必刷卷04-2020-2021学年高一数学下学期期中仿真必刷模拟卷（北师大版2019）

2020-2021学年高一下学期数学期中仿真必刷模拟卷【北师大版2019】

期中检测卷04

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.函数f（x）＝sinx+cosx在区间[0，π]上的单调递增区间是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将函数f（x）＝sinx+cosx化为两角和与差的正弦函数，即可求解函数f（x）的一个单调递增区间．

【解答】解：∵函数y＝sinx+cosx＝（sinx+cosx）＝sin（x+）．

由﹣+2kπ≤x+≤2kπ+（k∈Z），

解得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，

k＝0时，0≤x≤；

故选：C．

【知识点】正弦函数的单调性、两角和与差的三角函数

2.设D为△ABC所在平面内一点，＝2，M为AD的中点，则＝（　　）

A．﹣ B．﹣ C．+ D．+

【答案】A

【分析】根据条件可画出图形，由可得出，由M为AD的中点可得出，然后进行向量的数乘运算即可．

【解答】解：如图，∵，∴，

又M为AD的中点，

∴＝＝．

故选：A．

【知识点】向量数乘和线性运算

3.在△ABC中，已知A＝60°，a＝，b＝，则B等于（　　）

A．45°或135° B．60° C．45° D．135°

【答案】C

【分析】由正弦定理求出sinB＝＝＝．从而由0＜B＜π即可得到B＝45°或135°，又由a＝＞b＝，可得B＜A，从而有B，可得B＝45°．

【解答】解：由正弦定理知：sinB＝＝＝．

∵0＜B＜π

∴B＝45°或135°

又∵a＝＞b＝，∴B＜A，∴B

∴B＝45°

故选：C．

【知识点】正弦定理

4.已知α，β∈（0，），tanα＝，则α﹣β＝（　　）

A． B． C． D．π

【答案】B

【分析】利用三角函数的和数关系与商数关系，可以将tanα＝化简为tan（β+），即可求解．

【解答】解：由tanα＝＝＝＝＝tan（β+），

∵α，β∈（0，），

∴；

∴．

故选：B．

【知识点】两角和与差的三角函数

5.对任意x∈R，不等式恒成立，则sin（a+b）和sin（a﹣b）分别等于（　　）

A．； B．； C．； D．；．

【答案】B

【分析】根据不等式恒成立得到cos（ax+b）＝﹣sin（πx+），然后利用三角函数的诱导公式进行转化建立方程进行求解即可．

【解答】解：要使恒成立，

则必有cos（ax+b）＝﹣sin（πx+）＝cos（+πx+）＝cos（πx+），

则a＝π，b＝+2kπ，

则sin（a+b）＝sin（π++2kπ）＝﹣sin＝﹣，

sin（a﹣b）＝sin（π﹣﹣2kπ）＝sin＝，

故选：B．

【知识点】两角和与差的三角函数

6.如图，A，B两点为山脚下两处水平地面上的观测点，在A，B两处观察点观察山顶点P的仰角分别为α，β，若，β＝45°，且观察点A，B之间的距离比山的高度多100米，则山的高度为（　　）

A．100米 B．110米 C．120米 D．130米

【答案】A

【分析】设山的高度为x米，利用三角形的边角关系列方程，即可求出x的值．

【解答】解：设山的高度为x米，如图所示，

由β＝45°，PC＝BC＝x；

在Rt△APC中，，

又AB＝AC﹣BC＝3x﹣x＝2x，

由观察点A，B之间的距离比山的高度多100米，

即AB﹣PC＝2x﹣x＝x＝100．

所以山项的高度为100米．

故选：A．

【知识点】解三角形

7.函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴 

B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈Z 

C．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈Z 

D．f（x）的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z

【答案】C

【分析】由f（0）＝1，可求得φ值，由五点法作图可求得ω值，从而可得f（x）的解析式，由三角函数的图象与性质逐一判断即可得结论．

【解答】解：由图可得f（0）＝1，即2sinφ＝1，可得sinφ＝，

又|φ|＜，∴φ＝，

由五点法作图可得ω+＝，解得ω＝，

∴f（x）＝2sin（x+），

当x＝﹣时，f（﹣）＝2sin[×（﹣）+]＝0，

故x＝﹣不是f（x）图象的对称轴，故A错误；

令x+＝kπ，k∈Z，可得x＝2kπ﹣，k∈Z，

故f（x）图象的对称中心为（2kπ﹣，0），k∈Z，故B错误；

由f（x）≥1，得2sin（x+）≥1，即sin（x+）≥，

即2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，

解得4kπ≤x≤4kπ+，k∈Z，

故f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈Z，故C正确；

令2kπ+≤x+≤2kπ+，k∈Z，

解得4kπ+≤x≤4kπ+，k∈Z，

即f（x）的单调递减区间为[4kπ+，4kπ+]，k∈Z，故D错误．

故选：C．

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式、正弦函数的奇偶性和对称性

8.如图所示，在△ABC中，D、E分别为线段BC、AC上的两点，且|BD|＝|DC|，，，则λ+μ的值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由向量的线性运算可得＝+，可得＝a＝a+a，又A，M，D三点共线，则存在b∈R，使得＝b+（1﹣b），则可建立关于a，b的方程组，即可求得a值，从而可得λ，μ，进而得解．

【解答】解：因为|BD|＝|DC|，，

所以＝，＝，

所以＝+＝+＝（+）+＝+，

所以＝a＝a+a，

又A，M，D三点共线，则存在b∈R，使得＝b+（1﹣b）＝b+，

所以，解得，

所以＝+，

因为，

所以由平面向量基本定理可得λ＝，μ＝，

所以λ+μ＝．

故选：C．

【知识点】平面向量的基本定理、向量数乘和线性运算

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的；错选或多选不得分。

9.已知函数f（x）＝（asinx+cosx）cosx﹣的图象的一条对称轴为x＝，则下列结论中正确的是（　　）

A．f（x）是最小正周期为π的奇函数 

B．（﹣，0）是f（x）图象的一个对称中心 

C．f（x）在[﹣，]上单调递增 

D．先将函数y＝2sin2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的，然后把所得函数图象再向左平移个单位长度，即可得到函数f（x）的图象

【答案】BD

【分析】化简函数f（x），根据f（x）图象的一条对称轴为x＝得f（0）＝f（），求出a的值，得出f（x）的解析式；再判断选项中的命题是否正确．

【解答】解：函数f（x）＝（asinx+cosx）cosx﹣

＝asinxcosx+cos2x﹣

＝asin2x+cos2x，

又f（x）图象的一条对称轴为x＝，

所以f（0）＝f（），

即＝a×+×（﹣），

解得a＝，

所以f（x）＝sin2x+cos2x＝sin（2x+）；

所以f（x）的最小正周期为π，但不是奇函数，A错误；

f（﹣）＝sin（﹣+）＝f（﹣π）＝0，所以（﹣，0）是f（x）图象的一个对称中心，B正确；

x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，所以f（x）在[﹣，]上不是单调函数，C错误；

将函数y＝2sin2x图象上各点的纵坐标缩短为原来的，得y＝sin2x的图象；

再把所得函数图象向左平移个单位长度，得y＝sin2（x+）＝sin（2x+）的图象，

即函数f（x）的图象，所以D正确．

故选：BD．

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换、正弦函数的奇偶性和对称性、两角和与差的三角函数

10.已知，是两个单位向量，λ∈R时，|+λ|的最小值为，则下列结论正确的是（　　）

A．，的夹角是 

B．，的夹角是或 

C．+|＝1或 

D．+＝1或

【答案】BC

【分析】根据条件知，的最小值为，这样即可求出的夹角为或，从而求出的值．

【解答】解：∵，是两个单位向量，且的最小值为，

∴的最小值为，

∴＝，

∴与的夹角为或，

∴或3，

∴或．

故选：BC．

【知识点】数量积表示两个向量的夹角

11.已知函数f（x）＝sinωx﹣cosωx（0＜ω＜4）满足f（x+π）＝f（x），其图象向左平移m个单位后，所得图象对应的函数y＝g（x）在[﹣，]上单调递增，则下列判断正确的是（　　）

A．ω＝1 

B．函数f（x）的图象关于直线x＝﹣对称 

C．正整数m的值可以为7 

D．正整数m的最小值为6

【答案】BC

【分析】根据题意求出函数f（x）的解析式，判断选项A错误、B正确；

再根据图象平移得出函数y＝g（x），再判断C正确，D错误．

【解答】解：函数f（x）＝sinωx﹣cosωx＝2sin（ωx﹣），

满足f（x+π）＝f（x），所以2sin（ωx+ωπ﹣）＝2sin（ωx﹣），

令ωπ＝2kπ，k∈Z；

解得ω＝2k，k∈Z；

又0＜ω＜4，所以ω＝2，选项A错误；

所以f（x）＝2sin（2x﹣），且f（﹣）＝2sn（﹣﹣）＝﹣2，

所以x＝﹣是函数f（x）图象的对称轴，B正确；

其图象向左平移m个单位后，得y＝2sin（2x+2m﹣）的图象，

即函数y＝g（x）＝2sin（2x+2m﹣），

x∈[﹣，]时，2x∈[﹣，]，2x+2m﹣∈[2m﹣，2m]；

令，

解得kπ+≤m≤kπ+，k∈Z；

k＝1时，3.4≈≤m≤≈3.9，

k＝2时，6.5≈≤≤m≤≈7.07，

所以正整数m的值可以为7，且为最小正正数；

所以C正确，D错误．

故选：BC．

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

12.下列命题中，正确的是（　　）

A．在△ABC中，A＞B，∴sinA＞sinB 

B．在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立 

C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形 

D．在△ABC中，若B＝600，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形

【答案】ABD

【分析】A．在△ABC中，由正弦定理可得sinA＞sinB⇔a＞b⇔A＞B，即可判断出正误；

B．在锐角△ABC中，由＞A＞﹣B＞0，可得sinA＞sin（﹣B）＝cosB，即可判断出正误；

C．在△ABC中，由acosA＝bcosB，利用正弦定理可得：sin2A＝sin2B，得到2A＝2B或2A＝2π﹣2B即可判断出正误；

D．在△ABC中，利用余弦定理可得：b2＝a2+c2﹣2accosB，代入已知可得a＝c，又B＝60°，即可得到△ABC的形状，即可判断出正误．

【解答】解：对于A，由A＞B，可得：a＞b，利用正弦定理可得：sinA＞sinB，正确；

对于B，在锐角△ABC中，A，B∈（0，），∵A+B＞，∴＞A＞﹣B＞0，∴sinA＞sin（﹣B）＝cosB，因此不等式sinA＞cosB恒成立，正确

对于C，在△ABC中，由acosA＝bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA＝sinBcosB，

∴sin2A＝sin2B，

∵A，B∈（0，π），

∴2A＝2B或2A＝2π﹣2B，

∴A＝B或，

∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误．

对于D，由于B＝600，b2＝ac，由余弦定理可得：b2＝ac＝a2+c2﹣ac，可得（a﹣c）2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B＝60°，故正确．

故选：ABD．

【知识点】正弦定理

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

13.函数y＝，x∈（﹣，）的最小值是　　．

【分析】先利用换元法得到y的表达式，再利用基本不等式求得最值．

【解答】解：令t＝sinx+cosx＝sin（x+），x∈（﹣，），

则t∈（0，]，2sinxcosx＝t2﹣1，

∴y＝＝2t+，t∈（0，]，

∴y≥2＝2（当且仅当t＝时取等号）．

故答案为：2．

【知识点】三角函数的最值

14.已知在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且AD＝DB，BE＝2EC，若＝x+y（x，y∈R），则x+y的值为　　．

【分析】可画出图形，根据AD＝DB，BE＝2EC即可得出＝，＝（﹣），便可得出＝﹣+，又知＝x+y，这样根据平面向量基本即可求出x，y的值．

【解答】解：如图，

∵AD＝DB，BE＝2EC；

∴＝，＝＝（﹣），

∴＝+＝+（﹣）＝﹣+，

又＝x+y，

∴根据平面向量基本定理得，x＝﹣，y＝；

∴x+y＝，

故答案为：．

【知识点】平面向量的基本定理

15.若函数f（x）＝sinx+cosx在[0，a]上单调递增，则a的取值范围为　　　　　　　　　．

【分析】由题意利用正弦函数的单调性，求得a的范围．

【解答】解：∵函数f（x）＝sinx+cosx＝sin（x+） 在[0，a]上单调递增，而x+∈[，a+]，

∴a+≤，即 0＜a≤，

故答案为：（0，]．

【知识点】正弦函数的单调性、两角和与差的三角函数

16.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝．若a2sinC＝4sin（B+C），（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为　　　　　　．

【分析】由已知结合正弦定理进行整理，然后代入三角形的面积公式即可求解．

【解答】解：由a2sinC＝4sin（B+C）＝4sinA，

由正弦定理可得，a2c＝4a即ac＝4，

又（a+c）2＝12+b2，

故a2+c2﹣b2＝12﹣2ac＝4，

则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积S＝＝

故答案为：

【知识点】正弦定理、余弦定理

四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.已知函数，x∈R．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在闭区间上的值域．

【分析】（1）先结合和差角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求，

（2）由（1）f（x）结合正弦函数的性质可求．

【解答】解：（1），

＝cosx（）＝，

＝，

＝，

＝sin（2x+）+，

故T＝π，

（2）因为x∈，

所以2x+∈[﹣，]，

所以sin（2x+）∈[﹣，1]，

所以f（x）在闭区间上的值域[]．

【知识点】三角函数的周期性、两角和与差的三角函数

18.设A，B，C，D为平面内的四点，且A（1，3），B（2，﹣2），C（4，1）．

（1）若＝，求D点的坐标；

（2）设向量＝，＝，若k﹣与+3平行，求实数k的值．

【分析】（1）利用向量相等即可得出；

（2）利用向量共线定理即可得出．

【解答】解：（1）设D（x，y）．∵，

∴（2，﹣2）﹣（1，3）＝（x，y）﹣（4，1），

化为（1，﹣5）＝（x﹣4，y﹣1），

∴，解得，

∴D（5，﹣4）．

（2）∵＝（1，﹣5），＝＝（4，1）﹣（2，﹣2）＝（2，3）．

∴＝k（1，﹣5）﹣（2，3）＝（k﹣2，﹣5k﹣3），＝（1，﹣5）+3（2，3）＝（7，4）．

∵k﹣与+3平行，

∴7（﹣5k﹣3）﹣4（k﹣2）＝0，解得k＝．

∴．

【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示

19.已知．

（1）化简f（θ）．

（2）若f（π﹣θ）＝﹣3，求的值．

（3）解关于θ的不等式：．

【分析】（1）由题意利用诱导公式化简，可得结果．

（2）先求出tanθ＝3，再利用同角三角函数的基本关系化简要求的式子，可得结果．

（3）由题意可得可得tan（）≥，故有kπ+＞≥kπ+，由此求得θ的范围．

【解答】解：（1）＝＝﹣tanθ．

（2）若f（π﹣θ）＝﹣tan（π﹣θ）＝tanθ＝﹣3，

∴＝＝11．

（3）由关于θ的不等式：，可得﹣tan（）≥，

∴tan（）≤﹣，∴∴kπ﹣＜≤kπ﹣，

求得 2k﹣1＜θ≤2k﹣，故不等式的解集为（2k﹣1，2k﹣]，k∈Z．

【知识点】三角函数的恒等变换及化简求值、同角三角函数间的基本关系、运用诱导公式化简求值

20.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，已知（a+b+c）（a﹣b+c）＝4S．

（1）求角B的大小；

（2）若a+c＝2，求b的取值范围．

【分析】（1）利用余弦定理，三角形的面积公式，两角差的正弦公式化简已知等式，可得，结合B是在△ABC中内角，即可解得B的值．

（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求b≥1，结合a+c＞b，即可得解b的取值范围．

【解答】解：（1）因为，

可得：，可得，

∴，可得：．

∴，即：．

由于角B是在△ABC中内角，

所以或（舍），可得．

（2）由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝4﹣3ac，

因为a+c＝2，

由，

可得：b2≥1，解得：b≥1，

又a+c＞b，

所以1≤b＜2．

【知识点】正弦定理、余弦定理

21.如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为．

（1）求m的值；

（2）求的最小值．

【分析】（1）利用面积可得bc＝8，利用，可知C、P、D三点共线，即可求出m的值；

（2）由（1）可表示出||，利用机泵不等式可得最小值．

【解答】解：（1）设||＝c，||＝b，所以S△ABC＝bcsin＝2，解得bc＝8，

由＝m+＝m+，且C，P，D三点共线，

所以m+＝1，解得m＝；

（2）由（1）可知，

所以||2＝（）2＝

因为＝bccos＝﹣4，

所以||2＝≥2•﹣＝，

故||≥，当且仅当b＝2，c＝时取得等号，

综上||的最小值为．

【知识点】正弦定理、平面向量的基本定理

22.某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC，其中斜边BC的长度为400米，为迎接“五一”观光游，欲在边界BC上选择一点P，修建观赏小径PM、PN，其中M、N分别在边界AB、AC上，小径PM、PN与边界BC的夹角都为60°，区域PMB和区域PNC内种植郁金香，区域AMPN内种植月季花．

（1）探究：观赏小径PM与PN的长度之和是否为定值？请说明理由；

（2）为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN，当P点在何处时，三条小径（PM、PN、MN）的长度和最小？

【分析】（1）分别在三角形BPM和CPN中由正弦定理求得PM，PN，然后相加可得定值；

（2）三条小径（PM、PN、MN）的长度和最小⇔MN最小，在三角形PMN中由余弦定理可得MN的解析式，然后配方后用基本不等式可得．

【解答】解：（1）在三角形BPM中由正弦定理可得：＝，化简得PM＝（）PB，同理可得PN＝（）PC，

∴PM+PN＝（）（PB+PC）＝（）BC＝（）×400为定值．

（2）在三角形PMN中，由余弦定理得MN2＝PM2+PN2﹣2PM•PNcos60°＝（PM+PN）2﹣3PM•PN

＝160000（）2﹣3PM•PN≥160000（）2﹣3×（）2＝160000（）2﹣3×[]2＝40000（﹣1）2，

∴MN≥200（﹣1），当且仅当PM＝PN，即P为BC的中点时，MN取得最小值200（），

∴P为BC的中点时，三条小径（PM、PN、MN）的长度和最小，且最小值为600（）．

【知识点】三角形中的几何计算