6.7×104 B. 6.7×105 C. 6.7×106 D. 67×104
8. 一元没有等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A B.
C. D.
9. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10. 如图，抛物线 （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2； ②3a+c＞0；③方程 的两个根是x1=﹣1，x2=3；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3⑤当x＞0时，y随x的增大而减小.其中结论正确的个数是（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填 空 题（本大题6题，每小题4分，共24分）．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 分解因式：=____.
12. 在函数中，自变量x取值范围是___．
13. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么m = _________________
14. 点P（-3， 4）关于y轴对称点P′的坐标是_________________
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为________________________ .

三、解 答 题
16. 计算：
17 先化简，再求值： ，其中x=2.
18. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.
（1）作∠ABC的平分线交AC边于点P， 再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，没有写作法.）；
（2） 请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系：

19. 小张和同学相约“五一”节到离家2400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
（1）求小张跑步平均速度；
（2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，他能否在电影开始前赶到电影院？说明理由．
20. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF；
（1）证明：AF=CE；
（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．


21. “中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均没有完整，请你根据统计图解答下列问题．

（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．
22. 如图，函数（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0，x＜0）的图象交于点A（-3，1）和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6．

（1）求函数与反比例函数的解析式；
（2）求 sin∠ABO的值；
（3）当x＜0时，比较与的大小．
23. 如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径R=5，tanC=，求EF的长．

24. 如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）
（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；
（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．直接写出点P在运动过程中S与t之间的函数关系式和自变量的取值范围．














2022-2023学年辽宁省营口市中考数学专项突破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本大题10题，每小题3分，共30分）．在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1. 在实数0，﹣2，，2中，的是（ ）
A. 0 B. ﹣2 C. D. 2
【1题答案】
【正确答案】C

【详解】解：根据实数比较大小的方法，可得：＞2＞0＞﹣2，故实数0，﹣2，，2其中的数是．故选C．
2. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是对称图形的是【 】
A. B. C. D.
【2题答案】
【正确答案】B

【详解】根据对称图形的概念，对称图形是图形沿对称旋转180度后与原图重合．因此，只有选项B符合条件．故选B．
3. 某篮球队10名队员的年龄如下表所示：

则这10名队员年龄的众数和中位数分别是（　　）
A. 19，19 B. 19，19.5 C. 20，19 D. 20，19.5
【3题答案】
【正确答案】A

【详解】解：由表格可知，一共有2+4+3+1=10个数据，其中19出现的次数至多，故这组数据的众数是19，按从小到大的数据排列是：18、19、19、19、19、19、20、20、20、21，故中位数是19．故选A．
点睛：本题考查众数和中位数，解题的关键是明确众数和中位数的定义．
4. 下列计算正确的是　　
A. B. C. D.
【4题答案】
【正确答案】C

【分析】根据整式的运算法则逐个分析即可．
【详解】解：A. , 本选项错误；
B. , 本选项错误；
C. , 本选项正确；
D. , 本选项错误．

故选C．
本题考核知识点：整式运算． 解题关键点：掌握整式运算法则．
5. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=45°，则∠2的度数为（　　）

A. 115° B. 120°
C. 145° D. 135°
【5题答案】
【正确答案】D

【分析】由下图三角形的内角和等于180°，即可求得∠3的度数，又由邻补角定义，求得∠4的度数，然后由两直线平行，同位角相等，即可求得∠2的度数．
【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°，
∵∠1=45°（已知），
∴∠3=90°-∠1=45°（三角形的内角和定理），
∴∠4=180°-∠3=135°（平角定义），
∵EF∥MN（已知），
∴∠2=∠4=135°（两直线平行，同位角相等）．
故选D．

此题考查了三角形的内角和定理与平行线的性质．注意两直线平行，同位角相等与数形思想的应用．
6. 关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为-2，则另一个根是（　　）
A. -6 B. -3 C. 3 D. 6
【6题答案】
【正确答案】B

【详解】分析：根据一元二次方程的两根之和等于－5求解.
详解：设另一个根为a，则根据根与系数的关系可得－2＋a＝－5，解得a＝－3.
故选B.
点睛：已知一元二次方程的一个根，求所含的字母系数的方法有：①把已知的根代入到原方程中，求出字母系数，再把字母系数的值代回到原方程求出另一个根；②用两根之和或者两根之积求解.
7. 世界文化遗产长城总长约670000米，将数670000用科学记数法可表示为（　　）
A. 6.7×104 B. 6.7×105 C. 6.7×106 D. 67×104
【7题答案】
【正确答案】B

【详解】试题解析：由科学记数法可知，

故选B
点睛：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．的值是易错点，由于有6，所以可以确定n=6-1=5．
8. 一元没有等式组的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【8题答案】
【正确答案】D

【分析】先分别求出两个没有等式的解集，再在数轴上表示，确定公共部分即可．
【详解】解：解没有等式组
由①得：，
由②得：＞
在数轴上表示其解集为：


所以没有等式组的解集为：－3＜x≤2，
故选D.
解一元没有等式组，通常采用“分开解，集中定”的方法，即单独的解每一个没有等式，而后集中找它们的解的“公共部分”．在找“公共部分”的过程中，可借助数轴或口诀两种方法确定没有等式组的解集．其中确定没有等组解集的方法为：“取大，小小取小，大小小大中间找，小小是无解”．在数轴上表示解集时，大于向右画，小于向左画，含等号取实心点，没有含等号取空心圆圈.
9. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为5，AB=8，则CD的长是（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【9题答案】
【正确答案】A

【详解】试题分析：已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，由垂径定理可得AD=BD=4，在Rt△ADO中，由勾股定理可得OD=3，所以CD=OC-OD=5-3=2.故选A.
考点：垂径定理；勾股定理.
10. 如图，抛物线 （a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2； ②3a+c＞0；③方程 的两个根是x1=﹣1，x2=3；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3⑤当x＞0时，y随x的增大而减小.其中结论正确的个数是（ ）

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【10题答案】
【正确答案】B

【详解】分析：①根据抛物线与x轴的交点个数判断；②由对称轴方程得到a与b的关系，再根据x＝－1时的函数值变形；③抛物线与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称；④根据函数值大于0确定自变量的取值范围；⑤二次函数的增减性在对称轴的左侧与右侧没有相同.
详解：①因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0，即4ac＜b2，则①正确；
②因为对称轴为x＝1，所以，则b＝－2a，当x＝－1时，a－b＋c＝0，所以a＋2a＋c＝0，则3a＋c＝0，则②错误；
③因为x1＋x2＝2，x1＝－1，所以x2＝3，则③正确；
④抛物线与x轴的两个交点的坐标是(－1，0)，(3，0)，开口向下，所以当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，则④正确；
⑤因为抛物线开口向下，所以当x＞1时，y随x的增大而减小，则⑤错误.
故选B.
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系，①抛物线的开口向上，则a＞0，开口向下，则a＜0；②对称轴是y轴，则b＝0，对称轴在y轴右侧，则a，b异号，在y轴左侧，则a，b同号；③抛物线过原点，则c＝0，与y轴的正半轴相交，则c＞0，与y轴的负半轴相交，则c＜0；④抛物线与x轴有两个交点，则△＞0，有交点，则△＝0，没有交点，则△＜0；⑤当x＝1时，y＝a＋b＋c，当x＝－1时，y＝a－b＋c.
二、填 空 题（本大题6题，每小题4分，共24分）．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 分解因式：=____.
【11题答案】
【正确答案】

【详解】试题分析：要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式后继续应用平方差公式分解即可：．
12. 在函数中，自变量x的取值范围是___．
【12题答案】
【正确答案】

【详解】试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．

13. 已知关于x的方程有两个相等的实数根，那么m = _________________
【13题答案】
【正确答案】m = -1

【详解】分析：原方程是一元二次方程，且判别式等于0.
详解：因为22－4×1×(－m)＝0，所以m＝－1.
故答案为－1.
点睛：本题考查了一元二次方程的根的判别式，当△＞0时，原方程有两个没有相等的实数根；当△＝0时，原方程有两个相等的实数根；当△＜0时，原方程没有实数根．
14. 点P（-3， 4）关于y轴的对称点P′的坐标是_________________
【14题答案】
【正确答案】(3，4)

【详解】分析：关于y轴对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标没有变.
详解：根据轴对称性质得，点P(－3，4)关于y轴的对称点P′的坐标是(3，4).
故答案为(3，4).
点睛：关于x轴对称的点，横坐标没有变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标没有变，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，则图中阴影部分的面积为________________________ .

【15题答案】
【正确答案】

【分析】阴影部分的面积等于整体图形的面积减去空白部分的面积，旋转的性质和扇形的面积求解.
【详解】Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，由勾股定理得AB＝5.
根据旋转的性质可知，∠BAD＝30°，AD＝AB＝5，△ABC≌△ADE.
因为S阴影＝S△ABC＋S扇形OBD－S△ADE，
所以S阴影＝S扇形OBD＝.
本题主要考查了扇形的面积，若阴影部分的面积是一个规则的图形或是几个规则图形的和与差，则可用面积公式直接求解，若阴影部分没有是规则图形，也没有是几个规则图形的和与差，则需要将原图形中的相关部分通过平移，旋转，翻折等方式转化为规则图形后再求.
三、解 答 题
16. 计算：
【16题答案】
【正确答案】

【分析】分别计算出每一部分的值，再加减，注意＝1；＝2.
【详解】解：
＝－3×＋1－2
＝＋1－2
＝.
本题考查实数的混合运算，此类问题容易出错的地方：一是符号，二是30°角的正切值，三是负整数指数幂的运算．实数的运算通常会一些角的三角函数值，整数指数幂(包括正整数指数幂，零指数幂，负整数指数幂)，二次根式，值等来考查，准确记忆角的三角函数值及相关运算的法则，如(a≠0)，a0＝1(a≠0)．
17. 先化简，再求值： ，其中x=2.
【17题答案】
【正确答案】原式=

【详解】分析：先用分式的混合运算法则把原式化简，再把x的值代入计算.
详解：
＝
＝·
＝.
当x＝2时，
原式＝.
点睛：对于分式化简求值问题，要先确定运算顺序，再根据分式的混合运算法则进行计算，把相关字母的值代入化简后的式子求值．当分子分母是多项式时，应先分解因式，如果分子分母有公因式，要约分．
18. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.
（1）作∠ABC的平分线交AC边于点P， 再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，没有写作法.）；
（2） 请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系：

【18题答案】
【正确答案】（1）画图见解析；（2）相切

【详解】分析：(1)用基本尺规作图－作已知角的平分线，题中的要求作图；(2)圆心P到BC的距离等于PA，即圆的关系.
详解：(1)如图所示：

(2)过点P作PQ⊥BC于点Q，
因为BP平分∠ABC，PA⊥BA，PQ⊥BC，
所以PA＝PQ，所以BC与⊙P的位置关系是相切.
点睛：已知直线和圆的交点，证直线是圆的切线，可连接圆心和交点，证明过交点的半径垂直于直线；没有知道直线和圆的交点，证直线是圆的切线，可过圆心作直线的垂线段，证明垂线段等于圆的半径.
19. 小张和同学相约“五一”节到离家2400米的电影院看电影，到电影院后，发现电影票忘带了，此时离电影开始还有25分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回电影院，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．
（1）求小张跑步的平均速度；
（2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了6分钟，他能否在电影开始前赶到电影院？说明理由．
【19题答案】
【正确答案】（1）小张跑步的平均速度为200米/分；（2）小张没有能在电影开始前赶到电影院.

【分析】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分，用含x的式子表示骑车的时间和跑步的时间，根据骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟列方程；
（2）计算出骑车的时间，跑步的时间及找票的时间的和，与25分钟作比较．
【详解】（1）设小张跑步的平均速度为x米/分，依题意得
＝4，解得x＝200．
经检验，x＝200是原方程的根
答:小张跑步的平均速度为200米/分．
（2）跑步的时间：2400÷200＝12
骑车的时间：12－4＝4
12＋8＋6＝26>25
∴小张没有能在电影开始前赶到电影院．
本题考查了分式方程的应用，这样的问题中，一般有两个等量关系，一个等量关系用来确定题中的两个未知数之间的关系，一个等量关系用来列方程求解．注意解分式方程的应用题一定要检验求得的解是否是原分式方程的解且是否符合题意．
20. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DE，连接CE、AF；
（1）证明：AF=CE；
（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．


【20题答案】
【正确答案】（1）证明见解析；（2）四边形ACEF是菱形，理由见解析.

【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；
（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．
【详解】解：（1）∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，
∴DE∥AC，AC=2DE，
∵EF=2DE，
∴EF∥AC，EF=AC，
∴四边形ACEF是平行四边形，
∴AF=CE；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
AC=AB=AE，
∴△AEC是等边三角形，
∴AC=CE，
又∵四边形ACEF是平行四边形，
∴四边形ACEF是菱形．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定与性质等，图形，根据图形选择恰当的知识点是关键．
21. “中国梦”关系每个人的幸福生活，为展现巴中人追梦的风采，我市某中学举行“中国梦•我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均没有完整，请你根据统计图解答下列问题．

（1）参加比赛的学生人数共有 名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 度，图中m的值为 ；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出2名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生有1名，请用“列表”或“画树状图”的方法求出所选2名学生中恰好是一名男生和一名女生的概率．
【21题答案】
【正确答案】（1）20，72，40；（2）作图见试题解析；（3）．

【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，根据D级的人数求得D等级扇形圆心角的度数和m的值；
（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率．
【详解】（1）根据题意得：3÷15%=20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为×360°=72°；
C级所占的百分比为×=40%，故m=40，
故答案为20，72，40．
（2）故等级B的人数为20﹣（3+8+4）=5（人），
补全统计图，如图所示；

（3）列表如下：

所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，则P（恰好是一名男生和一名女生）==．
考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．

22. 如图，函数（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0，x＜0）的图象交于点A（-3，1）和点C，与y轴交于点B，△AOB的面积是6．

（1）求函数与反比例函数的解析式；
（2）求 sin∠ABO的值；
（3）当x＜0时，比较与的大小．
【22题答案】
【正确答案】（1）反比例函数的解析式为，函数的解析式为y=x+4；（2）sin∠ABO=；（3）当-3 < x <-1时, y1>y2

【详解】分析：(1)由点A的坐标可得反比例函数的解析式，根据△AOB的面积是6求出点B的坐标，用待定系数法求函数的解析式；(2)判断△ABD的是等腰直角三角形；(3)函数图象确定在y轴的左侧直线在双曲线上方时x的范围.
详解：解：(1)把A(－3，1)代入得m＝xy＝－3×1＝－3，
∴反比例函数的解析式为.
过点A做AD⊥y轴于D，
∵A(－3，1)，∴AD＝3.
∵S△AOB＝•AD，∴•3＝6，OB＝4.
∴B(0，4).
把A(－3，1).B(0，4)代入得
，
∴
∴函数解析式为y＝x＋4
(2)∵在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝BO－OD＝4－1＝3
∴∠ABO＝45°
∴sin∠ABO＝sin45°＝
(3)由得，.
∴C(－1，3).
∴当x<－3或－1
当－3.
点睛：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法，用待定系数法求函数解析式的四个步骤：
①设：设出函数的一般形式；②代：代入解析式得出方程或方程组；③求：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值；④写：写出该函数的解析式.
23. 如图，在等腰△ABC中，AB=BC，以BC为直径的⊙O与AC相交于点D，过点D作DE⊥AB交CB延长线于点E，垂足为点F．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径R=5，tanC=，求EF的长．

【23题答案】
【正确答案】（1）证明见解析（2）

【分析】（1）连接圆心和切点，利用平行，DE⊥AB可证得∠ODF=90°；
（2）过D作DH⊥BC于H，设BD=k，CD=2k，求得BD、CD的长，根据三角形的面积公式得到DH的长，由勾股定理得到OH的长，根据射影定理得到OD2=OH•OE，求得OE的长，从而得到BE的长，根据相似三角形的性质得到BF=2，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：如图，连接OD，BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠90°，
∴BD⊥AC．
∵AB=BC，
∴AD=DC．
∵OA=OB，
∴OD∥BA，
∵DE⊥BA，
∴DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）过D作DH⊥BC于H
∵⊙O半径R=5，tanC=，
∴BC=10，设BD=k，CD=2k，
∴BC=k=10，
∴k=2，
∴BD=2，CD=4，
∴DH==4，
∴OH==3，
∵DE⊥OD，DH⊥OE，
∴OD2=OH•OE，
∴OE=，
∴BE=，
∵DE⊥AB，
∴BF∥OD，
∴△BFE∽△ODE，
∴，
即，
∴BF=2，
∴EF==．

本题考查了直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质以及解直角三角形．当题中已有垂直时，证直线为圆的切线，通常选用平行来进行证明；而求相关角的余弦值，应根据所给条件进行适当转移，注意利用直角三角形面积的没有同方式求解．
24. 如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，点P从点A出发，沿折线AB﹣BC向终点C运动，在AB上以每秒5个单位长度的速度运动，在BC上以每秒3个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿CA方向以每秒个单位长度的速度运动，P，Q两点同时出发，当点P停止时，点Q也随之停止．设点P运动的时间为t秒．
（1）求线段AQ的长；（用含t的代数式表示）
（2）连结PQ，当PQ与△ABC的一边平行时，求t的值；
（3）如图②，过点P作PE⊥AC于点E，以PE，EQ为邻边作矩形PEQF．设矩形PEQF与△ABC重叠部分图形的面积为S．直接写出点P在运动过程中S与t之间的函数关系式和自变量的取值范围．

【24题答案】
【正确答案】（1）；（2）当t=1.5或t=3时，PQ与△ABC的一边平行；（3）当0≤t≤1.5时，S＝－16＋24t；当1.5
【详解】分析：(1)用勾股定理求AC，则AQ＝AC－CQ；(2)用平行线分线段成比例定理列方程求t的值，要分两种情况，①PQ∥BC时，②当PQ∥AB时；(3)分四种情况，①当0≤t≤1.5时，②当1.5 详解：(1)∵∠C＝90°，∴AC＝＝8.
∴AQ＝AC－CQ＝.
(2)①当PQ∥BC时，，
∴，t＝1.5.
②当PQ∥AB时，，
∴，t＝3.
∴当t＝1.5或t＝3时，PQ与△ABC的一边平行.
(3)如图1，当0≤t≤1.5时，S＝－16＋24t；
如图2，当1.5 如图3，当2 如图4，当3
点睛：几何问题中的分类讨论，需要根据题意，画出每一类的图形，找到图形变化的临界点，确定分类的依据，图形求解.