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第02讲 与三角形有关的角（2大考点7种解题方法）2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版）
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这是一份第02讲 与三角形有关的角（2大考点7种解题方法）2022-2023学年八年级数学考试满分全攻略（人教版），文件包含第02讲与三角形有关的角2大考点7种解题方法解析版docx、第02讲与三角形有关的角2大考点7种解题方法原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共73页， 欢迎下载使用。
第02讲 与三角形有关的角（2大考点7种解题方法）
一．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
（5）直角三角形两个锐角互余．
二．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
考点精讲
考点考向
考点一：三角形内角和定理
题型一：三角形内角和定理证明
一、填空题
1．（2022·全国·八年级课前预习）三角形内角和定理：三角形内角和等于_______．
二、解答题
2．（2022·全国·八年级课时练习）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，
已知：如图，,
求证：
方法一
证明：如图，过点A作
方法二
证明：如图，过点C作
3．（2022·全国·八年级专题练习）在探索并证明三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”时，圆圆同学添加的辅助线为“过点A作直线DEBC”．请写出“已知”、“求证”，并补全证明．
4．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）（1）如图①，直线DE经过点A，DE∥BC．若∠B＝45°，∠C＝58°，那么∠DAB＝ ；∠EAC＝ ；∠BAC＝ ．(在空格上填写度数）
（2）求证：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°．
题型二：与平行线有关的三角形内角和问题
一、单选题
1．（2022·云南文山·八年级期末）如图，在中，D、E分别在、上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·八年级）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（ ）
A．134° B．124° C．114° D．104°
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，AB∥CD，∠C=32°，∠E=48°，则∠B的度数为（ ）
A．120° B．128° C．110° D．100°
二、填空题
4．（2022·江西·赣州市赣县区教育教学研究室八年级期末）如图，AB∥CD，，，则_______．
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，在中，，点D在边上，．若，则_____度．
三、解答题
6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知，且．
(1)求证：，请完成下面的证明：
∵，，
∴
∴（___________________），
∴___________________（___________________），
又∵（已知），
∴（___________________），
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（___________________）；
(2)若平分，且，，求的度数．
题型三：与角平分线有关的三角形内角和问题
一、单选题
1．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果∠A＝54°，那么∠BOC的度数是（ ）
A．97° B．117° C．63° D．153°
2．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DEBC交AB于点E．若∠A＝70°，∠BDC＝100°，则∠BED的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
二、填空题
3．（2022·河南郑州·八年级期末）如图所示，△中，，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线，则∠M的度数为______．
三、解答题
4．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，在ABC中，AN平分∠BAC交BC于N，∠B=50°，∠ANC=80°，求∠C的度数．
5．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．
(1)求∠EBC的度数；
(2)求∠AOB的度数．
6．（2022·河南郑州·八年级期末）如图，在中，，，AE平分∠BAC．
(1)计算：若，，求∠DAE的度数；
(2)猜想：若，则______；
(3)探究：请直接写出∠DAE，∠C，∠B之间的数量关系．
7．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，BO，CO是的内角平分线且BO，CO相交于点O．
(1)若，，求∠BOC的度数．
(2)若，求∠BOC的度数．
(3)请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．
题型四：三角形折叠中角度问题
一、单选题
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）.
A．22° B．21° C．20° D．19°
二、填空题
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B=______°．
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点落在四边形外部，那么，，之间的数量关系是________．
4．（2022·全国·八年级课时练习）一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，若∠C＝86°，那么∠AEB＝__°．
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点，则 ______度．
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将沿PF折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，_____．
题型五：三角形内角和定理的应用
一、单选题
1．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，已知，若∠B＝120°，∠D＝20°，那么∠DCE的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
2．（2021·海南省直辖县级单位·八年级期中）在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·八年级专题练习）若三角形三个内角度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
4．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，，一块含角的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022·陕西西安·八年级期末）已知中，，，则的度数为______．
三、解答题
6．（2022·河北张家口·八年级期末）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
(1)若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ °，∠DBC+∠DCB＝ °，∠ABD+∠ACD＝ °．
(2)若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ °．
(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系．
7．（2022·河南三门峡·八年级期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O，∠BOC=119°．
(1)求∠OBC+∠OCB的度数；
(2)求∠A的度数．
8．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，在中，．
(1)求的取值范围；
(2)若，，，求的度数．
题型六：直角三角形两个锐角互余
一、填空题
1．（2022·河南安阳·八年级期末）若直角三角形的两锐角之差为，则较大一个锐角的度数是___________度．
2．（2022·广西崇左·八年级期末）如图，，于点，于点，若，则__________．
二、解答题
3．（2021·海南省直辖县级单位·八年级期中）如图，在中，于D，平分，求的度数．
4．（2021·广西贺州·八年级期中）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，BF与AE相交于点O若∠ABC＝42°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度数．
5．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，AD∥BE，，．求证：．
6．（2022·湖北荆州·八年级期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC=112°，求∠BCF的度数．
7．（2022·安徽淮北·八年级期末）如图，AD是的角平分线，AE是的高，已知，，求的度数．
考点二：三角形外角和
题型七：三角形外角的定义及性质
一、单选题
1．（2021·四川·树德中学八年级开学考试）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．36° D．40°
2．（2022·河北张家口·八年级期末）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（ ）
A．105° B．120° C．75° D．45°
3．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，直线，点A在直线a上，点C、D在直线b上，且AB⊥BC，BD平分∠ABC，若∠1＝32°，则∠2的度数是（ ）
A．13° B．15° C．14° D．16°
4．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，若∠C＝26°，则∠ADB的度数是（ ）
A．61° B．64° C．71° D．109°
5．（2022·广东广州·八年级期末）如图，，∠A=45°，∠C=∠E，则∠C的度数为（ ）
A．45° B．22.5° C．67.5° D．30°
二、填空题
6．（2022·四川凉山·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝47°，将△ABC沿着直线折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是________．
三、解答题
7．（2022·河南郑州·八年级期末）在学习完《7．5三角形内角和定理》，小芳和同学们作如下探究：
已知：在中，，分别是的边，上的点，点是边上的一个动点，令，．
(1)他们探究得到：四边形的内角和是．
理由如下：如图①，连接，
在和中，
,
（ ）．
（ ）．
．
即四边形的内角和是．
(2)如图①，点在线段上，且,求的度数．
(3)如果点运动到的延长线上，请在图②中补全图形，并直接写出，，之间的等量关系．
8．（2022·浙江·八年级专题练习）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC的度数为________；
（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
巩固提升
一．选择题（共8小题）
1．（2022•珙县校级模拟）已知，在△ABC中，∠C＝56°，点D在线段BA的延长线上，过点D作DF⊥BC，垂足为F，若∠FDB＝20°，则∠CAB的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
2．（2022•百色一模）任意三角形的外角和是（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
3．（2022春•泗水县期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝30°，∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）
A．60° B．100° C．90° D．80°
4．（2021秋•城固县期末）如图，图中x的值为（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
5．（2022春•澄海区期末）如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（ ）
A．∠P＝2（∠B﹣∠D） B．
C． D．
6．（2022春•新泰市期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，AE是∠BAC的平分线，外角∠ACD＝100°，则∠AEC的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．50°
7．（2021秋•宜城市期末）在△ABC中，∠B＝45°，∠C的外角等于100°，则∠A的度数是（ ）
A．65° B．55° C．54° D．35°
8．（2021秋•滑县期末）将一副三角板按如图所示放置，则∠BFD的度数为（ ）
A．105° B．95° C．85° D．75°
二．填空题（共6小题）
9．（2022春•曲阳县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为 ．
10．（2022春•阜新县期末）Rt△ABC的一个锐角是65°，则另一个锐角是 ．
11．（2022春•江源区期末）在△ABC中，∠A＝90°，∠B﹣∠C＝14°，则∠B＝ °，∠C＝ °．
12．（2021秋•威县期末）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线．
（1）若∠B＝47°，∠C＝73°，则∠DAE的度数为 ．
（2）若∠B＝α°，∠C＝β°（α＜β），用含α、β的代数式表示∠DAE的度数＝ ．
13．（2022春•招远市期末）如图，在△ABC中，AD是BAC的平分线，EF∥AD，交BC于E、AB于F、CA的延长线于G，∠B＝30°，∠C＝70°，则∠G的度数 ．
14．（2022春•桂林期末）在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数为 ．
三．解答题（共10小题）
15．（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝36°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数．
16．（2022春•交城县期末）如图，直线AB⊥CD于点G，交EF于点H，射线GM交EF于点M，已知∠AGM：∠DGM＝2：7，∠AHF比∠DGM大10°，求∠GHM的度数．
17．（2022春•卧龙区期末）如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求∠AEC的度数．
18．（2022春•耒阳市期末）如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝70°，∠BAC＝80°．
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数．
19．（2022春•冠县期末）如图，在△ABC中，AN平分∠BAC交BC于N，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度数．
20．（2022春•阳谷县期末）（1）探究一：如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，请确定∠A与∠D的数量关系，并说明理由；
（2）探究二：如图（b），BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，请确定∠A与∠E的数量关系 ；
（3）探究三：如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，请确定∠A与∠F的数量关系 ；
解决问题：如图，在△ABC中，∠A＝56°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，则∠F＝ ．
21．（2022春•鼓楼区校级期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠CAE的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
22．（2021秋•礼泉县期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝ °．
（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
23．（2021秋•峡江县期末）材料阅读：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品—圆规，我们常把这样的图形叫做“规形图”．
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你利用此结论，解决以下两个问题：
Ⅰ．如图（2），把一个三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝30°，则∠ABD+∠ACD＝ ．
Ⅱ．如图（3），BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝50°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度数．
24．（2022春•冠县期末）某同学在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：
【习题回顾】
已知：如图1，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．
（1）若∠A＝40°，请直接写出∠BOC＝ ；
【变式思考】
（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）已知：如图2，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O，OD⊥OB，交边BC于点D，点E在CB的延长线上，作∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠F＝β，猜想∠BAC与β的关系，并说明理由．
第02讲 与三角形有关的角（2大考点7种解题方法）
一．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
（5）直角三角形两个锐角互余．
二．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：
①三角形的外角和为360°．
②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
考点精讲
考点考向
考点一：三角形内角和定理
题型一：三角形内角和定理证明
一、填空题
1．（2022·全国·八年级课前预习）三角形内角和定理：三角形内角和等于_______．
二、解答题
2．（2022·全国·八年级课时练习）下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，
已知：如图，,
求证：
方法一
证明：如图，过点A作
方法二
证明：如图，过点C作
3．（2022·全国·八年级专题练习）在探索并证明三角形的内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”时，圆圆同学添加的辅助线为“过点A作直线DEBC”．请写出“已知”、“求证”，并补全证明．
4．（2021·广西·靖西市教学研究室八年级期末）（1）如图①，直线DE经过点A，DE∥BC．若∠B＝45°，∠C＝58°，那么∠DAB＝ ；∠EAC＝ ；∠BAC＝ ．(在空格上填写度数）
（2）求证：在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°．
题型二：与平行线有关的三角形内角和问题
一、单选题
1．（2022·云南文山·八年级期末）如图，在中，D、E分别在、上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·八年级）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE＝34°，那么∠BED＝（ ）
A．134° B．124° C．114° D．104°
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，AB∥CD，∠C=32°，∠E=48°，则∠B的度数为（ ）
A．120° B．128° C．110° D．100°
二、填空题
4．（2022·江西·赣州市赣县区教育教学研究室八年级期末）如图，AB∥CD，，，则_______．
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图所示，在中，，点D在边上，．若，则_____度．
三、解答题
6．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知，且．
(1)求证：，请完成下面的证明：
∵，，
∴
∴（___________________），
∴___________________（___________________），
又∵（已知），
∴（___________________），
∴（同位角相等，两直线平行）
∴（___________________）；
(2)若平分，且，，求的度数．
题型三：与角平分线有关的三角形内角和问题
一、单选题
1．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，已知△ABC中，BD，CE分别是△ABC的角平分线，BD与CE交于点O，如果∠A＝54°，那么∠BOC的度数是（ ）
A．97° B．117° C．63° D．153°
2．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DEBC交AB于点E．若∠A＝70°，∠BDC＝100°，则∠BED的度数为（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
二、填空题
3．（2022·河南郑州·八年级期末）如图所示，△中，，BP，CP，BM，CM分别是∠ABC，∠ACD，∠PBC，∠PCB的平分线，则∠M的度数为______．
三、解答题
4．（2022·陕西渭南·八年级期末）如图，在ABC中，AN平分∠BAC交BC于N，∠B=50°，∠ANC=80°，求∠C的度数．
5．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE是∠ABC的平分线，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．
(1)求∠EBC的度数；
(2)求∠AOB的度数．
6．（2022·河南郑州·八年级期末）如图，在中，，，AE平分∠BAC．
(1)计算：若，，求∠DAE的度数；
(2)猜想：若，则______；
(3)探究：请直接写出∠DAE，∠C，∠B之间的数量关系．
7．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在中，BO，CO是的内角平分线且BO，CO相交于点O．
(1)若，，求∠BOC的度数．
(2)若，求∠BOC的度数．
(3)请你直接写出∠A与∠BOC满足的数量关系式，不需要说明理由．
题型四：三角形折叠中角度问题
一、单选题
1．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，将点A与点B分别沿MN和EF折叠，使点A、B与点C重合，则∠NCF的度数为（ ）.
A．22° B．21° C．20° D．19°
二、填空题
2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，将直角三角形纸片ABC进行折叠，使直角顶点A落在斜边BC上的点E处，并使折痕经过点C，得到折痕CD．若∠CDE=70°，则∠B=______°．
3．（2022·全国·八年级课时练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点落在四边形外部，那么，，之间的数量关系是________．
4．（2022·全国·八年级课时练习）一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，若∠C＝86°，那么∠AEB＝__°．
5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，点是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点，则 ______度．
6．（2022·全国·八年级课时练习）如图，射线AB与射线CD平行，点F为射线AB上的一定点，连接CF，点P是射线CD上的一个动点（不包括端点C），将沿PF折叠，使点C落在点E处．若，当点E到点A的距离最大时，_____．
题型五：三角形内角和定理的应用
一、单选题
1．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，已知，若∠B＝120°，∠D＝20°，那么∠DCE的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
2．（2021·海南省直辖县级单位·八年级期中）在中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江·八年级专题练习）若三角形三个内角度数之比为2：3：5，则这个三角形一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
4．（2022·河南信阳·八年级期末）如图，，一块含角的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022·陕西西安·八年级期末）已知中，，，则的度数为______．
三、解答题
6．（2022·河北张家口·八年级期末）如图所示，有一块直角三角板DEF（足够大），其中∠EDF＝90°，把直角三角板DEF放置在锐角△ABC上，三角板DEF的两边DE、DF恰好分别经过B、C．
(1)若∠A＝40°，则∠ABC+∠ACB＝ °，∠DBC+∠DCB＝ °，∠ABD+∠ACD＝ °．
(2)若∠A＝55°，则∠ABD+∠ACD＝ °．
(3)请你猜想一下∠ABD+∠ACD与∠A所满足的数量关系．
7．（2022·河南三门峡·八年级期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE相交于点O，∠BOC=119°．
(1)求∠OBC+∠OCB的度数；
(2)求∠A的度数．
8．（2022·贵州铜仁·八年级期末）如图，在中，．
(1)求的取值范围；
(2)若，，，求的度数．
题型六：直角三角形两个锐角互余
一、填空题
1．（2022·河南安阳·八年级期末）若直角三角形的两锐角之差为，则较大一个锐角的度数是___________度．
2．（2022·广西崇左·八年级期末）如图，，于点，于点，若，则__________．
二、解答题
3．（2021·海南省直辖县级单位·八年级期中）如图，在中，于D，平分，求的度数．
4．（2021·广西贺州·八年级期中）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，BF与AE相交于点O若∠ABC＝42°，∠C＝72°，求∠AEC和∠DAE的度数．
5．（2022·河南驻马店·八年级期末）如图，AD∥BE，，．求证：．
6．（2022·湖北荆州·八年级期末）如图，在△ABC中，CD是AB边上高，BE为角平分线，若∠BFC=112°，求∠BCF的度数．
7．（2022·安徽淮北·八年级期末）如图，AD是的角平分线，AE是的高，已知，，求的度数．
考点二：三角形外角和
题型七：三角形外角的定义及性质
一、单选题
1．（2021·四川·树德中学八年级开学考试）如图，直线CE∥DF，∠CAB＝125°，∠ABD＝85°，则∠1+∠2＝（ ）
A．30° B．35° C．36° D．40°
2．（2022·河北张家口·八年级期末）如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（ ）
A．105° B．120° C．75° D．45°
3．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，直线，点A在直线a上，点C、D在直线b上，且AB⊥BC，BD平分∠ABC，若∠1＝32°，则∠2的度数是（ ）
A．13° B．15° C．14° D．16°
4．（2022·浙江·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，若∠C＝26°，则∠ADB的度数是（ ）
A．61° B．64° C．71° D．109°
5．（2022·广东广州·八年级期末）如图，，∠A=45°，∠C=∠E，则∠C的度数为（ ）
A．45° B．22.5° C．67.5° D．30°
二、填空题
6．（2022·四川凉山·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝47°，将△ABC沿着直线折叠，点C落在点D的位置，则∠1－∠2的度数是________．
三、解答题
7．（2022·河南郑州·八年级期末）在学习完《7．5三角形内角和定理》，小芳和同学们作如下探究：
已知：在中，，分别是的边，上的点，点是边上的一个动点，令，．
(1)他们探究得到：四边形的内角和是．
理由如下：如图①，连接，
在和中，
,
（ ）．
（ ）．
．
即四边形的内角和是．
(2)如图①，点在线段上，且,求的度数．
(3)如果点运动到的延长线上，请在图②中补全图形，并直接写出，，之间的等量关系．
8．（2022·浙江·八年级专题练习）【概念认识】
如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”．其中，BD是“邻BA三分线”，BE是“邻BC三分线”．
【问题解决】
（1）如图②，在△ABC中，∠A＝70°，∠ABC＝45°，若∠ABC的邻BA三分线BD交AC于点D，则∠BDC的度数为________；
（2）如图③，在△ABC中，BP，CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻CB三分线，且∠BPC＝135°，求∠A的度数；
【延伸推广】
（3）在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的邻BC三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P．若∠A＝m°，∠B＝60°，直接写出∠BPC的度数．（用含m的代数式表示）
巩固提升
一．选择题（共8小题）
1．（2022•珙县校级模拟）已知，在△ABC中，∠C＝56°，点D在线段BA的延长线上，过点D作DF⊥BC，垂足为F，若∠FDB＝20°，则∠CAB的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
2．（2022•百色一模）任意三角形的外角和是（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
3．（2022春•泗水县期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝30°，∠ACE＝60°，则∠A＝（ ）
A．60° B．100° C．90° D．80°
4．（2021秋•城固县期末）如图，图中x的值为（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
5．（2022春•澄海区期末）如图，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，则∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系为（ ）
A．∠P＝2（∠B﹣∠D） B．
C． D．
6．（2022春•新泰市期末）如图，在△ABC中，∠B＝50°，AE是∠BAC的平分线，外角∠ACD＝100°，则∠AEC的度数为（ ）
A．65° B．70° C．75° D．50°
7．（2021秋•宜城市期末）在△ABC中，∠B＝45°，∠C的外角等于100°，则∠A的度数是（ ）
A．65° B．55° C．54° D．35°
8．（2021秋•滑县期末）将一副三角板按如图所示放置，则∠BFD的度数为（ ）
A．105° B．95° C．85° D．75°
二．填空题（共6小题）
9．（2022春•曲阳县期末）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为 ．
10．（2022春•阜新县期末）Rt△ABC的一个锐角是65°，则另一个锐角是 ．
11．（2022春•江源区期末）在△ABC中，∠A＝90°，∠B﹣∠C＝14°，则∠B＝ °，∠C＝ °．
12．（2021秋•威县期末）如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE是∠BAC的角平分线．
（1）若∠B＝47°，∠C＝73°，则∠DAE的度数为 ．
（2）若∠B＝α°，∠C＝β°（α＜β），用含α、β的代数式表示∠DAE的度数＝ ．
13．（2022春•招远市期末）如图，在△ABC中，AD是BAC的平分线，EF∥AD，交BC于E、AB于F、CA的延长线于G，∠B＝30°，∠C＝70°，则∠G的度数 ．
14．（2022春•桂林期末）在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝54°，则∠A的度数为 ．
三．解答题（共10小题）
15．（2022春•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝36°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数．
16．（2022春•交城县期末）如图，直线AB⊥CD于点G，交EF于点H，射线GM交EF于点M，已知∠AGM：∠DGM＝2：7，∠AHF比∠DGM大10°，求∠GHM的度数．
17．（2022春•卧龙区期末）如图，在△ABC中，∠B＝25°，∠BAC＝31°，过点A作BC边上的高，交BC的延长线于点D，CE平分∠ACD，交AD于点E．求∠AEC的度数．
18．（2022春•耒阳市期末）如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝70°，∠BAC＝80°．
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数．
19．（2022春•冠县期末）如图，在△ABC中，AN平分∠BAC交BC于N，∠B＝50°，∠ANC＝80°．求∠C的度数．
20．（2022春•阳谷县期末）（1）探究一：如图（a），BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，请确定∠A与∠D的数量关系，并说明理由；
（2）探究二：如图（b），BE平分∠ABC，CE平分∠ACM，请确定∠A与∠E的数量关系 ；
（3）探究三：如图（c），BF平分∠CBP，CF平分∠BCQ，请确定∠A与∠F的数量关系 ；
解决问题：如图，在△ABC中，∠A＝56°，BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，M，N，Q分别在DB，DC，BC的延长线上，BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，则∠F＝ ．
21．（2022春•鼓楼区校级期末）如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）若∠B＝35°，∠E＝25°，求∠CAE的度数；
（2）证明：∠BAC＝∠B+2∠E．
22．（2021秋•礼泉县期末）我们将内角互为对顶角的两个三角形称为“对顶三角形”．例如，在图1中，△AOB的内角∠AOB与△COD的内角∠COD互为对顶角，则△AOB与△COD为“对顶三角形”，根据三角形内角和定理知“对顶三角形”有如下性质：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（1）如图1，在“对顶三角形”△AOB与△COD中，∠AOB＝70°，则∠C+∠D＝ °．
（2）如图2，在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC和∠ABC，若∠C＝60°，∠ADE比∠BED大6°，求∠BED的度数．
23．（2021秋•峡江县期末）材料阅读：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品—圆规，我们常把这样的图形叫做“规形图”．
（1）观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；
（2）请你利用此结论，解决以下两个问题：
Ⅰ．如图（2），把一个三角尺DEF放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边DE，DF恰好经过点B，C，若∠A＝30°，则∠ABD+∠ACD＝ ．
Ⅱ．如图（3），BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝50°，∠BPC＝130°，求∠BDC的度数．
24．（2022春•冠县期末）某同学在学习过程中，对教材的一个有趣的问题做如下探究：
【习题回顾】
已知：如图1，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O．求∠BOC的度数．
（1）若∠A＝40°，请直接写出∠BOC＝ ；
【变式思考】
（2）若∠A＝α，请猜想∠BOC与α的关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）已知：如图2，在△ABC中，角平分线BO、CO交于点O，OD⊥OB，交边BC于点D，点E在CB的延长线上，作∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．若∠F＝β，猜想∠BAC与β的关系，并说明理由．
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