专题4.1 数列的概念（B卷提升篇）

专题4.1数列的概念（B卷提升篇）（人教A版第二册,浙江专用）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分）

1．（2019·陕西省商丹高新学校期末（文））若数列的通项公式为，则（    ）

A．27 B．21 C．15 D．13

【答案】A

【解析】

因为，所以，

故选：A.

2．（2019·黑龙江哈师大青冈实验中学开学考试）在数列中，，（，），则

A． B． C．2 D．6

【答案】D

【解析】

，（，），，，则.

3.（2019·绥德中学高二月考）数列的通项公式，其前项和为，则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

根据三角函数的周期性可

，同理得，可知周期为4，

．

4．（2020·四川凉山·期末（文））德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半（即）；如果是奇数，则将它乘3加1（即），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．猜想的数列形式为：为正整数，当时，，则数列中必存在值为1的项．若，则的值为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

因为，，

所以，

，

，

，

，

故选：B

5．（2020·云南其他（理））数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘3加1．如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】D

【解析】

由题意知，，

由，得，，或．

①当时，，，或，或．

②若，则，或，

当时，，此时，或，

当时，，此时，或，

综上，满足条件的的值共有6个．

故选：D．

6．（2020·贵州威宁·）观察数列21，，，24，，，27，，，…，则该数列的第20项等于（    ）

A．230 B．20 C． D．

【答案】C

【解析】

观察数列得出规律，数列中的项中，

指数、真数、弧度数是按正整数顺序排列，

且指数、对数、余弦值以3为循环，

，

可得第20项为.

故选：C.

7．（2020·邵东县第一中学月考）已知数列满足：，且数列是递增数列，则实数a的取值范围是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

根据题意，an＝f(n)＝，n∈N*，要使{an}是递增数列，必有，据此有：，综上可得2<a<3.

本题选择D选项.

8．（2020·河北新华·石家庄新世纪外国语学校期中）已知数列的通项公式为（），若为单调递增数列，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由已知得，

因为为递增数列，所以有，即恒成立，

所以，所以只需，即，

所以，

故选：A.

9．（2020·邵东县第一中学期末）已知数列的前项和，且，，则数列的最小项为（        ）

A．第3项 B．第4项  C．第5项  D．第6项

【答案】A

【解析】

∵,

∴,则,即,

∴.

易知,

∵,

当时, ,

∴当时, ,

当时,,

又,

∴当时, 有最小值.

故选：A

10．（2020·浙江其他）已知数列满足，，，则（    ）

A．当时， B．当时，

C．当时， D．当时，

【答案】C

【解析】

因为，所以递增，从而，

当时，，

所以，排除A.

当时，因为，

所以，

所以，

所以，

从而，故有.

故选：C.

第Ⅱ卷（非选择题）

二．填空题（共7小题，单空每小题4分，两空每小题6分，共36分）

11．（2020·上海市七宝中学期末）已知数列的前项和为，，，则________.

【答案】

【解析】

由得，

所以数列以为周期，

又，，

所以.

故答案为：.

12.（2020·云南昆明·高二期末（理））数列中，已知，，若，则数列的前6项和为______．

【答案】32

【解析】

∵数列中，，，，

∴，，

，，

，，

解得，

∴数列的前6项和为：

，

故答案为：32.

13．（2020·潜江市文昌高级中学期末）观察下列数表：

设1025是该表第m行的第n个数，则______.

【答案】12

【解析】

根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9、…都是连续奇数，

第一行1个数；

第二行 个数，且第一个数是；

第三行 个数，且第一个数是；

第四行 个数，且第一个数是；

…

第10行有个数，且第一个数是，第二个数是1025，

所以1025是该表第10行的第2个数，所以，，则

故答案为：12.

14．（2018·浙江温州·高一期中）已知数列对任意的满足，且，则_______，_______.

【答案】       

【解析】

由题意，根据条件得，则，而，所以，…，由此可知，从而问题可得解.

15．（2020·浙江省高一期末）设数列的前n项和为，满足，则_________；_________.

【答案】    ；   

【解析】

（1）
当时，，解得.
（2）当时

，

令可得，，即，
令可得，,
解得：，
则.

16．（2020·安徽省六安一中高三其他（文））已知在数列中，且，设，，则________，数列前n项和________．

【答案】       

【解析】

，

为常数列，

，，适合上式．

∴，，

，

∴．

故答案为：；．

17．（2020·湖南开福·周南中学二模（理））已知数列{}对任意的n∈N*，都有∈N*，且=

①当=8时，_______

②若存在m∈N*，当n>m且为奇数时，恒为常数P，则P=_______

【答案】       

【解析】

，则

故从第二项开始形成周期为的数列，故

当为奇数时，为偶数，故

若为奇数，则，故，不满足；

若为偶数，则，直到为奇数，即

故，当时满足条件，此时，即

故答案为：①；②

三．解答题（共5小题，满分64分，18--20每小题12分，21,22每小题14分）

18．（2017·山东省单县第五中学高二月考（文））数列的通项，试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由.

【答案】最大项为

【解析】

设是该数列的最大项，则

∴

解得

∵，

∴，

∴最大项为

点睛：求数列最大项或最小项的方法

（1）可以利用不等式组找到数列的最大项；利用不等式找到数列的最小项．

（2）从函数的角度认识数列，注意数列的函数特征，利用函数的方法研究数列的最大项或最小项．

19．（2020·黑龙江龙凤·大庆四中月考（文））数列满足：，.

（1）求的通项公式；

（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数.

【答案】（1）；（2）10.

【解析】

（1）∵．

n=1时，可得a1＝4，

n≥2时，．

与．

两式相减可得＝（2n﹣1）+1=2n，

∴．n=1时，也满足，∴.

（2）=

∴Sn，又，可得n>9，

可得最小正整数n为10．

20．（2020·上海市七宝中学期中）数列满足，且，.规定的通项公式只能用的形式表示.

（1）求的值；

（2）证明3为数列的一个周期，并用正整数表示；

（3）求的通项公式.

【答案】（1）（2）证明见解析；.（3）

【解析】

（1）当a1＝1，a2＝2，a1a2a3＝a1+a2+a3，解得a3＝3；

（2）当n＝2时，6a4＝2+3+a4，解得a4＝1，

当n＝3时，3a5＝1+3+a5，解得a5＝2，

…，

可得an+3＝an，当a1＝1，a2＝2，a3＝3；

故3为数列{an}的一个周期，

则＝3，k∈N*，则；

（3）由（2）可得an＝Asin（n+φ）+c，

则1＝Asin（+φ）+c，2＝﹣Asin（+φ）+c，3＝Asinφ+c，

即1＝A•cosφ﹣A•sinφ+c，①

2＝﹣A•cosφ﹣A•sinφ+c，②

由①+②，可得3＝﹣Asinφ+2c，

∴c＝2，Asinφ＝1，

①﹣②，可得﹣1＝A•cosφ，

则tanφ＝﹣，

∵|φ|＜，

∴φ＝﹣，

∴A＝﹣，

故．

21．（2020·湖北宜昌·其他（文））数列中，，.

（1）求，的值；

（2）已知数列的通项公式是，，中的一个，设数列的前项和为，的前项和为，若，求的取值范围．

【答案】（1），（2），且是正整数

【解析】

（1）∵，

∴

∴

（2）由数列的通项公式是，，中的一个，和得数列的通项公式是

由可得

∴

∴

∵，

∴

即

由，得，解得或

∵是正整数，

∴所求的取值范围为，且是正整数

22．（2020·上海市七宝中学期末）已知数列满足，，数列可以是无穷数列，也可以是有穷数列，如取时，可得无穷数列：1，2，，，...；取时，可得有穷数列：，，0.

（1）若，求的值；

（2）若对任意，恒成立.求实数的取值范围；

（3）设数列满足，，求证：取数列中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列.

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）由得，

∴，，，；

（2）若，则，，

即，故只要即可，

因为，所以，∴，解得；

（3）由得，

设，，则

，，，

故有项，为有穷数列.

即取数列中的任何一个数，都可以得到一个有穷数列.