2022-2023学年陕西省宝鸡市陇县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年陕西省宝鸡市陇县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.关于二次函数y=(x−1)2+5，下列说法正确的是( )
A. 函数图象的开口向下B. 函数图象的顶点坐标是(−1,5)
C. 该函数有最大值，最大值是5D. 当x>1时，y随x的增大而增大
3.如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在BC的延长线上，则旋转角的度数( )
A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°
4.在一个不透明的袋子中装有1个红色小球，1个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是( )
A. 12B. 23C. 34D. 14
5.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF=65°，则∠AOD为( )
A. 70°B. 65°C. 50°D. 45°
6.已知关于x的一元二次方程x2−mnx+m+n=0，其中m，n在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法确定
7.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD.若∠A=∠D，且AC=3，则AB的长度是( )
A. 3
B. 4
C. 3 3
D. 4 2
8.如图，已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(−1,0)，对称轴为直线x=1.则下列结论正确的有( )
①abc>0；
②2a+b=0；
③函数y=ax2+bx+c的最大值为−4a；
④若关于x的方程ax2+bx+c=a+1无实数根，则−15A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.方程3x2−2=5x的一次项系数是______ ．
10.平面直角坐标系内的点P(x,4)与点Q(−5,y)关于原点对称，则y−x= ______ ．
11.圆锥的底面半径为1cm，母线长为3cm，则它的侧面展开图的圆心角的度数等于______ ．
12.如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与⊙O交于点C，以点A为圆心、以OC的长为半径作EF，分别交AB，AC于点E，F.若OC=2，AB=4，则图中阴影部分的面积为 ．
13.已知函数y=mx2+3mx+m−1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题8分)
用指定的方法解方程．
(1)x2+4x−5=0(配方法)；
(2)2x2+8x−1=0(公式法)．
15.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3过点A(1,0)和B(2,−1)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．
16.(本小题8分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，OP⊥AC于点P，OP=2，求AC的长．
17.(本小题8分)
尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
已知△ABC，AB>AC，在所给的图形中分别作出△ABC的外接圆O和内切圆P．
18.(本小题8分)
李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．
19.(本小题8分)
已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D=30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
(1)求证：CA=CD；
(2)若AB=12，求线段BF的长．
20.(本小题8分)
有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg.现将这五个纸箱随机摆放．
(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______；
(2)若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
21.(本小题8分)
如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD=∠EOD．
(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；
(2)若FC=10，AC=6，求⊙O的半径．
22.(本小题8分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
(3)设点P是抛物线上的一个动点，是否存在满足S△PAB=6的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B.是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D.不是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形的概念求解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】D
【解析】解：y=(x−1)2+5中，
x2的系数为1，1>0，函数图象开口向上，A错误；
函数图象的顶点坐标是(1,5)，B错误；
函数图象开口向上，有最小值为5，C错误；
函数图象的对称轴为x=1，x<1时y随x的增大而减小；x>1时，y随x的增大而增大，D正确．
故选：D．
通过分析二次函数顶点式判断函数图象开口方向、顶点坐标、最值以及单调性即可求解．
本题考查了二次函数图象的基本知识和性质，熟练掌握二次函数图象是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：由旋转的性质可知，∠BAD的度数为旋转度数，AB=AD，∠ADE=∠B=40°，
在△ABD中，
∵AB=AD，
∴∠ADB=∠B=40°，
∴∠BAD=100°，
故选D．
由旋转的性质可知，旋转前后对应边相等，对应角相等，得出等腰三角形，再根据等腰三角形的性质求解．
本题主要考查了旋转的性质，找出旋转角和旋转前后的对应边得出等腰三角形是解答此题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的只有1种情况，
∴两次都摸到红球的概率是14，
故选：D．
画出树状图，共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的只有1种情况，利用概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率的知识．树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理和圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧是解此题的关键．
求出∠ABC的度数，求出AC的度数，根据垂径定理求出AC=AD，再求出答案即可．
【分析】
解：∵OF⊥BC，
∴∠BFO=90°．
∵∠BOF=65°，
∴∠B=90°−65°=25°，
∴AC的度数是2×25°=50°，
∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，
∴AC=AD，
∴AD的度数是50°，
∴∠AOD=50°．
故选C．
6.【答案】A
【解析】解：由数轴得m>0，n<0，m+n<0，
∴mn<0，
∴△=(mn)2−4(m+n)>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
先由数轴得出m，n与0的关系，再计算判别式的值即可判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△<0时，方程无实数根．
7.【答案】C
【解析】解：如图，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，
∴AB2=OA2−OB2，
∵OB和OD是半径，
∴∠D=∠OBD，
∵∠A=∠D，
∴∠A=∠D=∠OBD，
∴△OBD∽△BAD，AB=BD，
∴OD：BD=BD：AD，
∴BD2=OD⋅AD，
即OA2−OB2=OD⋅AD，
设OD=x，
∵AC=3，
∴AD=2x+3，OB=x，OA=x+3，
∴(x+3)2−x2=x(2x+3)，解得x=3(负值舍去)，
∴OA=6，OB=3，
∴AB2=OA2−OB2=27，
∴AB=3 3，
故选：C．
连接OB，则OB⊥AB，由勾股定理可知，AB2=OA2−OB2①，由OB和OD是半径，所以∠A=∠D=∠OBD，所以△OBD∽△BAD，AB=BD，可得BD2=OD⋅AD，所以OA2−OB2=OD⋅AD，设OD=x，则AD=2x+3，OB=x，OA=x+3，所以(x+3)2−x2=x(2x+3)，求出x的值，即可求出OA和OB的长，进而求得AB的长．
本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，得出△OBD∽△BAD是解题关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
①根据抛物线的开口方向与位置分别判断出a，b，c的正负，即可得结论；
②根据抛物线的对称轴判断即可；
③设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，可知当x=1时，y的值最大，最大值为−4a；
④根据③中的最大值以及二次函数与方程的关系即可得出答案．
本题考查二次函数的性质，二次函数与方程的关系，二次函数的最值等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【解答】
解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c>0，
∵−b2a>0，
∴b>0，
∴abc<0，故①错误；
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴−b2a=1，
∴2a+b=0，故②正确；
∵抛物线交x轴于点(−1,0)，由对称性可知抛物线与x轴的另一交点为(3,0)，
∴可设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3)，
∴当x=1时，y的值最大，最大值为a×(1+1)×(1−3)=−4a，故③正确；
∵关于x的方程ax2+bx+c=a+1无实数根，
∴由③可知，函数最大值为−4a，
∴a+1>−4a，解得a>−15，
又∵a<0，
∴−15综上，正确的结论有②③④共3个．
故选：C．
9.【答案】−5
【解析】解：3x2−2=5x，
化为一般式为：3x2−5x−2=0，
∴方程3x2−2=5x的一次项系数是−5，
故答案为：−5．
根据一元二次方程的概念，方程的解的概念以及配方法解一元二次方程的一般步骤对选项进行判断即可．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
10.【答案】−9
【解析】解：∵点P(x,4)与点Q(−5,y)关于原点对称，
∴x=5，y=−4，
∴y−x=−4−5=−9，
故答案为：−9．
根据题意得x=5，y=−4，将其代入y−x中进行计算即可得．
本题考查了原点对称，代数式求值，解题的关键是掌握原点对称，正确计算．
11.【答案】120°
【解析】解：设圆心角为n，底面半径是1，
则底面周长=2π=nπ×3180，
∴n=120°．
故答案为：120°．
利用圆周长公式和弧长公式求解．
考查圆锥的计算，掌握圆锥的底面周长等于它的侧面展开扇形的弧长是解题的关键．
12.【答案】4−π
【解析】【分析】
本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，熟练掌握切线的性质，以及扇形面积的计算是解题的关键．
连接OB，根据切线的性质可得∠OBA=90°，从而可得∠BOA+∠A=90°，根据题意可得OB=OC=AE=AF=2，然后利用阴影部分的面积=△AOB的面积−(扇形BOC的面积+扇形EAF的面积)，进行计算即可解答．
【解答】
解：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBA=90°，
∴∠BOA+∠A=90°，
由题意得：
OB=OC=AE=AF=2，
∴阴影部分的面积=△AOB的面积−(扇形BOC的面积+扇形EAF的面积)
=12AB⋅OB−90π×22360
=12×4×2−π
=4−π．
13.【答案】1或−54
【解析】解：∵函数y=mx2+3mx+m−1的图象与坐标轴恰有两个公共点，
①过坐标原点，m−1=0，m=1，
②与x、y轴各一个交点，
∴Δ=0，m≠0，
(3m)2−4m(m−1)=0，
解得m=0或m=−54，
综上所述：m的值为1或−54．
函数y=mx2+3mx+m−1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①过坐标原点，m−1=0，m=1，②与x、y轴各一个交点，得出Δ=0，m≠0．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，掌握函数的图象与坐标轴恰有两个公共点的情况，看清题意，分情况讨论是解题关键．
14.【答案】解：(1)x2+4x−5=0，
即x2+4x=5，
∴x2+4x+4=9，
即(x+2)2=3，
∴x+2=±3，
解得：x1=1，x2=−5；
(2)2x2+8x−1=0，
∵a=2，b=8，c=−1，Δ=b2−4ac=64+8=72，
∴x=−b± b2−4ac2a=−8±6 24，
解得：x1=−2+32 2,x2=−2−32 2．
【解析】(1)根据题意，用配方解一元二次方程即可求解．
(2)根据题意用公式法解一元二次方程即可求解．
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
15.【答案】解：(1)把点A(1,0)和B(2,−1)代入y=ax2+bx+3中，
得：0=a+b+3−1=4a+2b+3，
解得：a=1b=−4，
∴抛物线的解析式为y=x2−4x+3；
(2)∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴该抛物线的顶点为(2,−1)，
对称轴为直线x=2．
【解析】(1)利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
(2)利用配方将抛物线的一般式化成顶点式即可确定顶点和对称轴．
本题主要二次函数的图象与性质，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，能把抛物线的一般式转化成顶点式．
16.【答案】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵OP⊥AC，
∴AP=PC，∠AOP=12∠AOC=60°，
在Rt△AOP中，∠OAP=30°，OP=2，
∴OA=2OP=4，∴AP= OA2−OP2= 42−22=2 3，
∴AC=4 3．
【解析】根据圆周角定理得出∠AOC=120°，根据垂径定理以及勾股定理即可求解．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握性质定理是解题的关键．
17.【答案】解：如图1所示，作AB，BC的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，⊙O即为所求，

如图所示，分别作∠ACB，∠ABC的角平分线交于点P，过点P作PM⊥BC，以PM为半径P为圆心，作⊙P，则⊙P即为所求．

【解析】分别作△ABC的角平分线交点P，以及两边的垂直平分线的交点O，再作出△ABC的外接圆O和内切圆P，即可求解．
本题考查了作三角形的外接圆和内切圆，掌握基本作图是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为(40−x)cm，由题意，得
(x4)2+(40−x4)2=58，
解得：x1=12，x2=28，
当x=12时，较长的为40−12=28cm，
当x=28时，较长的为40−28=12<28(舍去)．
答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；
(2)李明的说法正确．理由如下：
设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为(40−m)cm，由题意，得
(m4)2+(40−m4)2=48，
变形为：m2−40m+416=0，
∵Δ=(−40)2−4×416=−64<0，
∴原方程无实数根，
∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．
【解析】(1)设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为(40−x)cm.就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于58cm2建立方程求出其解即可；
(2)设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为(40−m)cm.就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于48cm2建立方程，如果方程有解就说明李明的说法错误，否则正确．
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．
19.【答案】(1)证明：连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD=90°，
∵∠D=30°，
∴∠COD=90°−∠D=60°，
∴∠A=12∠COD=30°，
∴∠A=∠D=30°，
∴CA=CD；
(2)解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=30°，AB=12，
∴BC=12AB=6，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=12∠ACB=45°，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=90°，
∴BF=CF，
∴由勾股定理得，BF= 22BC=6× 22=3 2，
∴线段BF的长为3 2．
【解析】(1)连接OC，利用切线的性质可得∠OCD=90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠COD=60°，从而利用圆周角定理可得∠A=30°，最后根据等角对等边，即可解答；
(2)根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而利用(1)的结论可得BC=12AB=6，再利用角平分线的定义可得∠BCE=45°，然后在Rt△BCF中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】25
【解析】解：(1)若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是25，
故答案为：25；
(2)画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，
∴所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率为420=15．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】(1)证明：在△AOF和△EOF中，
OA=OE∠AOD=∠EODOF=OF，
∴△AOF≌△EOF(SAS)，
∴∠OAF=∠OEF，
∵BC与⊙O相切，
∴OE⊥FC，
∴∠OAF=∠OEF=90°，
即OA⊥AF，
∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线；
(2)解：在Rt△CAF中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，
∴AF= FC2−AC2=8，
∵BC与⊙O相切，AF是⊙O的切线，
∴∠OEC=∠FAC=∠90°，
∵∠OCE=∠FCA，
∴△OEC∽△FAC，
∴EOAF=COCF，
设⊙O的半径为r，则r8=6−r10，
解得r=83．
∴⊙O的半径为83．
【解析】(1)根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF=∠OEF=90°，即可得出结论；
(2)根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，即可求解．
本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)，代入得：
1−b+c=09+3b+c=0，
解得b=−2c=−3．
∴所求抛物线的解析式为y=x2−2x−3．
(2)由(1)知，抛物线的解析式为y=x2−2x−3，则C(0,−3)，
又y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴F(1,−4)．
设直线BC的解析式为y=kx−3(k≠0)，
把B(3,0)代入，得0=3k−3，
解得k=1，则该直线的解析式为y=x−3．
故当x=1时，y=−2，即E(1,−2)，
∴EF=|−4|−|−2|=2，
即EF=2．
(3)存在满足S△PAB=6的点P；理由如下：
设点P(x,y)，由题意得：
S△PAB=12×4|y|=6，
∴|y|=3，
解得：y=±3，
当y=−3时，x2−2x−3=−3，
解得：x1=0，x2=2，
当y=3时，x2−2x−3=3，
解得：x3=1− 7，x4=1+ 7，
综上所述，当点P的坐标分别为P1(0,−3)，P2(2,−3)，P3(1− 7,3)，P4(1+ 7,3)时，S△PAB=6．

【解析】(1)把点A、B的坐标分别代入函数解析式，待定系数法求解析式即可求解；
(2)结合抛物线的解析式得到点C、F的坐标，利用B、C的坐标可以求得直线BC的解析式，由一次函数图象上点的坐标特征和点的坐标与图形的性质进行解答即可；
(3)根据P点在抛物线上设出P点，然后再由S△PAB=6，从而求出P点坐标．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和待定系数法求一次函数以及一次函数图象上点的坐标特征，抛物线解析式的三种形式之间的转化，熟练掌握函数的性质是解答此题的关键．