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2022-2023学年四川省乐山市中考数学专项提升仿真模拟卷（一模二模）含解析
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这是一份2022-2023学年四川省乐山市中考数学专项提升仿真模拟卷（一模二模）含解析，共57页。试卷主要包含了 方程x， 二次函数的顶点坐标是， 下列说确的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省乐山市中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一．选一选（12个小题，每小题3分，共36分）
1. 观察下列图形，既是轴对称图形又是对称图形的有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 方程x（x﹣2）＝3x的解为（ ）
A. x＝5 B. x1＝0，x2＝5 C. x1＝2，x2＝0 D. x1＝0，x2＝﹣5
3. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A （﹣2，7） B. （2，7） C. （﹣2，﹣7） D. （2，﹣7）
4. 如图，⊙O是△ABC外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
5. 设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. D. ﹣
6. 关于x的方程 =0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A k≥0 B. k＞0 C. k≥﹣1 D. k＞﹣1
7. 下列说确的是（ ）
A. “明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有正面朝上
C. “中奖的概率为1%”表示买100张肯定会中奖
D. “抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一发生的概率稳定在附近
8. 已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的可能性是，则袋中球的总个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，没有正确的是（ ）
A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC
C. D.
10. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）
A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%
11. 如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD， NF⊥AB. 若NF =NM= 2，ME = 3，则AN =
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
12. 二次函数y=﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y值=﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（ ）
A. t=0 B. 0≤t≤3 C. t≥3 D. 以上都没有对
二．填 空 题（共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=_____．
14. 如图，电灯P在横杆AB的上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是3m，则P到 AB的距离是_____m．
15. 二次函数y=2x2﹣4x向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后的解析式为_____．
16. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
三．（每小题6分，共18分）
17. 解方程：（x﹣5）（x﹣3）=24．
18. 已知二次函数的图象（0，0），（-1，-1），（1，9）三点.
（1）求这个函数的解析式；
（2）求出这个函数图象的顶点坐标.
19. 如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长．
四．（每小题7分，共14分）
20. 已知：关于x的方程x2-4mx+4m2-1=0．
(1)没有解方程，判断方程的根的情况；
(2)若△ABC为等腰三角形，BC=5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．
21. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A（﹣2，0）、B（﹣1，1）．将△AOB绕点O顺时针旋转90°后，点A、B分别落在A′、B′．
（1）在图中画出旋转后的△A′OB′；
（2）求线段OA所扫过的图形的面积．
五．（每小题8分，共16分）
22. 我县实施新课程改革后，学习的自主字习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，并将结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图，请你根据统计图下列问题：
（1）本次中，张老师一共了 名同学，其中C类女生有 名，D类男生有 名；
（2）将上面条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
23. 某商品进价为每件50元，当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，经市场：在确保盈利的前提下，每降价1元，每星期可多卖出20件，
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）当降价多少元时，每星期的利润？利润是多少？
六.（每小题12分，共24分）
24. 如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．
（1）求证：PC=PD；
（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．
25. 已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的值．
2022-2023学年四川省乐山市中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一．选一选（12个小题，每小题3分，共36分）
1. 观察下列图形，既是轴对称图形又是对称图形的有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；对称图形是图形沿对称旋转180度后与原图重合，即可求解．
【详解】个图形没有是轴对称图形，是对称图形；
第二个图形既是轴对称图形又是对称图形；
第三个图形既是轴对称图形又是对称图形；
第四个图形既是轴对称图形又是对称图形；
∴既是轴对称图形又是对称图形共有3个．
故选C．
2. 方程x（x﹣2）＝3x的解为（ ）
A. x＝5 B. x1＝0，x2＝5 C. x1＝2，x2＝0 D. x1＝0，x2＝﹣5
【正确答案】B
【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元方程，求出方程的解即可.
【详解】解：x（x﹣2）＝3x，
x（x﹣2）﹣3x＝0，
x（x﹣2﹣3）＝0，
x＝0，x﹣2﹣3＝0，
x1＝0，x2＝5，
故选：B.
此题考查因式分解法解一元二次方程，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.
3. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. （﹣2，7） B. （2，7） C. （﹣2，﹣7） D. （2，﹣7）
【正确答案】B
【详解】分析：根据二次函数的顶点式解析式写出即可．
详解：∵二次函数y=(x−2)2+7为顶点式，∴图象的顶点坐标是(2,7).
故选B.
点睛：本题考查了二次函数的性质，掌握 的顶点坐标为（h,k）s是解决本题的关键.
4. 如图，⊙O是△ABC外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
【正确答案】C
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求得∠BOC，再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的两个底角相等进行计算．
【详解】连接OC，如图，
根据圆周角定理，得
∠BOC=2∠A=80°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB==50°．
故选C．
本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．
5. 设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. D. ﹣
【正确答案】A
【详解】试题解析：∵，是方程的两根，
根据一元二次方程根与系数关系得：+=2
故选A
6. 关于x的方程 =0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k≥0 B. k＞0 C. k≥﹣1 D. k＞﹣1
【正确答案】A
【分析】
【详解】解：∵方程x2+2x−1＝0有两个没有相等的实数根，
∴k≥0，且△＞0，即（2）2-4×1×（-1）＞0，
解得k＞-1．
∴k的取值范围是k≥0．
故选：A．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
7. 下列说确的是（ ）
A. “明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有正面朝上
C. “中奖的概率为1%”表示买100张肯定会中奖
D. “抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一发生的概率稳定在附近
【正确答案】D
【分析】根据概率是指某件事发生可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．
【详解】解：A. “明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A没有符合题意；
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每次抛正面朝上的概率都是，故B没有符合题意；
C. “中奖的概率为1%”表示买100张有可能中奖．故C没有符合题意；
D. “抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一发生的概率稳定在附近，故D符合题意；
故选D
本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
8. 已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的可能性是，则袋中球的总个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【正确答案】D
【详解】试题解析：袋中球的总个数是：2÷=8（个）．
故选D．
9. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，没有正确的是（ ）
A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC
C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
10. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）
A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%
【正确答案】C
【分析】设平均每月的增长率为x，原数为200万元，后来数为288万元，增长了两个月，根据公式“原数×（1+增长百分率）2=后来数”得出方程，解出即可．
【详解】解：设平均每月的增长率为x，
根据题意得：200（1+x）2=288，
（1+x）2=1.44，
x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），
所以，平均每月的增长率为20%．
故选：C．
本题是一元二次方程的应用，属于增长率问题；解题的关键是根据题意，找出等量关系.
11. 如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD， NF⊥AB. 若NF =NM= 2，ME = 3，则AN =
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】B
【分析】根据菱形的对角线平分一组对角可得∠1=∠2，然后求出△AFN和△AEM相似，再利用相似三角形对应边成比例列出求解即可.
【详解】如图， 在菱形ABCD中，∠1=∠2，
又∵ME⊥AD，NF⊥AB，
∴∠AEM=∠AFN=90°．
∴△AFN∽△AEM，
∴，
即
解得AN=4
故选B.
12. 二次函数y=﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y值=﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（ ）
A. t=0 B. 0≤t≤3 C. t≥3 D. 以上都没有对
【正确答案】C
【详解】解：∵y=﹣x2+6x﹣7=﹣（x﹣3）2+2，当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，ymax=f（3）=2，与ymax=﹣（t﹣3）2+2矛盾．
当3≥t+2时，即t≤1时，ymax=f（t+2）=﹣（t﹣1）2+2，与ymax=﹣（t﹣3）2+2矛盾．
当3≤t，即t≥3时，ymax=f（t）=﹣（t﹣3）2+2与题设相等，故t的取值范围t≥3．
故选C．
点睛：本题考查了二次函数的最值，难度较大，关键是判断出当x≥3时，y随x的增大而减小，由此此解决这类题．
二．填 空 题（共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=_____．
【正确答案】﹣2．
【详解】解：根据题意将x=0代入原方程得：m2﹣4=0，解得：m=2或m=﹣2．又∵m﹣2≠0，即m≠2，∴m=﹣2．故答案为﹣2．
点睛：本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，特别需要注意的条件是二次项系数没有等于0．
14. 如图，电灯P在横杆AB上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是3m，则P到 AB的距离是_____m．
【正确答案】1
【分析】根据ABCD，易得PABPCD，根据相似三角形对应高之比等于对应边之比，列出方程求解即可．
【详解】解：∵ABCD，
∴∠PAB=∠C，∠PBA=∠D，
∴PABPCD，
∴，
∴，
∴P到AB的距离为1m．
故1．
此题考查了相似三角形的应用和投影问题，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出P到AB的距离．
15. 二次函数y=2x2﹣4x向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后的解析式为_____．
【正确答案】y=2（x﹣3）2﹣1．
【详解】∵y=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2）．
∵向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，﹣1），
∴平移后的抛物线解析式为y=2（x﹣3）2﹣1．
故答案为y=2（x﹣3）2﹣1．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
16. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B
【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三．（每小题6分，共18分）
17. 解方程：（x﹣5）（x﹣3）=24．
【正确答案】x1=9，x2=﹣1
【详解】试题分析：利用十字相乘法解一元二次方程即可．
试题解析：解：x2﹣8x+15﹣24=0
x2﹣8x﹣9=0
（x﹣9）（x+1）=0，∴x﹣9=0或x+1=0，∴x1=9，x2=﹣1．
点睛：本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特点选择适当的方法解方程．
18. 已知二次函数的图象（0，0），（-1，-1），（1，9）三点.
（1）求这个函数的解析式；
（2）求出这个函数图象的顶点坐标.
【正确答案】（1）；（2）见解析
【详解】试题分析：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元方程组，解方程组即可求a、b、c，进而可得函数解析式；
（2）把解析式配方即可得出结论．
试题解析：解：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），根据题意，得：，解得：，∴所求二次函数的解析式为y=4x2+5x；
（2），∴顶点坐标为：．
点睛：本题考查了待定系数法求二次函数解析式．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
19. 如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长．
【正确答案】2
【分析】根据相似三角形的性质定理列出比例式，计算即可．
【详解】∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴=，即=，
解得，AC=2．
本题相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
四．（每小题7分，共14分）
20. 已知：关于x的方程x2-4mx+4m2-1=0．
(1)没有解方程，判断方程的根的情况；
(2)若△ABC为等腰三角形，BC=5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．
【正确答案】(1) 有两个没有相等的实数根；(2)周长为13或17
【分析】(1)根据方程的系数根的判别式，可得出=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个没有相等的实数根；
(2)根据等腰三角形的性质及＞0，可得出5是方程x2-4mx+4m2-1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．
【详解】(1)∵=(-4m)2-4(4m2-1)=4＞0，
∴无论m为何值，该方程总有两个没有相等的实数根．
(2)∵＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，
∴5是方程x2-4mx+4m2-1=0的根．
将x=5代入原方程，得：25-20m+4m2-1=0，解得：m1=2，m2=3．
当m=2时，原方程为x2-8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．
∵3、5、5能够组成三角形，
∴该三角形周长为3+5+5=13，
当m=3时，原方程为x2-12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．
∵5、5、7能够组成三角形，
∴该三角形的周长为5+5+7=17．
综上所述：此三角形的周长为13或17．
本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当＞0时，方程有两个没有相等的实数根”；(2)代入x=5求出m值．
21. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A（﹣2，0）、B（﹣1，1）．将△AOB绕点O顺时针旋转90°后，点A、B分别落在A′、B′．
（1）在图中画出旋转后的△A′OB′；
（2）求线段OA所扫过的图形的面积．
【正确答案】（1）见解析（2）π
【详解】试题分析：（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的定义点A′、B′即可；
（2）OA旋转到点OA′所扫过的图形为以O为圆心，OA为半径，圆心角为90的扇形，然后根据扇形面积公式计算即可．
试题解析：解：（1）图中的△A′OB′为所画的三角形．
（2）线段OA所扫过的图形的面积为：=π．
五．（每小题8分，共16分）
22. 我县实施新课程改革后，学习的自主字习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，并将结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图，请你根据统计图下列问题：
（1）本次中，张老师一共了 名同学，其中C类女生有 名，D类男生有 名；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【正确答案】：
（1）20，2，1；（2）见解析.（3），表格见解析.
【分析】（1）由扇形统计图可知，特别好的占总数的15%，人数有条形图可知3人，所以的样本容量是：3÷15%，即可得出C类女生和D类男生人数；
（2）根据（1）中所求数据得出条形图的高度即可；
（3）根据被的A类和D类学生男女生人数列表即可得出答案．
【详解】解：（1）3÷15%=20，
20×25%=5．女生：5﹣3=2，
1﹣25%﹣50%﹣15%=10%，
20×10%=2，男生：2﹣1=1，
故答案为20，2，1；
（2）如图所示：
（3）根据张老师想从被的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，可以将A类与D类学生分为以下几种情况：
利用图表可知所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：
．
23. 某商品的进价为每件50元，当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，经市场：在确保盈利的前提下，每降价1元，每星期可多卖出20件，
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）当降价多少元时，每星期的利润？利润是多少？
【正确答案】（1）y＝−20x2＋100x＋6000（0≤x＜20）；（2）降价2或3元时，利润是6120元．
【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围．
（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得值．
【详解】解：（1）根据题意得y＝（70−x−50）（300＋20x）＝−20x2＋100x＋6000，
∵70−x−50＞0，且x≥0，
∴0≤x＜20；
∴y与x的函数关系式为y＝−20x2＋100x＋6000（0≤x＜20）；
（2）∵y＝−20x2＋100x＋6000＝−20（x−2.5）2＋6125，
∴当x＝2.5时，y取得值，
根据x为整数，故当降价2或3元时，每星期的利润值为6120，
答：当降价2或3元时，每星期的利润，利润是6120元．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
六.（每小题12分，共24分）
24. 如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．
（1）求证：PC=PD；
（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．
【正确答案】(1)见解析 (2) EC= AE=
【详解】试题分析：（1）如图1中，连接OC、OE．利用等角的余角相等，证明∠PCD=∠PDC即可；
（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．首先证明Rt△AEF≌Rt△BEH，推出AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得5+x=12﹣x，推出x=，延长即可解决问题；
试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC、OE．
∵AB 直径，∴∠ACB=90°，∴CE平分∠ACB，∴∠ECA=∠ECB=45°，∴=，∴OE⊥AB，∴∠DOE=90°．∵PC是切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°．∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC．∵∠PCD+∠OCE=90°，∠ODE+∠OEC=90°，∠PDC=∠ODE，∴∠PCD=∠PDC，∴PC=PD．
（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．
∵CE平分∠ACB，EH⊥BC于H，EF⊥CA于F，∴EH=EF，∠EFA=∠EHB=90°．∵=，∴AE=BE，∴Rt△AEF≌Rt△BEH，∴AF=BH，设AF=BH=x．∵∠F=∠FCH=∠CHE=90°，∴四边形CFEH是矩形．∵EH=EF，∴四边形CFEH是正方形，∴CF=CH，∴5+x=12﹣x，∴x=，∴CF=FE=，∴EC=CF=，AE===．
点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25. 已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的值．
【正确答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）（5，3）；（3）（1，0）或（﹣5，﹣）；值为5.
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC的长相等，只有当BP与AC平行且相等时，四边形ACBP为菱形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，没有是菱形；
（3）利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点M与点P、A没有在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值，即点M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PM﹣AM|的值时M坐标，确定出|PM﹣AM|的值即可．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵A（1，0）B（0，3）C（﹣4，0），
∴， 解得：a=﹣，b=﹣，c=3，
∴A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB=3，OC=4，OA=1， ∴BC=AC=5， 当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB， ∴点P的坐标为（5，3），
当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，没有是菱形，
则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；
（3）设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵A（1，0），P（5，3），
∴， 解得：k=，b=﹣， ∴直线PA的解析式为y=x﹣，
当点M与点P、A没有在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，
当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，
∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值，即点M为直线PA与抛物线的交点，
解方程组，得或，
∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣）时，|PM﹣AM|的值，此时|PM﹣AM|的值为5．
考点：（1）二次函数的性质；（2）待定系数法确定抛物线解析式；（3）函数解析式；（4）菱形的判定；（5）坐标与图形性质
2022-2023学年四川省乐山市中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、选一选：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ）
A. 零上3℃ B. 零下3℃ C. 零上7℃ D. 零下7℃
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图是按1:10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
4. 一组数据4，5，6，4，4，7，x，5的平均数是5.5，则该组数据的中位数和众数分别是( )
A. 4，4 B. 5，4 C. 5，6 D. 6，7
5. 如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A（1，2），那么sinα的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
6. 已知关于x的方程2x-a=x-1的解是非负数，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交圆于点E，连接BE.若∠A=100°，∠E=60°,则∠OCD度数为（ ）
A. 30° B. 50° C. 60° D. 80°
8. 如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6
9. 若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3； ②；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 如图，M是双曲线上一点，过点M作轴、y轴的垂线，分别交直线于点D、C，若直线与轴交于点A，与轴交于点B，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. －7的倒数是________．
12. 小明和他的爸爸、妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸、妈妈相邻的概率是____________．
13. 分解因式：=_______________．
14. 如图，扇形纸片AOB中,已知∠AOB=90º,OA=6，取OA的中点C，过点C作DC⊥OA交于点D，点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD、DF、FA依次剪下，则剩下的纸片（阴影部分）面积是______________.
15. 已知圆锥的底面半径为40cm， 母线长为90cm， 则它的侧面展开图的圆心角为_______．
16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为．
三、解 答 题.
17. 计算：
18. 解没有等式组：，并将解集数轴上表示出来．
19. 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC长；
（2）求证：AM=DF+ME．
20. 当m、n何值时，方程组与方程组同解？
21. 某校初三（1）班部分同学接受内容为“最适合自己的考前减压方式”的，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个没有完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
22. 如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果到0.1米，参考数据：）
23. 已知函数的图象分别与坐标轴相交于A、B两点（如图所示），与反比例函数的图象相交于点C，OA=3.
（1）求函数的解析式和点B的坐标；
（2）作CD⊥x轴，垂足为D，若=1:3，求反比例函数的解析式.
24. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根.
（1）是否存在实数k，使成立？若存在，求出k的值；若没有存在，请说明理由.
（2）求使的值为整数的实数k的整数值.
25. 【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积的矩形，多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且ta=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积的矩形PQMN，求该矩形的面积．
26. 如图，二次函数的图象关于y轴对称且交y轴负半轴于点C，与x轴交于点A、B，已知AB=6，OC=4，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的值是多少？
2022-2023学年四川省乐山市中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ）
A. 零上3℃ B. 零下3℃ C. 零上7℃ D. 零下7℃
【正确答案】B
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．
【详解】：解：若气温为零上10℃记作＋10℃，
则−3℃表示气温为零下3℃．
故选：B．
此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
详解：A. ，故A选项错误；
B. a8÷a2=a8-2= a6，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D. ，故D选项错误.
故选C.
点睛：本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
3. 如图是按1:10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：首先判断出该几何体，然后计算其面积即可．
详解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为2，底面直径为1，
侧面积为：πdh=2×π=2π，
∵是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，
∴原几何体的侧面积=100×2π=200π，
故选D．
点睛：本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．
4. 一组数据4，5，6，4，4，7，x，5的平均数是5.5，则该组数据的中位数和众数分别是( )
A. 4，4 B. 5，4 C. 5，6 D. 6，7
【正确答案】B
【详解】分析：先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数和出现次数至多的数即可．
详解：∵数据4，5，6，4，4，7，x，5的平均数是5.5，
∴（4+5+6+4+4+7+x+5）÷8=5.5，
解得x=9，
按照从小到大的顺序排列为4，4，4，5，5，6，7，9排在正中间的是5，故中位数是5，
∵在这组数据中4出现了三次，次数至多，
∴众数是4．
故选B．
点睛：此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数至多的数．
5. 如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A（1，2），那么sinα的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【正确答案】A
【分析】过A向x轴作垂线，垂足为B，根据A点的坐标及勾股定理可求出OA的值，再根据求出sinα的值即可．
【详解】解：过A向x轴作垂线，垂足为B，
因为A（1，2），即OB=1，AB=2，
所以OA=AB2+OB2=12+22=5，
由锐角三角函数的定义可知，．
故选A．
此题比较简单，解答此题的关键是熟知直角三角形中锐角三角函数的定义．
6. 已知关于x的方程2x-a=x-1的解是非负数，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】本题首先要解这个关于x的方程，然后根据解是非负数，就可以得到一个关于a的没有等式，求出a的取值范围．
【详解】解：原方程可整理为：（2-1）x=a-1，
解得：x=a-1，
∵方程x的方程2x-a=x-1的解是非负数，
∴a-1≥0，
解得：a≥1．
故选A．
本题综合考查了一元方程的解与解一元没有等式．解关于x的没有等式是本题的一个难点．
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交圆于点E，连接BE.若∠A=100°，∠E=60°,则∠OCD的度数为（ ）
A. 30° B. 50° C. 60° D. 80°
【正确答案】B
【详解】分析：由四边形ABCD内接于⊙O，且∠A=100°，得∠DCB=80°,再由CE是直径得∠EBC=90°，因为∠E=60°，故可得∠BCE=30°，故可求解.
详解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°
∵∠A=100°
∴∠DCB=80°,
∵CE是直径
∴∠EBC=90°
∵∠E=60°,
∴∠BCE=30°，
∴∠OCD=50°
故选B．
点睛：圆内接四边形的性质：圆内接四边形内对角互补．
8. 如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6
【正确答案】A
【详解】∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，
∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，
同理可得△AEG的面积=，
△BCE的面积=×△ABC的面积=6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积=×△BCE的面积=，
∴△AFG的面积=△AEF的面积+△AEG的面积+△EFG的面积=×3=4.5，
故选：A．
9. 若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3； ②；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】C
【详解】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误．
②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，
∵方程有两个没有相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，
解得：．故结论②正确．
③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m．
∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m
=x2－5x＋6=（x－2）（x－3）．
令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3．
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确．
综上所述，正确的结论有2个：②③．故选C．
10. 如图，M是双曲线上一点，过点M作轴、y轴的垂线，分别交直线于点D、C，若直线与轴交于点A，与轴交于点B，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，由直线的解析式为y=-x+m，易得A（0，m），B（m，0），得到△OAB等腰直角三角形，则△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，设M的坐标为（a，b），则ab=，并且CE=b，DF=a，则AD= DF=a，BC=CE=b，于是得到AD•BC=a•b=2ab=2．
详解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，
对于y=-x+m，
令x=0，则y=m；令y=0，-x+m=0，解得x=m，
∴A（0，m），B（m，0），
∴△OAB等腰直角三角形，
∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，
设M的坐标为（a，b），则ab=，
CE=b，DF=a，
∴AD=DF=a，BC=CE=b，
∴AD•BC=a•b=2ab=2．
故选D．
点睛：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会求函数与坐标轴的交点坐标以及灵活运用等腰直角三角形的性质．
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. －7倒数是________．
【正确答案】
【分析】直接根据根据倒数的定义求解即可.
【详解】解: =1,
-7的倒数是-
故答案:.
本题主要考查倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.
12. 小明和他的爸爸、妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸、妈妈相邻的概率是____________．
【正确答案】；
【详解】分析：根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．
详解：设小明为A，爸爸为B，妈妈为C，
则所有的可能性是：（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA），
∴他的爸爸妈妈相邻的概率是.
故答案为．
点睛：本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
13. 分解因式：=_______________．
【正确答案】.
【分析】根据平方差公式，可得答案．
【详解】解：原式=[（y+2x）+（x+2y）][（y+2x）-（x+2y）]
=3（x+y）（x-y）．
故3（x+y）（x-y）．
本题考查了因式分解，利用平方差公式是解题关键．
14. 如图，扇形纸片AOB中,已知∠AOB=90º,OA=6，取OA的中点C，过点C作DC⊥OA交于点D，点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD、DF、FA依次剪下，则剩下的纸片（阴影部分）面积是______________.
【正确答案】；
【详解】分析：先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD-S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．
详解：如图，
∵CD⊥OA，
∴∠DCO=∠AOB=90°，
∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，
∴∠ODC=∠BOD=30°，
作DE⊥OB于点E，则DE=OD=3，
∴S弓形BD=S扇形BOD-S△BOD=×6×3=3π-9，
则剪下的纸片面积之和为3×（3π-9）=9π-27.
故答案为9π-27．
点睛：本题主要考查扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积计算公式及折叠的性质是解题的关键．
15. 已知圆锥的底面半径为40cm， 母线长为90cm， 则它的侧面展开图的圆心角为_______．
【正确答案】
【分析】圆锥的底面半径为40cm，则底面圆的周长是80πcm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm，母线长为90cm即侧面展开图的扇形的半径长是90cm．根据弧长公式即可计算．
【详解】根据弧长的公式l=得到：
80π=，
解得n=160度．
侧面展开图的圆心角为160度．
故答案为160°．
16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为．
【正确答案】②③．
【详解】试题分析：研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
对于①，，因此本选项错误；
对于②，，而，∴，因此本选项正确；
对于③，显然，而，因此本选项正确；
对于④，由，知，∴，由倍根方程的结论知，从而有，所以方程变为：，∴，∴，，因此本选项错误．
故答案为②③．
考点：1．新定义；2．根与系数的关系．
三、解 答 题.
17. 计算：
【正确答案】3+
【详解】分析：先进行值的化简、二次根式的化简、零指数幂等运算，然后合并．
详解：原式=2-++1=3+
点睛：本题考查了二次根式的混合运算，涉及了值的化简、二次根式的化简、二次根式的乘法、零指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 解没有等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【正确答案】-7＜≤1.数轴见解析.
【分析】分别求出各没有等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
解没有等式①，得≤1，
解没有等式②，得＞-7，
∴没有等式组的解集为-7＜≤1．
在数轴上表示没有等式组的解集为
故答案为-7＜≤1．
本题考查了解一元没有等式组，熟知“取大，小小取小，大小小大中间找，小小找没有了“的原则是解此题的关键．
19. 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
【正确答案】(1)2;(2)见解析.
【详解】试题分析：（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；
（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，图形GM=GF+MF即可得证．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴MC=MD，
∵ME⊥CD，
∴CD=2CE，
∵CE=1，
∴CD=2，
∴BC=CD=2；
（2）AM=DF+ME
证明：如图，
∵F为边BC的中点，
∴BF=CF=BC，
∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
延长AB交DF的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G，
∴AM=MG，
在△CDF和△BGF中，
∵
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
由图形可知，GM=GF+MF，
∴AM=DF+ME．
20. 当m、n为何值时，方程组与方程组同解？
【正确答案】
【详解】分析：根据方程组的解相同，可得两个新方程组，根据解方程组，可得x、y的值，根据方程组的解满足方程，可得关于m、n的方程组，根据解方程组，可得答案．
详解：方程组的解与方程组的解相同得①②，
解①得，
把代入②得，
解得，
当m=1，n=2时，方程组与方程组同解．
∴m=1，n=2.
点睛：本题考查了二元方程组的解，利用了方程组的解满足方程组．
21. 某校初三（1）班部分同学接受内容为“最适合自己考前减压方式”的，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个没有完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
【正确答案】（1）50人；（2）补图见解析；108°；（3）.
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图给出的共同数据A类的部分和百分比，利用除法求出全部即可；
（2）利用全部的人数减去已知的其他各类人即可，求出C类人所占的百分比，再求出圆心角即可；
（3）本题根据没有放会方法画出树状图，得出概率即可.
【详解】（1）由题意可得总人数为10÷20%=50名；
（2）50-10-5-15-8=12，
，
补全统计图得：
（3）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出都是女生的有2种情况，
∴选取的两名同学都是女生的概率P==．
22. 如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果到0.1米，参考数据：）
【正确答案】542.3米
【分析】构造直角三角形，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，分别解Rt△AEC和Rt△AEC即可求解．
【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°．
∴四边形ABFE为矩形．∴AB=EF，AE=BF．
由题意可知：AE=BF=100，CD=500．
在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100，
∴．
在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=100，∴．
∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣≈600﹣×1.73≈600﹣57.67≈542.3（米）．
答：岛屿两端A．B的距离为542.3米．
23. 已知函数的图象分别与坐标轴相交于A、B两点（如图所示），与反比例函数的图象相交于点C，OA=3.
（1）求函数的解析式和点B的坐标；
（2）作CD⊥x轴，垂足为D，若=1:3，求反比例函数的解析式.
【正确答案】（1）函数的解析式为，点B的坐标为（0，2）；（2）反比例函数的解析式为
【详解】分析：（1）由OA=3得A（-3，0），代入得b=2，从而求出函数解析式，令x=0，则y=2，故点B的坐标为（0，2）；
（2）分别求出和，设出点C坐标，根据梯形面积求解即可.
详解：（1）∵OA=3
∴A（-3，0）
将A（-3，0）代入中得b=2
∴函数的解析式为
令x=0得y=2
∴点B的坐标为（0，2）
(2)由题知
∵=1:3
∴=9
设C（m，），则有
解得m1=3，m2=-9(舍去)
∴C（3，4）
∵C（3，4）在反比例函数上
∴反比例函数的解析式为.
点睛：本题考查了函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，具有一定的代表性.
24. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根.
（1）是否存在实数k，使成立？若存在，求出k的值；若没有存在，请说明理由.
（2）求使的值为整数的实数k的整数值.
【正确答案】（1）没有存在满足条件的k值，理由见解析；（2）
【详解】分析：（1）由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=，然后把x1+x2、x1x2代入（2x1-x2）（x1-2x2）=-中，进而可求k的值；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据的值为整数，以及k的范围即可确定k的取值；
详解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=1，x1x2=，
∴（2x1-x2）（x1-2x2）=2x12-4x1x2-x1x2+2x22=2（x1+x2）2-9x1x2=2×12-9×=2-，
若2-=-成立，
解上述方程得，k=，
∵△=16k2-4×4k（k+1）=-16k＞0，
∴k＜0，∵k=，
∴矛盾，
∴没有存在这样k的值；
（2）原式=，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5；
点睛：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负没有等号的变化关系、以及完全平方公式的使用．
25. 【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积的矩形，多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且ta=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积的矩形PQMN，求该矩形的面积．
【正确答案】【探索发现 】；【拓展应用 】；【灵活应用 】该矩形的面积为720；【实际应用 】该矩形的面积为1944cm2．
【分析】【探索发现 】由中位线知EF=BC、ED=AB、由可得；
【拓展应用 】由△APN∽△ABC知，可得PN=a-PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ•PN═-（x-）2+，据此可得；
【灵活应用 】添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现 】结论解答即可；
【实际应用 】延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由ta=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用 】结论解答可得．
【详解】【探索发现 】
∵EF、ED为△ABC中位线，
∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，
又∠B=90°，
∴四边形FEDB是矩形，
则；
拓展应用 】
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，
∴PN=a-PQ，
设PQ=x，
则S矩形PQMN=PQ•PN=x（a-x）=-x2+ax=-（x-）2+，
∴当PQ=时，S矩形PQMN值为；
【灵活应用 】
如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，
由题意知四边形ABCH是矩形，
∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，
∴EH=20，DH=16，
∴AE=EH，CD=DH，
在△AEF和△HED中，
∵ ，
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AF=DH=16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG=HE=20，
∴BI==24，
∵BI=24＜32，
∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，
过点K作KL⊥BC于点L，
由【探索发现 】知矩形的面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720，
答：该矩形的面积为720；
【实际应用 】
如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
∵ta=tanC=，
∴∠B=∠C，
∴EB=EC，
∵BC=108cm，且EH⊥BC，
∴BH=CH=BC=54cm，
∵ta==，
∴EH=BH=×54=72cm，
在Rt△BHE中，BE==90cm，
∵AB=50cm，
∴AE=40cm，
∴BE中点Q在线段AB上，
∵CD=60cm，
∴ED=30cm，
∴CE的中点P在线段CD上，
∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，
由【拓展应用 】知，矩形PQMN的面积为BC•EH=1944cm2，
答：该矩形的面积为1944cm2．
26. 如图，二次函数的图象关于y轴对称且交y轴负半轴于点C，与x轴交于点A、B，已知AB=6，OC=4，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的值是多少？
【正确答案】（1）二次函数解析式为；（2）点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）或（，﹣﹣4）或（﹣，﹣4）；（3）OE的值为
【详解】分析：（1）首先确定A、B、C的坐标，再运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP2=2，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到，设OC=P2E=2x，FP2=OE=x，得到BE=3-x，CF=2x-4，于是得到FP2=，EP2=，求得P2（，-），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（-1，-2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）如图中，连接AP，根据OB=OA，BE=EP，推出OE=AP，可知当AP时，OE的值，
详解：（1）∵AB=6，OC=4且图象关于轴对称
∴A（-3，0），B（3，0），C（0，﹣4）
设二次函数解析式为
将A（-3，0）代入得
∴二次函数解析式为
（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形.
①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图，连接BC.
∵OB=3．OC=4，
∴BC=5
∵CP2⊥BP2，CP2=
∴BP2=2过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F
则△CP2F∽△BP2E，四边形OCP2B是矩形
∴，
设OF=P2E=2x，CP2=OE=x
∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4
∴=2
∴x=，2x=，即FP2=，EP2=
∴P2（，﹣）
过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H.同理求得P1（﹣1，﹣2）
②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形
过P4作P4H⊥y轴于H
则△BOC∽△CHP4
∴
∴CH=，P4H=
∴P4（，﹣﹣4）
同理P3（﹣，﹣4）
综上所述：点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）或（，﹣﹣4）或（﹣，﹣4）.
（3）如图，连接AP
∵OB=OA，BE=EP
∴OE为△ABP的中位线
∴
∴当AP时，OE
∵当P在AC的延长线上时，AP，值为
∴OE的值为
点睛：本题考查了函数的解析式的求法，圆与直线是位置关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，考查中位线和圆外一定点到圆上距离的最值 等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
2022-2023学年四川省乐山市中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一．选一选（12个小题，每小题3分，共36分）
1. 观察下列图形，既是轴对称图形又是对称图形的有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 方程x（x﹣2）＝3x的解为（ ）
A. x＝5 B. x1＝0，x2＝5 C. x1＝2，x2＝0 D. x1＝0，x2＝﹣5
3. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A （﹣2，7） B. （2，7） C. （﹣2，﹣7） D. （2，﹣7）
4. 如图，⊙O是△ABC外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
5. 设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. D. ﹣
6. 关于x的方程 =0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A k≥0 B. k＞0 C. k≥﹣1 D. k＞﹣1
7. 下列说确的是（ ）
A. “明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有正面朝上
C. “中奖的概率为1%”表示买100张肯定会中奖
D. “抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一发生的概率稳定在附近
8. 已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的可能性是，则袋中球的总个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
9. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，没有正确的是（ ）
A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC
C. D.
10. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）
A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%
11. 如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD， NF⊥AB. 若NF =NM= 2，ME = 3，则AN =
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
12. 二次函数y=﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y值=﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（ ）
A. t=0 B. 0≤t≤3 C. t≥3 D. 以上都没有对
二．填 空 题（共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=_____．
14. 如图，电灯P在横杆AB的上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是3m，则P到 AB的距离是_____m．
15. 二次函数y=2x2﹣4x向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后的解析式为_____．
16. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
三．（每小题6分，共18分）
17. 解方程：（x﹣5）（x﹣3）=24．
18. 已知二次函数的图象（0，0），（-1，-1），（1，9）三点.
（1）求这个函数的解析式；
（2）求出这个函数图象的顶点坐标.
19. 如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长．
四．（每小题7分，共14分）
20. 已知：关于x的方程x2-4mx+4m2-1=0．
(1)没有解方程，判断方程的根的情况；
(2)若△ABC为等腰三角形，BC=5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．
21. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A（﹣2，0）、B（﹣1，1）．将△AOB绕点O顺时针旋转90°后，点A、B分别落在A′、B′．
（1）在图中画出旋转后的△A′OB′；
（2）求线段OA所扫过的图形的面积．
五．（每小题8分，共16分）
22. 我县实施新课程改革后，学习的自主字习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，并将结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图，请你根据统计图下列问题：
（1）本次中，张老师一共了 名同学，其中C类女生有 名，D类男生有 名；
（2）将上面条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
23. 某商品进价为每件50元，当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，经市场：在确保盈利的前提下，每降价1元，每星期可多卖出20件，
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）当降价多少元时，每星期的利润？利润是多少？
六.（每小题12分，共24分）
24. 如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．
（1）求证：PC=PD；
（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．
25. 已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的值．
2022-2023学年四川省乐山市中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一．选一选（12个小题，每小题3分，共36分）
1. 观察下列图形，既是轴对称图形又是对称图形的有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【正确答案】C
【分析】根据轴对称图形与对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；对称图形是图形沿对称旋转180度后与原图重合，即可求解．
【详解】个图形没有是轴对称图形，是对称图形；
第二个图形既是轴对称图形又是对称图形；
第三个图形既是轴对称图形又是对称图形；
第四个图形既是轴对称图形又是对称图形；
∴既是轴对称图形又是对称图形共有3个．
故选C．
2. 方程x（x﹣2）＝3x的解为（ ）
A. x＝5 B. x1＝0，x2＝5 C. x1＝2，x2＝0 D. x1＝0，x2＝﹣5
【正确答案】B
【分析】先移项，再分解因式，即可得出两个一元方程，求出方程的解即可.
【详解】解：x（x﹣2）＝3x，
x（x﹣2）﹣3x＝0，
x（x﹣2﹣3）＝0，
x＝0，x﹣2﹣3＝0，
x1＝0，x2＝5，
故选：B.
此题考查因式分解法解一元二次方程，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键.
3. 二次函数的顶点坐标是（ ）
A. （﹣2，7） B. （2，7） C. （﹣2，﹣7） D. （2，﹣7）
【正确答案】B
【详解】分析：根据二次函数的顶点式解析式写出即可．
详解：∵二次函数y=(x−2)2+7为顶点式，∴图象的顶点坐标是(2,7).
故选B.
点睛：本题考查了二次函数的性质，掌握 的顶点坐标为（h,k）s是解决本题的关键.
4. 如图，⊙O是△ABC外接圆，∠A=40°，则∠OBC=（ ）
A. 30° B. 40°
C. 50° D. 60°
【正确答案】C
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半求得∠BOC，再根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的两个底角相等进行计算．
【详解】连接OC，如图，
根据圆周角定理，得
∠BOC=2∠A=80°
∵OB=OC
∴∠OBC=∠OCB==50°．
故选C．
本题考查了圆周角定理：一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半；也考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．
5. 设x1、x2是方程2x2﹣4x﹣3=0的两根，则x1+x2的值是（ ）
A. 2 B. ﹣2 C. D. ﹣
【正确答案】A
【详解】试题解析：∵，是方程的两根，
根据一元二次方程根与系数关系得：+=2
故选A
6. 关于x的方程 =0有两个没有相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k≥0 B. k＞0 C. k≥﹣1 D. k＞﹣1
【正确答案】A
【分析】
【详解】解：∵方程x2+2x−1＝0有两个没有相等的实数根，
∴k≥0，且△＞0，即（2）2-4×1×（-1）＞0，
解得k＞-1．
∴k的取值范围是k≥0．
故选：A．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个没有相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
7. 下列说确的是（ ）
A. “明天降雨的概率是60%”表示明天有60%的时间都在降雨
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为50%”表示每抛2次就有正面朝上
C. “中奖的概率为1%”表示买100张肯定会中奖
D. “抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一发生的概率稳定在附近
【正确答案】D
【分析】根据概率是指某件事发生可能性为多少，随着试验次数的增加，稳定在某一个固定数附近，可得答案．
【详解】解：A. “明天降雨的概率是60%”表示明天下雨的可能性较大，故A没有符合题意；
B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每次抛正面朝上的概率都是，故B没有符合题意；
C. “中奖的概率为1%”表示买100张有可能中奖．故C没有符合题意；
D. “抛一枚正方体骰子,朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加,“抛出朝上的点数为2”这一发生的概率稳定在附近，故D符合题意；
故选D
本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义是解决本题的关键．
8. 已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的可能性是，则袋中球的总个数是（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【正确答案】D
【详解】试题解析：袋中球的总个数是：2÷=8（个）．
故选D．
9. 如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，没有正确的是（ ）
A. ∠ABP=∠C B. ∠APB=∠ABC
C. D.
【正确答案】D
【详解】试题分析：A．当∠ABP=∠C时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
B．当∠APB=∠ABC时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
C．当时，
又∵∠A=∠A，
∴△ABP∽△ACB，
故此选项错误；
D．无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确．
故选：D．
10. 某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（ ）
A. 10% B. 15% C. 20% D. 25%
【正确答案】C
【分析】设平均每月的增长率为x，原数为200万元，后来数为288万元，增长了两个月，根据公式“原数×（1+增长百分率）2=后来数”得出方程，解出即可．
【详解】解：设平均每月的增长率为x，
根据题意得：200（1+x）2=288，
（1+x）2=1.44，
x1=0.2=20%，x2=-2.2（舍去），
所以，平均每月的增长率为20%．
故选：C．
本题是一元二次方程的应用，属于增长率问题；解题的关键是根据题意，找出等量关系.
11. 如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD， NF⊥AB. 若NF =NM= 2，ME = 3，则AN =
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【正确答案】B
【分析】根据菱形的对角线平分一组对角可得∠1=∠2，然后求出△AFN和△AEM相似，再利用相似三角形对应边成比例列出求解即可.
【详解】如图， 在菱形ABCD中，∠1=∠2，
又∵ME⊥AD，NF⊥AB，
∴∠AEM=∠AFN=90°．
∴△AFN∽△AEM，
∴，
即
解得AN=4
故选B.
12. 二次函数y=﹣x2+6x﹣7，当x取值为t≤x≤t+2时，y值=﹣（t﹣3）2+2，则t的取值范围是（ ）
A. t=0 B. 0≤t≤3 C. t≥3 D. 以上都没有对
【正确答案】C
【详解】解：∵y=﹣x2+6x﹣7=﹣（x﹣3）2+2，当t≤3≤t+2时，即1≤t≤3时，函数为增函数，ymax=f（3）=2，与ymax=﹣（t﹣3）2+2矛盾．
当3≥t+2时，即t≤1时，ymax=f（t+2）=﹣（t﹣1）2+2，与ymax=﹣（t﹣3）2+2矛盾．
当3≤t，即t≥3时，ymax=f（t）=﹣（t﹣3）2+2与题设相等，故t的取值范围t≥3．
故选C．
点睛：本题考查了二次函数的最值，难度较大，关键是判断出当x≥3时，y随x的增大而减小，由此此解决这类题．
二．填 空 题（共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 已知一元二次方程（m﹣2）x2﹣3x+m2﹣4=0的一个根为0，则m=_____．
【正确答案】﹣2．
【详解】解：根据题意将x=0代入原方程得：m2﹣4=0，解得：m=2或m=﹣2．又∵m﹣2≠0，即m≠2，∴m=﹣2．故答案为﹣2．
点睛：本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，特别需要注意的条件是二次项系数没有等于0．
14. 如图，电灯P在横杆AB上方，AB在灯光下的影子为CD，ABCD，AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是3m，则P到 AB的距离是_____m．
【正确答案】1
【分析】根据ABCD，易得PABPCD，根据相似三角形对应高之比等于对应边之比，列出方程求解即可．
【详解】解：∵ABCD，
∴∠PAB=∠C，∠PBA=∠D，
∴PABPCD，
∴，
∴，
∴P到AB的距离为1m．
故1．
此题考查了相似三角形的应用和投影问题，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出P到AB的距离．
15. 二次函数y=2x2﹣4x向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后的解析式为_____．
【正确答案】y=2（x﹣3）2﹣1．
【详解】∵y=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣2）．
∵向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，﹣1），
∴平移后的抛物线解析式为y=2（x﹣3）2﹣1．
故答案为y=2（x﹣3）2﹣1．
本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．此类题目，利用顶点的变化求解更简便．
16. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【正确答案】B
【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
三．（每小题6分，共18分）
17. 解方程：（x﹣5）（x﹣3）=24．
【正确答案】x1=9，x2=﹣1
【详解】试题分析：利用十字相乘法解一元二次方程即可．
试题解析：解：x2﹣8x+15﹣24=0
x2﹣8x﹣9=0
（x﹣9）（x+1）=0，∴x﹣9=0或x+1=0，∴x1=9，x2=﹣1．
点睛：本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特点选择适当的方法解方程．
18. 已知二次函数的图象（0，0），（-1，-1），（1，9）三点.
（1）求这个函数的解析式；
（2）求出这个函数图象的顶点坐标.
【正确答案】（1）；（2）见解析
【详解】试题分析：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把（0，0），（﹣1，﹣1），（1，9）代入函数解析式，得到关于a、b、c的三元方程组，解方程组即可求a、b、c，进而可得函数解析式；
（2）把解析式配方即可得出结论．
试题解析：解：（1）设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），根据题意，得：，解得：，∴所求二次函数的解析式为y=4x2+5x；
（2），∴顶点坐标为：．
点睛：本题考查了待定系数法求二次函数解析式．熟练掌握待定系数法是解题的关键．
19. 如图，点D在△ABC的边AB上，∠ACD=∠B，AD=6cm，DB=8cm，求：AC的长．
【正确答案】2
【分析】根据相似三角形的性质定理列出比例式，计算即可．
【详解】∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴=，即=，
解得，AC=2．
本题相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
四．（每小题7分，共14分）
20. 已知：关于x的方程x2-4mx+4m2-1=0．
(1)没有解方程，判断方程的根的情况；
(2)若△ABC为等腰三角形，BC=5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．
【正确答案】(1) 有两个没有相等的实数根；(2)周长为13或17
【分析】(1)根据方程的系数根的判别式，可得出=4＞0，由此可得出：无论m为何值，该方程总有两个没有相等的实数根；
(2)根据等腰三角形的性质及＞0，可得出5是方程x2-4mx+4m2-1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．
【详解】(1)∵=(-4m)2-4(4m2-1)=4＞0，
∴无论m为何值，该方程总有两个没有相等的实数根．
(2)∵＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，
∴5是方程x2-4mx+4m2-1=0的根．
将x=5代入原方程，得：25-20m+4m2-1=0，解得：m1=2，m2=3．
当m=2时，原方程为x2-8x+15=0，解得：x1=3，x2=5．
∵3、5、5能够组成三角形，
∴该三角形周长为3+5+5=13，
当m=3时，原方程为x2-12x+35=0，解得：x1=5，x2=7．
∵5、5、7能够组成三角形，
∴该三角形的周长为5+5+7=17．
综上所述：此三角形的周长为13或17．
本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：(1)牢记“当＞0时，方程有两个没有相等的实数根”；(2)代入x=5求出m值．
21. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点A（﹣2，0）、B（﹣1，1）．将△AOB绕点O顺时针旋转90°后，点A、B分别落在A′、B′．
（1）在图中画出旋转后的△A′OB′；
（2）求线段OA所扫过的图形的面积．
【正确答案】（1）见解析（2）π
【详解】试题分析：（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B的定义点A′、B′即可；
（2）OA旋转到点OA′所扫过的图形为以O为圆心，OA为半径，圆心角为90的扇形，然后根据扇形面积公式计算即可．
试题解析：解：（1）图中的△A′OB′为所画的三角形．
（2）线段OA所扫过的图形的面积为：=π．
五．（每小题8分，共16分）
22. 我县实施新课程改革后，学习的自主字习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪，并将结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将结果绘制成以下两幅没有完整的统计图，请你根据统计图下列问题：
（1）本次中，张老师一共了 名同学，其中C类女生有 名，D类男生有 名；
（2）将上面的条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，张老师想从被的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【正确答案】：
（1）20，2，1；（2）见解析.（3），表格见解析.
【分析】（1）由扇形统计图可知，特别好的占总数的15%，人数有条形图可知3人，所以的样本容量是：3÷15%，即可得出C类女生和D类男生人数；
（2）根据（1）中所求数据得出条形图的高度即可；
（3）根据被的A类和D类学生男女生人数列表即可得出答案．
【详解】解：（1）3÷15%=20，
20×25%=5．女生：5﹣3=2，
1﹣25%﹣50%﹣15%=10%，
20×10%=2，男生：2﹣1=1，
故答案为20，2，1；
（2）如图所示：
（3）根据张老师想从被的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，可以将A类与D类学生分为以下几种情况：
利用图表可知所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：
．
23. 某商品的进价为每件50元，当售价为每件70元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，经市场：在确保盈利的前提下，每降价1元，每星期可多卖出20件，
（1）若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）当降价多少元时，每星期的利润？利润是多少？
【正确答案】（1）y＝−20x2＋100x＋6000（0≤x＜20）；（2）降价2或3元时，利润是6120元．
【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×量”列出函数解析式，由“确保盈利”可得x的取值范围．
（2）将所得函数解析式配方成顶点式可得值．
【详解】解：（1）根据题意得y＝（70−x−50）（300＋20x）＝−20x2＋100x＋6000，
∵70−x−50＞0，且x≥0，
∴0≤x＜20；
∴y与x的函数关系式为y＝−20x2＋100x＋6000（0≤x＜20）；
（2）∵y＝−20x2＋100x＋6000＝−20（x−2.5）2＋6125，
∴当x＝2.5时，y取得值，
根据x为整数，故当降价2或3元时，每星期的利润值为6120，
答：当降价2或3元时，每星期的利润，利润是6120元．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意确定相等关系，并据此列出函数解析式．
六.（每小题12分，共24分）
24. 如图，AB是⊙O的直径，∠ACB的平分线交AB于点D，交⊙O于点E，过点C作⊙O的切线CP交BA的延长线于点P，连接AE．
（1）求证：PC=PD；
（2）若AC=5cm，BC=12cm，求线段AE，CE的长．
【正确答案】(1)见解析 (2) EC= AE=
【详解】试题分析：（1）如图1中，连接OC、OE．利用等角的余角相等，证明∠PCD=∠PDC即可；
（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．首先证明Rt△AEF≌Rt△BEH，推出AF=BH，设AF=BH=x，再证明四边形CFEH是正方形，推出CF=CH，可得5+x=12﹣x，推出x=，延长即可解决问题；
试题解析：（1）证明：如图1中，连接OC、OE．
∵AB 直径，∴∠ACB=90°，∴CE平分∠ACB，∴∠ECA=∠ECB=45°，∴=，∴OE⊥AB，∴∠DOE=90°．∵PC是切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°．∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC．∵∠PCD+∠OCE=90°，∠ODE+∠OEC=90°，∠PDC=∠ODE，∴∠PCD=∠PDC，∴PC=PD．
（2）如图2中．作EH⊥BC于H，EF⊥CA于F．
∵CE平分∠ACB，EH⊥BC于H，EF⊥CA于F，∴EH=EF，∠EFA=∠EHB=90°．∵=，∴AE=BE，∴Rt△AEF≌Rt△BEH，∴AF=BH，设AF=BH=x．∵∠F=∠FCH=∠CHE=90°，∴四边形CFEH是矩形．∵EH=EF，∴四边形CFEH是正方形，∴CF=CH，∴5+x=12﹣x，∴x=，∴CF=FE=，∴EC=CF=，AE===．
点睛：本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、垂径定理、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
25. 已知如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（1）求A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P，使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当|PM﹣AM|的值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的值．
【正确答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）（5，3）；（3）（1，0）或（﹣5，﹣）；值为5.
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，把A，B，C三点坐标代入求出a，b，c的值，即可确定出所求抛物线解析式；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：根据OA，OB，OC的长，利用勾股定理求出BC与AC的长相等，只有当BP与AC平行且相等时，四边形ACBP为菱形，可得出BP的长，由OB的长确定出P的纵坐标，确定出P坐标，当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，没有是菱形；
（3）利用待定系数法确定出直线PA解析式，当点M与点P、A没有在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值，即点M为直线PA与抛物线的交点，联立直线AP与抛物线解析式，求出当|PM﹣AM|的值时M坐标，确定出|PM﹣AM|的值即可．
【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
∵A（1，0）B（0，3）C（﹣4，0），
∴， 解得：a=﹣，b=﹣，c=3，
∴A、B、C三点的抛物线的解析式为y=﹣x2﹣x+3；
（2）在平面直角坐标系xOy中存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，理由为：
∵OB=3，OC=4，OA=1， ∴BC=AC=5， 当BP平行且等于AC时，四边形ACBP为菱形，
∴BP=AC=5，且点P到x轴的距离等于OB， ∴点P的坐标为（5，3），
当点P在第二、三象限时，以点A、B、C、P为顶点的四边形只能是平行四边形，没有是菱形，
则当点P的坐标为（5，3）时，以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形；
（3）设直线PA的解析式为y=kx+b（k≠0）， ∵A（1，0），P（5，3），
∴， 解得：k=，b=﹣， ∴直线PA的解析式为y=x﹣，
当点M与点P、A没有在同一直线上时，根据三角形的三边关系|PM﹣AM|＜PA，
当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|=PA，
∴当点M与点P、A在同一直线上时，|PM﹣AM|的值，即点M为直线PA与抛物线的交点，
解方程组，得或，
∴点M的坐标为（1，0）或（﹣5，﹣）时，|PM﹣AM|的值，此时|PM﹣AM|的值为5．
考点：（1）二次函数的性质；（2）待定系数法确定抛物线解析式；（3）函数解析式；（4）菱形的判定；（5）坐标与图形性质
2022-2023学年四川省乐山市中考数学专项提升仿真模拟卷
（二模）
一、选一选：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ）
A. 零上3℃ B. 零下3℃ C. 零上7℃ D. 零下7℃
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图是按1:10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
4. 一组数据4，5，6，4，4，7，x，5的平均数是5.5，则该组数据的中位数和众数分别是( )
A. 4，4 B. 5，4 C. 5，6 D. 6，7
5. 如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A（1，2），那么sinα的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
6. 已知关于x的方程2x-a=x-1的解是非负数，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交圆于点E，连接BE.若∠A=100°，∠E=60°,则∠OCD度数为（ ）
A. 30° B. 50° C. 60° D. 80°
8. 如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6
9. 若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3； ②；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10. 如图，M是双曲线上一点，过点M作轴、y轴的垂线，分别交直线于点D、C，若直线与轴交于点A，与轴交于点B，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. －7的倒数是________．
12. 小明和他的爸爸、妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸、妈妈相邻的概率是____________．
13. 分解因式：=_______________．
14. 如图，扇形纸片AOB中,已知∠AOB=90º,OA=6，取OA的中点C，过点C作DC⊥OA交于点D，点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD、DF、FA依次剪下，则剩下的纸片（阴影部分）面积是______________.
15. 已知圆锥的底面半径为40cm， 母线长为90cm， 则它的侧面展开图的圆心角为_______．
16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为．
三、解 答 题.
17. 计算：
18. 解没有等式组：，并将解集数轴上表示出来．
19. 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC长；
（2）求证：AM=DF+ME．
20. 当m、n何值时，方程组与方程组同解？
21. 某校初三（1）班部分同学接受内容为“最适合自己的考前减压方式”的，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个没有完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
22. 如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果到0.1米，参考数据：）
23. 已知函数的图象分别与坐标轴相交于A、B两点（如图所示），与反比例函数的图象相交于点C，OA=3.
（1）求函数的解析式和点B的坐标；
（2）作CD⊥x轴，垂足为D，若=1:3，求反比例函数的解析式.
24. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根.
（1）是否存在实数k，使成立？若存在，求出k的值；若没有存在，请说明理由.
（2）求使的值为整数的实数k的整数值.
25. 【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积的矩形，多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且ta=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积的矩形PQMN，求该矩形的面积．
26. 如图，二次函数的图象关于y轴对称且交y轴负半轴于点C，与x轴交于点A、B，已知AB=6，OC=4，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的值是多少？
2022-2023学年四川省乐山市中考数学专项提升仿真模拟卷
（一模）
一、选一选：本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.
1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（ ）
A. 零上3℃ B. 零下3℃ C. 零上7℃ D. 零下7℃
【正确答案】B
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．
【详解】：解：若气温为零上10℃记作＋10℃，
则−3℃表示气温为零下3℃．
故选：B．
此题主要考查正负数的意义，正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【详解】分析：根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法与除法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
详解：A. ，故A选项错误；
B. a8÷a2=a8-2= a6，故B选项错误；
C. ，故C选项正确；
D. ，故D选项错误.
故选C.
点睛：本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
3. 如图是按1:10的比例画出的一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：首先判断出该几何体，然后计算其面积即可．
详解：观察三视图知：该几何体为圆柱，高为2，底面直径为1，
侧面积为：πdh=2×π=2π，
∵是按1：10的比例画出的一个几何体的三视图，
∴原几何体的侧面积=100×2π=200π，
故选D．
点睛：本题考查了由三视图判断几何体及圆柱的计算，解题的关键是首先判断出该几何体．
4. 一组数据4，5，6，4，4，7，x，5的平均数是5.5，则该组数据的中位数和众数分别是( )
A. 4，4 B. 5，4 C. 5，6 D. 6，7
【正确答案】B
【详解】分析：先根据平均数的定义求出x的值，再把这组数据从小到大排列，求出最中间两个数的平均数和出现次数至多的数即可．
详解：∵数据4，5，6，4，4，7，x，5的平均数是5.5，
∴（4+5+6+4+4+7+x+5）÷8=5.5，
解得x=9，
按照从小到大的顺序排列为4，4，4，5，5，6，7，9排在正中间的是5，故中位数是5，
∵在这组数据中4出现了三次，次数至多，
∴众数是4．
故选B．
点睛：此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数至多的数．
5. 如图，在平面直角坐标系中，∠α的一边与x轴正半轴重合，顶点为坐标原点，另一边过点A（1，2），那么sinα的值为（ ）
A. B. C. 2 D.
【正确答案】A
【分析】过A向x轴作垂线，垂足为B，根据A点的坐标及勾股定理可求出OA的值，再根据求出sinα的值即可．
【详解】解：过A向x轴作垂线，垂足为B，
因为A（1，2），即OB=1，AB=2，
所以OA=AB2+OB2=12+22=5，
由锐角三角函数的定义可知，．
故选A．
此题比较简单，解答此题的关键是熟知直角三角形中锐角三角函数的定义．
6. 已知关于x的方程2x-a=x-1的解是非负数，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】本题首先要解这个关于x的方程，然后根据解是非负数，就可以得到一个关于a的没有等式，求出a的取值范围．
【详解】解：原方程可整理为：（2-1）x=a-1，
解得：x=a-1，
∵方程x的方程2x-a=x-1的解是非负数，
∴a-1≥0，
解得：a≥1．
故选A．
本题综合考查了一元方程的解与解一元没有等式．解关于x的没有等式是本题的一个难点．
7. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长CO交圆于点E，连接BE.若∠A=100°，∠E=60°,则∠OCD的度数为（ ）
A. 30° B. 50° C. 60° D. 80°
【正确答案】B
【详解】分析：由四边形ABCD内接于⊙O，且∠A=100°，得∠DCB=80°,再由CE是直径得∠EBC=90°，因为∠E=60°，故可得∠BCE=30°，故可求解.
详解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD=180°
∵∠A=100°
∴∠DCB=80°,
∵CE是直径
∴∠EBC=90°
∵∠E=60°,
∴∠BCE=30°，
∴∠OCD=50°
故选B．
点睛：圆内接四边形的性质：圆内接四边形内对角互补．
8. 如图，△ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则△AFG的面积是（ ）
A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6
【正确答案】A
【详解】∵点D，E，F，G分别是BC，AD，BE，CE的中点，
∴AD是△ABC的中线，BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，AF是△ABE的中线，AG是△ACE的中线，
∴△AEF的面积=×△ABE的面积=×△ABD的面积=×△ABC的面积=，
同理可得△AEG的面积=，
△BCE的面积=×△ABC的面积=6，
又∵FG是△BCE的中位线，
∴△EFG的面积=×△BCE的面积=，
∴△AFG的面积=△AEF的面积+△AEG的面积+△EFG的面积=×3=4.5，
故选：A．
9. 若关于x的一元二次方程（x－2）（x－3）=m有实数根x1,x2，且x1≠x2，有下列结论：
①x1=2，x2=3； ②；
③二次函数y=（x－x1）（x－x2）＋m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【正确答案】C
【详解】①∵一元二次方程实数根分别为x1、x2，
∴x1=2，x2=3，只有在m=0时才能成立，故结论①错误．
②一元二次方程（x－2）（x－3）=m化为一般形式得：x2－5x＋6－m=0，
∵方程有两个没有相等的实数根x1、x2，∴△=b2－4ac=（－5）2－4（6－m）=4m＋1＞0，
解得：．故结论②正确．
③∵一元二次方程x2－5x＋6－m=0实数根分别为x1、x2，∴x1＋x2=5，x1x2=6－m．
∴二次函数y=（x－x1）（x－x2）+m=x2－（x1＋x2）x＋x1x2＋m=x2－5x＋（6－m）＋m
=x2－5x＋6=（x－2）（x－3）．
令y=0，即（x－2）（x－3）=0，解得：x=2或3．
∴抛物线与x轴的交点为（2，0）或（3，0），故结论③正确．
综上所述，正确的结论有2个：②③．故选C．
10. 如图，M是双曲线上一点，过点M作轴、y轴的垂线，分别交直线于点D、C，若直线与轴交于点A，与轴交于点B，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【详解】分析：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，由直线的解析式为y=-x+m，易得A（0，m），B（m，0），得到△OAB等腰直角三角形，则△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，设M的坐标为（a，b），则ab=，并且CE=b，DF=a，则AD= DF=a，BC=CE=b，于是得到AD•BC=a•b=2ab=2．
详解：作CE⊥x轴于E，DF⊥y轴于F，如图，
对于y=-x+m，
令x=0，则y=m；令y=0，-x+m=0，解得x=m，
∴A（0，m），B（m，0），
∴△OAB等腰直角三角形，
∴△ADF和△CEB都是等腰直角三角形，
设M的坐标为（a，b），则ab=，
CE=b，DF=a，
∴AD=DF=a，BC=CE=b，
∴AD•BC=a•b=2ab=2．
故选D．
点睛：本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，点的横纵坐标满足其解析式；会求函数与坐标轴的交点坐标以及灵活运用等腰直角三角形的性质．
二、填 空 题：本大题共6小题，每小题3分，共18分.
11. －7倒数是________．
【正确答案】
【分析】直接根据根据倒数的定义求解即可.
【详解】解: =1,
-7的倒数是-
故答案:.
本题主要考查倒数的定义:若两个数的乘积是1,我们就称这两个数互为倒数.
12. 小明和他的爸爸、妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸、妈妈相邻的概率是____________．
【正确答案】；
【详解】分析：根据题意可以写出所有的可能性，从而可以解答本题．
详解：设小明为A，爸爸为B，妈妈为C，
则所有的可能性是：（ABC），（ACB），（BAC），（BCA），（CAB），（CBA），
∴他的爸爸妈妈相邻的概率是.
故答案为．
点睛：本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，写出所有的可能性．
13. 分解因式：=_______________．
【正确答案】.
【分析】根据平方差公式，可得答案．
【详解】解：原式=[（y+2x）+（x+2y）][（y+2x）-（x+2y）]
=3（x+y）（x-y）．
故3（x+y）（x-y）．
本题考查了因式分解，利用平方差公式是解题关键．
14. 如图，扇形纸片AOB中,已知∠AOB=90º,OA=6，取OA的中点C，过点C作DC⊥OA交于点D，点F是上一点.若将扇形BOD沿OD翻折，点B恰好与点F重合，用剪刀沿着线段BD、DF、FA依次剪下，则剩下的纸片（阴影部分）面积是______________.
【正确答案】；
【详解】分析：先求出∠ODC=∠BOD=30°，作DE⊥OB可得DE=OD=3，先根据S弓形BD=S扇形BOD-S△BOD求得弓形的面积，再利用折叠的性质求得所有阴影部分面积．
详解：如图，
∵CD⊥OA，
∴∠DCO=∠AOB=90°，
∵OA=OD=OB=6，OC=OA=OD，
∴∠ODC=∠BOD=30°，
作DE⊥OB于点E，则DE=OD=3，
∴S弓形BD=S扇形BOD-S△BOD=×6×3=3π-9，
则剪下的纸片面积之和为3×（3π-9）=9π-27.
故答案为9π-27．
点睛：本题主要考查扇形面积的计算，熟练掌握扇形的面积计算公式及折叠的性质是解题的关键．
15. 已知圆锥的底面半径为40cm， 母线长为90cm， 则它的侧面展开图的圆心角为_______．
【正确答案】
【分析】圆锥的底面半径为40cm，则底面圆的周长是80πcm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm，母线长为90cm即侧面展开图的扇形的半径长是90cm．根据弧长公式即可计算．
【详解】根据弧长的公式l=得到：
80π=，
解得n=160度．
侧面展开图的圆心角为160度．
故答案为160°．
16. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是________．（写出所有正确说法的序号）．
①方程是倍根方程；
②若是倍根方程，则；
③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；
④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为．
【正确答案】②③．
【详解】试题分析：研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：
对于①，，因此本选项错误；
对于②，，而，∴，因此本选项正确；
对于③，显然，而，因此本选项正确；
对于④，由，知，∴，由倍根方程的结论知，从而有，所以方程变为：，∴，∴，，因此本选项错误．
故答案为②③．
考点：1．新定义；2．根与系数的关系．
三、解 答 题.
17. 计算：
【正确答案】3+
【详解】分析：先进行值的化简、二次根式的化简、零指数幂等运算，然后合并．
详解：原式=2-++1=3+
点睛：本题考查了二次根式的混合运算，涉及了值的化简、二次根式的化简、二次根式的乘法、零指数幂等知识，掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 解没有等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【正确答案】-7＜≤1.数轴见解析.
【分析】分别求出各没有等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：
解没有等式①，得≤1，
解没有等式②，得＞-7，
∴没有等式组的解集为-7＜≤1．
在数轴上表示没有等式组的解集为
故答案为-7＜≤1．
本题考查了解一元没有等式组，熟知“取大，小小取小，大小小大中间找，小小找没有了“的原则是解此题的关键．
19. 已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．
（1）若CE=1，求BC的长；
（2）求证：AM=DF+ME．
【正确答案】(1)2;(2)见解析.
【详解】试题分析：（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；
（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，图形GM=GF+MF即可得证．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠1=∠ACD，
∵∠1=∠2，
∴∠ACD=∠2，
∴MC=MD，
∵ME⊥CD，
∴CD=2CE，
∵CE=1，
∴CD=2，
∴BC=CD=2；
（2）AM=DF+ME
证明：如图，
∵F为边BC的中点，
∴BF=CF=BC，
∴CF=CE，
在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，
∴∠ACB=∠ACD，
在△CEM和△CFM中，
∵，
∴△CEM≌△CFM（SAS），
∴ME=MF，
延长AB交DF的延长线于点G，
∵AB∥CD，
∴∠G=∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠G，
∴AM=MG，
在△CDF和△BGF中，
∵
∴△CDF≌△BGF（AAS），
∴GF=DF，
由图形可知，GM=GF+MF，
∴AM=DF+ME．
20. 当m、n为何值时，方程组与方程组同解？
【正确答案】
【详解】分析：根据方程组的解相同，可得两个新方程组，根据解方程组，可得x、y的值，根据方程组的解满足方程，可得关于m、n的方程组，根据解方程组，可得答案．
详解：方程组的解与方程组的解相同得①②，
解①得，
把代入②得，
解得，
当m=1，n=2时，方程组与方程组同解．
∴m=1，n=2.
点睛：本题考查了二元方程组的解，利用了方程组的解满足方程组．
21. 某校初三（1）班部分同学接受内容为“最适合自己考前减压方式”的，收集整理数据后，老师将减压方式分为五类，并绘制了图1、图2两个没有完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题．
（1）初三（1）班接受的同学共有多少名；
（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“体育C”所对应的圆心角度数；
（3）若喜欢“交流谈心”的5名同学中有三名男生和两名女生；老师想从5名同学中任选两名同学进行交流，直接写出选取的两名同学都是女生的概率．
【正确答案】（1）50人；（2）补图见解析；108°；（3）.
【分析】（1）根据扇形统计图和条形统计图给出的共同数据A类的部分和百分比，利用除法求出全部即可；
（2）利用全部的人数减去已知的其他各类人即可，求出C类人所占的百分比，再求出圆心角即可；
（3）本题根据没有放会方法画出树状图，得出概率即可.
【详解】（1）由题意可得总人数为10÷20%=50名；
（2）50-10-5-15-8=12，
，
补全统计图得：
（3）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出都是女生的有2种情况，
∴选取的两名同学都是女生的概率P==．
22. 如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A．B的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C处测得端点A的俯角为60°，然后沿着平行于AB的方向水平飞行了500米，在点D测得端点B的俯角为45°，求岛屿两端A．B的距离（结果到0.1米，参考数据：）
【正确答案】542.3米
【分析】构造直角三角形，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，分别解Rt△AEC和Rt△AEC即可求解．
【详解】解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F，
∵AB∥CD，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°．
∴四边形ABFE为矩形．∴AB=EF，AE=BF．
由题意可知：AE=BF=100，CD=500．
在Rt△AEC中，∠C=60°，AE=100，
∴．
在Rt△BFD中，∠BDF=45°，BF=100，∴．
∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣≈600﹣×1.73≈600﹣57.67≈542.3（米）．
答：岛屿两端A．B的距离为542.3米．
23. 已知函数的图象分别与坐标轴相交于A、B两点（如图所示），与反比例函数的图象相交于点C，OA=3.
（1）求函数的解析式和点B的坐标；
（2）作CD⊥x轴，垂足为D，若=1:3，求反比例函数的解析式.
【正确答案】（1）函数的解析式为，点B的坐标为（0，2）；（2）反比例函数的解析式为
【详解】分析：（1）由OA=3得A（-3，0），代入得b=2，从而求出函数解析式，令x=0，则y=2，故点B的坐标为（0，2）；
（2）分别求出和，设出点C坐标，根据梯形面积求解即可.
详解：（1）∵OA=3
∴A（-3，0）
将A（-3，0）代入中得b=2
∴函数的解析式为
令x=0得y=2
∴点B的坐标为（0，2）
(2)由题知
∵=1:3
∴=9
设C（m，），则有
解得m1=3，m2=-9(舍去)
∴C（3，4）
∵C（3，4）在反比例函数上
∴反比例函数的解析式为.
点睛：本题考查了函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力，题目比较典型，具有一定的代表性.
24. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根.
（1）是否存在实数k，使成立？若存在，求出k的值；若没有存在，请说明理由.
（2）求使的值为整数的实数k的整数值.
【正确答案】（1）没有存在满足条件的k值，理由见解析；（2）
【详解】分析：（1）由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得x1+x2=1，x1x2=，然后把x1+x2、x1x2代入（2x1-x2）（x1-2x2）=-中，进而可求k的值；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，根据的值为整数，以及k的范围即可确定k的取值；
详解：（1）∵x1、x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，
∴x1+x2=1，x1x2=，
∴（2x1-x2）（x1-2x2）=2x12-4x1x2-x1x2+2x22=2（x1+x2）2-9x1x2=2×12-9×=2-，
若2-=-成立，
解上述方程得，k=，
∵△=16k2-4×4k（k+1）=-16k＞0，
∴k＜0，∵k=，
∴矛盾，
∴没有存在这样k的值；
（2）原式=，
∴k+1=1或-1，或2，或-2，或4，或-4
解得k=0或-2，1，-3，3，-5．
∵k＜0．
∴k=-2，-3或-5；
点睛：本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负没有等号的变化关系、以及完全平方公式的使用．
25. 【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积的矩形，多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的面积与原三角形面积的比值为 ．
【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的值为 ．（用含a，h的代数式表示）
【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且ta=tanC=，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积的矩形PQMN，求该矩形的面积．
【正确答案】【探索发现 】；【拓展应用 】；【灵活应用 】该矩形的面积为720；【实际应用 】该矩形的面积为1944cm2．
【分析】【探索发现 】由中位线知EF=BC、ED=AB、由可得；
【拓展应用 】由△APN∽△ABC知，可得PN=a-PQ，设PQ=x，由S矩形PQMN=PQ•PN═-（x-）2+，据此可得；
【灵活应用 】添加如图1辅助线，取BF中点I，FG的中点K，由矩形性质知AE=EH=20、CD=DH=16，分别证△AEF≌△HED、△CDG≌△HDE得AF=DH=16、CG=HE=20，从而判断出中位线IK的两端点在线段AB和DE上，利用【探索发现 】结论解答即可；
【实际应用 】延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，由ta=tanC知EB=EC、BH=CH=54，EH=BH=72，继而求得BE=CE=90，可判断中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，利用【拓展应用 】结论解答可得．
【详解】【探索发现 】
∵EF、ED为△ABC中位线，
∴ED∥AB，EF∥BC，EF=BC，ED=AB，
又∠B=90°，
∴四边形FEDB是矩形，
则；
拓展应用 】
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，
∴PN=a-PQ，
设PQ=x，
则S矩形PQMN=PQ•PN=x（a-x）=-x2+ax=-（x-）2+，
∴当PQ=时，S矩形PQMN值为；
【灵活应用 】
如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，
由题意知四边形ABCH是矩形，
∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，
∴EH=20，DH=16，
∴AE=EH，CD=DH，
在△AEF和△HED中，
∵ ，
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AF=DH=16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG=HE=20，
∴BI==24，
∵BI=24＜32，
∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，
过点K作KL⊥BC于点L，
由【探索发现 】知矩形的面积为×BG•BF=×（40+20）×（32+16）=720，
答：该矩形的面积为720；
【实际应用 】
如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
∵ta=tanC=，
∴∠B=∠C，
∴EB=EC，
∵BC=108cm，且EH⊥BC，
∴BH=CH=BC=54cm，
∵ta==，
∴EH=BH=×54=72cm，
在Rt△BHE中，BE==90cm，
∵AB=50cm，
∴AE=40cm，
∴BE中点Q在线段AB上，
∵CD=60cm，
∴ED=30cm，
∴CE的中点P在线段CD上，
∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，
由【拓展应用 】知，矩形PQMN的面积为BC•EH=1944cm2，
答：该矩形的面积为1944cm2．
26. 如图，二次函数的图象关于y轴对称且交y轴负半轴于点C，与x轴交于点A、B，已知AB=6，OC=4，⊙C的半径为，P为⊙C上一动点．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若没有存在，请说明理由；
（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的值是多少？
【正确答案】（1）二次函数解析式为；（2）点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）或（，﹣﹣4）或（﹣，﹣4）；（3）OE的值为
【详解】分析：（1）首先确定A、B、C的坐标，再运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP2=2，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到，设OC=P2E=2x，FP2=OE=x，得到BE=3-x，CF=2x-4，于是得到FP2=，EP2=，求得P2（，-），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（-1，-2），②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）如图中，连接AP，根据OB=OA，BE=EP，推出OE=AP，可知当AP时，OE的值，
详解：（1）∵AB=6，OC=4且图象关于轴对称
∴A（-3，0），B（3，0），C（0，﹣4）
设二次函数解析式为
将A（-3，0）代入得
∴二次函数解析式为
（2）存在点P，使得△PBC为直角三角形.
①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图，连接BC.
∵OB=3．OC=4，
∴BC=5
∵CP2⊥BP2，CP2=
∴BP2=2过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F
则△CP2F∽△BP2E，四边形OCP2B是矩形
∴，
设OF=P2E=2x，CP2=OE=x
∴BE=3﹣x，CF=2x﹣4
∴=2
∴x=，2x=，即FP2=，EP2=
∴P2（，﹣）
过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H.同理求得P1（﹣1，﹣2）
②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形
过P4作P4H⊥y轴于H
则△BOC∽△CHP4
∴
∴CH=，P4H=
∴P4（，﹣﹣4）
同理P3（﹣，﹣4）
综上所述：点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（，﹣）或（，﹣﹣4）或（﹣，﹣4）.
（3）如图，连接AP
∵OB=OA，BE=EP
∴OE为△ABP的中位线
∴
∴当AP时，OE
∵当P在AC的延长线上时，AP，值为
∴OE的值为
点睛：本题考查了函数的解析式的求法，圆与直线是位置关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质，考查中位线和圆外一定点到圆上距离的最值 等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．
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