辽宁省营口市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷（一模二模）含解析

这是一份辽宁省营口市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷（一模二模）含解析，共54页。试卷主要包含了选一选，填 空 题，解 答 题等内容，欢迎下载使用。

辽宁省营口市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本题共6小题，第小题3分，共18分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）
1. 的值等于（ ）
A. 2 B. C. D. ﹣2
2. 下列计算正确的是（　　）
A. （a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B. （a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2
C. （a+b）2＝a2+b2 D. （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
3. 如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（　　）

A. 76° B. 78° C. 80° D. 82°
4. 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）

A. 棱柱 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥
5. 有11个互没有相同的数，下面哪种方法可以没有改变它们的中位数（　　）
A. 将每个数加倍 B. 将最小的数增加任意值
C. 将的数减小任意值 D. 将的数增加任意值
6. 关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（　　）
A ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
7. 计算： =______________.
8. 分解因式：______．
9. 计算：______.
10. 月球与地球的平均距离约为384400千米，将数384400用科学记数法表示为______．
11. 计算：=_____．
12. 如图，四边形ABCD为边长是2的正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则△BDP的面积是_____．

13. 用一直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽可以制成一个没有倒翁玩具，没有倒翁的轴剖面图如图所示，圆锥的母线AB与⊙O相切于点B，没有倒翁的顶点A到桌面L的距离是18cm．若将圆锥形纸帽的表面全涂上颜色，则需要涂色部分的面积约为_____cm2（到1cm2）．

14. 已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3 cm，BO=4 cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D=__________cm．

三、解 答 题（共10小题，满分78分）
15. 解关于x的没有等式组：．
16. （1）探究发现：如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上一点，∠DCE=30°，∠DCF=60°且CF=CD
①求∠EAF的度数；
②DE与EF相等吗？请说明理由
（2）类比探究：如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为AB边上的一点，∠DCE=45°，CF=CD，CF⊥CD，请直接写出下列结果：
①∠EAF的度数
②线段AE，ED，DB之间的数量关系

17. 已知：关于x的方程x2﹣（2m+1）x+2m=0
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若方程的两根为x1，x2，且|x1|=|x2|，求m的值．
18. 甲、乙两辆汽车分别从A、B两城同时沿高速公路驶向C城．已知A、C两城的路程为500千米，B、C两城的路程为450千米，甲车比乙车的速度快10千米／时，结果两辆车同时到达C城，求两车的速度．
19. 某县为了丰富初中学生的大课间，要求各学校开展形式多样的阳光体育某中学就“学生体育兴趣爱好”的问题，随机了本校某班的学生，并根据结果绘制成如下的没有完整的扇形统计图和条形统计图：

在这次中，喜欢篮球项目的同学有多少人？
在扇形统计图中，“乒乓球”百分比为多少？
如果学校有800名学生，估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目？
请将条形统计图补充完整；
在被的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请运用列表或树状图求出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
20. △OAB是⊙O的内接三角形，∠AOB=120°，过O作OE⊥AB于点E，交⊙O于点C，延长OB至点D，使OB=BD，连CD．
（1）求证： CD⊙O切线；
（2）若F为OE上一点，BF的延长线交⊙O于G，连OG，，CD=6，求S△GOB．

21. 如图，已知A(−4，n)，B(2，−4)是函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点；

(1)求反比例函数和函数的解析式；
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
(3)求没有等式kx+b−<0的解集(请直接写出答案)．
22. 如图，在一个平台远处有一座古塔，小明在平台底部的点C处测得古塔顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得古塔顶部的仰角为30°．已知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求古塔AB的高(结果保留根号)

23. “净扬”水净化有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的小型水净化产品，已于当年投入生产并进行．已知生产这种小型水净化产品的成本为4元/件，在过程中发现：每年的年量(万件)与价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为函数图象的一部分．设公司这种水净化产品的年利润为z（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利没有计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出年这种水净化产品的年利润z（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出年年利润的值；
（3）假设公司的这种水净化产品年恰好按年利润z（万元）取得值时进行，现根据年的盈亏情况，决定第二年将这种水净化产品每件的价格x（元）定在8元以上（），当第二年的年利润没有低于103万元时，请年利润z（万元）与价格x（元/件）的函数示意图，求价格x（元/件）的取值范围．

24. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．

（1）求A、B两点坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积？若存在，求出△PBC面积的值；若没有存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．








辽宁省营口市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷
（一模）
一、选一选（本题共6小题，第小题3分，共18分．每小题给出的4个选项中，有且只有一个答案是正确的）
1. 的值等于（ ）
A. 2 B. C. D. ﹣2
【正确答案】A

【详解】分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以，故选A．

2. 下列计算正确的是（　　）
A. （a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 B. （a+1）（a﹣2）＝a2+a﹣2
C. （a+b）2＝a2+b2 D. （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
【正确答案】D

【详解】A、原式=a2﹣4，没有符合题意；
B、原式=a2﹣a﹣2，没有符合题意；
C、原式=a2+b2+2ab，没有符合题意；
D、原式=a2﹣2ab+b2，符合题意，
故选D
3. 如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（　　）

A. 76° B. 78° C. 80° D. 82°
【正确答案】B

【详解】如图，分别过K、H作AB的平行线MN和RS，

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥RS∥MN，
∴∠RHB=∠ABE=∠ABK，∠SHC=∠DCF=∠DCK，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，
∴∠BHC=180°﹣∠RHB﹣∠SHC=180°﹣（∠ABK+∠DCK），
∠BKC=180°﹣∠NKB﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK）﹣（180°﹣∠DCK）=∠ABK+∠DCK﹣180°，
∴∠BKC=360°﹣2∠BHC﹣180°=180°﹣2∠BHC，
又∠BKC﹣∠BHC=27°，
∴∠BHC=∠BKC﹣27°，
∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°），
∴∠BKC=78°，
故选B．
4. 一个几何体的三视图如图所示，则此几何体是（ ）

A. 棱柱 B. 正方体 C. 圆柱 D. 圆锥
【正确答案】C

【分析】通过给出的三种视图，然后综合想象，得出这个几何体是圆柱体．
【详解】根据三种视图中有两种为矩形，一种为圆可判断出这个几何体是圆柱．
故选C．
本题考查了由三视图判断几何体，本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．
5. 有11个互没有相同的数，下面哪种方法可以没有改变它们的中位数（　　）
A. 将每个数加倍 B. 将最小的数增加任意值
C. 将的数减小任意值 D. 将的数增加任意值
【正确答案】D

【详解】A、将每个数加倍，则中位数加倍；
B、将最小的数增加任意值，可能成为值，中位数将改变；
C、将的数减小任意值，可能成为最小值，中位数将改变；
D、将的数增加任意值，还是值，中位数没有变．
故选D．
6. 关于圆的性质有以下四个判断：①垂直于弦的直径平分弦，②平分弦的直径垂直于弦，③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，④在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，则四个判断中正确的是（　　）
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④
【正确答案】C

【详解】垂直于弦的直径平分弦，所以①正确；
平分弦（非直径）的直径垂直于弦，所以②错误；
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等或互补，所以③错误；
在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等，所以④正确．
故选C．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角线段，都等于这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
二、填 空 题（每小题3分，共24分）
7. 计算： =______________.
【正确答案】

【详解】原式= = ，故答案．
8. 分解因式：______．
【正确答案】

【分析】先利用提公因式法提出公因式xy，再利用平方差公式法进行变形即可．
【详解】解：；
故．
本题考查了提公因式法和公式法（平方差公式）进行的因式分解的知识，解决本题的关键是牢记因式分解的特点和基本步骤，分解的结果是几个整式的积的形式，结果应分解到没有能再分解为止，即分解要彻底，本题易错点是很多学生提公因式后以为分解就结束了，因此要对结果进行检查．
9. 计算：______.
【正确答案】5

【详解】：
=（﹣1）+（）+（）+…+（）
=（﹣1）
=×10
=5．
故答案为5.
10. 月球与地球的平均距离约为384400千米，将数384400用科学记数法表示为______．
【正确答案】3.844×105

【详解】试题解析：384400=3.844×105．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于384400有6位，所以可以确定n=6-1=5．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．
11. 计算：=_____．
【正确答案】

【详解】原式=×××…××
=×××…××
=
=．
故答案为．
12. 如图，四边形ABCD为边长是2的正方形，△BPC为等边三角形，连接PD、BD，则△BDP的面积是_____．

【正确答案】4-4##

【详解】解：如图，

过P作PE⊥CD，PF⊥BC，
∵正方形ABCD的边长是4，△BPC为正三角形，
∴∠PBC=∠PCB=60°，PB=PC=BC=CD=4，
∴∠PCE=30°
∴PF=PB•sin60°=4×=，PE=PC•sin30°=2，
S△BPD=S四边形PBCD﹣S△BCD=S△PBC+S△PDC﹣S△BCD
=×4×+×2×4﹣×4×4=4+4﹣8=4﹣4．
故答案为4﹣4．
本题考查正方形的性质以及等积变换，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出PE及PF的长，再根据三角形的面积公式得出结论.
13. 用一直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽可以制成一个没有倒翁玩具，没有倒翁的轴剖面图如图所示，圆锥的母线AB与⊙O相切于点B，没有倒翁的顶点A到桌面L的距离是18cm．若将圆锥形纸帽的表面全涂上颜色，则需要涂色部分的面积约为_____cm2（到1cm2）．

【正确答案】174cm2．

【详解】
直径为10cm的玻璃球，玻璃球半径OB=5，所以AO=18−5=13，由勾股定理得，AB=12，
∵BD×AO=AB×BO,BD=，
圆锥底面半径=BD=,圆锥底面周长=2×π,侧面面积=×2×π×12=.
点睛: 利用勾股定理可求得圆锥的母线长，进而过B作出垂线，得到圆锥的底面半径，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．本题是一道综合题，考查的知识点较多，利用了勾股定理，圆的周长公式、圆的面积公式和扇形的面积公式求解．把实际问题转化为数学问题求解是本题的解题关键．
14. 已知：如图，在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3 cm，BO=4 cm．将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，此时线段OB1与AB的交点D恰好为AB的中点，则线段B1D=__________cm．

【正确答案】1.5

【详解】解∶∵在△AOB中，∠AOB=90°，AO=3cm，BO=4cm，
∴AB==5cm，
∵点D为AB的中点，
∴OD=AB=2.5cm．
∵将△AOB绕顶点O，按顺时针方向旋转到△A1OB1处，∴OB1=OB=4cm，
∴B1D=OB1﹣OD=1.5cm．
故答案为1.5．
三、解 答 题（共10小题，满分78分）
15. 解关于x的没有等式组：．
【正确答案】见解析

【详解】试题分析：利用没有等式组的求解方法，求得各没有等式组的解集，然后分别讨论a的取值，即可求得答案．
试题解析：∵，
由①得：（a﹣1）x＞2a﹣3③，
由②得：x＞，
当a﹣1＞0时，解③得：x＞，
若≥，即a≥时，
没有等式组的解集为：x＞；
当1≤a＜时，没有等式组的解集为：x≥；
当a﹣1＜0时，解③得：x＜，
若≥，即a≤时，＜x＜；
当a＜1时，没有等式组的解集为：＜x＜．
∴原没有等式组的解集为：当a≥时，x＞；
当a＜时，＜x＜．
16. （1）探究发现：如图1，△ABC为等边三角形，点D为AB边上的一点，∠DCE=30°，∠DCF=60°且CF=CD
①求∠EAF的度数；
②DE与EF相等吗？请说明理由
（2）类比探究：如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，点D为AB边上的一点，∠DCE=45°，CF=CD，CF⊥CD，请直接写出下列结果：
①∠EAF的度数
②线段AE，ED，DB之间的数量关系

【正确答案】（1）①120°；②DE=EF；理由见解析；（2）①90°；②AE2+DB2=DE2．

【详解】试题分析：①证明≌,得到即可求得的度数.
②证明≌，即可得证.
①类比①的方法即可求得.
②
试题解析：
（1）①∵是等边三角形，



在和中，

∴≌（SAS），


② 理由如下：



在和中，

∴≌（SAS），

（2）①∵是等腰直角三角形，



在和中，

∴≌（SAS），


② 理由如下：



在和中，

∴≌（SAS），

在中，
又

17. 已知：关于x的方程x2﹣（2m+1）x+2m=0
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若方程的两根为x1，x2，且|x1|=|x2|，求m的值．
【正确答案】(1)详见解析；（2）当x1≥0，x2≥0或当x1≤0，x2≤0时，m=；当x1≥0，x2≤0时或x1≤0，x2≥0时，m=﹣．

【详解】试题分析：（1）根据判别式△≥0恒成立即可判断方程一定有两个实数根；
（2）先讨论x1，x2的正负，再根据根与系数的关系求解．
试题解析：（1）关于x的方程x2﹣（2m+1）x+2m=0，
∴△=（2m+1）2﹣8m=（2m﹣1）2≥0恒成立，
故方程一定有两个实数根；
（2）①当x1≥0，x2≥0时，即x1=x2，
∴△=（2m﹣1）2=0，
解得m=；
②当x1≥0，x2≤0时或x1≤0，x2≥0时，即x1+x2=0，
∴x1+x2=2m+1=0，
解得：m=﹣；
③当x1≤0，x2≤0时，即﹣x1=﹣x2，
∴△=（2m﹣1）2=0，
解得m=；
综上所述：当x1≥0，x2≥0或当x1≤0，x2≤0时，m=；当x1≥0，x2≤0时或x1≤0，x2≥0时，m=﹣．
18. 甲、乙两辆汽车分别从A、B两城同时沿高速公路驶向C城．已知A、C两城的路程为500千米，B、C两城的路程为450千米，甲车比乙车的速度快10千米／时，结果两辆车同时到达C城，求两车的速度．
【正确答案】甲车的速度为100千米/时，乙车的速度为90千米/时.

【详解】试题分析：设甲速度是x千米/时，那么乙的速度是（x-10）千米/时，路程知道，且同时到达，可以时间做为等量关系列方程求解．
试题解析：设乙车的速度为x千米/时，则甲车的速度为（x+10）千米/时.
根据题意，得.
解得x=90.
经检验，x=90是原方程的解，且符合题意.
当x=90时，x+10=100.
答：甲车的速度为100千米/时，乙车的速度为90千米/时.
19. 某县为了丰富初中学生的大课间，要求各学校开展形式多样的阳光体育某中学就“学生体育兴趣爱好”的问题，随机了本校某班的学生，并根据结果绘制成如下的没有完整的扇形统计图和条形统计图：

在这次中，喜欢篮球项目的同学有多少人？
在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为多少？
如果学校有800名学生，估计全校学生中有多少人喜欢篮球项目？
请将条形统计图补充完整；
在被的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请运用列表或树状图求出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
【正确答案】人；；人；见解析

【分析】(1)先利用跳绳的人数和它所占的百分比计算出的总人数，再用总人数分别减去喜欢其它项目的人数可得到喜欢篮球项目的人数；
(2)依据喜欢乒乓球的人数，即可计算出喜欢乒乓球项目的百分比；
(3)用800乘以样本中喜欢篮球项目的百分比可估计全校学生中喜欢篮球项目的人数；
(4)依据喜欢篮球项目的人数，即可将条形统计图补充完整；
(5)画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】在这次中，总人数为人，
喜欢篮球项目的同学有人人；
在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为；
如果学校有800名学生，估计全校学生中喜欢篮球项目的有人；
条形统计图：

画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12，
所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．
本题考查了条形统计图、扇形统计图、列表法或树状图法求概率，准确识图，从没有同的统计图中得到必要的信息是解题的关键.本题还考查的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. △OAB是⊙O的内接三角形，∠AOB=120°，过O作OE⊥AB于点E，交⊙O于点C，延长OB至点D，使OB=BD，连CD．
（1）求证： CD是⊙O切线；
（2）若F为OE上一点，BF的延长线交⊙O于G，连OG，，CD=6，求S△GOB．

【正确答案】(1)详见解析；（2）9.

【详解】试题分析：（1）证明BC=OB=BD，可得∠OCD=90°，所以CD是⊙O切线；
（2）先求BE=3，⊙O的半径为6，过G作GH⊥OE于H，求GH的长也是6，即H与O重合，OG⊥OF，根据比例=，求得OF=12-6，利用面积和求面积．
试题解析：（1）连接BC，
∵OA=OB，OE⊥AB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOC=∠BOC=60°，
∵OC=OB，
∴BC=OB=BD，
∴CB=OD，
∴∠OCD=90°，
∴CD是⊙O切线；
（2）由（1）知：∠OCD=90°，
∵∠OEB=90°，
∴AB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴，
∴，
∴BE=3，
Rt△OEB中，sin60°=，
∴OB=3=6，
∴OC=6，OE=3，
过G作GH⊥OE于H，
∴GH∥BE，
∴△GHF∽△BEF，
∴，
∴，
∴GH=6，
∴GH=OG=6，
即H与O重合，OG⊥OF，
∴，
∵OF+EF=OE=3，
∴OF=12﹣6，
∴S△GOB=S△GOF+S△BOF=OG=•（OG+BE）=（12﹣6）（6+3）=9．

21. 如图，已知A(−4，n)，B(2，−4)是函数y=kx+b的图象和反比例函数的图象的两个交点；

(1)求反比例函数和函数的解析式；
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
(3)求没有等式kx+b−<0的解集(请直接写出答案)．
【正确答案】（1），；（2）点坐标为，6；（3）或．

【分析】（1）先把B点坐标代入代入求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A点坐标，然后利用待定系数法求函数解析式；
（2）根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式和的面积进行计算；
（3）观察函数图象得到当或时，函数图象都在反比例函数图象下方．
【详解】解：（1）把代入得，
所以反比例函数解析式为，
把代入得，解得，则点坐标为，
把，分别代入得，解得，
所以函数的解析式为；
（2）当时，，解得，则点坐标为，
∴

；
（3）由kx+b−<0可得kx+b<
故该没有等式的解为或．
本题考查了反比例函数与函数综合．（1）中理解函数图象上的点都满足函数关系式是解题关键；（2）中掌握“割补法”求图形面积是解题关键；（3）中掌握数形思想是解题关键．
22. 如图，在一个平台远处有一座古塔，小明在平台底部的点C处测得古塔顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得古塔顶部的仰角为30°．已知平台的纵截面为矩形DCFE，DE＝2米，DC＝20米，求古塔AB的高(结果保留根号)

【正确答案】古塔AB的高为（10+3）米．

【分析】延长EF交AB于点G．利用AB表示出EG，AC．让EG-AC=20即可求得AB长．
【详解】如图，延长EF交AB于点G．

设AB=x米，则BG=AB﹣2=（x﹣2）米．
则，．
则．
解可得：x=10+3．
答：古塔AB的高为（10+3）米．
23. “净扬”水净化有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的小型水净化产品，已于当年投入生产并进行．已知生产这种小型水净化产品的成本为4元/件，在过程中发现：每年的年量(万件)与价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为函数图象的一部分．设公司这种水净化产品的年利润为z（万元）．（注：若上一年盈利，则盈利没有计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本．）
（1）请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
（2）求出年这种水净化产品的年利润z（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出年年利润的值；
（3）假设公司的这种水净化产品年恰好按年利润z（万元）取得值时进行，现根据年的盈亏情况，决定第二年将这种水净化产品每件的价格x（元）定在8元以上（），当第二年的年利润没有低于103万元时，请年利润z（万元）与价格x（元/件）的函数示意图，求价格x（元/件）的取值范围．

【正确答案】（1）；（2）当4≤x≤8时，；当8＜x≤28时，；当每件的价格定 为16元时，年的年利润为-16万元；（3）当11≤x≤21时，第二年的年利润z没有低于103万元．

【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数求解即可求出反比例函数的解析式，再将点B和点C的坐标代入函数求解即可得出函数的解析式；
（2）根据公式“总利润=单件利润×数量”即可得出解析式，再根据二次函数的性质即可得出答案；
（3）先求出第二年的年利润公式再令年利润等于103，解一元二次方程并图像性质即可得出答案．
【详解】解：（1）当4≤x≤8，设y=，将A（4，40）代入
得k=4×40=160，
所以y与x之间的函数关系式为：y=，
当8＜x≤28时，设y=kx+b，
将B（8，20）、C（28，0）代入得
，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系为y=-x+28，
∴综上所述得： ；
（2）当4≤x≤8时，，
∵z随着x增大而增大，
∴当x=8时，z值为-80，
当8＜x≤28时，
∴当x=16时，z值为-16，
∵-80＜-16，
∴当每件的价格定 为16元时，年的年利润为-16万元；
（3）∵年的年利润为-16万元，
∴-16万元应作为第二年的成本，
∴第二年的年利润z=（x-4）（-x+28）-16=，
令z=103，则=103，
解得，
在平面直角坐标系中，画出z与x的函数示意图如图，

观察可知：z≥103时，11≤x≤21，
∴当11≤x≤21时，第二年的年利润z没有低于103万元．
本题考查的是经济利润问题，属于中考常考题型，需要熟练掌握经济利润问题的相关公式．
24. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积？若存在，求出△PBC面积的值；若没有存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．
【正确答案】（1）A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．S△PBC值为
（3）或时，△BDM为直角三角形．

【分析】（1）在中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出值．
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．
【详解】解：（1）令y=0，则，
∵m＜0，∴，解得：，．
∴A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C1的表达式为（），
把C（0，）代入可得，．
∴Ｃ1的表达式为：，即．
设P（p，），
∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=．
∵<0，∴当时,S△PBC值．
（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），
∴BD2=，BM2=，DM2=．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即＋=，
解得：,(舍去)．
当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2，即＋=，
解得：，(舍去) ．
综上所述，或时，△BDM直角三角形．
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（二模）
一、选一选（本题共36分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 下列各数中，负数是（　　）
A. ﹣（﹣5） B. ﹣|﹣5| C. （﹣5）2 D. ﹣（﹣5）3
2. 如图是五个相同的正方体组成的一个几何体，它的左视图是（   ）

A.                    B.                 C.                D.
3. 石墨烯是现在世界上最薄纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（    ）
A. 3.4×10-9m B. 0.34×10-9m C. 3.4×10-10m D. 3.4×10-11m
4. 如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）

A. 132° B. 134° C. 136° D. 138°
5. 下列运算正确的是（ ）．
A a3+a4=a7 B. 2a3•a4=2a7 C. （2a4）3=8a7 D. a8÷a2=a4
6. 下面说确的有（ ）
①有理数与数轴上点一一对应；②，互为相反数，则；③如果一个数的值是它本身，这个数是正数；④近似数所表示的准确数的范围是大于或等于，而小于．
A 个 B. 个 C. 个 D. 个
7. 桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边的黑点，则B球反弹后击中A球的概率是（　　）

A. B. C. D.
8. 已知函数y=ax＋c、三、四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是（ ）.
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个没有相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
9. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
如果去掉一个分和一个分，则表中数据一定没有发生变化的是（　　）
A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数
10. 如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，下列关于图中阴影部分的说确的是（ ）

A. 面积为 B. 面积为
C. 面积为 D. 面积随扇形位置的变化而变化
11. 如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点没有在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是

A. （0，0） B. （0，1） C. （0，2） D. （0，3）
12. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD对角线的交点，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的值为（ ）

A. 4 B. C. D.
二、填 空 题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 计算：（﹣）﹣3+ +2sin45°+（）0=_____．
14. 因式分解：x2﹣3x+（x﹣3）=_____．
15. 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，BC=8，，那么EC=_________.

16. 如图示直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴重合时，点B运动的路径的长度为____．

17. 如图，已知反比例函数y=（x＞0）与正比例函数y=x（x≥0）的图象，点A（1，5）、点A′（5，b）与点B′均在反比例函数的图象上，点B在直线y=x上，四边形AA′B′B是平行四边形，则B点的坐标为_____．

18. 如图，等腰△ABC三个顶点在⊙O上，直径AB=12，P为弧BC上任意一点（没有与B，C重合），直线CP交AB延长线与点Q，2∠PAB+∠PDA=90°，下列结论：①若∠PAB=30°，则弧BP的长为；②若PD//BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则，④无论点P在弧上的位置如何变化，CP·CQ为定值. 正确的是___________.

三、解 答 题（本题共6小题，共60分）
19. 先化简，再求值：，再从0，-2，2，中选取一个适当的数代入求值.
20. 解没有等式组：
21. 列方程解应用题：某景区一景点要限期完成，甲工程队单独做可提前完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，则工程期限为多少天？
22. 如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、

（1）当在中点时，四边形是什么四边形?说明你的理由；
（2）当为中点时，等于 度时，四边形是正方形．
23. 如图⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．

（1）求证：∠1=∠2．
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．
24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积？若存在，求出点的坐标；若没有存在，说明理由；
（3）点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点．是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若没有存在，说明理由．
















辽宁省营口市2022-2023学年中考数学专项突破仿真模拟卷
（二模）
一、选一选（本题共36分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1. 下列各数中，负数是（　　）
A. ﹣（﹣5） B. ﹣|﹣5| C. （﹣5）2 D. ﹣（﹣5）3
【1题答案】
【正确答案】B

【详解】根据负数的意义，先化简各式，再判断为：
A、﹣（﹣5）=5，是正数，故本选项错误；
B、﹣|﹣5|=﹣5，是负数，故本选项正确；
C、（﹣5）2=25，是正数，故本选项错误；
D、﹣（﹣5）3=125，是正数，故本选项错误．
故选B．
2. 如图是五个相同的正方体组成的一个几何体，它的左视图是（   ）

A.                   B.                 C.               D.
【2题答案】
【正确答案】D

【详解】从左面看，有2列，正方体的数量分别是1、2.
故选D.
3. 石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是（    ）
A. 3.4×10-9m B. 0.34×10-9m C. 3.4×10-10m D. 3.4×10-11m
【3题答案】
【正确答案】C

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同．当原数值＞10时，n是正数；当原数的值＜1时，n是负数．
【详解】解：根据科学记数法的概念可知，0．00000000034用科学记数法可表示为，
故选：C．
本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，解题的关键要正确确定a的值以及n的值．

4. 如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（　　）

A. 132° B. 134° C. 136° D. 138°
【4题答案】
【正确答案】B

【分析】过E作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
【详解】解：过E作EF∥AB，如下图：

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，
故选B．
本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
5. 下列运算正确的是（ ）．
A. a3+a4=a7 B. 2a3•a4=2a7 C. （2a4）3=8a7 D. a8÷a2=a4
【5题答案】
【正确答案】B

【分析】根据合并同类项法则，单项式乘以单项式，积的乘方，同底数幂的除法分别求出每个式子的值，再判断即可．
【详解】解：A、a3和a4没有是同类项没有能合并，故本选项错误；
B、2a3•a4=2a7，故本选项正确；
C、（2a4）3=8a12，故本选项错误；
D、a8÷a2=a6，故本选项错误；
故选：B．
本题考查单项式乘单项式，解题的关键是掌握合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
6. 下面说确的有（ ）
①有理数与数轴上的点一一对应；②，互为相反数，则；③如果一个数的值是它本身，这个数是正数；④近似数所表示的准确数的范围是大于或等于，而小于．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【6题答案】
【正确答案】A

【详解】①实数与数轴上的点一一对应，故错误；②，互为相反数，当a=b=0时没有成立，故错误；③如果一个数的值是它本身，这个数是正数或0，故错误；④近似数所表示的准确数的范围是大于或等于，而小于，正确，
故选A.
7. 桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边黑点，则B球反弹后击中A球的概率是（　　）

A. B. C. D.
【7题答案】
【正确答案】B

【详解】试题解析：由图可知可以瞄准的点有2个．
．
∴B球反弹后击中A球的概率是.
故选B．
8. 已知函数y=ax＋c、三、四象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是（ ）.
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个没有相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断
【8题答案】
【正确答案】B

【详解】∵点P（a，c）在第二象限，
∴a<0,c>0,
∴ac<0,
∴b2-4ac>0,
∴方程有两个没有相等的实数根
故选B.
9. 在学校举办的学习强国演讲比赛中，李华根据九位评委所给的分数制作了如下表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.5
8.3
8.1
0.15
如果去掉一个分和一个分，则表中数据一定没有发生变化的是（　　）
A. 平均数 B. 众数 C. 方差 D. 中位数
【9题答案】
【正确答案】D

【详解】去掉一个分和一个分对中位数没有影响，
故选D.

10. 如图，在△ABC中，CA=CB=4，∠ACB=90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰好在弧EF上，下列关于图中阴影部分的说确的是（ ）

A. 面积为 B. 面积为
C. 面积为 D. 面积随扇形位置的变化而变化
【10题答案】
【正确答案】C

【详解】试题解析：连接CD，

∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴AB=
∴DC=BD=，∠BDC=90°，∠B=∠DCA=45°，
∴∠BDH=∠CDG，
在△BDH和△CDG中，
，
∴△BDH≌△CDG，
∴图中阴影部分的面积=××=2π-4.
故选C．
11. 如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点没有在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是

A. （0，0） B. （0，1） C. （0，2） D. （0，3）
【11题答案】
【正确答案】D

【详解】解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，
此时△ABC的周长最小，

∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
∴B′点坐标为：（-3，0），则OB′=3
过点A作AE垂直x轴，则AE=4，OE=1
则B′E=4，即B′E=AE，∴∠EB′A=∠B′AE，
∵C′O∥AE，
∴∠B′C′O=∠B′AE，
∴∠B′C′O=∠EB′A
∴B′O=C′O=3，
∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．
故选D．
12. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O 为矩形ABCD对角线的交点，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的值为（ ）

A. 4 B. C. D.
【12题答案】
【正确答案】D

【详解】解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的，如图，
∵P是⊙D的切线，
∴DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴AC= =5，
∴OA= ，
∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴，
∵AD=4，CD=3，AC=5，
∴DM= ，
∴PM=PD+DM=1+ = ，
∴△AOP的面积= OA•PM= = ，故选D．

本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积．
二、填 空 题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 计算：（﹣）﹣3+ +2sin45°+（）0=_____．
【13题答案】
【正确答案】﹣2

【详解】根据实数的混合运算的法则，负整指数幂、二次根式、角的三角函数值、零次幂的性质可得：
（﹣）﹣3+ +2sin45°+（）0
=-8+5-++1
=-2
故答案为-2.
14. 因式分解：x2﹣3x+（x﹣3）=_____．
【14题答案】
【正确答案】(x-3)(x+1)；

【详解】根据因式分解的概念和步骤，可先把原式化简，然后用十字相乘分解，即原式=x2﹣3x+x﹣3
=x2﹣2x﹣3=（x﹣3）（x+1）；或先把前两项提公因式，然后再把x-3看做整体提公因式：原式=x（x﹣3）+（x﹣3）=（x﹣3）（x+1）.
故答案为（x﹣3）（x+1）．
点睛：此题主要考查了因式分解，关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.再利用因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解），进行分解因式即可.
15. 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，BC=8，，那么EC=_________.

【15题答案】
【正确答案】5 ；

【详解】试题解析：在△ABE中，AE⊥BC，AB=5，si=，
∴AE=4，
∴BE==3，
∴EC=BC-BE=8-3=5．
故答案5.
16. 如图示直线y=x+与x轴、y轴分别交于点A、B，当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴重合时，点B运动的路径的长度为____．

【16题答案】
【正确答案】.

【详解】试题分析：y=0时，x+=0，解得x=﹣1，则A（﹣1，0），
当x=0时，y=x+=，则B（0，），
在Rt△OAB中，∵tan∠BAO==，∴∠BAO=60°，
∴AB=，
∴当直线绕着点A按顺时针方向旋转到与x轴重合时，点B运动的路径的长度=．
故答案为．
考点：函数图象与几何变换；轨迹．
17. 如图，已知反比例函数y=（x＞0）与正比例函数y=x（x≥0）的图象，点A（1，5）、点A′（5，b）与点B′均在反比例函数的图象上，点B在直线y=x上，四边形AA′B′B是平行四边形，则B点的坐标为_____．

【17题答案】
【正确答案】

【详解】∵反比例函数y=（x＞0），点A（1，5），
∴k=1×5=5，
∴反比例函数解析式为：y=，
∵点A′（5，b）在反比例函数的图象上，
∴5b=5，
解得：b=1，
∴A′（5，1），
∵点B在直线y=x上，
∴设B点坐标为：（a，a），
∵点A（1，5），A′（5，1），
∴A点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，即可得到A′点，
∵四边形AA′B′B是平行四边形，
∴B点向下平移4个单位，再向右平移4个单位，即可得到B′点（a+4，a﹣4），
∵点B′在反比例函数的图象上，
∴（a+4）（a﹣4）=5，
解得：a=±（负数没有合题意），
故B点坐标为：．
故答案为．
点睛：此题主要考查了反比例函数综合以及平行四边形的性质、平移的性质等知识，根据题意表示出B′点坐标是解题关键．
18. 如图，等腰△ABC三个顶点在⊙O上，直径AB=12，P为弧BC上任意一点（没有与B，C重合），直线CP交AB延长线与点Q，2∠PAB+∠PDA=90°，下列结论：①若∠PAB=30°，则弧BP的长为；②若PD//BC，则AP平分∠CAB；③若PB=BD，则，④无论点P在弧上的位置如何变化，CP·CQ为定值. 正确的是___________.

【18题答案】
【正确答案】②③④.

【详解】试题解析：如图，连接OP，

∵AO=OP，∠PAB=30°，
∴∠POB=60°，
∵AB=12，
∴OB=6，
∴弧的长为=2π，故①错误；
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD∥BC，
∴OP⊥BC，
∴=，
∴∠PAC=∠PAB，
∴AP平分∠CAB，故②正确；
若PB=BD，则∠BPD=∠BDP，
∵OP⊥PD，
∴∠BPD+∠BPO=∠BDP+∠BOP，
∴∠BOP=∠BPO，
∴BP=BO=PO=6，即△BOP是等边三角形，
∴PD=OP=6，故③正确；
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
又∵∠ABC=∠APC，
∴∠APC=∠BAC，
又∵∠ACP=∠QCA，
∴△ACP∽△QCA，
∴，即CP•CQ=CA2（定值），故④正确；
故答案②③④．
三、解 答 题（本题共6小题，共60分）
19. 先化简，再求值：，再从0，-2，2，中选取一个适当数代入求值.
【19题答案】
【正确答案】

【详解】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，再从0，-2，2，+2中选取一个使得原分式有意义的值代入即可解答本题．
试题解析：
=
=2（m-2）-（m+2）
=2m-4-m-2
=m-6，
当m+2时，原式=+2−6＝−4．
20. 解没有等式组：
【20题答案】
【正确答案】

【分析】先分别求出每一个没有等式的解集，进一步即可求出没有等式组的解集．
【详解】解：对于没有等式组，
解没有等式①，得，
解没有等式②，得，
∴没有等式组的解集为：．
本题考查解一元没有等式组；解题的关键是熟练掌握一元没有等式组的解法，从而完成求解．
21. 列方程解应用题：某景区一景点要限期完成，甲工程队单独做可提前完成，乙工程队独做要误期6天，现由两工程队合做4天后，余下的由乙工程队独做，正好如期完成，则工程期限为多少天？
【21题答案】
【正确答案】15天

【详解】试题分析：首先设规定的工期是x天，则甲工程队单独做需（x-1）天，乙工程队单独做需（x+6）天，根据题意可得等量关系：乙工程队干x天的工作量+甲工程队干4天的工作量=1，根据等量关系列出方程，解方程即可．
试题解析：设工程期限为x天．
根据题意得，
解得：x=15.
经检验x=15是原分式方程的解．
答：工程期限为15天.
22. 如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于，垂足为，连接、

（1）当在中点时，四边形是什么四边形?说明你的理由；
（2）当为中点时，等于 度时，四边形是正方形．
【22题答案】
【正确答案】（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）

【分析】（1）先证明，得出四边形是平行四边形，再“根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”证出，得出四边形是菱形；
（2）先求出，再根据菱形的性质求出，即可证出结论．
【详解】解：当点是的中点时，四边形是菱形；理由如下：
∵，
，
∵，
，
，
∵，即，
四边形是平行四边形，
；
为中点，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
∵，为中点，
，
四边形是菱形；
（2）当时，四边形是正方形；理由如下：
∵，，
，
∵四边形是菱形，
，
，
四边形是正方形．
故．
本题考查了平行四边形的判定、正方形的判定以及直角三角形的性质；根据题意证明线段相等和直角是解决问题的关键．
23. 如图的⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，过点D、A分别作⊙O的切线交于点G，并与AB延长线交于点E．

（1）求证：∠1=∠2．
（2）已知：OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，求AG的长．
【23题答案】
【正确答案】（1）证明见解析（2）6

【详解】试题分析：（1）连接OD，因为DE为⊙O的切线，所以OD⊥DE，又OC⊥OB，然后根据互余的关系可证∠1=∠2；（2）由（1）中∠1=∠2可得EF=ED，设DE=x，在Rt△ODE中，由勾股定理求得x =4，然后证Rt△EOD∽Rt△EGA．可求出AG的长．
试题解析：（1）证明：如图，连接OD，

∵DE为⊙O的切线，∴OD⊥DE．∴∠ODE=90°，即∠2 ∠ODC=90°，∵OC=OD，∴∠C=∠ODC．∴∠2 ∠C=90°．∵OC⊥OB，∴∠C ∠3=90°．∴∠2=∠3,∵∠1=∠3，∴∠1=∠2．
（2）∵OF：OB=1：3，⊙O的半径为3，∴OF=1．∵∠1=∠2，∴EF=ED，在Rt△ODE中，OD=3，设DE=x，则EF=x，OE=1+x，所以，解得x =4．∴DE=4，OE=5．
∵AG为⊙O的切线，∴AG⊥AE．∴∠GAE=90°．∴∠ODE=∠GAE，∵∠OED=∠GEA，∴Rt△EOD∽Rt△EGA．解得AG=6．
考点：1．切线的性质；2．等腰三角形的判定和性质；3．勾股定理；4．相似三角形的判定和性质．

24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使得的面积？若存在，求出点的坐标；若没有存在，说明理由；
（3）点是直线上方的抛物线上一动点，过点作轴于点．是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点的坐标；若没有存在，说明理由．
【24题答案】
【正确答案】（1）；（2）存在，点；（3）存在，，．

【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）连接，过点作轴于点，轴于点，设点的坐标为，得出，从而推出，即可推出当时，的面积，从而求出点的坐标.
（3）设点E的横坐标为c，表示出BE、QE，然后根据相似三角形对应边成比例，分OA和BE，OA和QE是对应边两种情况列出比例式求解即可．
【详解】（1）由抛物线过点，，
则，解得．
二次函数的解析式为．
（2）存在．如图，连接，过点作轴于点，轴于点．

设点的坐标为，则．
，，．
当时，，
．



．
，
当时，有值．
此时．
存在点，使的面积．
（3）存在点，坐标为，．
理由如下：设点E的横坐标为c，则点Q的坐标为BE=1-c，

①OA和BE是对应边时，∵△BEQ∽△AOC，
∴，
即，
整理得，c2+c-2=0，
解得c1=-2，c2=1（舍去），
此时，,
点Q（-2，2）；
②OA和QE是对应边时，∵△QEB∽△AOC，
∴，
即，
整理得，4c2-c-3=0，
解得，c2=1（舍去），
此时，
点；
综上所述，存在点，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似．
本题考查了二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，相似三角形对应边成比例的性质，（2）判断出与AC平行的直线与二次函数图象只有一个交点时三角形的面积是解题的关键，（3）要分情况讨论．