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2022-2023学年陕西省汉中市宁强县八年级（上）期末数学试卷
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这是一份2022-2023学年陕西省汉中市宁强县八年级（上）期末数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年陕西省汉中市宁强县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）9的值等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．5
2．（3分）图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3 B．a2+a3＝a6 C．2a•3a＝6a D．（a3）2＝a6
4．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形三条高所在直线一定相交于三角形内
B．一个数能被6整除，这个数也能被4整除
C．三角形的三个外角和等于180度
D．平方根等于它本身的数是0
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．（﹣m）7÷（﹣m）2＝﹣m5
C．（3a2b）2＝6a4b2 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
6．（3分）下列条件能够判断两个三角形全等的是（ ）
A．两个三角形周长相等
B．两个三角形三个内角分别相等
C．两个三角形有两条边和其中一条边上的中线分别相等
D．两个三角形有两条边和一对角分别相等
7．（3分）根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°
8．（3分）如图所示，点A，B分别是∠NOF，∠MOF平分线上的点，AB⊥OF于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是（ ）
A．∠AOB＝90°
B．AD+BC＝AB
C．点O是CD的中点
D．图中与∠CBO互余的角有两个
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）47×（0.25）7＝ ．
10．（3分）若x2＝64，则x＝ ．
11．（3分）一个等腰三角形有一个角为80°，则它的顶角度数为 ．
12．（3分）为了解社会对宁强教育满意程度，某数学学习小组随机电话访问了200名评议代表，并对持有三种意见的人数进行统计，绘制出如图所示统计图，则对宁强教育非常满意的有 人．
13．（3分）如图，长方形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E为BC边上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则AE+EF的最小值为 ．
三、解答题（共12小题，计81分，解答应写出过程）
14．计算：
（1）-(512)6×(-4)5×(225)6×0．256；
（2）a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．
15．先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x＝10．
16．分解因式：
（1）2x3﹣8x；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
17．已知：如图，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，问DF与BE平行吗？为什么？
18．已知线段a，h如图，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，BC边上的高为h．
19．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，AB＝AC，求证：BD＝EC．
20．在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：BE＝BF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．
21．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC＝8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度．
22．为了解我县八年级学生期末数学考试情况，在八年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A；B（72～95分）；C（60～71分）；D（0～59分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题．
（1）这次随机抽取的学生共有多少人？
（2）请补全条形统计图；
（3）这个学校八年级共有学生1200人，请估计这次八年级学生期末数学考试成绩为B级及以上的学生人数大约有多少？
23．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1．请按要求画出格点三角形．
（1）在图1中画出一个等腰△ABC．
（2）在图2中画出一个Rt△ABD，且其三边都不与网格线重合．
24．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝35千米，BC＝5千米，则两个村庄的距离为 米；
（2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，现要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出AP的距离；
（3）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式x2+25+(9-x)2+49（其中0＜x＜9）最小值为 ．
25．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
填空：∠AEB的度数为 ；线段BE与AD之间的数量关系是 ．
（3）拓展探究
如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
2022-2023学年陕西省汉中市宁强县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）9的值等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．5
【分析】根据算术平方根定义解答．
【解答】解：∵32＝9，
∴9=3，
故选：A．
【点评】此题考查了算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键．
2．（3分）图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案．
【解答】解：由勾股定理得：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，
A、A代表的正方形的面积为400﹣225＝175；
B、B代表的正方形的面积为400+225＝625；
C、C代表的正方形的面积为256﹣112＝144；
D、D代表的正方形的面积为400﹣120＝280．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，仔细观察选项所给图形的特点，利用勾股定理进行解答是关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3 B．a2+a3＝a6 C．2a•3a＝6a D．（a3）2＝a6
【分析】根据合并同类项，单项式的乘法，幂的乘方，对选项逐个求解即可．
【解答】解：a+2a2＝a+2a2，A选项错误，不符合题意；
a2+a3＝a2+a3，B选项错误，不符合题意；
2a⋅3a＝6a2，C选项错误，不符合题意；
（a3）2＝a6，D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，单项式的乘法，幂的乘方，掌握相关运算法则是关键．
4．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形三条高所在直线一定相交于三角形内
B．一个数能被6整除，这个数也能被4整除
C．三角形的三个外角和等于180度
D．平方根等于它本身的数是0
【分析】根据三角形的高，三角形外角，整除的性质，平方根的性质，对选项逐个判断即可．
【解答】解：三角形三条高所在直线一定相交于三角形内，说法错误，为假命题，A选项不符合题意；
一个数能被6整除，这个数也能被4整除，说法错误，比如18能被6整除，但不能被4整除，为假命题，B选项不符合题意；
三角形的三个外角和等于360度，说法错误，为假命题，C选项不符合题意；
平方根等于它本身的数是0，说法正确，为真命题，D选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的高，三角形外角，整除的性质，平方根的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．（﹣m）7÷（﹣m）2＝﹣m5
C．（3a2b）2＝6a4b2 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
【分析】根据同底数幂的除法法则、积的乘方和幂的乘方的运算法则、完全平方公式解答即可．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（﹣m）7÷（﹣m）2＝（﹣m）5＝﹣m5，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（3a2b）2＝9a4b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了同底数幂的乘除、积的乘方和幂的乘方、完全平方公式．解题的关键是掌握同底数幂的乘除、积的乘方和幂的乘方的运算法则、以及完全平方公式．
6．（3分）下列条件能够判断两个三角形全等的是（ ）
A．两个三角形周长相等
B．两个三角形三个内角分别相等
C．两个三角形有两条边和其中一条边上的中线分别相等
D．两个三角形有两条边和一对角分别相等
【分析】根据全等三角形的判定方法，对选项逐个判断即可．
【解答】解：两个三角形周长相等，不能判断两个三角形全等，A选项不符合题意；
两个三角形三个内角分别相等，不能判断两个三角形全等，B选项不符合题意；
两个三角形有两条边和其中一条边上的中线分别相等，能够判断两个三角形全等，C选项符合题意；
两个三角形有两条边和一对角分别相等，不能判断两个三角形全等，D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
7．（3分）根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°
【分析】判断其是否为三角形，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形并不是唯一存在，可能有多种情况存在．
【解答】解：A、∵AC与BC两边之和大于第三边，∴能作出三角形，且三边知道能唯一画出△ABC；
B、∠B是AB，BC的夹角，故能唯一画出△ABC；
C、AB＝5，AC＝4，∠C＝90°，得出BC＝3，可唯一画出△ABC；
D、AB＝3，AC＝4，∠C＝45°，不能画出一个三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
8．（3分）如图所示，点A，B分别是∠NOF，∠MOF平分线上的点，AB⊥OF于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是（ ）
A．∠AOB＝90°
B．AD+BC＝AB
C．点O是CD的中点
D．图中与∠CBO互余的角有两个
【分析】A．根据角分线的定义，可证∠AOB＝90°；
B．根据角平分线上的点到角两边距离相等可证AD+BC＝AE+BE＝AB；
C．通过证明Rt△AOD≌Rt△AOE和Rt△BOC≌Rt△BOE可得OD＝OE＝OC；
D．通过同角或等角的余角相等，可证明与∠CBO互余的角有四个．由此可判断．
【解答】解：A．∵点A，B分别是∠NOF，∠MOF平分线上的点，
∴∠AOD=∠AOE=12∠DOE，∠BOC=∠BOE=12∠COE，
∴∠AOE+∠BOE=12∠DOE+12∠COE=12(∠DOE+∠COE)=12×180°=90°，
即∠AOB＝90°，故A正确；
B．∵AB⊥OF于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，
∴AE＝AD，BE＝BC，
∴AD+BC＝AE+BE＝AB，故B选项正确；
C．在Rt△AOD和Rt△AOE中，
AO=AOAD=AE，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），
∴OD＝OE，∠OAE＝∠OAD，
同理可证OC＝OE，
∴OC＝OD，即O为CD的中点，故C正确；
D．∵BC⊥MN于点C，
∴∠COB+∠CBO＝90°，
又∵∠BOC＝∠BOE，
∴∠BOE+∠CBO＝90°，
∵∠AOB＝90°，AB⊥OF于点E，
∴∠BOE+∠AOE＝90°，∠OAE+∠AOE＝90°，
∴∠BOE＝∠OAE＝∠OAD，
∴∠OAE+∠CBO＝90°，∠OAD+∠CBO＝90°，
所以与∠CBO互余的角有四个，分别为∠COB，∠BOE，∠OAE，∠OAD，D选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，同角或等角的余角相等，掌握性质并结合图进行判断是解决此题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）47×（0.25）7＝ 1 ．
【分析】根据积的乘方逆运算解答．
【解答】解：47×（0.25）7＝（4×0.25）7＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了整式的乘法公式—积的乘方，掌握计算公式及其逆运算是解题的关键．
10．（3分）若x2＝64，则x＝ ±8 ．
【分析】根据x2＝a，则x就是a的平方根，即可求解．
【解答】解：∵（±8）2＝64，
∴x＝±8．
故答案为：±8．
【点评】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
11．（3分）一个等腰三角形有一个角为80°，则它的顶角度数为 80°或20° ．
【分析】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
【解答】解：（1）当80°角为顶角，顶角度数即为80°；
（2）当80°为底角时，顶角＝180°﹣2×80°＝20°．
故答案为：80°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
12．（3分）为了解社会对宁强教育满意程度，某数学学习小组随机电话访问了200名评议代表，并对持有三种意见的人数进行统计，绘制出如图所示统计图，则对宁强教育非常满意的有 140 人．
【分析】根据扇形统计图，求得非常满意的百分比，即可求解．
【解答】解：由题意可得，对宁强教育非常满意占比1﹣10%﹣20%＝70%，
人数为：200×70%＝140（人）．
故答案为：140．
【点评】本题考查了扇形统计图的应用，掌握根据扇形统计图正确求得非常满意的人数百分比是关键．
13．（3分）如图，长方形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E为BC边上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则AE+EF的最小值为 15 ．
【分析】作F关于BC的对称点F'，连接AF'，交BC于点E，则AF'的长即为AE+EF的最小值．
【解答】解：作F关于BC的对称点F'，连接AF'，交BC于点E，则FE＝F'E，AF'的长即为AE+EF的最小值．
长方形ABCD中，AB＝6，F为CD的中点，
∴F′C＝FC=12CD=12AB＝3，
∴F'D＝CD+CF'＝6+3＝9，
∴A'F=AD2+F'D2=122+92=15，
即AE+EF的最小值为15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，正确的找出点E，F'的位置是解题的关键．
三、解答题（共12小题，计81分，解答应写出过程）
14．计算：
（1）-(512)6×(-4)5×(225)6×0．256；
（2）a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．
【分析】（1）逆用积的乘方和同底数幂的乘法，进行计算；
（2）先算同底数幂的乘法和积的乘方运算，再合并同类型即可．
【解答】解：（1）原式=-(512×225)6×(-4×0.25)5×0.25
＝﹣（1）6×（﹣1）5×0.25
＝﹣1×（﹣1）×0.25
＝0.25；
（2）原式＝﹣a8+24a8＝15a8．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握积的乘方和同底数幂的乘法法则是解题的关键．
15．先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x＝10．
【分析】按单项式乘以单项式法则和平方差公式化简，然后把给定的值代入求值．
【解答】解：原式＝x2﹣2x﹣x2+1＝﹣2x+1，
当x＝10时，原式＝﹣2×10+1＝﹣19．
【点评】考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法、单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点．
16．分解因式：
（1）2x3﹣8x；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝2x3﹣8x
＝2x（x2﹣4）
＝2x（x﹣2）（x+2）；
（2）原式＝（x2+1）2﹣4x2
＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）
＝（x+1）2（x﹣1）2．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．
17．已知：如图，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，问DF与BE平行吗？为什么？
【分析】由“SAS”可证△ADF≌△CBE，可得∠DFA＝∠BEC，可得结论．
【解答】解：DF∥BE，理由如下：
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
在△ADF和△CBE中，
AD=CB∠A=∠CAF=CE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠DFA＝∠BEC，
∴∠DFE＝∠BEF，
∴DF∥BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．已知线段a，h如图，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，BC边上的高为h．
【分析】作射线BD，然后截取BC＝a，分别以点B、C为圆心，以任意长为半径画弧，相交于两点E、F，作直线EF交BC于O，以O为圆心，以h为半径画弧，交EF于点A，连接AB、AC，即可得解．
【解答】解：如图，△ABC为所求作的图形．
【点评】本题考查了复杂作图作等腰三角形，主要利用了作一条线段等于已知线段，线段垂直平分线的作法，都是基本作图，需熟练掌握．
19．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，AB＝AC，求证：BD＝EC．
【分析】作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．
【解答】证明：作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BF﹣DF＝CF﹣EF
∴BD＝EC
【点评】考查了等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高与顶角的平分线三线合一．
20．在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：BE＝BF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．
【分析】（1）可根据“HL”判断Rt△ABE≌Rt△CBF，则可得到BE＝BF；
（2）由AB＝CB，∠ABC＝90°，可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠BAC＝∠BCA＝45°，可得到∠BAE＝15°，再根据Rt△ABE≌Rt△CBF得到∠BCF＝∠BAE＝15°，然后根据∠ACF＝∠BCF+∠BCA进行计算．
【解答】（1）证明：如图，∵∠ABC＝90°，∴在Rt△ABE和Rt△CBF中
AB=CBCF=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴BE＝BF；
（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝45°﹣30°＝15°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠BCA＝15°+45°＝60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
21．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC＝8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度．
【分析】根据题意设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长即可．
【解答】解：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，
在Rt△ABC中，BC＝8米，AB2+BC2＝AC2，
∴x2+82＝（x+2）2，
解得x＝15，
∴攀岩墙AB的高为15米．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形．
22．为了解我县八年级学生期末数学考试情况，在八年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A；B（72～95分）；C（60～71分）；D（0～59分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题．
（1）这次随机抽取的学生共有多少人？
（2）请补全条形统计图；
（3）这个学校八年级共有学生1200人，请估计这次八年级学生期末数学考试成绩为B级及以上的学生人数大约有多少？
【分析】（1）用D等级对应的数量除以对应的百分比即可得到总人数；
（2）用总人数减去其他几组的人数得到C组的人数后补全统计图即可；
（3）算出抽样中的B级及以上的学生占比再乘以总人数即可．
【解答】解：（1）这次随机抽取的学生共有：4÷10%＝40（人）；
（2）C组的人数为：40﹣5﹣20﹣4＝11（人），
补全统计图如下：
（3）这次八年级学生期末数学考试成绩为B级及以上的学生人数大约有：
（20+11+4）÷40×1200＝1050（人）．
【点评】本题主要考查条形统计图及扇形统计的数据处理及应用，能够熟练通过统计图得到所需数据是解题关键．
23．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1．请按要求画出格点三角形．
（1）在图1中画出一个等腰△ABC．
（2）在图2中画出一个Rt△ABD，且其三边都不与网格线重合．
【分析】（1）以AB为腰作一个等腰三角形即可；
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可；
（2）根据直角三角形的定义画出图形即可．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
24．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝35千米，BC＝5千米，则两个村庄的距离为 50 米；
（2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，现要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出AP的距离；
（3）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式x2+25+(9-x)2+49（其中0＜x＜9）最小值为 15 ．
【分析】（1）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到AD∥BC，AB∥CE，由平行线间的距离处处相等可得BC＝AE＝5千米，CE＝AB＝40千米，求出DE，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离；
（2）连接CD，作CD的垂直平分线交AB于P，根据线段垂直平分线的性质可得PC＝PD，点P即为所求；设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，分别在Rt△ADP和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出PD2和PC2，然后根据PC＝PD建立方程，解方程即可；
（3）如图3，AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝7，AB＝9，BC＝5，设BP＝x，则PC+PD=x2+25+(9-x)2+49，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可．
【解答】解：（1）如图1，连接CD，作CE⊥AD于点E，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD∥BC，AB∥CE，
∴BC＝AE＝5千米，CE＝AB＝40千米，
∴DE＝AD﹣AE＝35﹣5＝30千米，
∴CD=DE2+CE2=302+402=50（千米），
即两个村庄的距离为50千米，
故答案为：50；
（2）如图2，连接CD，作CD的垂直平分线交AB于P，点P即为所求，
设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，
在Rt△ADP中，PD2＝AP2+AD2＝x2+242，
在Rt△BPC中，PC2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162，
∵PC＝PD，
∴x2+242＝（40﹣x）2+162，
解得x＝16，
即AP的距离为16千米；
（3）如图3，AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝7，AB＝9，BC＝5，设BP＝x，
则PC+PD=x2+25+(9-x)2+49，
作点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作FE⊥DA于E，
则DF是PC+PD的最小值，即代数式x2+25+(9-x)2+49(0＜x＜9)的最小值，
∵AE＝BF＝5，EF＝AB＝9，DE＝DA+AE＝7+5＝12，
∴代数式x2+25+(9-x)2+49(0＜x＜9)最小值为：DF=DE2+EF2=122+92=15，
故答案为：15．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出Rt△DEF是解本题的难点．
25．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
填空：∠AEB的度数为 60° ；线段BE与AD之间的数量关系是 BE＝AD ．
（3）拓展探究
如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD＝CE．
（2）首先根据△ACB和△DCE均为等边三角形，可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∠CDE＝∠CED＝60°，据此判断出∠ACD＝∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为60°即可．
（3）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，据此判断出∠ACD＝∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°即可；最后根据DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，可得CM＝DM＝EM，所以DE＝DM+EM＝2CM，据此判断出AE＝BE+2CM即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝40°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE．
（2）解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE
∴△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD，∠ADC＝∠BEC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°，
综上，可得
∠AEB的度数为60°；线段BE与AD之间的数量关系是：BE＝AD．
故答案为：60°、BE＝AD．
（3）解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝180﹣45＝135°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135﹣45＝90°；
∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，
∴CM＝DM＝EM，
∴DE＝DM+EM＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点评】（1）此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
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2022-2023学年陕西省汉中市宁强县八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）9的值等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．5
2．（3分）图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3 B．a2+a3＝a6 C．2a•3a＝6a D．（a3）2＝a6
4．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形三条高所在直线一定相交于三角形内
B．一个数能被6整除，这个数也能被4整除
C．三角形的三个外角和等于180度
D．平方根等于它本身的数是0
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．（﹣m）7÷（﹣m）2＝﹣m5
C．（3a2b）2＝6a4b2 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
6．（3分）下列条件能够判断两个三角形全等的是（ ）
A．两个三角形周长相等
B．两个三角形三个内角分别相等
C．两个三角形有两条边和其中一条边上的中线分别相等
D．两个三角形有两条边和一对角分别相等
7．（3分）根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°
8．（3分）如图所示，点A，B分别是∠NOF，∠MOF平分线上的点，AB⊥OF于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是（ ）
A．∠AOB＝90°
B．AD+BC＝AB
C．点O是CD的中点
D．图中与∠CBO互余的角有两个
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）47×（0.25）7＝ ．
10．（3分）若x2＝64，则x＝ ．
11．（3分）一个等腰三角形有一个角为80°，则它的顶角度数为 ．
12．（3分）为了解社会对宁强教育满意程度，某数学学习小组随机电话访问了200名评议代表，并对持有三种意见的人数进行统计，绘制出如图所示统计图，则对宁强教育非常满意的有 人．
13．（3分）如图，长方形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E为BC边上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则AE+EF的最小值为 ．
三、解答题（共12小题，计81分，解答应写出过程）
14．计算：
（1）-(512)6×(-4)5×(225)6×0．256；
（2）a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．
15．先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x＝10．
16．分解因式：
（1）2x3﹣8x；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
17．已知：如图，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，问DF与BE平行吗？为什么？
18．已知线段a，h如图，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，BC边上的高为h．
19．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，AB＝AC，求证：BD＝EC．
20．在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：BE＝BF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．
21．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC＝8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度．
22．为了解我县八年级学生期末数学考试情况，在八年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A；B（72～95分）；C（60～71分）；D（0～59分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题．
（1）这次随机抽取的学生共有多少人？
（2）请补全条形统计图；
（3）这个学校八年级共有学生1200人，请估计这次八年级学生期末数学考试成绩为B级及以上的学生人数大约有多少？
23．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1．请按要求画出格点三角形．
（1）在图1中画出一个等腰△ABC．
（2）在图2中画出一个Rt△ABD，且其三边都不与网格线重合．
24．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝35千米，BC＝5千米，则两个村庄的距离为 米；
（2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，现要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出AP的距离；
（3）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式x2+25+(9-x)2+49（其中0＜x＜9）最小值为 ．
25．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
填空：∠AEB的度数为 ；线段BE与AD之间的数量关系是 ．
（3）拓展探究
如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
2022-2023学年陕西省汉中市宁强县八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）9的值等于（ ）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．5
【分析】根据算术平方根定义解答．
【解答】解：∵32＝9，
∴9=3，
故选：A．
【点评】此题考查了算术平方根的定义：若一个正数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键．
2．（3分）图中字母所代表的正方形的面积为175的选项为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，而边长的平方恰是正方形的面积，从而根据选项提供的面积即可得出答案．
【解答】解：由勾股定理得：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，
A、A代表的正方形的面积为400﹣225＝175；
B、B代表的正方形的面积为400+225＝625；
C、C代表的正方形的面积为256﹣112＝144；
D、D代表的正方形的面积为400﹣120＝280．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理，仔细观察选项所给图形的特点，利用勾股定理进行解答是关键．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a+2a2＝3a3 B．a2+a3＝a6 C．2a•3a＝6a D．（a3）2＝a6
【分析】根据合并同类项，单项式的乘法，幂的乘方，对选项逐个求解即可．
【解答】解：a+2a2＝a+2a2，A选项错误，不符合题意；
a2+a3＝a2+a3，B选项错误，不符合题意；
2a⋅3a＝6a2，C选项错误，不符合题意；
（a3）2＝a6，D选项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项，单项式的乘法，幂的乘方，掌握相关运算法则是关键．
4．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．三角形三条高所在直线一定相交于三角形内
B．一个数能被6整除，这个数也能被4整除
C．三角形的三个外角和等于180度
D．平方根等于它本身的数是0
【分析】根据三角形的高，三角形外角，整除的性质，平方根的性质，对选项逐个判断即可．
【解答】解：三角形三条高所在直线一定相交于三角形内，说法错误，为假命题，A选项不符合题意；
一个数能被6整除，这个数也能被4整除，说法错误，比如18能被6整除，但不能被4整除，为假命题，B选项不符合题意；
三角形的三个外角和等于360度，说法错误，为假命题，C选项不符合题意；
平方根等于它本身的数是0，说法正确，为真命题，D选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了三角形的高，三角形外角，整除的性质，平方根的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．（﹣m）7÷（﹣m）2＝﹣m5
C．（3a2b）2＝6a4b2 D．（a﹣2）2＝a2﹣4
【分析】根据同底数幂的除法法则、积的乘方和幂的乘方的运算法则、完全平方公式解答即可．
【解答】解：A、a6÷a3＝a3，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、（﹣m）7÷（﹣m）2＝（﹣m）5＝﹣m5，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（3a2b）2＝9a4b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了同底数幂的乘除、积的乘方和幂的乘方、完全平方公式．解题的关键是掌握同底数幂的乘除、积的乘方和幂的乘方的运算法则、以及完全平方公式．
6．（3分）下列条件能够判断两个三角形全等的是（ ）
A．两个三角形周长相等
B．两个三角形三个内角分别相等
C．两个三角形有两条边和其中一条边上的中线分别相等
D．两个三角形有两条边和一对角分别相等
【分析】根据全等三角形的判定方法，对选项逐个判断即可．
【解答】解：两个三角形周长相等，不能判断两个三角形全等，A选项不符合题意；
两个三角形三个内角分别相等，不能判断两个三角形全等，B选项不符合题意；
两个三角形有两条边和其中一条边上的中线分别相等，能够判断两个三角形全等，C选项符合题意；
两个三角形有两条边和一对角分别相等，不能判断两个三角形全等，D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．
7．（3分）根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°
C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°
【分析】判断其是否为三角形，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，两边夹一角，或两角夹一边可确定三角形的形状，否则三角形并不是唯一存在，可能有多种情况存在．
【解答】解：A、∵AC与BC两边之和大于第三边，∴能作出三角形，且三边知道能唯一画出△ABC；
B、∠B是AB，BC的夹角，故能唯一画出△ABC；
C、AB＝5，AC＝4，∠C＝90°，得出BC＝3，可唯一画出△ABC；
D、AB＝3，AC＝4，∠C＝45°，不能画出一个三角形．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
8．（3分）如图所示，点A，B分别是∠NOF，∠MOF平分线上的点，AB⊥OF于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是（ ）
A．∠AOB＝90°
B．AD+BC＝AB
C．点O是CD的中点
D．图中与∠CBO互余的角有两个
【分析】A．根据角分线的定义，可证∠AOB＝90°；
B．根据角平分线上的点到角两边距离相等可证AD+BC＝AE+BE＝AB；
C．通过证明Rt△AOD≌Rt△AOE和Rt△BOC≌Rt△BOE可得OD＝OE＝OC；
D．通过同角或等角的余角相等，可证明与∠CBO互余的角有四个．由此可判断．
【解答】解：A．∵点A，B分别是∠NOF，∠MOF平分线上的点，
∴∠AOD=∠AOE=12∠DOE，∠BOC=∠BOE=12∠COE，
∴∠AOE+∠BOE=12∠DOE+12∠COE=12(∠DOE+∠COE)=12×180°=90°，
即∠AOB＝90°，故A正确；
B．∵AB⊥OF于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，
∴AE＝AD，BE＝BC，
∴AD+BC＝AE+BE＝AB，故B选项正确；
C．在Rt△AOD和Rt△AOE中，
AO=AOAD=AE，
∴Rt△AOD≌Rt△AOE（HL），
∴OD＝OE，∠OAE＝∠OAD，
同理可证OC＝OE，
∴OC＝OD，即O为CD的中点，故C正确；
D．∵BC⊥MN于点C，
∴∠COB+∠CBO＝90°，
又∵∠BOC＝∠BOE，
∴∠BOE+∠CBO＝90°，
∵∠AOB＝90°，AB⊥OF于点E，
∴∠BOE+∠AOE＝90°，∠OAE+∠AOE＝90°，
∴∠BOE＝∠OAE＝∠OAD，
∴∠OAE+∠CBO＝90°，∠OAD+∠CBO＝90°，
所以与∠CBO互余的角有四个，分别为∠COB，∠BOE，∠OAE，∠OAD，D选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，同角或等角的余角相等，掌握性质并结合图进行判断是解决此题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
9．（3分）47×（0.25）7＝ 1 ．
【分析】根据积的乘方逆运算解答．
【解答】解：47×（0.25）7＝（4×0.25）7＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了整式的乘法公式—积的乘方，掌握计算公式及其逆运算是解题的关键．
10．（3分）若x2＝64，则x＝ ±8 ．
【分析】根据x2＝a，则x就是a的平方根，即可求解．
【解答】解：∵（±8）2＝64，
∴x＝±8．
故答案为：±8．
【点评】本题考查了平方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
11．（3分）一个等腰三角形有一个角为80°，则它的顶角度数为 80°或20° ．
【分析】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．
【解答】解：（1）当80°角为顶角，顶角度数即为80°；
（2）当80°为底角时，顶角＝180°﹣2×80°＝20°．
故答案为：80°或20°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于基础题，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
12．（3分）为了解社会对宁强教育满意程度，某数学学习小组随机电话访问了200名评议代表，并对持有三种意见的人数进行统计，绘制出如图所示统计图，则对宁强教育非常满意的有 140 人．
【分析】根据扇形统计图，求得非常满意的百分比，即可求解．
【解答】解：由题意可得，对宁强教育非常满意占比1﹣10%﹣20%＝70%，
人数为：200×70%＝140（人）．
故答案为：140．
【点评】本题考查了扇形统计图的应用，掌握根据扇形统计图正确求得非常满意的人数百分比是关键．
13．（3分）如图，长方形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E为BC边上的动点，F为CD的中点，连接AE，EF，则AE+EF的最小值为 15 ．
【分析】作F关于BC的对称点F'，连接AF'，交BC于点E，则AF'的长即为AE+EF的最小值．
【解答】解：作F关于BC的对称点F'，连接AF'，交BC于点E，则FE＝F'E，AF'的长即为AE+EF的最小值．
长方形ABCD中，AB＝6，F为CD的中点，
∴F′C＝FC=12CD=12AB＝3，
∴F'D＝CD+CF'＝6+3＝9，
∴A'F=AD2+F'D2=122+92=15，
即AE+EF的最小值为15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，矩形的性质，正确的找出点E，F'的位置是解题的关键．
三、解答题（共12小题，计81分，解答应写出过程）
14．计算：
（1）-(512)6×(-4)5×(225)6×0．256；
（2）a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．
【分析】（1）逆用积的乘方和同底数幂的乘法，进行计算；
（2）先算同底数幂的乘法和积的乘方运算，再合并同类型即可．
【解答】解：（1）原式=-(512×225)6×(-4×0.25)5×0.25
＝﹣（1）6×（﹣1）5×0.25
＝﹣1×（﹣1）×0.25
＝0.25；
（2）原式＝﹣a8+24a8＝15a8．
【点评】本题考查了整式的运算，掌握积的乘方和同底数幂的乘法法则是解题的关键．
15．先化简，再求值：x（x﹣2）﹣（x+1）（x﹣1），其中x＝10．
【分析】按单项式乘以单项式法则和平方差公式化简，然后把给定的值代入求值．
【解答】解：原式＝x2﹣2x﹣x2+1＝﹣2x+1，
当x＝10时，原式＝﹣2×10+1＝﹣19．
【点评】考查的是整式的混合运算，主要考查了公式法、单项式与多项式相乘以及合并同类项的知识点．
16．分解因式：
（1）2x3﹣8x；
（2）（x2+1）2﹣4x2．
【分析】（1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝2x3﹣8x
＝2x（x2﹣4）
＝2x（x﹣2）（x+2）；
（2）原式＝（x2+1）2﹣4x2
＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）
＝（x+1）2（x﹣1）2．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提公因式法和公式法是解决本题的关键．
17．已知：如图，AE＝CF，AD∥BC，AD＝CB，问DF与BE平行吗？为什么？
【分析】由“SAS”可证△ADF≌△CBE，可得∠DFA＝∠BEC，可得结论．
【解答】解：DF∥BE，理由如下：
∵AE＝CF，
∴AF＝CE，
∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
在△ADF和△CBE中，
AD=CB∠A=∠CAF=CE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠DFA＝∠BEC，
∴∠DFE＝∠BEF，
∴DF∥BE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
18．已知线段a，h如图，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，BC边上的高为h．
【分析】作射线BD，然后截取BC＝a，分别以点B、C为圆心，以任意长为半径画弧，相交于两点E、F，作直线EF交BC于O，以O为圆心，以h为半径画弧，交EF于点A，连接AB、AC，即可得解．
【解答】解：如图，△ABC为所求作的图形．
【点评】本题考查了复杂作图作等腰三角形，主要利用了作一条线段等于已知线段，线段垂直平分线的作法，都是基本作图，需熟练掌握．
19．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，AB＝AC，求证：BD＝EC．
【分析】作AF⊥BC于点F，利用等腰三角形三线合一的性质得到BF＝CF，DF＝EF，相减后即可得到正确的结论．
【解答】证明：作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴BF＝CF，DF＝EF，
∴BF﹣DF＝CF﹣EF
∴BD＝EC
【点评】考查了等腰三角形的性质，等腰三角形底边上的中线、底边上的高与顶角的平分线三线合一．
20．在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF．
（1）求证：BE＝BF；
（2）若∠CAE＝30°，求∠ACF度数．
【分析】（1）可根据“HL”判断Rt△ABE≌Rt△CBF，则可得到BE＝BF；
（2）由AB＝CB，∠ABC＝90°，可判断△ABC为等腰直角三角形，则∠BAC＝∠BCA＝45°，可得到∠BAE＝15°，再根据Rt△ABE≌Rt△CBF得到∠BCF＝∠BAE＝15°，然后根据∠ACF＝∠BCF+∠BCA进行计算．
【解答】（1）证明：如图，∵∠ABC＝90°，∴在Rt△ABE和Rt△CBF中
AB=CBCF=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），
∴BE＝BF；
（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CAE＝30°，
∴∠BAE＝45°﹣30°＝15°，
∵Rt△ABE≌Rt△CBF，
∴∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴∠ACF＝∠BCF+∠BCA＝15°+45°＝60°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
21．如图，某校攀岩墙AB的顶部A处安装了一根安全绳AC，让它垂到地面时比墙高多出了2米，教练把绳子的下端C拉开8米后，发现其下端刚好接触地面（即BC＝8米），AB⊥BC，求攀岩墙AB的高度．
【分析】根据题意设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，再利用勾股定理即可求得AB的长即可．
【解答】解：设攀岩墙的高AB为x米，则绳子AC的长为（x+2）米，
在Rt△ABC中，BC＝8米，AB2+BC2＝AC2，
∴x2+82＝（x+2）2，
解得x＝15，
∴攀岩墙AB的高为15米．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形．
22．为了解我县八年级学生期末数学考试情况，在八年级随机抽取了一部分学生的期末数学成绩为样本，分为A；B（72～95分）；C（60～71分）；D（0～59分）四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下统计图，请你根据统计图解答以下问题．
（1）这次随机抽取的学生共有多少人？
（2）请补全条形统计图；
（3）这个学校八年级共有学生1200人，请估计这次八年级学生期末数学考试成绩为B级及以上的学生人数大约有多少？
【分析】（1）用D等级对应的数量除以对应的百分比即可得到总人数；
（2）用总人数减去其他几组的人数得到C组的人数后补全统计图即可；
（3）算出抽样中的B级及以上的学生占比再乘以总人数即可．
【解答】解：（1）这次随机抽取的学生共有：4÷10%＝40（人）；
（2）C组的人数为：40﹣5﹣20﹣4＝11（人），
补全统计图如下：
（3）这次八年级学生期末数学考试成绩为B级及以上的学生人数大约有：
（20+11+4）÷40×1200＝1050（人）．
【点评】本题主要考查条形统计图及扇形统计的数据处理及应用，能够熟练通过统计图得到所需数据是解题关键．
23．在下列网格中，每个小正方形的边长均为1．请按要求画出格点三角形．
（1）在图1中画出一个等腰△ABC．
（2）在图2中画出一个Rt△ABD，且其三边都不与网格线重合．
【分析】（1）以AB为腰作一个等腰三角形即可；
（2）利用数形结合的思想解决问题即可．
【解答】解：（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可；
（2）根据直角三角形的定义画出图形即可．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
24．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
（1）如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝35千米，BC＝5千米，则两个村庄的距离为 50 米；
（2）在（1）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，现要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出AP的距离；
（3）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式x2+25+(9-x)2+49（其中0＜x＜9）最小值为 15 ．
【分析】（1）连接CD，作CE⊥AD于点E，根据AD⊥AB，BC⊥AB得到AD∥BC，AB∥CE，由平行线间的距离处处相等可得BC＝AE＝5千米，CE＝AB＝40千米，求出DE，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离；
（2）连接CD，作CD的垂直平分线交AB于P，根据线段垂直平分线的性质可得PC＝PD，点P即为所求；设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，分别在Rt△ADP和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出PD2和PC2，然后根据PC＝PD建立方程，解方程即可；
（3）如图3，AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝7，AB＝9，BC＝5，设BP＝x，则PC+PD=x2+25+(9-x)2+49，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可．
【解答】解：（1）如图1，连接CD，作CE⊥AD于点E，
∵AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD∥BC，AB∥CE，
∴BC＝AE＝5千米，CE＝AB＝40千米，
∴DE＝AD﹣AE＝35﹣5＝30千米，
∴CD=DE2+CE2=302+402=50（千米），
即两个村庄的距离为50千米，
故答案为：50；
（2）如图2，连接CD，作CD的垂直平分线交AB于P，点P即为所求，
设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米，
在Rt△ADP中，PD2＝AP2+AD2＝x2+242，
在Rt△BPC中，PC2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162，
∵PC＝PD，
∴x2+242＝（40﹣x）2+162，
解得x＝16，
即AP的距离为16千米；
（3）如图3，AD⊥AB，BC⊥AB，AD＝7，AB＝9，BC＝5，设BP＝x，
则PC+PD=x2+25+(9-x)2+49，
作点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作FE⊥DA于E，
则DF是PC+PD的最小值，即代数式x2+25+(9-x)2+49(0＜x＜9)的最小值，
∵AE＝BF＝5，EF＝AB＝9，DE＝DA+AE＝7+5＝12，
∴代数式x2+25+(9-x)2+49(0＜x＜9)最小值为：DF=DE2+EF2=122+92=15，
故答案为：15．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出Rt△DEF是解本题的难点．
25．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE；
（2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
填空：∠AEB的度数为 60° ；线段BE与AD之间的数量关系是 BE＝AD ．
（3）拓展探究
如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，判断出△BAD≌△CAE，即可判断出BD＝CE．
（2）首先根据△ACB和△DCE均为等边三角形，可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∠CDE＝∠CED＝60°，据此判断出∠ACD＝∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为60°即可．
（3）首先根据△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，据此判断出∠ACD＝∠BCE；然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ACD≌△BCE，即可判断出BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，进而判断出∠AEB的度数为90°即可；最后根据DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，可得CM＝DM＝EM，所以DE＝DM+EM＝2CM，据此判断出AE＝BE+2CM即可．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝40°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE．
（2）解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE
∴△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD，∠ADC＝∠BEC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BEC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°，
综上，可得
∠AEB的度数为60°；线段BE与AD之间的数量关系是：BE＝AD．
故答案为：60°、BE＝AD．
（3）解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，
∴△ACD≌△BCE，
∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝180﹣45＝135°，
∴∠BEC＝135°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135﹣45＝90°；
∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE，
∴CM＝DM＝EM，
∴DE＝DM+EM＝2CM，
∴AE＝AD+DE＝BE+2CM．
【点评】（1）此题主要考查了全等三角形的判定方法和性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）此题还考查了等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．
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