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第03讲 多边形及其内角和（2大考点15种解题方法）2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版）
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第03讲 多边形及其内角和（2大考点15种解题方法）
考点考向
一、多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
凸多边形
凹多边形
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
要点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
二、多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点诠释：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
三、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．
考点精讲
考点一：多边形
题型一：多边形的概念与分类
一、单选题
1．（2022·河南周口·八年级期末）下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（ ）．
A．1，1，2， B．1，1，1 C．1，2，2 D．1，1，6
【答案】C
【分析】将每个选项中的四条线段进行比较，任意三条线段的和都需大于另一条线段的长度，由此可组成四边形，据此解答．
【详解】解：A、因为1+1+2=4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
B、因为1+1+1<4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
C、因为1+2+2>4，所以能构成四边形，故该项符合题意；
D、因为1+1+4=6，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了多边形的构成特点：任意几条边的和大于另一条边长，正确理解多边形的构成特点是解题的关键．
二、填空题
2．（2022·全国·八年级课时练习）定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段____相连组成的______ 图形叫做多边形，各边相等______也相等的多边形叫做正多边形．
【答案】 首尾顺次 封闭 各内角
【分析】根据多边形及正多边形的定义进行解答即可．
【详解】解：在一个平面内，由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形叫做多边形．如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形．
故答案为∶ 首尾顺次，封闭，各内角．
【点睛】此题考查了多边形和正多边形的定义，解题的关键是熟知它们的定义．
3．（2022·全国·八年级专题练习）在同一平面内，由_____________图形叫多边形．组成多边形的线段叫做__________，相邻两边的公共端点叫多边形的__________．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做__________．多边形__________叫做它的内角，多边形的边与它邻边__________组成的角叫多边形的外角．连接多边形__________的线段叫做多边形的对角线．
【答案】 不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的 多边形的边 顶点 n边形 相邻两边组成的角 延长线 不相邻两个顶点
【分析】利用多边形定义、多边形内角、多边形外角及多边形对角线定义填空即可．
【详解】在同一平面内，由不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的图形叫多边形．
组成多边形的线段叫做多边形的边，
相邻两边的公共端点叫多边形的顶点．
如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做n边形．
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，
多边形的边与它邻边延长线组成的角叫多边形的外角．
连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
故答案为：不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的；多边形的边；顶点；n边形；相邻两边组成的角；延长线；不相邻两个顶点．
【点睛】本题主要考查多边形的定义，属于基础题，熟练掌握多边形的定义是解题关键．
三、解答题
4．（2022·全国·八年级专题练习）三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？
【分析】根据图形的特征作答即可．
【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角；
四边形有4个顶点，4条边，4个内角；
五边形有5个顶点，5条边，5个内角；
……
可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同；
n边形有n个顶点，n条边，n个内角．
【点睛】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念．
题型二：多边形截角后的边数问题
一、单选题
1．（2021·全国·八年级专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案．
【详解】如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．
故选：．
【点睛】本题考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条领边，边数增加．
2．（2022·广西桂林·八年级期中）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【答案】A
试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；
当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；
当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；
∴剩余图形不可能是六边形，
故选A.
二、填空题
3．（2021·全国·七年级单元测试）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______．
【答案】6或7或8
【分析】存在三种情况，根据图示进行分析．
【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图
一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8，
故答案为：6或7或8．
【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解．
4．（2019·河南开封·七年级期中）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩_____个角．
【答案】3或4或5．
【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者边数不变．
【详解】解：如图所示，把一张长方形纸片剪去一个角后，可得三角形或四边形或五边形，故还剩3或4或5个角，
故答案为：3或4或5．
【点睛】本题考查了剪长方形的问题，掌握剪长方形的性质是解题的关键．
5．（2021·全国·七年级课时练习）若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是_____．
【答案】5，6，7．
【分析】直接画图，动作操作即可知答案.
【详解】如图可知，原多边形的边数可能为5,6,7
故填5，6，7．
【点睛】本题考查多边形性质，解题关键在于能够画出图形.
题型三：多边形的周长
一、解答题
1．（2021·全国·八年级专题练习）下面的两个网格中，每个小正方形的边长均为1 cm，请你分别在每个网格中画出—个顶点在格点上，且周长为12 cm的形状和大小不同的凸多边形．
【分析】本题答案不唯一，凸多边形有很多，其中画矩形更为方便，这里可作长为5，宽为1的长方形或长为4，宽为2的长方形，和边长为3的正方形．
【详解】如图
【点睛】本题考查画多边形，其中画矩形最为方便，关键在于根据矩形长加宽为周长的一半来分类讨论即可．
2．（2021·全国·八年级专题练习）已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
【答案】（1）20（2）不正确
试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数；
（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值.
试题解析：（1）a=60÷3=20；
（2）此说法不正确．
理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b，
但可令a=b，得，
∴60n+420=67n，
解得n=60，
经检验n=60是方程的根．
∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60．
点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边形的知识点.
题型四：网格中多边形面积比较
一、单选题
1．（2022·云南曲靖·八年级期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：______（填“＞”“＜”“＝”）
A． B．
C． D．无法判断
【答案】C
【分析】利用网格分别计算的面积与的面积即可比较大小．
【详解】解∶如图，
=4
g
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用网格求三角形的面积，能利用割补法对不规则三角形进行转化求面积是解题的关键．
二、填空题
2．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________．
【答案】
【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可．
【详解】解：四边形ABCD的面积为：
=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键．
3．（2021·江苏·启东市百杏中学八年级阶段练习）边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”．
（）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________；
（）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________．
【答案】
【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可；
（2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案.
【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积，
∴菱形面积：正方形面积，
∵菱形的变形度为，即，
∴．
故答案为：；
（）∵菱形边长为，“形变度”为，
∴菱形形变前的面积与形变后面积比为，
∴．
故答案为：9.
【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解.
三、解答题
4．（2021·江西上饶·八年级期中）如图，在方格纸内将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：
（1）补全△A′B′C′；
（2）画出AC边上的中线BD；
（3）求△ABD的面积_________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4
【分析】（1）由点B的对应点B′知，三角形需向左平移5个单位、向下平移2个单位，据此可补全△A′B′C′；
（2）连接AC的中点D与点B即可得AC边上的中线BD；
（3）割补法求解可得△ABD的面积．
【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作三角形．
（2）如图所示，BD为AC边上的中线；
（3）如图所示，S△ABD=4×6-×1×2-×4×6-×（1+6）×2=24-1-12-7=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查作图-平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
题型五：多边形对角线条数问题
一、单选题
1．（2022·湖南湘西·八年级期末）从九边形的一个顶点出发，可以作①条对角线，它们将九边形分成②个三角形．对于符号①、②表示的数字正确的是（ ）
A．①6、②7 B．①7、②8 C．①8、②8 D．①9、②7
【答案】A
【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，进而得出这（n-3）条对角线把多边形分成的个三角形，从而可得答案．
【详解】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，
即能引出6条对角线，它们将九边形分成7个三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成（n-2）个三角形．熟记这些规律是解本题的关键．
2．（2022·湖北鄂州·八年级期末）凸五边形的对角线的总条数为（ ）条
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【分析】根据多边形的对角线的规律，n边形的一个顶点处有（n-3）条对角线，总共有条对角线，据此解答即可．
【详解】解：凸五边形的一个顶点处有5-3=2条对角线，共有条对角线．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了多边形的对角线的条数，利用多边形的对角线条数的规律：n边形的一个顶点处有（n-3）对角线，总共有条对角线，代入计算即可．理解好对角线的定义是解题关键．
二、填空题
3．（2022·福建福建·八年级期中）八边形有_________条对角线
【答案】20
【分析】根据多边形的对角线的条数公式即可得．
【详解】解：多边形的对角线的条数公式为，其中为正整数，
当时，对角线的条数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的对角线的条数公式，熟记公式是解题关键．
4．（2022·安徽宣城·八年级期末）正十边形的对角线条数为________．
【答案】35
【分析】根据十边形有10个顶点，从每个顶点出发有7条对角线，求解即可．
【详解】解：十边形有10个顶点，先选一个，再从和它不相邻的7个顶点中再选一个，即可构成一条对角线，考虑重复问题，则十边形的对角线的条数为＝35，
故答案为：35．
【点睛】本题考查多边形的对角线，注意其中对角线的重复问题是解题的关键．
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?
【答案】要使五边形木架不变形，至少要钉2根木条；使七边形木架不变形，至少要钉4根木条；使n边形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条．
【分析】三角形具有稳定性，要使五边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线 使七边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把七边形分成5个三角形，需连四条对角线，每条对角线用一根木条，至少要钉4根木条；使n边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把n边形分成n-2个三角形，需连(n-3)条对角线，每条对角线用一根木条即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，其它多边形都不具有稳定性，
要使五边形木架不变形，
根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线，每条对角线用一根木条，
∴至少要钉2根木条；
使七边形木架不变形，
根据同一顶点出发的对角线把七边形分成5个三角形，需连四条对角线，每条对角线用一根木条，
至少要钉4根木条；
使n边形木架不变形，
根据同一顶点出发的对角线把n边形分成(n-2)个三角形，需连(n-3)条对角线，每条对角线用一根木条，
至少要钉(n-3)根木条．
【点睛】本题考查将多边形分成三角形进行固定，掌握多边形从一顶点出发的对角线的性质是解题关键．
三、解答题
6．（2022·广东·深圳市龙岗区平湖外国语学校八年级期末）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条对角线；经过C点可以做1条对角线；经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线；
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有________条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有________条对角线；（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有________对角线．
【答案】（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35
【分析】（1）通过实际操作可得答案；
（2）通过实际操作可得答案；
（3）由图1，图2，图3的探究，再归纳总结可得答案；
（4）把代入总结出的规律进行计算即可．
【详解】解：（1）经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线；
（3）探索归纳：
图1有2条对角线，而
图2共有 5条对角线；而
图3共有 9条对角线；而
归纳可得：
对于边形（n＞3），共有条对角线．
（4）特例验证：
当时，
十边形有对角线．
故答案为：（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35．
【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数的探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结并运用规律解决问题”是解本题的关键．
题型六：对角线分成三角形个数问题
一、单选题
1．（2022·山东枣庄·七年级期末）过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】由过n边形一个顶点的所有对角线把这个n边形分成了n－2个三角形，列出等式计算即可．
【详解】解：∵过n边形一个顶点的所有对角线把这个n边形分成了n－2个三角形，
∴n－2=7，
∴n=9，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的对角线把多边形分成三角形的个数，能熟练掌握多边形的边数与多边形对对角线分成的三角形的个数之间的关系是解决本题的关键．
二、填空题
2．（2022·陕西咸阳·七年级期末）从五边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个五边形分成_____________个三角形．
【答案】3
【分析】从n边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，共分成了（n-2）个三角形.
【详解】解：当n=5时，5-2=3．
即可以把这个五边形分成了3个三角形，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，注意n边形中的一些公式：从n边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，共分成了（n-2）个三角形.
3．（2022·山东烟台·期末）从九边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将九边形分成个三角形．则的值为_________．
【答案】13
【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，进而得出这（n-3）条对角线把多边形分成的三角形的个数，从而可求出答案．
【详解】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线，它们将九边形分成7个三角形．
所以m=6，n=7，
则m+n=6+7=13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成（n-2）个三角形．掌握这些规律是解题的关键．
4．（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心期中）n边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个n边形分成b个三角形，则a，b可以分别用n表示, 则__________．
【答案】
【分析】经过n边形从一个顶点出发可以画（）条对角线，分成个三角形，即可得答案；
【详解】解：n边形从一个顶点出发可以画（）条对角线，所以，将这个n边形分成个三角形，所以，
所以；
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的对角线，解题关键是根据从一个顶点出发可以画的对角线的条数．
5．（2022·全国·八年级课时练习）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形．边形没有对角线，则的值为______．
【答案】10
【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2，三角形没有对角线，依此求出m、n、k的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：对角线的数量m=6-3=3条；
分成的三角形的数量为n=6-2=4个；
k=3时，多边形没有对角线；
m+n+k=3+4+3=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2．
6．（2022·江西吉安·七年级期末）从一个顶点引出的对角线把十边形分成互不重叠的三角形的个数为______个．
【答案】8
【分析】n边形从一个顶点可以引（n-3）条对角线，可以将多边形分成（n-2）个三角形，据此解答．
【详解】解：从一个顶点引出的对角线把十边形分成互不重叠的三角形的个数为10-2=8个，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了多边形从一个顶点引出的对角线分多边形为三角形的个数，熟记规律是解题的关键．
7．（2022·广东·九年级专题练习）多边形的对角线：
多边形的对角线是连接多边形______的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有______条对角线，将n边形分成______个三角形，一个n边形共有______ 条对角线．
【答案】 任意不相邻
【分析】根据多边形的对角线的定义作答即可．
【详解】解：多边形的对角线是指连接多边形任意不相邻的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有条对角线，将边形分成个三角形，一个n边形共有条对边线．
故答案为：任意不相邻，，，．
【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键在于熟练掌握多边形对角线的定义，对角线的条数等知识．
考点二：多边形的内角和
题型七:多边形内角和问题
一、单选题
1．（2022·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学八年级期末）一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【答案】C
【分析】首先确定出多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：∵从一个顶点可引对角线3条，
∴多边形的边数为3+3＝6．
多边形的内角和．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是多边形的对角线和多边形的内角和公式的应用，掌握公式是解题的关键．
2．（2022·河南三门峡·八年级期末）若一个凸多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的内角和是（ ）
A．1080° B．1260° C．1440° D．1620°
【答案】C
【分析】根据多边形外角和为 ，求出多边形的边数，再利用多边形内角和公式即可求解．
【详解】该多边形的变数为
此多边形内角和为
故选C
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角和的性质与运算公式，掌握多边形外角和为，多边形内角和为是解题关键．
3．（2022·山东济南·八年级期末）菲菲为了推理出七边形的内角和，将七边形的某一个顶点分别与其他各顶点相连，这样把原来的七边形分割成了（ ）个三角形，最终求出七边形内角和是900°．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据求多边形内角和的求解方法分析即可．
【详解】将七边形分割成7－2＝5个三角形，以此得到多边形内角和，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查求多边形内角和的推导方法，掌握并灵活运用推导思路是解决本题的关键．
二、填空题
4．（2022·全国·八年级课前预习）长方形的每个角是_______度，它的内角和是__________度．
【答案】 90 180
5．（2022·山东·济南协和双语实验学校八年级期中）一个多边形的内角和度数是720°，则它的边数是________．
【答案】6
【分析】根据多边形的内角和公式构建方程即可求解．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
则180°·（n−2）＝720°，
解得：n＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查多边形的内角和，解题关键是记住内角和的公式．
6．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）已知一个n边形的内角和等于，则n＝_____
【答案】5
【分析】已知n边形的内角和为540°，根据多边形内角和的公式易求解．
【详解】解：依题意有
（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查的是多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
题型八：正多边形内角问题
一、单选题
1．（2022·福建泉州·七年级期末）下列正多边形瓷砖中，若仅用一种瓷砖铺地面，则不能将地面密铺的是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】解：A．正三角形的一个内角为60°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
B．正四边形的一个内角度数为180-360÷4=90°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
C．正五边形的一个内角度数为180-360÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；
D．正六边形的一个内角度数为180-360÷6=60°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形，密铺（或镶嵌），一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意正多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
2．（2022·山西太原·八年级期末）永寺双塔，又名凌霄双塔，是我市现存最高的古建筑，均为十三层八角形楼阁式砖塔，如图的正八边形是双塔平面示意图，其每个内角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．135°
【答案】D
【分析】利用正多边形的内角和公式进行计算即可得．
【详解】解：正八边形的每个内角的度数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和，熟记正多边形的内角和公式是解题关键．
3．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，正五边形ABCDE，对角线AC、BD交于点P，那么∠APD＝（ ）
A．96° B．100° C．108° D．115°
【答案】C
【分析】首先根据正五边形的性质得到AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，最后利用三角形的内角和定理得到∠APD＝∠BPC＝180°−∠CBD−∠BCA＝180°−36°−36°＝108°．
【详解】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，
∴∠APD＝∠BPC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCA＝180°﹣36°﹣36°＝108°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形和三角形的内角和定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．
4．（2022·海南海口·七年级期末）如图，在正五边形ABCDE中，FB⊥AB于点B，则∠BFC等于（ ）
A．36° B．54° C．60° D．72°
【答案】B
【分析】根据正多边形的一个内角=可求出每一个内角的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BFC
【详解】∵ABCDE为正五边形
∴∠C=∠ABC==108°
∵FB⊥AB
∴∠FBC=108°-90°=18°
在△FBC中，∠BFC=180°-108°-18°=54°
故选：B
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角求法，准确地掌握：正多边形的一个内角=，是解题的关键．
5．（2022·广西梧州·八年级期末）正十边形的内角和等于（ ）
A．1800° B．1440° C．1260° D．1080°
【答案】B
【分析】根据正多边形内角和定理，即可求解．
【详解】解：正十边形的内角和等于．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求正多边形的内角和，即，熟练掌握正多边形内角和定理是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·山东济南·八年级期末）足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______．
【答案】12°
【分析】先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是360°即可求出∠AOB的大小．
【详解】解：因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形每个内角都相等，
所以正五边形的每个内角的度数为（5-2）•180°=108°，
正六边形的每个内角的度数为（6-2）•180°=120°．
∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°．
故答案为：12°．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．熟练掌握正多边形的性质，多项式的内角和公式是解决问题的关键．
7．（2022·湖南湘西·九年级期末）圆内正八边形的每一个内角的度数为________．
【答案】
【分析】用正多边形内角的计算公式，即可解出答案．
【详解】
故答案为135°．
【点睛】本题考查了正多边形内角的计算，计算公式的掌握是本题的关键．
8．（2022·吉林长春·七年级期末）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为___________．
【答案】140°
【分析】根据正多边形的内角公式：一个内角的度数，代入即可得出答案．
【详解】解：代入正多边形的内角公式得：
正九边形的一个内角度数
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了求正多边形内角度数，掌握正多边形内角公式是本题的关键．
题型九：（多）少算一个角问题
一、填空题
1．（2022·江苏无锡·七年级期中）一个多边形除一个内角外，其余各内角之和等于，原多边形的边数是______．
【答案】8
【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可．
【详解】解：设这个内角度数为x°，边数为n，
则
∵n为正整数，
∴当n=8，去掉的角的度数为，
∴多边形的边数为8，
故答案为：8
【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0度，并且小于180度．
2．（2022·全国·八年级专题练习）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 _____．
【答案】11
【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：设这个多边形边数为n，
，
∴，
∵n是整数，
∴n=11，
故答案为11．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记公式，列出不等式组．
3．（2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
【答案】6
【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．
【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，
10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．
4．（2021·湖北武汉·八年级期中）一个n边形，若其中(n－1)个内角的和为800°，则n＝________．
【答案】7
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后用800°÷180°所得商的整数部分加1就是（n﹣2）的值，由此可求得答案．
【详解】解：800°÷180°＝4……80°，
∵除去了一个内角，
∴n﹣2＝4+1＝5，
∴n＝5+2＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，根据公式利用多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键．
5．（2022·全国·八年级专题练习）在一个 边形中，除了一个内角外，其余的内角的和是 ，那么这个未知角是__________ 度，这个多边形的边数是_________．
【答案】 60 8
【分析】根据未知角的范围和内角和公式求得多边形的边数，再求得未知角的度数即可；
【详解】，又
即
解得：
为正整数
故答案为：60,8
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解不等式组，理解题意列不等式组求解是解题的关键．
6．（2020·浙江杭州·模拟预测）把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，则原来这个多边形的边数为_______．
【答案】9或10或11
【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n，
则（n-2）•180°=1440°，
解得n=10，
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原多边形的边数是9或10或11．
故答案为：9或10或11．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．
二、解答题
7．（2022·全国·八年级）如图所示，根据图中的对话回答问题．
问题：（1）王强是在求几边形的内角和？
（2）少加的那个内角为多少度？
【答案】（1）9；（2）120°
【分析】（1）根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可；
（2）利用（1）中所求边数得出答案．
【详解】解：（1）因为1140°÷180°＝，
则边数是：6+1+2＝9
故王强求的是九边形的内角和；
（2）少加的内角的度数为180°－60°＝120°．
【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．
8．（2022·江苏泰州·七年级阶段练习）看对话答题：
小梅说：这个多边形的内角和等于1125°
小红说：不对，你少加了一个角
问题：
（1） 他们在求几边形的内角和?
（2） 少加的那个内角是多少度?
【答案】（1）他们在求九边形的内角和；（2）少加的那个内角为135度．
【分析】先设出少加的内角的度数，再把所求角的度数分成180°与一个正整数的积再减去一个小于180°的角的形式，即可求出少加的内角的度数，再由多边形的内角和定理求解即可．
【详解】解：（1）设少加的度数为x°，此多边形为n边形．
∵1125+x=（n-2）×180，
∴x=180（n-2）-1125，
∵0＜x＜180，
∴0＜180（n-2）-1125＜180，
∴8.25＜n＜9.25，
∴n=9；
∴他们在求九边形的内角和；
（2）∴x=180（n-2）-1125=135°．
∴少加的那个内角的度数是135°．
【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．
9．（2021·全国·七年级专题练习）（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数；
（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数.
【答案】（1）多边形的边数为13；（2）这个没有计算在内的内角的度数130°．
【分析】（1）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的外角小于，求解即可；
（2）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的内角小于，求解即可．
【详解】解：（1）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的外角小于，设凸多边形的边数为，
用余
则，
所以凸多边形的边数为
（2）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的内角小于，
用余，
所以没有计算在内的内角的度数为．
【点睛】此题主要考查了多边形内角和和外角和的性质，熟练掌握多边形的有关性质是解题的关键．
题型十:多边形截角后内角和问题
一、单选题
1．（2022·全国·八年级专题练习）一个多边形减去一个角后，所得多边形的内角和是，则这个多边形的边数不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和求出减去一个角后的多边形的边数即可判断．
【详解】解：由题意得，
，解得，
由于减去一个角后边数为6，则这个多边形不可能为四边形，
故选A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的边数与内家和的关系是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17
【答案】A
【分析】由题意先根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论即可．
【详解】解：设新多边形的边数为n，
则（n-2）•180°=2340°，
解得：n=15，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为14，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为15，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为16，
所以多边形的边数可以为14，15或16．
故选：A．
【点睛】本题考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式（n-2）•180°（n为边数）是解题的关键．
3．（2021·天津河西·八年级期中）如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．30°
C．40° D．60°
【答案】D
【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据四边形的内角和即可得．
【详解】解：在中，，
，
在中，，
四边形的内角和为，
，
即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、四边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和是解题关键．
4．（2022·全国·八年级专题练习）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（ ）．
A．15或16 B．15或16或17 C．16或17或18 D．17或18或19
【答案】D
【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．
【详解】解：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据题意得（n-2）•180°=2880°，
解得：n=18，
则多边形的边数是17，18，19．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．
5．（2022·湖北黄石·八年级期末）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．730°
【答案】D
【分析】根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可.
【详解】解：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；
②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，
④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，
故选D.
【点睛】本题考查了多边形内角和，分类讨论是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·上海市市西初级中学八年级期中）一个多边形截去一个角后，所形成的另一个多边形的内角和是2160°，则原多边形的边数是______．
【答案】13或14或15
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n，根据题意得：
（n﹣2）•180°=2160°
解得：n=14．
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原多边形的边数是13或14或15．
故答案为13或14或15．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．
7．（2021·山西吕梁·八年级期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是_______边形．
【答案】五或六或七
【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，再分三种情况考虑截角，即可得出答案．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数是，
，
解得：，
包装盒的底面是六边形，
如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形；
如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形；
如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形．
故答案为：五或六或七．
【点睛】本题考查多边形知识，注意截去一个角有三种情况需要考虑．
8．（2021·全国·八年级阶段练习）一个多边形剪去一个角后，所得新的多边形的内角和为2160度，则原来这个多边形的边数是_____．
【答案】或或
【分析】根据多边形内角和定理求出新的多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
【详解】解：设新多边形的边数为，
则，
解得：，
①若截去一个角后边数增加，则原多边形边数为；
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为；
③若截去一个角后边数减少，则原多边形边数为；
故原多边形的边数为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况讨论，避免遗漏．
三、解答题
9．（2021·全国·八年级专题练习）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，求原多边形的边数．
【答案】15
【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．
【详解】设新多边形是n边形，
由多边形内角和公式得：，
解得：，
则原多边形的边数是：．
原多边形的边数是15．
【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是要熟练掌握多边形的内角和公式．
题型十一：复杂图形的内角和
一、填空题
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．
【答案】360°
【分析】连接CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°．
【详解】解：如图，连接FC，
由三角形外角的性质可得：
∠2＝∠G＋∠H，
∠3＝∠A＋∠B，
∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，
根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°
即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°，
故答案为360°．
【点睛】本题考查了三角形的内角与外角，解决本题的关键是熟记三角形的外角的性质．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
【答案】900°
【分析】根据多边形的内角和，可得答案．
【详解】解：连EF，GI，如图
，
∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案为：900°．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
3．（2021·全国·八年级专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________．
【答案】
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得；
（2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得．
【详解】解：（1）∵在中，，
在中，，
∴，
故答案为；
（2）如图，∵， ，
∴．
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
4．（2022·广东汕头·八年级期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．
【答案】0
【分析】将两个六边形分别进行拆分，再结合三角形的内角和和四边形的内角和计算即可得出答案.
【详解】如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，
∴=180°×2+360°=720°
如图2所示，将原六边形分成了四个三角形
∴=180°×4=720°
∴m-n=0
故答案为0.
【点睛】本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，难度适中，解题关键是将所求六边形拆分成几个三角形和四边形的形式进行求解.
二、解答题
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
【答案】540°
【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．
【详解】解：如图所示：
由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．
【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键
6．（2018·山西大同·八年级期中）阅读材料：
解决问题：
（1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系．
小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接AD并延长AD到点E．
联系拓广：
（2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)．
请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 °；
②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 °．
【答案】（1）证明见解析；（2）①180°；②360°．
【分析】（1）先证明∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，相加即可；
（2）①利用（1）结论，得到∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，再根据三角形内角和进行等量代换即可求解；
②利用（1）结论，得到∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，再根据四边形内角和进行等量代换即可．
【详解】解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E．
则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角，
∴∠BDE=∠B+∠BAD，
∠CDE=∠C+∠CAD
∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC．
（2）①如图2，由（1）得，∠CFD=∠A+∠C+∠D，
∴∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，
∵∠BFE+∠B+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
故答案为：180°
②如图3，由（1）得，∠DHE=∠A+∠D+∠E，
∴∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，
∵∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
故答案为：360°
【点睛】本题考查了凹四边形的角的关系，熟知三角形外角定理，应用（1）结论，将图形转化三角形或四边形内角和知识是解题关键.
7．（2022·全国·八年级）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°
【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，
（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，
（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．
【详解】解：（1）如图①，连接AD，
由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F
即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，
（2）如图②，由（1）方法可得：
∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，
∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，
（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，
∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，
【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．
8．（2022·全国·八年级）阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析
【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；
（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；
（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．
【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；
（3）连接BH、DE，
∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°；
（4）连接ND、NE，
∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．
故答案为：360°；540°；720°；1080°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．
题型十二：多边形的外角和问题
一、单选题
1．（2022·江苏·丰县初中七年级阶段练习）如图，是五边形ABCDE的外角，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据多边形的外角和定理即可求得与∠AED相邻的外角，从而得解．
【详解】解：根据多边形的外角和定理得到：
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360°，
∵，
∴∠5= 360°－4×70°=80°，
∴∠AED=180°－∠5=180°－80°=100°，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360°．属于基础题，比较简单．
2．（2022·山西晋中·八年级期末）如图1 ，应县木塔位于山西省朔州市应县县城，是我国现存最古老最高大的纯木结构楼阁式建筑．经测量木塔建造在约四米之高的台基上，台基底层设计呈正多边形．如图2是台基底层正多边形的部分示意图，其外角为45°，则该正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
【答案】D
【分析】根据正多边形外角和定理求解即可．
【详解】解：设正多边形边数为n，根据正多边形外角和定理得
45n=360
解得：n=8，
所以该正多边形是正八边形，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形外角和，熟练掌握正多边形外角和定理是解题的关键．
3．（2022·湖南岳阳·八年级期末）正八边形的外角和为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正多边形的外角和等于360°，即可求解．
【详解】解：正八边形的外角和为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和问题，熟练掌握正多边形的外角和等于360°是解题的关键．
二、填空题
4．（2022·湖南湘西·八年级期末）一个多边形的每一个外角都等于120°，那么这个多边形的内角和为__________．
【答案】
【分析】由多边形外角的性质可求解多边形的边数，再利用多边形的内角和定理可求解．
【详解】解：360°÷120°＝3，
（3−2）×180°＝180°，
即这个多边形的内角和是180°，
故答案为：180°．
【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，求解多边形的边数是解题的关键．
5．（2022·青海西宁·中考真题）一个正n边形的一个外角等于36°，则n＝________．
【答案】10
【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．
【详解】解：n=360°÷36°=10．
故答案为10．
【点睛】本题主要考查了正n边形的外角特点．因为外角和是360度，所以当多边形是正多边形时，每个外角都相等．直接利用外角求多边形的边数是常用的方法．
6．（2022·陕西咸阳·八年级期末）一个正多边形的每个内角都为135°，那么该正多边形的边数为_____．
【答案】8
【分析】先根据三角形的内角算出外角度数，再根据正多边形的外角和为360°，即可算出边数．
【详解】解：∵一个正多边形的每个内角都为135°，
∴此多边形的每一个外角是：180°-135°=45°，
∴这个正多边形的边数是：360°÷45°=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟练掌握正多边的内角与它相邻的外角和为180°是解题的关键．
7．（2022·辽宁锦州·八年级期末）如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数为_________．
【答案】12
【分析】根据多边形的外角和为360°，正多边形的每一个外角相等，用360除以30即为所求．
【详解】解：∵多边形的外角和是360°，每个外角都是，
∴360÷30=12，
∴这个多边形有12条边，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形的外角度数与边数之间的关系，解题的关键是掌握正多边形的每个外角度数相同，且它们的和是360°．
8．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝290°，则∠D＝______．
【答案】110°
【分析】根据多边形的外角和即可求得∠D的外角，再根据一个内角与于它相邻的外角的关系即可求解．
【详解】解：如图所示：
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝290°，
∴∠5=360°-290°=70°，
∴∠CDE=180°-70°=110°，
故答案为：110°．
【点睛】本题考查了多边形的外角和的性质，熟练掌握多边形的外角和等于360°及一个内角与于它相邻的外角互补关系是解题的关键．
9．（2022·四川资阳·七年级期末）在一个顶点处用边长相等的三个正多边形进行密铺，其中一个是正方形，一个是正六边形，则另一个必须是正_________边形.
【答案】十二
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°，若能，则说明可以进行平面镶嵌，反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【详解】解：∵正方形的一个内角度数为180°×（4−2）÷4＝90°，正六边形的一个内角度数为180°×（6−2）÷6＝120°，
∴需要的多边形的一个内角度数为360°−90°−120°＝150°，
∴需要的多边形的一个外角度数为180°−150°＝30°，
∴第三个正多边形的边数为360÷30＝12，
故答案为：十二．
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，多边形的内角和、外角和，关键是掌握多边形镶嵌成平面图形的条件：同一顶点处的几个内角之和为360°；正多边形的边数为360除以一个外角的度数．
题型十三：多边形外角和的实际应用
一、单选题
1．（2022·河南许昌·八年级期末）将一个n边形变成边形，外角和将（ ）
A．增加 B．减少 C．增加 D．不变
【答案】D
【分析】根据多边形的外角和是360°求解判断即可．
【详解】解：∵多边形的外角和是360°，
∴将一个n边形变成（n+2）边形，外角和将不变，
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和是360°是解题的关键．
2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末）六边形的外角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
【答案】A
【分析】根据多边形的外角和为360°直接得出答案．
【详解】解：由多边形的外角和为360°可知，六边形的外角和为360°，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，掌握多边形的外角和是360°是正确判断的前提．
3．（2021·海南省直辖县级单位·八年级期中）若多边形的每一个内角都等于，则从此多边形的一个顶点出发的对角线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．6条 D．9条
【答案】B
【分析】多边形的每一个内角都等于120°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是60度，而任何多边形的外角和是360°，则求得多边形的边数；再根据多边形一个顶点出发的对角线＝n−3，即可求得对角线的条数．
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，
∴每个外角是60°，
则多边形的边数为360°÷60°＝6，
则该多边形有6个顶点，
则此多边形从一个顶点出发的对角线共有6−3＝3条．
故选：B．
【点睛】：本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．同时考查了多边形的边数与对角线的条数的关系．
4．（2022·浙江台州·八年级期末）一个多边形的每一个外角都为72°，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形
【答案】A
【分析】多边形的外角和是360°，依此可以求出多边形的边数．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于72°，
∴多边形的边数为360°÷72°=5．
故这个多边形的边数是5．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较与的大小
【答案】A
【分析】多边形的外角和为，△ABC与四边形BCDE的外角和均为，作出选择即可．
【详解】解：∵多边形的外角和为，
∴△ABC与四边形BCDE的外角和与均为，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键．
二、填空题
6．（2022·广西·桂林市第一中学八年级期中）已知正边形的一个外角为，则n＝_____
【答案】6
【分析】由正n边形的一个外角是60°，n边形的外角和为360°，即可求得n的值．
【详解】解：∵正n边形的一个外角是60°，n边形的外角和为360°，
∴n＝360°÷60°＝6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了正n边形的性质与n边形的外角和定理．此题比较简单，掌握n边形的外角和为360°是解题的关键．
三、解答题
7．（2022·全国·八年级课时练习）一个多边形的内角和与外角和的比是，求它是几边形？
【答案】九边形
【分析】本题由题意得出等量关系即多边形的内角和与外角和的比是，列出方程解出即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
则有，
解得：．
这个多边形的边数为9，
故它是九边形．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，解题的关键是根据是已知等量关系列出方程从而解决问题．
8．（2022·全国·八年级课时练习）（1）一个多边形的内角和等于1800度，求这个多边形的边数．
（2）一个多边形的每一个内角都是108°，求这个多边形的边数．
【答案】（1）十二边形；（2）五边形
【分析】（1）n边形的内角和可以表示成（n−2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数；
（2）根据多边形外角的性质进行计算即可．
【详解】解：（1）设这个多边形是边形，根据题意得：
，
解得:．
故这个多边形是十二边形；
（2），
多边形的边数是:．
则这个多边形是五边形．
故这个多边形的边数为5．
【点睛】此题考查了多边形的内角和定理和多边形外角和，注意多边形的内角和为：（n−2）×180°．
9．（2020·山东·乐陵市江山国际学校八年级阶段练习） 在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边BC、AC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDB=∠1，∠PEA=∠2，∠DPE=∠α．
（1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2= ______ °（答案直接填在题中横线上）；
（2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；
（3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？请先补全图形，再猜想并直接写出结论（不需说明理由．）
【答案】（1）150° ；（2）∠1+∠2=90°+∠α，理由见解析；（3）∠2=90°+∠α+∠1或∠1-∠2=∠α-90°，理由见解析
【分析】（1）∠DPE的邻补角为120°，∠C的邻补角为90°，由四边形的外角和可知：∠1+∠2=360°-120°-90°=150°；
（2）∠DPE的邻补角为180°-∠α，∠C的邻补角为90°，由四边形的外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，化简即可得出答案；
（3）根据题意画出图形可知，∠CFE是△DPF的外角，根据外角性质可知，∠CFE=∠DPE+∠PDB；另一方面，∠PEA是△CFE的外角，根据外角性质可知，∠PEA=∠C+∠CFE，根据以上两个等式即可得出∠α、∠1、∠2之间的数量关系．
【详解】
（1）∵∠α=60°，∠C=90°，
∴∠DPE的邻补角为120°，∠C的邻补角为90°，
又∵四边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2=360°-120°-90°=150°；
（2）∠DPE的邻补角为180°-∠α，
∠C的邻补角为90°，
∵∠1与∠2是四边形DPEC的外角，
∴由四边形外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，
∴∠1+∠2=90°+∠α
（3）如图3所示，
当PD位于PE上方时，
∴∠CFE=∠DPE+∠PDB=∠α+∠1，
∵∠PEA=∠C+∠CFE，
∴∠2=90°+∠α+∠1．
当PD位于PE下方时，
∵∠1=∠α+∠PFD，
∠2=90°+∠CFE，
∠PFD=∠CFE，
∴∠1-∠2=∠α-90°．
【点睛】考查四边形的外角和与三角形的外角性质，解题关键灵活、综合运用知识．
题型十四：多边形内角和与外角和综合
一、单选题
1．（2022·广西贵港·八年级期末）若一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和．
【详解】由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选B．
【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键．
二、填空题
2．（2022·辽宁阜新·八年级期末）如一个正n边形的每个内角是每个外角的3倍，则n=_____．
【答案】8
【分析】一个多边形的每个内角都是它的外角的3倍，则内角和是外角和的3倍，根据多边形的外角和是360度，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．
【详解】解：设多边形的边数是n，根据题意得
（n-2）•180=360×3，
解得：n=8．
即这个多边形是正八边形．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
3．（2022·山东济南·八年级期末）已知正多边形中，每一个内角都是它邻外角的4倍，则这个正多边形的边数是________；
【答案】十
【分析】设多边形的每个外角的度数为n，则其内角的度数为：4n，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角的度数，依据多边形的外角和公式即可求解．
【详解】解：设多边形的每个外角的度数为n，则其内角的度数为：4n，
n＋4n＝180°，
解得：n＝36°，
即这个多边形是：360°÷36°＝10．
故答案为：十．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
4．（2022·云南玉溪·八年级期末）一个多边形的内角和跟它的外角和相等，则这个多边形是___________边形．
【答案】四
【分析】根据多边形的内角和等于（n﹣2）•180°、外角和等于360°，据此列方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4，
∴这个多边形为四边形．
故答案为：四．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，掌握多边形内角和公式以及多边形外角和为360°是解答本题的关键．
5．（2020·湖北武汉·八年级期中）一个多边形每个内角都等于120°，则它的边数为________．
【答案】6
【分析】先求出多边形外角，再用外角和除以外角求解．
【详解】解：∵多边形的每个内角都等于120°，
∴多边形的每个外角为180°-120°=60°，
∴多边形的边数为360°÷60°=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查多边形的内角与外角，解题关键是掌握多边形外角和为360°．
三、解答题
6．（2021·四川广元·八年级期末）一个多边形的内角和比其外角和的3倍多，求这个多边形的边数．
【答案】这个多边形的边数为9
【分析】设这个多边形的边数为n． 根据多边形的内角和公式与外角和可得（n-2）×180°=360°×3+180°，再解方程即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n．
根据题意，得（n-2）×180°=360°×3+180°，
解得n=9．
所以这个多边形的边数为9．
【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和的综合，一元一次方程的应用，熟记多边形的内角和公式与外角和为是解本题的关键．
7．（2022·全国·八年级专题练习）如果某个凸多边形每个内角都相等，已知从它的一个顶点出发可以引出9条对角线，那么它是几边形？它的每个内角是几度？
【答案】是十二边形，它的每个内角150°
【分析】根据多边形从一个顶点引出的对角线条数公式（n﹣3）求出多边形的边数，再根据多边形的内角和即可求解每个内角．
【详解】解：设多边形边数为n，
∵从凸多边形的一个顶点出发可以引出9条对角线，
∴n﹣3＝9，
解得n＝12，
所以，它是十二边形，
它的每个内角＝×（12﹣2）×180°＝150°．
答：它是十二边形，它的每个内角150°．
【点睛】此题考查了多边形内角与外角，多边形的对角线，熟记多边形对角线公式求出边数是解题的关键．
8．（2021·广东·肇庆市颂德学校八年级期中）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形的边数是多少？
【答案】6
【分析】设这个多边形边数为n，根据内角和是它的外角和的2倍，列出关于n的方程，解方程即可．
【详解】解：设这个多边形边数为n，根据题意得：
,
解得：，
答：这个多边形的边数是6．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和和外角和，一元一次方程的应用，数据多边形的外角和为360°，内角和公式180°（n-2），是解题的关键．
9．（2022·山东聊城·八年级期末）（1）已知：如图，边形．求证：边形的内角和等于；
（2）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°．求这个多边形的内角和；
（3）粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°．请直接写出这个多加的外角度数及多边形的边数．
【答案】（1）见解析；（2）1260°；（3）100°，8
【分析】（1）由从n边形的一个顶点可以作（n−3）条对角线，根据分割的三角形个数及三角形内角和定理解答；
（2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）°，由邻补角的和为180°解答；
（3）由内角和公式得到内角和是180的倍数，可解得多边形的边数，据此解答．
【详解】解：（1）∵从n边形的一个顶点可以作（n−3）条对角线，
∴得出把三角形分割成的三角形个数为：n−3+1＝n−2．
∵这（n−2）个三角形的内角和都等于180°，
∴n边形的内角和是（n−2）×180°．（方法不唯一）
（2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）°
由题意，得（3α＋20）＋α＝180．
解得α＝40，
即多边形的每个外角为40°．
∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为360°÷40°＝9．
内角和为（9－2）×180°＝1260°．
答：这个多边形的内角和为1260°．
（3）因为1180°=180°×6+100°
所以该多边形的边数是8，这个外角的度数是100°．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和定理，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（2022·全国·八年级专题练习）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将中的边CB反向延长，与另一边AC形成的即为的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如图，的外角和
．
．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：
(1)将下列表格补充完整．
名称
图形
内角和
外角和
三角形
180°
360°
四边形
五边形
…
…
…
…
n边形
…
(2)如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．
【答案】(1)内角和分别为：360°、540°、180°（n-2）；外角和分别为：360°、360°、360°
(2)135°
【分析】（1）分别对图中四边形和五边形标注字母，然后根据题目中所给定的方法分别计算其内角和与外角和，最后根据规律确定出n边形的内角和与外角和即可；
（2）方法一：根据（1）中内角和公式求出内角和，然后除以角的个数即可；方法二：先求出各个外角的度数，然后用减去一个外角的度数，即为内角度数．
（1）解：四边形标定字母如图所示，连接CG，
四边形分为两个三角形，∴四边形内角和为，外角和为：，，；五边形标定字母如图所示，连接DA，DB，
五边形分为三个三角形，∴五边形内角和为，外角和为：，，；当为n边形时，可以分为个三角形，∴n边形内角和为；外角和为定值；故答案为：内角和分别为：、、； 外角和分别为：、、；
（2）解：方法一：，方法二：．
【点睛】
题目主要考查多边形内角和与外角和定理，理解题意，熟练掌握多边形内角和与外角和定理是解题关键．
题型十五：平面镶嵌
一、单选题
1．（2022·山东青岛·八年级期末）正八边形和下列哪种正多边形可以镶嵌整个平面（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可．
【详解】解：正八边形的每个内角是（8−2）×180°÷8＝135°，
正三角形的每个内角是60°，
正方形每个内角是90°，
正五边形每个内角是（5−2）×180°÷5＝108°，
正六边形每个内角是（6−2）×180°÷6＝120°，
∵135°×2＋90°＝360°，
∴两块正八边形和一块正方形可以实现密铺，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
2．（2022·广东佛山·八年级期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是（ ）
A．全等三角形 B．边长相等的正方形
C．边长相等的正三角形 D．边长相等的正五边形
【答案】D
【分析】根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可．
【详解】解：A选项，三角形内角和是180°，180°×2=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
B选项，正方形的每个内角是90°，90°×4=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
C选项，正三角形的每个内角是60°，60°×6=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
D选项，正五边形的每个内角是108°，不能镶嵌，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
3．（2022·甘肃酒泉·八年级期末）选用下列图形的瓷砖，只用一种瓷砖平面镶嵌，下列不能选择的瓷砖图形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】D
【分析】分别求出三角形，四边形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】解： A.任意三角形的内角和是，放在同一顶点处6个即能密铺，不符合题意；
B.任意四边形的内角和是，放在同一顶点处4个即能密铺，不符合题意；
C.正六边形每个内角是，能整除360°，故能密铺，不符合题意；
D.正八边形每个内角是，不能整除，不能密铺，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一种多边形的镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除，掌握多边形的内角是解题的关键．
4．（2022·河南郑州·八年级期末）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果只用一种几何图形镶嵌整个地面，下列哪一种不能单独镶嵌成一个平面图形．（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等，②顶点公共，③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之不能．
【详解】解：A.等边三角形的内角为60°，（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B. 正方形内角为90°，（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
C. 正五边形内角为108°，（个），所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；
D. 正六边形的内角为120°，（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查正多边形镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
5．（2022·安徽合肥·八年级期末）用边长相等的两种正多边形地砖铺设地面，要求图形间既无缝隙又不重叠（平面镶嵌），下面选项中的两种正多边形不可以用来平面镶嵌的是（ ）
A．正三角形、正四边形 B．正三角形、正六边形 C．正四边形、正六边形 D．正四边形、正八边形
【答案】C
【分析】先利用三角形的内角和、多边形的内角和分别求出正三角形、正四边形、正六边形、正八边形的每个内角的度数，再逐项分析即可得．
【详解】解：正三角形的每个内角的度数为，
正四边形的每个内角的度数为，
正六边形的每个内角的度数为，
正八边形的每个内角的度数为，
因为，
所以正三角形、正四边形可以用来平面镶嵌，选项A不符题意；
因为，
所以正三角形、正六边形可以用来平面镶嵌，选项B不符题意；
因为不存在正整数使得成立，
所以正四边形、正六边形不可以用来平面镶嵌，选项C符合题意；
因为，
所以正四边形、正八边形可以用来平面镶嵌，选项D不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和、正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题关键．
二、解答题
6．（2022·全国·八年级专题练习）一个正多边形的一个内角减去与它相邻的一个外角的结果为．
(1)求这个正多边形的边数．
(2)如果该正多边形与另外一个与其边长相等的正多边形能铺满地面，直接写出这个正多边形的边数．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）首先设内角为，根据内角与其相邻外角和为，则其相邻的外角为，可得方程，计算出的值，进而可得外角的度数，然后可得多边形的边数．
（2）根据“拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于360度”进行判断即可．
（1）解：设一个内角为，则外角为，∴，解得：，则其外角为：，这个正多边形的边数为．答：这个正多边形的边数为．
（2）∵，又∵正方形的每个内角是，∴这个正多边形的边数是．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角、平面镶嵌．关键是掌握多边形的一个内角与其相邻外角和为180度，拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于360度．
巩固提升
一、单选题
1．（2021·河北承德市·八年级期末）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【分析】根据多边形的内角和公式：（n-2）•180°去求．
【详解】解：设该多边形的边数为n
则：（n-2）•180°=900°，
解得：n=7．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，关键是要记住公式并会解方程
2．（2020·重庆市第二十九中学校八年级月考）某多边形的内角和是其外角和的4倍，则此多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是4×360°．n边形的内角和是(n﹣2)•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
(n﹣2)•180＝4×360，
解得n＝10．
则这个多边形的边数是10．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解答本题的关键是根据多边形内角和公式与外角和定理，利用方程法求边数．
3．（2021·云南临沧·八年级期末）一个八边形的内角和度数为（ ）
A．360° B．720° C．900° D．1080°
【答案】D
【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】（n﹣2）•180＝（8﹣2）×180°＝1080°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n−2）•180 （n≥3）且n为整数）．
4．（2021·浙江嘉兴一中八年级期中）如果一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】先根据多边形的内角和公式求得内角和，再根据题意列方程即可求解．
【详解】依题意得，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了多边形内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
5．（2021·广西来宾市·八年级期中）正六边形的每一个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出正六边形每个外角的度数，进而即可求解．
【详解】解：∵正六边形的外角和为360°，
∴每个外角度数=360°÷6=60°，
∴正六边形的每一个内角的度数=180°-60°=120°．
故选B．
【点睛】本题主要考查正六边形外角和与内角的度数，熟练掌握多边形的外角和等于360°，是解题的关键．
6．（2021·四川达州市·八年级期末）小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（ ）
A．28° B．30° C．33° D．36°
【答案】B
【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用60÷5＝12，求得边数，再根据多边形的外角和为360°，即可求解．
【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴正多边形的边数为：60÷5＝12，
根据多边形的外角和为360°，
∴则他每次转动θ的角度为：360°÷12＝30°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于 是解题的关键．
7．（2021·吉林长春市·长春外国语学校八年级开学考试）在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（ ）
A．正六边形，正八边形 B．正方形，正七边形
C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形
【答案】D
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】解：∵正三角形的每个内角60°，
正方形的每个内角是90°，
正五边形的每个内角是108°，
正六边形的每个内角是120°，
正七边形的每个内角是
正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，
∴能够组合是正三角形，正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查平面镶嵌，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
8．（2021·浙江省余姚市实验学校八年级期中）若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据正多边形的内角和定义（n−2）×180°，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．
【详解】解：（n−2）×180°＝720°，
∴n−2＝4，
∴n＝6．
∴这个多边形的边数为6．
故选：C．
【点睛】考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：（n−2）×180°．
9．（2021·北京市第五中学朝阳双合分校八年级期中）如果一个四边形四个内角度数之比是1：2：3：4，那么这四个内角中（ ）．
A．只有一个直角 B．只有一个锐角
C．有两个直角 D．有两个钝角
【答案】D
【分析】根据四边形的内角和的度数是，四个内角度数之比是1：2：3：4，分别求出四个内角，再判断即可．
【详解】解：一个四边形四个内角的度数之比为，
∴四个内角的度数分别为：；
；
；
．
∴这个四边形的内角中有两个钝角．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和问题，熟悉相关性质是解题的关键．
二、填空题
10．（2021·中山大学附属中学八年级期中）一个多边形的内角和比它的外角和多540°，并且这个多边形的各个内角都相等，则这个多边形边数是___．
【答案】7
【分析】首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比它的外角和多540°，由此列出方程解出边数．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则有（n-2）•180°=360°+540°，
解得n=7，
∴这个多边形边数是7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的根据是已知等量关系列出方程从而解决问题．
11．（2021·山东八年级期中）一个 n 边形过一个顶点有 5 条对角线，则 n＝______．
【答案】8
【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数为（n-3），求出边数即可得解．
【详解】∵一个n边形过一个顶点有5条对角线，
∴，解得．
故答案为：8
【点睛】本题考查了多边形的对角线的公式，牢记公式是解题的关键．
12．（2021·全国八年级单元测试）如图，在五边形ABCDE中，∠D＝120°，与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，则∠C为________度．
【答案】80
【分析】利用邻补角的定义分别求出∠DEA，∠ABC，∠EAB的度数；再利用五边形的内角和为540毒，可求出∠C的度数．
【详解】解：∵与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，
∴∠DEA＝180°－60°＝120°，∠ABC＝180°－60°＝120°，∠EAB＝180°－80°＝100°；
五边形的内角和为（5－2）×180°＝540°；
∴∠C＝540°－120°－120°－120°－100°＝80°．
故答案为：80．
【点睛】此题考查了多边形内角和的性质，涉及了邻补角的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
13．（2021·湖南常德市·八年级期中）如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为，则点D的坐标为________．
【答案】
【分析】根据点A的坐标求出OA的长，再根据正六边形的性质求出OD，进而求出D的坐标即可．
【详解】解：∵A点的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴OD＝2，
∴D（2，0），
故答案为（2，0）．
【点睛】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键．
14．（2021·土默特左旗教育局教研室八年级月考）商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形，若选购地砖镶嵌地面，那么，可供选择的有______种．
【答案】3
【分析】由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．
【详解】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌
②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是180°−360°÷5＝108°，不能整除360°，不能镶嵌；
④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；
故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有3种．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
15．（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．
【答案】70°
【分析】先求出与∠EAB和∠CBA相邻的外角的度数和，然后根据多边形外角和定理即可求解．
【详解】如图，
∵∠1+∠2+∠3=220°，
∴∠4+∠5=360°-220°=140°，
∴∠EAB+∠CBA=220°，
∵AO，BO分别平分∠EAB，∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=110°，
∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．
故答案是：70°．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
16．（2021·北京市第五中学朝阳双合分校八年级期中）填表：
多边形的边数
4
②___
9
内角和（单位：度）
360
900
③___
外角和（单位：度）
①___
360
360
【答案】360 7 1260
【分析】根据多边形的内角和公式和多边形的外角和是360°的性质求解即可.
【详解】解:∵所有多边形的外角和都是360°,
∴四边形的外角和为360°,
设内角和为900°的多边形为n变形，
∴（n-2）×180°=900°，
∴n=7，
∴九边形的内角和=（9-2）×180°=1260°，
故答案为：360，7，1260.
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和以及多边形的外角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
17．（2021·北京首都师大二附八年级期中）边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”．
（）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________；
（）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________．
【答案】
【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可；
（2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案.
【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积，
∴菱形面积：正方形面积，
∵菱形的变形度为，即，
∴．
故答案为：；
（）∵菱形边长为，“形变度”为，
∴菱形形变前的面积与形变后面积比为，
∴．
故答案为：9.
【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解.
三、解答题
18．（2021·土默特左旗教育局教研室八年级月考）已知一个多边形的各内角相等，并且一个外角等于一个内角的，求这个多边形的边数？
【答案】这个多边形的边数为5
【分析】设多边形的一个内角为度，则一个外角为度，多边形的内角与外角的关系可得，解出即可求解．
【详解】解：设多边形的一个内角为度，则一个外角为度，依题意得：
，
，
解得：，
．
答：这个多边形的边数为5．
【点睛】本题主要考查了本题考查多边形的内角与外角的关系、多边形的外角和，解题的关键是记住多边形一个内角与外角互补和外角和的特征，利用方程的思想解答问题．
19．（2021·山东八年级期末）已知某正多边形的一个内角比它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
【答案】（1）140°（2）1260°
【分析】（1）设这个正多边形的一个内角的度数为x°，根据题意列出方程即可；
（2）根据外角和定理计算出正多边形的边数，然后根据多边形内角和定理计算即可．
【详解】解：（1）设这个正多边形的一个内角的度数为x°，
根据题意得x＝3（180-x）+20，解得x＝140，
所以这个正多边形一个内角的度数140°；
（2）因为这个正多边形的每一个外角的度数都为：180-140=40（度），
所以这个正多边形边数为：360÷40＝9（边），
所以这个正多边形的内角和是（9﹣2）×180°＝1260°．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握多边形内角和公式与外角和定理．
20．（2021·陕西）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为，求这个多边形的边数．
【答案】多边形的边数为7
【分析】设这个多边形的边数为n，根据这个多边形的内角和+外角和360°=1800°，列出方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数是，由题意得，
，
解得：．
答：多边形的边数为7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关，熟练多边形的内角和定理是解题的关键．
21．（2021·广西八年级期中）己知一个n边形的每一个外角都等于30°．
（1）求n的值．
（2）求这个n边形的内角和．
【答案】（1）12；（2）1800°
【分析】（1）用360°除以外角度数可得答案．
（2）先求出每个内角的度数，再利用内角度数×内角的个数即可．
【详解】解：（1）∵n边形的每一个外角都等于30°
∴n＝360°÷30°＝12；
（2）∵每个内角=180°-30°=150°，
∴内角和=12×150°＝1800°．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和、外角和，关键是掌握多边形的外交和等于360°．
22．（2021·广西来宾市·八年级期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．
【答案】十二边形，1800°
【分析】首先设外角为x°，则内角为（4x＋30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x＋4x＋30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数，进而求出内角和．
【详解】解：设外角为x°，
由题意得：x＋4x＋30＝180，
解得：x＝30，
360°÷30°＝12，
∴（12−2）×180＝1800°，
∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式以及外角和，构建方程求解即可．
23．（2021·北京市平谷区峪口中学八年级期中）已知如图：直线DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，求证：
（1）∠A+∠1＝180°；
（2）∠A＝∠2．
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ACD＝∠ABD＝90°，再由四边形的内角和为360°可得结论；
（2）根据（1）中的结论并结合平角的定义可得结论．
【详解】证明：（1）∵DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，
∴∠ACD＝∠ABD＝90°，
∴∠A+∠1＝360°﹣90°﹣90°＝180°；
（2）∵∠1+∠2＝180°，∠A+∠1＝180°，
∴∠A＝∠2．
【点睛】本题考查了垂直的定义，四边形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握垂直的定义．
24．（2021·山东八年级期末）如图，在△ABC中，D为三角形内一点，∠A=53°，∠ABD=43°，∠ACD=16°，∠BDC的角平分线交BC于点E，过点E作EF//BD交DC于点F．
（1）求∠BDC的度数．
（2）求∠DEF的度数．
【答案】（1）112°；（2）56°
【分析】（1）根据四边形内角和为，可求出，再根据周角可求出；
（2）根据角平分线的定义及两直线平行内错角相等可得．
【详解】解：如图：
根据四边形内角和为，
，
，
；
（2）∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠EDC，
∵∠BDC=112°，EF//BD，
∴∠BDE=∠DEF=∠BDC=56°．
【点睛】本题考查了四边形内角和、周角、角平分线、平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识点，利用等量代换的思想间接求解．
25．（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．
问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；
小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：
由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；
由“ ”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．
所以2∠APC= ．
所以∠APC= ．
请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；
解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系为
解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为
【答案】问题1、问题2答案见解析；解决问题1：∠P=180°－（∠B＋∠D）；解决问题2：∠P=90°＋（∠B＋∠D）
【分析】问题1：根据三角形的外角的性质即可得到结论；
问题2：根据三角形外角的性质和问题1的结论求解即可；
解决问题1：根据四边形的内角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；
解决问题2：根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．
【详解】解：问题1：连接PO并延长．
则∠1=∠A＋∠2，∠3=∠C＋∠4，
∵∠2＋∠4=∠P，∠1＋∠3=∠AOC，
∴∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；
故答案为：∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；
问题2：如图2，由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；
由“三角形外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．
所以2∠APC=∠B+∠D．
所以∠APC= （∠B＋∠D）=38°．
解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴（180°－2∠1）＋∠B=（180°－2∠4）＋∠D，
在四边形APCB中，（180°－∠1）＋∠P＋∠4＋∠B=360°，
在四边形APCD中，∠2＋∠P＋（180°－∠3）＋∠D=360°，
∴2∠P＋∠B＋∠D=360°，
∴∠P=180°－（∠B＋∠D）；
解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵（∠1＋∠2）＋∠B=（180°－2∠3）＋∠D，
∠2＋∠P=（180°－∠3）＋∠D，
∴2∠P=180°＋∠D＋∠B，
∴∠P=90°＋（∠B＋∠D）．
故答案为：∠P=90°＋（∠B＋∠D）．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，四边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
第03讲 多边形及其内角和（2大考点15种解题方法）
考点考向
一、多边形的概念
1．定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
凸多边形
凹多边形
3. 多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
要点诠释：
(1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为；
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
二、多边形内角和
n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
要点诠释：
(1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；(2)正多边形的每个内角都相等，都等于；
三、多边形的外角和
多边形的外角和为360°．
要点诠释：
(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于；
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形边数求各相等外角的度数．
考点精讲
考点一：多边形
题型一：多边形的概念与分类
一、单选题
1．（2022·河南周口·八年级期末）下列长度的三条线段与长度为4的线段首尾依次相连能组成四边形的是（ ）．
A．1，1，2， B．1，1，1 C．1，2，2 D．1，1，6
【答案】C
【分析】将每个选项中的四条线段进行比较，任意三条线段的和都需大于另一条线段的长度，由此可组成四边形，据此解答．
【详解】解：A、因为1+1+2=4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
B、因为1+1+1<4，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
C、因为1+2+2>4，所以能构成四边形，故该项符合题意；
D、因为1+1+4=6，所以不能构成四边形，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了多边形的构成特点：任意几条边的和大于另一条边长，正确理解多边形的构成特点是解题的关键．
二、填空题
2．（2022·全国·八年级课时练习）定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段____相连组成的______ 图形叫做多边形，各边相等______也相等的多边形叫做正多边形．
【答案】 首尾顺次 封闭 各内角
【分析】根据多边形及正多边形的定义进行解答即可．
【详解】解：在一个平面内，由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形叫做多边形．如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形．
故答案为∶ 首尾顺次，封闭，各内角．
【点睛】此题考查了多边形和正多边形的定义，解题的关键是熟知它们的定义．
3．（2022·全国·八年级专题练习）在同一平面内，由_____________图形叫多边形．组成多边形的线段叫做__________，相邻两边的公共端点叫多边形的__________．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做__________．多边形__________叫做它的内角，多边形的边与它邻边__________组成的角叫多边形的外角．连接多边形__________的线段叫做多边形的对角线．
【答案】 不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的 多边形的边 顶点 n边形 相邻两边组成的角 延长线 不相邻两个顶点
【分析】利用多边形定义、多边形内角、多边形外角及多边形对角线定义填空即可．
【详解】在同一平面内，由不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的图形叫多边形．
组成多边形的线段叫做多边形的边，
相邻两边的公共端点叫多边形的顶点．
如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做n边形．
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，
多边形的边与它邻边延长线组成的角叫多边形的外角．
连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
故答案为：不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的；多边形的边；顶点；n边形；相邻两边组成的角；延长线；不相邻两个顶点．
【点睛】本题主要考查多边形的定义，属于基础题，熟练掌握多边形的定义是解题关键．
三、解答题
4．（2022·全国·八年级专题练习）三角形有几个顶点，几条边，几个内角？四边形有几个顶点，几条边，几个内角？……n边形呢？
【分析】根据图形的特征作答即可．
【详解】解：如图所示，三角形有3个顶点，3条边，3个内角；
四边形有4个顶点，4条边，4个内角；
五边形有5个顶点，5条边，5个内角；
……
可发现，多边形的顶点个数和内角个数与边数相同；
n边形有n个顶点，n条边，n个内角．
【点睛】本题考查了多边形的有关概念，解题关键是准确识别多边形，明确多边形的顶点和内角概念．
题型二：多边形截角后的边数问题
一、单选题
1．（2021·全国·八年级专题练习）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不可能是
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【分析】根据一个边形剪去一个角后，剩下的形状可能是边形或边形或边形即可得出答案．
【详解】如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不可能是8．
故选：．
【点睛】本题考查了多边形，剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条领边，边数增加．
2．（2022·广西桂林·八年级期中）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
【答案】A
试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；
当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；
当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；
∴剩余图形不可能是六边形，
故选A.
二、填空题
3．（2021·全国·七年级单元测试）一张七边形卡片剪去一个角后得到的多边形卡片可能的边数为______．
【答案】6或7或8
【分析】存在三种情况，根据图示进行分析．
【详解】解：七边形卡片剪去一个角，存在以下三种，如图1、图2、图
一个七边形卡片剪去一个角后可以变成的多边形卡片可能的边数为6或7或8，
故答案为：6或7或8．
【点睛】本题主要考查多边形，解题的关键是进行分类讨论进行求解．
4．（2019·河南开封·七年级期中）把一张长方形纸片剪去一个角后，还剩_____个角．
【答案】3或4或5．
【分析】剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者边数不变．
【详解】解：如图所示，把一张长方形纸片剪去一个角后，可得三角形或四边形或五边形，故还剩3或4或5个角，
故答案为：3或4或5．
【点睛】本题考查了剪长方形的问题，掌握剪长方形的性质是解题的关键．
5．（2021·全国·七年级课时练习）若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是_____．
【答案】5，6，7．
【分析】直接画图，动作操作即可知答案.
【详解】如图可知，原多边形的边数可能为5,6,7
故填5，6，7．
【点睛】本题考查多边形性质，解题关键在于能够画出图形.
题型三：多边形的周长
一、解答题
1．（2021·全国·八年级专题练习）下面的两个网格中，每个小正方形的边长均为1 cm，请你分别在每个网格中画出—个顶点在格点上，且周长为12 cm的形状和大小不同的凸多边形．
【分析】本题答案不唯一，凸多边形有很多，其中画矩形更为方便，这里可作长为5，宽为1的长方形或长为4，宽为2的长方形，和边长为3的正方形．
【详解】如图
【点睛】本题考查画多边形，其中画矩形最为方便，关键在于根据矩形长加宽为周长的一半来分类讨论即可．
2．（2021·全国·八年级专题练习）已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
【答案】（1）20（2）不正确
试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数；
（2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值.
试题解析：（1）a=60÷3=20；
（2）此说法不正确．
理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b，
但可令a=b，得，
∴60n+420=67n，
解得n=60，
经检验n=60是方程的根．
∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60．
点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边形的知识点.
题型四：网格中多边形面积比较
一、单选题
1．（2022·云南曲靖·八年级期末）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则的面积与的面积的大小关系为：______（填“＞”“＜”“＝”）
A． B．
C． D．无法判断
【答案】C
【分析】利用网格分别计算的面积与的面积即可比较大小．
【详解】解∶如图，
=4
g
，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用网格求三角形的面积，能利用割补法对不规则三角形进行转化求面积是解题的关键．
二、填空题
2．（2022·河南洛阳·八年级期末）如图，小个方格都是边长为1的正方形，图中四边形的面积为________．
【答案】
【分析】利用大正方形的面积减去四边形周围的小三角形面积即可．
【详解】解：四边形ABCD的面积为：
=，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了四边形面积求法，掌握割补法是解题的关键．
3．（2021·江苏·启东市百杏中学八年级阶段练习）边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”．
（）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________；
（）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________．
【答案】
【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可；
（2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案.
【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积，
∴菱形面积：正方形面积，
∵菱形的变形度为，即，
∴．
故答案为：；
（）∵菱形边长为，“形变度”为，
∴菱形形变前的面积与形变后面积比为，
∴．
故答案为：9.
【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解.
三、解答题
4．（2021·江西上饶·八年级期中）如图，在方格纸内将△ABC经过平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：
（1）补全△A′B′C′；
（2）画出AC边上的中线BD；
（3）求△ABD的面积_________．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）4
【分析】（1）由点B的对应点B′知，三角形需向左平移5个单位、向下平移2个单位，据此可补全△A′B′C′；
（2）连接AC的中点D与点B即可得AC边上的中线BD；
（3）割补法求解可得△ABD的面积．
【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求作三角形．
（2）如图所示，BD为AC边上的中线；
（3）如图所示，S△ABD=4×6-×1×2-×4×6-×（1+6）×2=24-1-12-7=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查作图-平移变换，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
题型五：多边形对角线条数问题
一、单选题
1．（2022·湖南湘西·八年级期末）从九边形的一个顶点出发，可以作①条对角线，它们将九边形分成②个三角形．对于符号①、②表示的数字正确的是（ ）
A．①6、②7 B．①7、②8 C．①8、②8 D．①9、②7
【答案】A
【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，进而得出这（n-3）条对角线把多边形分成的个三角形，从而可得答案．
【详解】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，
即能引出6条对角线，它们将九边形分成7个三角形．
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成（n-2）个三角形．熟记这些规律是解本题的关键．
2．（2022·湖北鄂州·八年级期末）凸五边形的对角线的总条数为（ ）条
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【分析】根据多边形的对角线的规律，n边形的一个顶点处有（n-3）条对角线，总共有条对角线，据此解答即可．
【详解】解：凸五边形的一个顶点处有5-3=2条对角线，共有条对角线．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了多边形的对角线的条数，利用多边形的对角线条数的规律：n边形的一个顶点处有（n-3）对角线，总共有条对角线，代入计算即可．理解好对角线的定义是解题关键．
二、填空题
3．（2022·福建福建·八年级期中）八边形有_________条对角线
【答案】20
【分析】根据多边形的对角线的条数公式即可得．
【详解】解：多边形的对角线的条数公式为，其中为正整数，
当时，对角线的条数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形的对角线的条数公式，熟记公式是解题关键．
4．（2022·安徽宣城·八年级期末）正十边形的对角线条数为________．
【答案】35
【分析】根据十边形有10个顶点，从每个顶点出发有7条对角线，求解即可．
【详解】解：十边形有10个顶点，先选一个，再从和它不相邻的7个顶点中再选一个，即可构成一条对角线，考虑重复问题，则十边形的对角线的条数为＝35，
故答案为：35．
【点睛】本题考查多边形的对角线，注意其中对角线的重复问题是解题的关键．
5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?
【答案】要使五边形木架不变形，至少要钉2根木条；使七边形木架不变形，至少要钉4根木条；使n边形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条．
【分析】三角形具有稳定性，要使五边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线 使七边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把七边形分成5个三角形，需连四条对角线，每条对角线用一根木条，至少要钉4根木条；使n边形木架不变形，根据同一顶点出发的对角线把n边形分成n-2个三角形，需连(n-3)条对角线，每条对角线用一根木条即可．
【详解】解：∵三角形具有稳定性，其它多边形都不具有稳定性，
要使五边形木架不变形，
根据同一顶点出发的对角线把五边形分成3个三角形，需连两条对角线，每条对角线用一根木条，
∴至少要钉2根木条；
使七边形木架不变形，
根据同一顶点出发的对角线把七边形分成5个三角形，需连四条对角线，每条对角线用一根木条，
至少要钉4根木条；
使n边形木架不变形，
根据同一顶点出发的对角线把n边形分成(n-2)个三角形，需连(n-3)条对角线，每条对角线用一根木条，
至少要钉(n-3)根木条．
【点睛】本题考查将多边形分成三角形进行固定，掌握多边形从一顶点出发的对角线的性质是解题关键．
三、解答题
6．（2022·广东·深圳市龙岗区平湖外国语学校八年级期末）探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过A点可以做1条对角线；同样，经过B点可以做1条对角线；经过C点可以做1条对角线；经过D点可以做1条对角线．通过以上分析和总结，图1共有________条对角线；
（2）拓展延伸：运用（1）的分析方法，可得：图2共有________条对角线；图3共有________条对角线；
（3）探索归纳：对于n边形（n＞3），共有________条对角线；（用含n的式子表示）
（4）特例验证：十边形有________对角线．
【答案】（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35
【分析】（1）通过实际操作可得答案；
（2）通过实际操作可得答案；
（3）由图1，图2，图3的探究，再归纳总结可得答案；
（4）把代入总结出的规律进行计算即可．
【详解】解：（1）经过A点可以做 1条对角线；同样，经过B点可以做 1条；经过C点可以做 1条；经过D点可以做 1条对角线．
通过以上分析和总结，图1共有 2条对角线．
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：
图2共有 5条对角线；
图3共有 9条对角线；
（3）探索归纳：
图1有2条对角线，而
图2共有 5条对角线；而
图3共有 9条对角线；而
归纳可得：
对于边形（n＞3），共有条对角线．
（4）特例验证：
当时，
十边形有对角线．
故答案为：（1）2；（2）5、9；（3）；（4）35．
【点睛】本题考查的是多边形的对角线的条数的探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结并运用规律解决问题”是解本题的关键．
题型六：对角线分成三角形个数问题
一、单选题
1．（2022·山东枣庄·七年级期末）过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】A
【分析】由过n边形一个顶点的所有对角线把这个n边形分成了n－2个三角形，列出等式计算即可．
【详解】解：∵过n边形一个顶点的所有对角线把这个n边形分成了n－2个三角形，
∴n－2=7，
∴n=9，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的对角线把多边形分成三角形的个数，能熟练掌握多边形的边数与多边形对对角线分成的三角形的个数之间的关系是解决本题的关键．
二、填空题
2．（2022·陕西咸阳·七年级期末）从五边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个五边形分成_____________个三角形．
【答案】3
【分析】从n边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，共分成了（n-2）个三角形.
【详解】解：当n=5时，5-2=3．
即可以把这个五边形分成了3个三角形，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了多边形的对角线，注意n边形中的一些公式：从n边形的一个顶点出发有（n-3）条对角线，共分成了（n-2）个三角形.
3．（2022·山东烟台·期末）从九边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将九边形分成个三角形．则的值为_________．
【答案】13
【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，进而得出这（n-3）条对角线把多边形分成的三角形的个数，从而可求出答案．
【详解】解：从九边形的一个顶点出发，可以向与这个顶点不相邻的6个顶点引对角线，即能引出6条对角线，它们将九边形分成7个三角形．
所以m=6，n=7，
则m+n=6+7=13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查多边形的性质，从n边形的一个顶点出发，能引出（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把多边形分成（n-2）个三角形．掌握这些规律是解题的关键．
4．（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心期中）n边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个n边形分成b个三角形，则a，b可以分别用n表示, 则__________．
【答案】
【分析】经过n边形从一个顶点出发可以画（）条对角线，分成个三角形，即可得答案；
【详解】解：n边形从一个顶点出发可以画（）条对角线，所以，将这个n边形分成个三角形，所以，
所以；
故答案为：．
【点睛】本题考查多边形的对角线，解题关键是根据从一个顶点出发可以画的对角线的条数．
5．（2022·全国·八年级课时练习）从六边形的一个顶点出发，可以画出条对角线，它们将六边形分成个三角形．边形没有对角线，则的值为______．
【答案】10
【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2，三角形没有对角线，依此求出m、n、k的值，再代入计算即可求解．
【详解】解：对角线的数量m=6-3=3条；
分成的三角形的数量为n=6-2=4个；
k=3时，多边形没有对角线；
m+n+k=3+4+3=10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n-3，分成的三角形数是n-2．
6．（2022·江西吉安·七年级期末）从一个顶点引出的对角线把十边形分成互不重叠的三角形的个数为______个．
【答案】8
【分析】n边形从一个顶点可以引（n-3）条对角线，可以将多边形分成（n-2）个三角形，据此解答．
【详解】解：从一个顶点引出的对角线把十边形分成互不重叠的三角形的个数为10-2=8个，
故答案为：8．
【点睛】此题考查了多边形从一个顶点引出的对角线分多边形为三角形的个数，熟记规律是解题的关键．
7．（2022·广东·九年级专题练习）多边形的对角线：
多边形的对角线是连接多边形______的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有______条对角线，将n边形分成______个三角形，一个n边形共有______ 条对角线．
【答案】 任意不相邻
【分析】根据多边形的对角线的定义作答即可．
【详解】解：多边形的对角线是指连接多边形任意不相邻的两个顶点的线段，从n边形的一个顶点出发有条对角线，将边形分成个三角形，一个n边形共有条对边线．
故答案为：任意不相邻，，，．
【点睛】本题考查了多边形的对角线．解题的关键在于熟练掌握多边形对角线的定义，对角线的条数等知识．
考点二：多边形的内角和
题型七:多边形内角和问题
一、单选题
1．（2022·广东·深圳市罗湖区翠园初级中学八年级期末）一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【答案】C
【分析】首先确定出多边形的边数，然后利用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】解：∵从一个顶点可引对角线3条，
∴多边形的边数为3+3＝6．
多边形的内角和．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是多边形的对角线和多边形的内角和公式的应用，掌握公式是解题的关键．
2．（2022·河南三门峡·八年级期末）若一个凸多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的内角和是（ ）
A．1080° B．1260° C．1440° D．1620°
【答案】C
【分析】根据多边形外角和为 ，求出多边形的边数，再利用多边形内角和公式即可求解．
【详解】该多边形的变数为
此多边形内角和为
故选C
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角和的性质与运算公式，掌握多边形外角和为，多边形内角和为是解题关键．
3．（2022·山东济南·八年级期末）菲菲为了推理出七边形的内角和，将七边形的某一个顶点分别与其他各顶点相连，这样把原来的七边形分割成了（ ）个三角形，最终求出七边形内角和是900°．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】根据求多边形内角和的求解方法分析即可．
【详解】将七边形分割成7－2＝5个三角形，以此得到多边形内角和，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查求多边形内角和的推导方法，掌握并灵活运用推导思路是解决本题的关键．
二、填空题
4．（2022·全国·八年级课前预习）长方形的每个角是_______度，它的内角和是__________度．
【答案】 90 180
5．（2022·山东·济南协和双语实验学校八年级期中）一个多边形的内角和度数是720°，则它的边数是________．
【答案】6
【分析】根据多边形的内角和公式构建方程即可求解．
【详解】解：设这个多边形是n边形，
则180°·（n−2）＝720°，
解得：n＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查多边形的内角和，解题关键是记住内角和的公式．
6．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）已知一个n边形的内角和等于，则n＝_____
【答案】5
【分析】已知n边形的内角和为540°，根据多边形内角和的公式易求解．
【详解】解：依题意有
（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5．
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查的是多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
题型八：正多边形内角问题
一、单选题
1．（2022·福建泉州·七年级期末）下列正多边形瓷砖中，若仅用一种瓷砖铺地面，则不能将地面密铺的是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】解：A．正三角形的一个内角为60°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
B．正四边形的一个内角度数为180-360÷4=90°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意；
C．正五边形的一个内角度数为180-360÷5=108°，不是360°的约数，不能镶嵌平面，符合题意；
D．正六边形的一个内角度数为180-360÷6=60°，是360°的约数，能密铺平面，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查正多边形，密铺（或镶嵌），一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意正多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
2．（2022·山西太原·八年级期末）永寺双塔，又名凌霄双塔，是我市现存最高的古建筑，均为十三层八角形楼阁式砖塔，如图的正八边形是双塔平面示意图，其每个内角的度数为（ ）
A．80° B．100° C．120° D．135°
【答案】D
【分析】利用正多边形的内角和公式进行计算即可得．
【详解】解：正八边形的每个内角的度数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了正多边形的内角和，熟记正多边形的内角和公式是解题关键．
3．（2022·山东淄博·八年级期末）如图，正五边形ABCDE，对角线AC、BD交于点P，那么∠APD＝（ ）
A．96° B．100° C．108° D．115°
【答案】C
【分析】首先根据正五边形的性质得到AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，最后利用三角形的内角和定理得到∠APD＝∠BPC＝180°−∠CBD−∠BCA＝180°−36°−36°＝108°．
【详解】解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠CBD＝∠BDC＝＝36°，
∴∠APD＝∠BPC＝180°﹣∠CBD﹣∠BCA＝180°﹣36°﹣36°＝108°．
故选：C．
【点睛】本题考查的是正多边形和三角形的内角和定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．
4．（2022·海南海口·七年级期末）如图，在正五边形ABCDE中，FB⊥AB于点B，则∠BFC等于（ ）
A．36° B．54° C．60° D．72°
【答案】B
【分析】根据正多边形的一个内角=可求出每一个内角的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BFC
【详解】∵ABCDE为正五边形
∴∠C=∠ABC==108°
∵FB⊥AB
∴∠FBC=108°-90°=18°
在△FBC中，∠BFC=180°-108°-18°=54°
故选：B
【点睛】本题主要考查了正多边形的内角求法，准确地掌握：正多边形的一个内角=，是解题的关键．
5．（2022·广西梧州·八年级期末）正十边形的内角和等于（ ）
A．1800° B．1440° C．1260° D．1080°
【答案】B
【分析】根据正多边形内角和定理，即可求解．
【详解】解：正十边形的内角和等于．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求正多边形的内角和，即，熟练掌握正多边形内角和定理是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·山东济南·八年级期末）足球表面为什么用正六边形和正五边形构成？因为正六边形的两个内角和正五边形的一个内角加起来接近一个周角，而又不足一个周角．这样，由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙∠AOB的大小为 ______．
【答案】12°
【分析】先由多边形的内角和公式求出正六边形和正五边形的内角，再根据周角是360°即可求出∠AOB的大小．
【详解】解：因为正多边形内角和为（n-2）•180°，正多边形每个内角都相等，
所以正五边形的每个内角的度数为（5-2）•180°=108°，
正六边形的每个内角的度数为（6-2）•180°=120°．
∴∠AOB的度数为：360°-108°-120°×2=12°．
故答案为：12°．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式．熟练掌握正多边形的性质，多项式的内角和公式是解决问题的关键．
7．（2022·湖南湘西·九年级期末）圆内正八边形的每一个内角的度数为________．
【答案】
【分析】用正多边形内角的计算公式，即可解出答案．
【详解】
故答案为135°．
【点睛】本题考查了正多边形内角的计算，计算公式的掌握是本题的关键．
8．（2022·吉林长春·七年级期末）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为___________．
【答案】140°
【分析】根据正多边形的内角公式：一个内角的度数，代入即可得出答案．
【详解】解：代入正多边形的内角公式得：
正九边形的一个内角度数
故答案为：140°．
【点睛】本题考查了求正多边形内角度数，掌握正多边形内角公式是本题的关键．
题型九：（多）少算一个角问题
一、填空题
1．（2022·江苏无锡·七年级期中）一个多边形除一个内角外，其余各内角之和等于，原多边形的边数是______．
【答案】8
【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可．
【详解】解：设这个内角度数为x°，边数为n，
则
∵n为正整数，
∴当n=8，去掉的角的度数为，
∴多边形的边数为8，
故答案为：8
【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0度，并且小于180度．
2．（2022·全国·八年级专题练习）一个多边形除了一个内角之外，其余各内角的度数和为1510°，则这个多边形的边数为 _____．
【答案】11
【分析】直接利用多边形内角和公式列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：设这个多边形边数为n，
，
∴，
∵n是整数，
∴n=11，
故答案为11．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记公式，列出不等式组．
3．（2022·湖南常德·中考真题）剪纸片：有一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……；如此下去，若最后得到10张纸片，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为________．
【答案】6
【分析】根据多边形的内角和进行即可求解．
【详解】解：根据题意用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，则每剪一次，所有的多边形的内角和增加360°，
10张纸片，则剪了9次，其中有1张五边形纸片，3张三角形纸片，5 张四边形纸片，设还有一张多边形纸片的边数为，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，理解题意是解题的关键．
4．（2021·湖北武汉·八年级期中）一个n边形，若其中(n－1)个内角的和为800°，则n＝________．
【答案】7
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，然后用800°÷180°所得商的整数部分加1就是（n﹣2）的值，由此可求得答案．
【详解】解：800°÷180°＝4……80°，
∵除去了一个内角，
∴n﹣2＝4+1＝5，
∴n＝5+2＝7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，根据公式利用多边形的内角和是180°的倍数是解题的关键．
5．（2022·全国·八年级专题练习）在一个 边形中，除了一个内角外，其余的内角的和是 ，那么这个未知角是__________ 度，这个多边形的边数是_________．
【答案】 60 8
【分析】根据未知角的范围和内角和公式求得多边形的边数，再求得未知角的度数即可；
【详解】，又
即
解得：
为正整数
故答案为：60,8
【点睛】本题考查了多边形内角和公式，解不等式组，理解题意列不等式组求解是解题的关键．
6．（2020·浙江杭州·模拟预测）把一个多边形割去一个角后，得到的多边形内角和为1440°，则原来这个多边形的边数为_______．
【答案】9或10或11
【分析】先根据多边形的内角和公式（n-2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n，
则（n-2）•180°=1440°，
解得n=10，
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原多边形的边数是9或10或11．
故答案为：9或10或11．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，关键是理解多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．
二、解答题
7．（2022·全国·八年级）如图所示，根据图中的对话回答问题．
问题：（1）王强是在求几边形的内角和？
（2）少加的那个内角为多少度？
【答案】（1）9；（2）120°
【分析】（1）根据n边形的内角和公式，则内角和应是180°的倍数，且每一个内角应大于0°而小于180度，根据这些条件进行分析求解即可；
（2）利用（1）中所求边数得出答案．
【详解】解：（1）因为1140°÷180°＝，
则边数是：6+1+2＝9
故王强求的是九边形的内角和；
（2）少加的内角的度数为180°－60°＝120°．
【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．
8．（2022·江苏泰州·七年级阶段练习）看对话答题：
小梅说：这个多边形的内角和等于1125°
小红说：不对，你少加了一个角
问题：
（1） 他们在求几边形的内角和?
（2） 少加的那个内角是多少度?
【答案】（1）他们在求九边形的内角和；（2）少加的那个内角为135度．
【分析】先设出少加的内角的度数，再把所求角的度数分成180°与一个正整数的积再减去一个小于180°的角的形式，即可求出少加的内角的度数，再由多边形的内角和定理求解即可．
【详解】解：（1）设少加的度数为x°，此多边形为n边形．
∵1125+x=（n-2）×180，
∴x=180（n-2）-1125，
∵0＜x＜180，
∴0＜180（n-2）-1125＜180，
∴8.25＜n＜9.25，
∴n=9；
∴他们在求九边形的内角和；
（2）∴x=180（n-2）-1125=135°．
∴少加的那个内角的度数是135°．
【点睛】本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一定大于0°，并且小于180度．
9．（2021·全国·七年级专题练习）（1）一个凸多边形的内角和与它的一个外角的和为2005º，求多边形的边数；
（2）如果一个凸多边形，除了一个内角以外，其它内角的和为2570°，求这个没有计算在内的内角的度数.
【答案】（1）多边形的边数为13；（2）这个没有计算在内的内角的度数130°．
【分析】（1）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的外角小于，求解即可；
（2）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的内角小于，求解即可．
【详解】解：（1）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的外角小于，设凸多边形的边数为，
用余
则，
所以凸多边形的边数为
（2）根据凸多边形内角和与边数的公式（内角和=）以及凸多边形的内角小于，
用余，
所以没有计算在内的内角的度数为．
【点睛】此题主要考查了多边形内角和和外角和的性质，熟练掌握多边形的有关性质是解题的关键．
题型十:多边形截角后内角和问题
一、单选题
1．（2022·全国·八年级专题练习）一个多边形减去一个角后，所得多边形的内角和是，则这个多边形的边数不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】根据多边形的内角和求出减去一个角后的多边形的边数即可判断．
【详解】解：由题意得，
，解得，
由于减去一个角后边数为6，则这个多边形不可能为四边形，
故选A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的边数与内家和的关系是解题的关键．
2．（2022·全国·八年级专题练习）一个多边形纸片剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．14或15或16 B．15或16或17 C．15或16 D．16或17
【答案】A
【分析】由题意先根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论即可．
【详解】解：设新多边形的边数为n，
则（n-2）•180°=2340°，
解得：n=15，
①若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为14，
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为15，
③若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为16，
所以多边形的边数可以为14，15或16．
故选：A．
【点睛】本题考查多边形内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式（n-2）•180°（n为边数）是解题的关键．
3．（2021·天津河西·八年级期中）如图所示，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．25° B．30°
C．40° D．60°
【答案】D
【分析】先根据三角形的内角和定理可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据四边形的内角和即可得．
【详解】解：在中，，
，
在中，，
四边形的内角和为，
，
即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、四边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和是解题关键．
4．（2022·全国·八年级专题练习）将一个多边形切去一个角后所得的多边形内角和为2880°．则原多边形的边数为（ ）．
A．15或16 B．15或16或17 C．16或17或18 D．17或18或19
【答案】D
【分析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．
【详解】解：多边形的内角和可以表示成（n-2）•180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据题意得（n-2）•180°=2880°，
解得：n=18，
则多边形的边数是17，18，19．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．
5．（2022·湖北黄石·八年级期末）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．730°
【答案】D
【分析】根据题意列出可能情况，再分别根据多边形的内角和定理进行解答即可.
【详解】解：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；
②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，
④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，
故选D.
【点睛】本题考查了多边形内角和，分类讨论是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·上海市市西初级中学八年级期中）一个多边形截去一个角后，所形成的另一个多边形的内角和是2160°，则原多边形的边数是______．
【答案】13或14或15
【分析】先根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不变，减少1讨论得解．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为n，根据题意得：
（n﹣2）•180°=2160°
解得：n=14．
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原多边形的边数是13或14或15．
故答案为13或14或15．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．
7．（2021·山西吕梁·八年级期中）已知一个包装盒的底面是内角和为720°的多边形，它是由另一个多边形纸片剪掉一个角以后得到的，则原多边形是_______边形．
【答案】五或六或七
【分析】首先求得内角和为的多边形的边数，再分三种情况考虑截角，即可得出答案．
【详解】解：设内角和为的多边形的边数是，
，
解得：，
包装盒的底面是六边形，
如图1所示，截线不过顶点和对角线，则原来的多边形是五边形；
如图2所示，截线过一个顶点，则来的多边形是六边形；
如图3所示，截线过一条对角线，则来的多边形是七边形．
故答案为：五或六或七．
【点睛】本题考查多边形知识，注意截去一个角有三种情况需要考虑．
8．（2021·全国·八年级阶段练习）一个多边形剪去一个角后，所得新的多边形的内角和为2160度，则原来这个多边形的边数是_____．
【答案】或或
【分析】根据多边形内角和定理求出新的多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
【详解】解：设新多边形的边数为，
则，
解得：，
①若截去一个角后边数增加，则原多边形边数为；
②若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为；
③若截去一个角后边数减少，则原多边形边数为；
故原多边形的边数为或或，
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况讨论，避免遗漏．
三、解答题
9．（2021·全国·八年级专题练习）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2520°的新多边形，求原多边形的边数．
【答案】15
【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．
【详解】设新多边形是n边形，
由多边形内角和公式得：，
解得：，
则原多边形的边数是：．
原多边形的边数是15．
【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角，解决本题的关键是要熟练掌握多边形的内角和公式．
题型十一：复杂图形的内角和
一、填空题
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．
【答案】360°
【分析】连接CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°．
【详解】解：如图，连接FC，
由三角形外角的性质可得：
∠2＝∠G＋∠H，
∠3＝∠A＋∠B，
∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，
根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°
即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°，
故答案为360°．
【点睛】本题考查了三角形的内角与外角，解决本题的关键是熟记三角形的外角的性质．
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．
【答案】900°
【分析】根据多边形的内角和，可得答案．
【详解】解：连EF，GI，如图
，
∵6边形ABCDEFK的内角和＝（6－2）×180°＝720°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝720°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋（∠1＋∠2）＝720°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F∠H＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝720°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝900°，
故答案为：900°．
【点睛】本题考查了n边形的内角和定理：n边形的内角和为（n－2）×180°（n≥3的整数）．
3．（2021·全国·八年级专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________．
【答案】
【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得；
（2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得．
【详解】解：（1）∵在中，，
在中，，
∴，
故答案为；
（2）如图，∵， ，
∴．
∵，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键．
4．（2022·广东汕头·八年级期末）如图1六边形的内角和为度，如图2六边形的内角和为度，则________．
【答案】0
【分析】将两个六边形分别进行拆分，再结合三角形的内角和和四边形的内角和计算即可得出答案.
【详解】如图1所示，将原六边形分成了两个三角形和一个四边形，
∴=180°×2+360°=720°
如图2所示，将原六边形分成了四个三角形
∴=180°×4=720°
∴m-n=0
故答案为0.
【点睛】本题考查的是三角形的内角和和四边形的内角和，难度适中，解题关键是将所求六边形拆分成几个三角形和四边形的形式进行求解.
二、解答题
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．
【答案】540°
【分析】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案．
【详解】解：如图所示：
由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°．
【点睛】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键
6．（2018·山西大同·八年级期中）阅读材料：
解决问题：
（1）如图1，四边形ABCD是凹四边形，请探究∠BDC(∠BDC＜180°)与∠B，∠D，∠BAC三个角之间的等量关系．
小明得出的结论是：∠BDC=∠BAC+∠B+∠C，他证明如下．请你将小明的证明过程补充完整．
证明：连接AD并延长AD到点E．
联系拓广：
（2）下面图2的五角星和图3的六角星都是一笔画成的(即从图形上的某一顶点出发，找出一条路线，用笔不离开纸，连续不断又不重复经过图形上所有部分画成的)．
请你根据上述解决问题的思路，解答下列问题：
①图2中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为 °；
②图3中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 °．
【答案】（1）证明见解析；（2）①180°；②360°．
【分析】（1）先证明∠BDE=∠B+∠BAD，∠CDE=∠C+∠CAD，相加即可；
（2）①利用（1）结论，得到∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，再根据三角形内角和进行等量代换即可求解；
②利用（1）结论，得到∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，再根据四边形内角和进行等量代换即可．
【详解】解：（1）证明：连接AD并延长AD到点E．
则∠BDE为△ABD的外角，∠CDE为△ACD的外角，
∴∠BDE=∠B+∠BAD，
∠CDE=∠C+∠CAD
∵∠BDC=∠BDE+∠CDE，∴∠BDC=∠B+∠BAD+∠C+∠CAD．
∵∠BAC=∠BAD+∠CAD，∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC．
（2）①如图2，由（1）得，∠CFD=∠A+∠C+∠D，
∴∠BFE=∠CFD=∠A+∠C+∠D，
∵∠BFE+∠B+∠E=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.
故答案为：180°
②如图3，由（1）得，∠DHE=∠A+∠D+∠E，
∴∠CHF=∠DHE=∠A+∠D+∠E，
∵∠F+∠B+∠C+∠CHF=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°.
故答案为：360°
【点睛】本题考查了凹四边形的角的关系，熟知三角形外角定理，应用（1）结论，将图形转化三角形或四边形内角和知识是解题关键.
7．（2022·全国·八年级）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数；
（3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数．
【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540°
【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和，
（2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和，
（3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和．
【详解】解：（1）如图①，连接AD，
由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F
即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°，
∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°，
（2）如图②，由（1）方法可得：
∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和，
∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°，
（3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA，
∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和，
∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°，
【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键．
8．（2022·全国·八年级）阅读材料：
如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．
结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．
结论应用举例：
如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．
解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，
在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，
即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，
∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°
即五角星的五个内角之和为180°．
解决问题：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝ ；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝ ；
（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝ ；
（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝ ；
请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．
【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析
【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；
（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；
（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．
【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；
（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；
（3）连接BH、DE，
∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°；
（4）连接ND、NE，
∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．
故答案为：360°；540°；720°；1080°．
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．
题型十二：多边形的外角和问题
一、单选题
1．（2022·江苏·丰县初中七年级阶段练习）如图，是五边形ABCDE的外角，且，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据多边形的外角和定理即可求得与∠AED相邻的外角，从而得解．
【详解】解：根据多边形的外角和定理得到：
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 360°，
∵，
∴∠5= 360°－4×70°=80°，
∴∠AED=180°－∠5=180°－80°=100°，
故选：B．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360°．属于基础题，比较简单．
2．（2022·山西晋中·八年级期末）如图1 ，应县木塔位于山西省朔州市应县县城，是我国现存最古老最高大的纯木结构楼阁式建筑．经测量木塔建造在约四米之高的台基上，台基底层设计呈正多边形．如图2是台基底层正多边形的部分示意图，其外角为45°，则该正多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
【答案】D
【分析】根据正多边形外角和定理求解即可．
【详解】解：设正多边形边数为n，根据正多边形外角和定理得
45n=360
解得：n=8，
所以该正多边形是正八边形，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形外角和，熟练掌握正多边形外角和定理是解题的关键．
3．（2022·湖南岳阳·八年级期末）正八边形的外角和为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正多边形的外角和等于360°，即可求解．
【详解】解：正八边形的外角和为．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正多边形的外角和问题，熟练掌握正多边形的外角和等于360°是解题的关键．
二、填空题
4．（2022·湖南湘西·八年级期末）一个多边形的每一个外角都等于120°，那么这个多边形的内角和为__________．
【答案】
【分析】由多边形外角的性质可求解多边形的边数，再利用多边形的内角和定理可求解．
【详解】解：360°÷120°＝3，
（3−2）×180°＝180°，
即这个多边形的内角和是180°，
故答案为：180°．
【点睛】本题主要考查多边形的内角与外角，求解多边形的边数是解题的关键．
5．（2022·青海西宁·中考真题）一个正n边形的一个外角等于36°，则n＝________．
【答案】10
【分析】利用多边形的外角和即可解决问题．
【详解】解：n=360°÷36°=10．
故答案为10．
【点睛】本题主要考查了正n边形的外角特点．因为外角和是360度，所以当多边形是正多边形时，每个外角都相等．直接利用外角求多边形的边数是常用的方法．
6．（2022·陕西咸阳·八年级期末）一个正多边形的每个内角都为135°，那么该正多边形的边数为_____．
【答案】8
【分析】先根据三角形的内角算出外角度数，再根据正多边形的外角和为360°，即可算出边数．
【详解】解：∵一个正多边形的每个内角都为135°，
∴此多边形的每一个外角是：180°-135°=45°，
∴这个正多边形的边数是：360°÷45°=8，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，熟练掌握正多边的内角与它相邻的外角和为180°是解题的关键．
7．（2022·辽宁锦州·八年级期末）如果一个多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数为_________．
【答案】12
【分析】根据多边形的外角和为360°，正多边形的每一个外角相等，用360除以30即为所求．
【详解】解：∵多边形的外角和是360°，每个外角都是，
∴360÷30=12，
∴这个多边形有12条边，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形的外角度数与边数之间的关系，解题的关键是掌握正多边形的每个外角度数相同，且它们的和是360°．
8．（2022·广东深圳·八年级期末）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝290°，则∠D＝______．
【答案】110°
【分析】根据多边形的外角和即可求得∠D的外角，再根据一个内角与于它相邻的外角的关系即可求解．
【详解】解：如图所示：
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝290°，
∴∠5=360°-290°=70°，
∴∠CDE=180°-70°=110°，
故答案为：110°．
【点睛】本题考查了多边形的外角和的性质，熟练掌握多边形的外角和等于360°及一个内角与于它相邻的外角互补关系是解题的关键．
9．（2022·四川资阳·七年级期末）在一个顶点处用边长相等的三个正多边形进行密铺，其中一个是正方形，一个是正六边形，则另一个必须是正_________边形.
【答案】十二
【分析】正多边形的组合能否进行平面镶嵌，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°，若能，则说明可以进行平面镶嵌，反之，则说明不能进行平面镶嵌．
【详解】解：∵正方形的一个内角度数为180°×（4−2）÷4＝90°，正六边形的一个内角度数为180°×（6−2）÷6＝120°，
∴需要的多边形的一个内角度数为360°−90°−120°＝150°，
∴需要的多边形的一个外角度数为180°−150°＝30°，
∴第三个正多边形的边数为360÷30＝12，
故答案为：十二．
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，多边形的内角和、外角和，关键是掌握多边形镶嵌成平面图形的条件：同一顶点处的几个内角之和为360°；正多边形的边数为360除以一个外角的度数．
题型十三：多边形外角和的实际应用
一、单选题
1．（2022·河南许昌·八年级期末）将一个n边形变成边形，外角和将（ ）
A．增加 B．减少 C．增加 D．不变
【答案】D
【分析】根据多边形的外角和是360°求解判断即可．
【详解】解：∵多边形的外角和是360°，
∴将一个n边形变成（n+2）边形，外角和将不变，
故选：D．
【点睛】此题考查了多边形的外角和，熟记多边形的外角和是360°是解题的关键．
2．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末）六边形的外角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
【答案】A
【分析】根据多边形的外角和为360°直接得出答案．
【详解】解：由多边形的外角和为360°可知，六边形的外角和为360°，
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的外角和，掌握多边形的外角和是360°是正确判断的前提．
3．（2021·海南省直辖县级单位·八年级期中）若多边形的每一个内角都等于，则从此多边形的一个顶点出发的对角线共有（ ）
A．2条 B．3条 C．6条 D．9条
【答案】B
【分析】多边形的每一个内角都等于120°，多边形的内角与外角互为邻补角，则每个外角是60度，而任何多边形的外角和是360°，则求得多边形的边数；再根据多边形一个顶点出发的对角线＝n−3，即可求得对角线的条数．
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于120°，
∴每个外角是60°，
则多边形的边数为360°÷60°＝6，
则该多边形有6个顶点，
则此多边形从一个顶点出发的对角线共有6−3＝3条．
故选：B．
【点睛】：本题主要考查了多边形的外角和定理，已知外角求边数的这种方法是需要熟记的内容．同时考查了多边形的边数与对角线的条数的关系．
4．（2022·浙江台州·八年级期末）一个多边形的每一个外角都为72°，这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十边形
【答案】A
【分析】多边形的外角和是360°，依此可以求出多边形的边数．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都等于72°，
∴多边形的边数为360°÷72°=5．
故这个多边形的边数是5．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和的度数分别为，，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．无法比较与的大小
【答案】A
【分析】多边形的外角和为，△ABC与四边形BCDE的外角和均为，作出选择即可．
【详解】解：∵多边形的外角和为，
∴△ABC与四边形BCDE的外角和与均为，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查多边形的外角和定理，注意多边形的外角和为是解答本题的关键．
二、填空题
6．（2022·广西·桂林市第一中学八年级期中）已知正边形的一个外角为，则n＝_____
【答案】6
【分析】由正n边形的一个外角是60°，n边形的外角和为360°，即可求得n的值．
【详解】解：∵正n边形的一个外角是60°，n边形的外角和为360°，
∴n＝360°÷60°＝6．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了正n边形的性质与n边形的外角和定理．此题比较简单，掌握n边形的外角和为360°是解题的关键．
三、解答题
7．（2022·全国·八年级课时练习）一个多边形的内角和与外角和的比是，求它是几边形？
【答案】九边形
【分析】本题由题意得出等量关系即多边形的内角和与外角和的比是，列出方程解出即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为，
则有，
解得：．
这个多边形的边数为9，
故它是九边形．
【点睛】本题考查了多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，解题的关键是根据是已知等量关系列出方程从而解决问题．
8．（2022·全国·八年级课时练习）（1）一个多边形的内角和等于1800度，求这个多边形的边数．
（2）一个多边形的每一个内角都是108°，求这个多边形的边数．
【答案】（1）十二边形；（2）五边形
【分析】（1）n边形的内角和可以表示成（n−2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数；
（2）根据多边形外角的性质进行计算即可．
【详解】解：（1）设这个多边形是边形，根据题意得：
，
解得:．
故这个多边形是十二边形；
（2），
多边形的边数是:．
则这个多边形是五边形．
故这个多边形的边数为5．
【点睛】此题考查了多边形的内角和定理和多边形外角和，注意多边形的内角和为：（n−2）×180°．
9．（2020·山东·乐陵市江山国际学校八年级阶段练习） 在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边BC、AC上的点，点P是一动点，连接PD、PE，∠PDB=∠1，∠PEA=∠2，∠DPE=∠α．
（1）如图1所示，若点P在线段AB上，且∠α=60°，则∠1+∠2= ______ °（答案直接填在题中横线上）；
（2）如图2所示，若点P在边AB上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由；
（3）如图3所示，若点P运动到边AB的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？请先补全图形，再猜想并直接写出结论（不需说明理由．）
【答案】（1）150° ；（2）∠1+∠2=90°+∠α，理由见解析；（3）∠2=90°+∠α+∠1或∠1-∠2=∠α-90°，理由见解析
【分析】（1）∠DPE的邻补角为120°，∠C的邻补角为90°，由四边形的外角和可知：∠1+∠2=360°-120°-90°=150°；
（2）∠DPE的邻补角为180°-∠α，∠C的邻补角为90°，由四边形的外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，化简即可得出答案；
（3）根据题意画出图形可知，∠CFE是△DPF的外角，根据外角性质可知，∠CFE=∠DPE+∠PDB；另一方面，∠PEA是△CFE的外角，根据外角性质可知，∠PEA=∠C+∠CFE，根据以上两个等式即可得出∠α、∠1、∠2之间的数量关系．
【详解】
（1）∵∠α=60°，∠C=90°，
∴∠DPE的邻补角为120°，∠C的邻补角为90°，
又∵四边形的外角和为360°，
∴∠1+∠2=360°-120°-90°=150°；
（2）∠DPE的邻补角为180°-∠α，
∠C的邻补角为90°，
∵∠1与∠2是四边形DPEC的外角，
∴由四边形外角和可知：∠1+∠2+90°+（180°-∠α）=360°，
∴∠1+∠2=90°+∠α
（3）如图3所示，
当PD位于PE上方时，
∴∠CFE=∠DPE+∠PDB=∠α+∠1，
∵∠PEA=∠C+∠CFE，
∴∠2=90°+∠α+∠1．
当PD位于PE下方时，
∵∠1=∠α+∠PFD，
∠2=90°+∠CFE，
∠PFD=∠CFE，
∴∠1-∠2=∠α-90°．
【点睛】考查四边形的外角和与三角形的外角性质，解题关键灵活、综合运用知识．
题型十四：多边形内角和与外角和综合
一、单选题
1．（2022·广西贵港·八年级期末）若一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据正多边形的外角度数求出多边形的边数，根据多边形的内角和公式即可求出多边形的内角和．
【详解】由题意，正多边形的边数为，
其内角和为．
故选B．
【点睛】考查多边形的内角和与外角和公式，熟练掌握公式是解题的关键．
二、填空题
2．（2022·辽宁阜新·八年级期末）如一个正n边形的每个内角是每个外角的3倍，则n=_____．
【答案】8
【分析】一个多边形的每个内角都是它的外角的3倍，则内角和是外角和的3倍，根据多边形的外角和是360度，即可求得多边形的内角和的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．
【详解】解：设多边形的边数是n，根据题意得
（n-2）•180=360×3，
解得：n=8．
即这个多边形是正八边形．
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
3．（2022·山东济南·八年级期末）已知正多边形中，每一个内角都是它邻外角的4倍，则这个正多边形的边数是________；
【答案】十
【分析】设多边形的每个外角的度数为n，则其内角的度数为：4n，利用内外角的关系得出等式，即可求得多边形的外角的度数，依据多边形的外角和公式即可求解．
【详解】解：设多边形的每个外角的度数为n，则其内角的度数为：4n，
n＋4n＝180°，
解得：n＝36°，
即这个多边形是：360°÷36°＝10．
故答案为：十．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角的关系以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
4．（2022·云南玉溪·八年级期末）一个多边形的内角和跟它的外角和相等，则这个多边形是___________边形．
【答案】四
【分析】根据多边形的内角和等于（n﹣2）•180°、外角和等于360°，据此列方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数是n，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4，
∴这个多边形为四边形．
故答案为：四．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，掌握多边形内角和公式以及多边形外角和为360°是解答本题的关键．
5．（2020·湖北武汉·八年级期中）一个多边形每个内角都等于120°，则它的边数为________．
【答案】6
【分析】先求出多边形外角，再用外角和除以外角求解．
【详解】解：∵多边形的每个内角都等于120°，
∴多边形的每个外角为180°-120°=60°，
∴多边形的边数为360°÷60°=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查多边形的内角与外角，解题关键是掌握多边形外角和为360°．
三、解答题
6．（2021·四川广元·八年级期末）一个多边形的内角和比其外角和的3倍多，求这个多边形的边数．
【答案】这个多边形的边数为9
【分析】设这个多边形的边数为n． 根据多边形的内角和公式与外角和可得（n-2）×180°=360°×3+180°，再解方程即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n．
根据题意，得（n-2）×180°=360°×3+180°，
解得n=9．
所以这个多边形的边数为9．
【点睛】本题考查的是多边形的内角和与外角和的综合，一元一次方程的应用，熟记多边形的内角和公式与外角和为是解本题的关键．
7．（2022·全国·八年级专题练习）如果某个凸多边形每个内角都相等，已知从它的一个顶点出发可以引出9条对角线，那么它是几边形？它的每个内角是几度？
【答案】是十二边形，它的每个内角150°
【分析】根据多边形从一个顶点引出的对角线条数公式（n﹣3）求出多边形的边数，再根据多边形的内角和即可求解每个内角．
【详解】解：设多边形边数为n，
∵从凸多边形的一个顶点出发可以引出9条对角线，
∴n﹣3＝9，
解得n＝12，
所以，它是十二边形，
它的每个内角＝×（12﹣2）×180°＝150°．
答：它是十二边形，它的每个内角150°．
【点睛】此题考查了多边形内角与外角，多边形的对角线，熟记多边形对角线公式求出边数是解题的关键．
8．（2021·广东·肇庆市颂德学校八年级期中）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，这个多边形的边数是多少？
【答案】6
【分析】设这个多边形边数为n，根据内角和是它的外角和的2倍，列出关于n的方程，解方程即可．
【详解】解：设这个多边形边数为n，根据题意得：
,
解得：，
答：这个多边形的边数是6．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和和外角和，一元一次方程的应用，数据多边形的外角和为360°，内角和公式180°（n-2），是解题的关键．
9．（2022·山东聊城·八年级期末）（1）已知：如图，边形．求证：边形的内角和等于；
（2）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°．求这个多边形的内角和；
（3）粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°．请直接写出这个多加的外角度数及多边形的边数．
【答案】（1）见解析；（2）1260°；（3）100°，8
【分析】（1）由从n边形的一个顶点可以作（n−3）条对角线，根据分割的三角形个数及三角形内角和定理解答；
（2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）°，由邻补角的和为180°解答；
（3）由内角和公式得到内角和是180的倍数，可解得多边形的边数，据此解答．
【详解】解：（1）∵从n边形的一个顶点可以作（n−3）条对角线，
∴得出把三角形分割成的三角形个数为：n−3+1＝n−2．
∵这（n−2）个三角形的内角和都等于180°，
∴n边形的内角和是（n−2）×180°．（方法不唯一）
（2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）°
由题意，得（3α＋20）＋α＝180．
解得α＝40，
即多边形的每个外角为40°．
∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为360°÷40°＝9．
内角和为（9－2）×180°＝1260°．
答：这个多边形的内角和为1260°．
（3）因为1180°=180°×6+100°
所以该多边形的边数是8，这个外角的度数是100°．
【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和定理，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
10．（2022·全国·八年级专题练习）【相关概念】将多边形的内角一边反向延长，与另一条边相夹形成的那个角叫做多边形的外角．如图，将中的边CB反向延长，与另一边AC形成的即为的一个外角．三角形外角和与三角形内角和对应，为与三个内角分别相邻的三个外角的和．
【求解方法】借助一组内角与外角的数量关系，可以求出三角形的外角和．
如图，的外角和
．
．
【自主探究】根据以上提示，完成下列问题：
(1)将下列表格补充完整．
名称
图形
内角和
外角和
三角形
180°
360°
四边形
五边形
…
…
…
…
n边形
…
(2)如果一个八边形的每一个内角都相等，请用两种不同的方法求出这个八边形一个内角的度数．
【答案】(1)内角和分别为：360°、540°、180°（n-2）；外角和分别为：360°、360°、360°
(2)135°
【分析】（1）分别对图中四边形和五边形标注字母，然后根据题目中所给定的方法分别计算其内角和与外角和，最后根据规律确定出n边形的内角和与外角和即可；
（2）方法一：根据（1）中内角和公式求出内角和，然后除以角的个数即可；方法二：先求出各个外角的度数，然后用减去一个外角的度数，即为内角度数．
（1）解：四边形标定字母如图所示，连接CG，
四边形分为两个三角形，∴四边形内角和为，外角和为：，，；五边形标定字母如图所示，连接DA，DB，
五边形分为三个三角形，∴五边形内角和为，外角和为：，，；当为n边形时，可以分为个三角形，∴n边形内角和为；外角和为定值；故答案为：内角和分别为：、、； 外角和分别为：、、；
（2）解：方法一：，方法二：．
【点睛】
题目主要考查多边形内角和与外角和定理，理解题意，熟练掌握多边形内角和与外角和定理是解题关键．
题型十五：平面镶嵌
一、单选题
1．（2022·山东青岛·八年级期末）正八边形和下列哪种正多边形可以镶嵌整个平面（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可．
【详解】解：正八边形的每个内角是（8−2）×180°÷8＝135°，
正三角形的每个内角是60°，
正方形每个内角是90°，
正五边形每个内角是（5−2）×180°÷5＝108°，
正六边形每个内角是（6−2）×180°÷6＝120°，
∵135°×2＋90°＝360°，
∴两块正八边形和一块正方形可以实现密铺，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
2．（2022·广东佛山·八年级期末）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做平面镶嵌问题．如图，利用相同边长的正三角形可以进行平面镶嵌．请问下列图形或图形组合无法进行平面镶嵌的是（ ）
A．全等三角形 B．边长相等的正方形
C．边长相等的正三角形 D．边长相等的正五边形
【答案】D
【分析】根据判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能判断即可．
【详解】解：A选项，三角形内角和是180°，180°×2=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
B选项，正方形的每个内角是90°，90°×4=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
C选项，正三角形的每个内角是60°，60°×6=360°，能镶嵌，故该选项不符合题意；
D选项，正五边形的每个内角是108°，不能镶嵌，故该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
3．（2022·甘肃酒泉·八年级期末）选用下列图形的瓷砖，只用一种瓷砖平面镶嵌，下列不能选择的瓷砖图形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】D
【分析】分别求出三角形，四边形的内角和，各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】解： A.任意三角形的内角和是，放在同一顶点处6个即能密铺，不符合题意；
B.任意四边形的内角和是，放在同一顶点处4个即能密铺，不符合题意；
C.正六边形每个内角是，能整除360°，故能密铺，不符合题意；
D.正八边形每个内角是，不能整除，不能密铺，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查一种多边形的镶嵌问题，考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除，掌握多边形的内角是解题的关键．
4．（2022·河南郑州·八年级期末）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种性质相同的图形拼接而成的．像这样的用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌．如果只用一种几何图形镶嵌整个地面，下列哪一种不能单独镶嵌成一个平面图形．（ ）
A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】C
【分析】正多边形镶嵌有三个条件限制：①边长相等，②顶点公共，③在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°，判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之不能．
【详解】解：A.等边三角形的内角为60°，（个），所以6个等边三角形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
B. 正方形内角为90°，（个），所以4个正方形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
C. 正五边形内角为108°，（个），所以正五边形不能在一个顶点处实现内角之和等于360°，符合题意；
D. 正六边形的内角为120°，（个），所以3个正六边形可以在一个顶点处实现内角之和等于360°，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题考查正多边形镶嵌，掌握平面镶嵌的条件是解题的关键．
5．（2022·安徽合肥·八年级期末）用边长相等的两种正多边形地砖铺设地面，要求图形间既无缝隙又不重叠（平面镶嵌），下面选项中的两种正多边形不可以用来平面镶嵌的是（ ）
A．正三角形、正四边形 B．正三角形、正六边形 C．正四边形、正六边形 D．正四边形、正八边形
【答案】C
【分析】先利用三角形的内角和、多边形的内角和分别求出正三角形、正四边形、正六边形、正八边形的每个内角的度数，再逐项分析即可得．
【详解】解：正三角形的每个内角的度数为，
正四边形的每个内角的度数为，
正六边形的每个内角的度数为，
正八边形的每个内角的度数为，
因为，
所以正三角形、正四边形可以用来平面镶嵌，选项A不符题意；
因为，
所以正三角形、正六边形可以用来平面镶嵌，选项B不符题意；
因为不存在正整数使得成立，
所以正四边形、正六边形不可以用来平面镶嵌，选项C符合题意；
因为，
所以正四边形、正八边形可以用来平面镶嵌，选项D不符题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和、正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题关键．
二、解答题
6．（2022·全国·八年级专题练习）一个正多边形的一个内角减去与它相邻的一个外角的结果为．
(1)求这个正多边形的边数．
(2)如果该正多边形与另外一个与其边长相等的正多边形能铺满地面，直接写出这个正多边形的边数．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）首先设内角为，根据内角与其相邻外角和为，则其相邻的外角为，可得方程，计算出的值，进而可得外角的度数，然后可得多边形的边数．
（2）根据“拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于360度”进行判断即可．
（1）解：设一个内角为，则外角为，∴，解得：，则其外角为：，这个正多边形的边数为．答：这个正多边形的边数为．
（2）∵，又∵正方形的每个内角是，∴这个正多边形的边数是．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角、平面镶嵌．关键是掌握多边形的一个内角与其相邻外角和为180度，拼接在同一个顶点处的多边形的内角之和等于360度．
巩固提升
一、单选题
1．（2021·河北承德市·八年级期末）一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】D
【分析】根据多边形的内角和公式：（n-2）•180°去求．
【详解】解：设该多边形的边数为n
则：（n-2）•180°=900°，
解得：n=7．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，关键是要记住公式并会解方程
2．（2020·重庆市第二十九中学校八年级月考）某多边形的内角和是其外角和的4倍，则此多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】A
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是4×360°．n边形的内角和是(n﹣2)•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【详解】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
(n﹣2)•180＝4×360，
解得n＝10．
则这个多边形的边数是10．
故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，解答本题的关键是根据多边形内角和公式与外角和定理，利用方程法求边数．
3．（2021·云南临沧·八年级期末）一个八边形的内角和度数为（ ）
A．360° B．720° C．900° D．1080°
【答案】D
【分析】应用多边形的内角和公式计算即可．
【详解】（n﹣2）•180＝（8﹣2）×180°＝1080°．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握计算公式：（n−2）•180 （n≥3）且n为整数）．
4．（2021·浙江嘉兴一中八年级期中）如果一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】A
【分析】先根据多边形的内角和公式求得内角和，再根据题意列方程即可求解．
【详解】依题意得，
解得．
故选A．
【点睛】本题考查了多边形内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．
5．（2021·广西来宾市·八年级期中）正六边形的每一个内角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出正六边形每个外角的度数，进而即可求解．
【详解】解：∵正六边形的外角和为360°，
∴每个外角度数=360°÷6=60°，
∴正六边形的每一个内角的度数=180°-60°=120°．
故选B．
【点睛】本题主要考查正六边形外角和与内角的度数，熟练掌握多边形的外角和等于360°，是解题的关键．
6．（2021·四川达州市·八年级期末）小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（ ）
A．28° B．30° C．33° D．36°
【答案】B
【分析】第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，用60÷5＝12，求得边数，再根据多边形的外角和为360°，即可求解．
【详解】解：∵第一次回到出发点A时，所经过的路线正好构成一个正多边形，
∴正多边形的边数为：60÷5＝12，
根据多边形的外角和为360°，
∴则他每次转动θ的角度为：360°÷12＝30°，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和等于 是解题的关键．
7．（2021·吉林长春市·长春外国语学校八年级开学考试）在现实生活中，铺地最常见的是用正方形地板砖，某小区广场准备用多种地板砖组合铺设，则能够选择的组合是（ ）
A．正六边形，正八边形 B．正方形，正七边形
C．正五边形，正六边形 D．正三角形，正方形
【答案】D
【分析】分别求出各个正多边形的每个内角的度数，结合镶嵌的条件即可求出答案．
【详解】解：∵正三角形的每个内角60°，
正方形的每个内角是90°，
正五边形的每个内角是108°，
正六边形的每个内角是120°，
正七边形的每个内角是
正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，
∴能够组合是正三角形，正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查平面镶嵌，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
8．（2021·浙江省余姚市实验学校八年级期中）若一个多边形的内角和是720°，则这个多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】根据正多边形的内角和定义（n−2）×180°，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．
【详解】解：（n−2）×180°＝720°，
∴n−2＝4，
∴n＝6．
∴这个多边形的边数为6．
故选：C．
【点睛】考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：（n−2）×180°．
9．（2021·北京市第五中学朝阳双合分校八年级期中）如果一个四边形四个内角度数之比是1：2：3：4，那么这四个内角中（ ）．
A．只有一个直角 B．只有一个锐角
C．有两个直角 D．有两个钝角
【答案】D
【分析】根据四边形的内角和的度数是，四个内角度数之比是1：2：3：4，分别求出四个内角，再判断即可．
【详解】解：一个四边形四个内角的度数之比为，
∴四个内角的度数分别为：；
；
；
．
∴这个四边形的内角中有两个钝角．
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形的内角和问题，熟悉相关性质是解题的关键．
二、填空题
10．（2021·中山大学附属中学八年级期中）一个多边形的内角和比它的外角和多540°，并且这个多边形的各个内角都相等，则这个多边形边数是___．
【答案】7
【分析】首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比它的外角和多540°，由此列出方程解出边数．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则有（n-2）•180°=360°+540°，
解得n=7，
∴这个多边形边数是7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，解题的根据是已知等量关系列出方程从而解决问题．
11．（2021·山东八年级期中）一个 n 边形过一个顶点有 5 条对角线，则 n＝______．
【答案】8
【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数为（n-3），求出边数即可得解．
【详解】∵一个n边形过一个顶点有5条对角线，
∴，解得．
故答案为：8
【点睛】本题考查了多边形的对角线的公式，牢记公式是解题的关键．
12．（2021·全国八年级单元测试）如图，在五边形ABCDE中，∠D＝120°，与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，则∠C为________度．
【答案】80
【分析】利用邻补角的定义分别求出∠DEA，∠ABC，∠EAB的度数；再利用五边形的内角和为540毒，可求出∠C的度数．
【详解】解：∵与∠EAB相邻的外角是80°，与∠DEA，∠ABC相邻的外角都是60°，
∴∠DEA＝180°－60°＝120°，∠ABC＝180°－60°＝120°，∠EAB＝180°－80°＝100°；
五边形的内角和为（5－2）×180°＝540°；
∴∠C＝540°－120°－120°－120°－100°＝80°．
故答案为：80．
【点睛】此题考查了多边形内角和的性质，涉及了邻补角的定义，熟练掌握相关基本性质是解题的关键．
13．（2021·湖南常德市·八年级期中）如图，将正六边形放在平面直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若A点的坐标为，则点D的坐标为________．
【答案】
【分析】根据点A的坐标求出OA的长，再根据正六边形的性质求出OD，进而求出D的坐标即可．
【详解】解：∵A点的坐标为（﹣2，0），
∴OA＝2，
∴OD＝2，
∴D（2，0），
故答案为（2，0）．
【点睛】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键．
14．（2021·土默特左旗教育局教研室八年级月考）商店出售下列四种形状的地砖：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形，若选购地砖镶嵌地面，那么，可供选择的有______种．
【答案】3
【分析】由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．
【详解】解：①正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌
②正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是180°−360°÷5＝108°，不能整除360°，不能镶嵌；
④正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；
故若只选购其中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有3种．
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．
15．（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）如图，五边形ABCDE的两个内角平分线相交于点O，∠1，∠2，∠3是五边形的3个外角，若∠1+∠2+∠3=220°，则∠AOB=___________．
【答案】70°
【分析】先求出与∠EAB和∠CBA相邻的外角的度数和，然后根据多边形外角和定理即可求解．
【详解】如图，
∵∠1+∠2+∠3=220°，
∴∠4+∠5=360°-220°=140°，
∴∠EAB+∠CBA=220°，
∵AO，BO分别平分∠EAB，∠ABC，
∴∠OAB+∠OBA=110°，
∴∠AOB=180°-（∠OAB+∠OBA）=70°．
故答案是：70°．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和定理，三角形的内角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．
16．（2021·北京市第五中学朝阳双合分校八年级期中）填表：
多边形的边数
4
②___
9
内角和（单位：度）
360
900
③___
外角和（单位：度）
①___
360
360
【答案】360 7 1260
【分析】根据多边形的内角和公式和多边形的外角和是360°的性质求解即可.
【详解】解:∵所有多边形的外角和都是360°,
∴四边形的外角和为360°,
设内角和为900°的多边形为n变形，
∴（n-2）×180°=900°，
∴n=7，
∴九边形的内角和=（9-2）×180°=1260°，
故答案为：360，7，1260.
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和以及多边形的外角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
17．（2021·北京首都师大二附八年级期中）边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”．
（）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________；
（）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________．
【答案】
【分析】（1）先分别求出菱形和正方形的面积，然后根据变形度为2求解即可；
（2）先把网格中的菱形当成是正方形，然后算出三角形的面积，最后根据变形度求解即可得到答案.
【详解】解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积，
∴菱形面积：正方形面积，
∵菱形的变形度为，即，
∴．
故答案为：；
（）∵菱形边长为，“形变度”为，
∴菱形形变前的面积与形变后面积比为，
∴．
故答案为：9.
【点睛】本题主要考查了网格中面积的计算，解题的关键在于能够准确地读懂题意进行求解.
三、解答题
18．（2021·土默特左旗教育局教研室八年级月考）已知一个多边形的各内角相等，并且一个外角等于一个内角的，求这个多边形的边数？
【答案】这个多边形的边数为5
【分析】设多边形的一个内角为度，则一个外角为度，多边形的内角与外角的关系可得，解出即可求解．
【详解】解：设多边形的一个内角为度，则一个外角为度，依题意得：
，
，
解得：，
．
答：这个多边形的边数为5．
【点睛】本题主要考查了本题考查多边形的内角与外角的关系、多边形的外角和，解题的关键是记住多边形一个内角与外角互补和外角和的特征，利用方程的思想解答问题．
19．（2021·山东八年级期末）已知某正多边形的一个内角比它相邻外角的3倍还多20°．
（1）求这个正多边形一个内角的度数；
（2）求这个正多边形的内角和．
【答案】（1）140°（2）1260°
【分析】（1）设这个正多边形的一个内角的度数为x°，根据题意列出方程即可；
（2）根据外角和定理计算出正多边形的边数，然后根据多边形内角和定理计算即可．
【详解】解：（1）设这个正多边形的一个内角的度数为x°，
根据题意得x＝3（180-x）+20，解得x＝140，
所以这个正多边形一个内角的度数140°；
（2）因为这个正多边形的每一个外角的度数都为：180-140=40（度），
所以这个正多边形边数为：360÷40＝9（边），
所以这个正多边形的内角和是（9﹣2）×180°＝1260°．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握多边形内角和公式与外角和定理．
20．（2021·陕西）一个多边形的内角和与外角和的度数之和为，求这个多边形的边数．
【答案】多边形的边数为7
【分析】设这个多边形的边数为n，根据这个多边形的内角和+外角和360°=1800°，列出方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数是，由题意得，
，
解得：．
答：多边形的边数为7．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关，熟练多边形的内角和定理是解题的关键．
21．（2021·广西八年级期中）己知一个n边形的每一个外角都等于30°．
（1）求n的值．
（2）求这个n边形的内角和．
【答案】（1）12；（2）1800°
【分析】（1）用360°除以外角度数可得答案．
（2）先求出每个内角的度数，再利用内角度数×内角的个数即可．
【详解】解：（1）∵n边形的每一个外角都等于30°
∴n＝360°÷30°＝12；
（2）∵每个内角=180°-30°=150°，
∴内角和=12×150°＝1800°．
【点睛】此题主要考查了多边形的内角和、外角和，关键是掌握多边形的外交和等于360°．
22．（2021·广西来宾市·八年级期中）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多，求这个多边形是几边形？并求出这个多边形的内角和．
【答案】十二边形，1800°
【分析】首先设外角为x°，则内角为（4x＋30）°，根据内角与相邻的外角是互补关系可得x＋4x＋30＝180，解方程可得x的值，再利用外角和360°÷外角的度数可得边数，进而求出内角和．
【详解】解：设外角为x°，
由题意得：x＋4x＋30＝180，
解得：x＝30，
360°÷30°＝12，
∴（12−2）×180＝1800°，
∴这个多边形的内角和是1800°，是十二边形．
【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题要结合多边形的内角和公式以及外角和，构建方程求解即可．
23．（2021·北京市平谷区峪口中学八年级期中）已知如图：直线DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，求证：
（1）∠A+∠1＝180°；
（2）∠A＝∠2．
【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ACD＝∠ABD＝90°，再由四边形的内角和为360°可得结论；
（2）根据（1）中的结论并结合平角的定义可得结论．
【详解】证明：（1）∵DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，
∴∠ACD＝∠ABD＝90°，
∴∠A+∠1＝360°﹣90°﹣90°＝180°；
（2）∵∠1+∠2＝180°，∠A+∠1＝180°，
∴∠A＝∠2．
【点睛】本题考查了垂直的定义，四边形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握垂直的定义．
24．（2021·山东八年级期末）如图，在△ABC中，D为三角形内一点，∠A=53°，∠ABD=43°，∠ACD=16°，∠BDC的角平分线交BC于点E，过点E作EF//BD交DC于点F．
（1）求∠BDC的度数．
（2）求∠DEF的度数．
【答案】（1）112°；（2）56°
【分析】（1）根据四边形内角和为，可求出，再根据周角可求出；
（2）根据角平分线的定义及两直线平行内错角相等可得．
【详解】解：如图：
根据四边形内角和为，
，
，
；
（2）∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE=∠EDC，
∵∠BDC=112°，EF//BD，
∴∠BDE=∠DEF=∠BDC=56°．
【点睛】本题考查了四边形内角和、周角、角平分线、平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识点，利用等量代换的思想间接求解．
25．（2020·南京市宁海中学八年级开学考试）问题1：如图，我们将图（1）所示的凹四边形称为“镖形”．在“镖形”图中，∠AOC与∠A、∠C、∠P的数量关系为∠AOC=∠A+∠C+∠P．
问题2：如图（2），已知AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；
小明认为可以利用“镖形”图的结论解决上述问题：
由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；
由“ ”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．
所以2∠APC= ．
所以∠APC= ．
请帮助小明完善上述说理过程，并尝试解决下列问题（问题1、问题2中得到的结论可以直接使用，不需说明理由）；
解决问题1：如图（3）已知直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系为
解决问题2：如图（4），已知直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，则∠P与∠B、∠D的关系为
【答案】问题1、问题2答案见解析；解决问题1：∠P=180°－（∠B＋∠D）；解决问题2：∠P=90°＋（∠B＋∠D）
【分析】问题1：根据三角形的外角的性质即可得到结论；
问题2：根据三角形外角的性质和问题1的结论求解即可；
解决问题1：根据四边形的内角和等于360°可得（180°-∠1）+∠P+∠4+∠B=360°，∠2+∠P+（180°-∠3）+∠D=360°，然后整理即可得解；
解决问题2：根据（1）的结论∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，∠PAD+∠P=∠D+∠PCD，然后整理即可得解．
【详解】解：问题1：连接PO并延长．
则∠1=∠A＋∠2，∠3=∠C＋∠4，
∵∠2＋∠4=∠P，∠1＋∠3=∠AOC，
∴∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；
故答案为：∠AOC=∠A＋∠C＋∠P；
问题2：如图2，由问题1结论得：∠AOC=∠PAO+∠PCO+∠APC，
所以2∠AOC=2∠PAO+2∠PCO+2∠APC，
即2∠AOC=∠BAO+∠DCO+2∠APC；
由“三角形外角的性质”得：∠AOC=∠BAO+∠B，∠AOC=∠DCO+∠D．
所以2∠AOC=∠BAO+∠DCO+∠B+∠D．
所以2∠APC=∠B+∠D．
所以∠APC= （∠B＋∠D）=38°．
解决问题1：如图3，∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴（180°－2∠1）＋∠B=（180°－2∠4）＋∠D，
在四边形APCB中，（180°－∠1）＋∠P＋∠4＋∠B=360°，
在四边形APCD中，∠2＋∠P＋（180°－∠3）＋∠D=360°，
∴2∠P＋∠B＋∠D=360°，
∴∠P=180°－（∠B＋∠D）；
解决问题2：如图4，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵（∠1＋∠2）＋∠B=（180°－2∠3）＋∠D，
∠2＋∠P=（180°－∠3）＋∠D，
∴2∠P=180°＋∠D＋∠B，
∴∠P=90°＋（∠B＋∠D）．
故答案为：∠P=90°＋（∠B＋∠D）．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质，四边形的内角和，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
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