2023高考数学二轮复习专题02 常用逻辑用语（解析版）

这是一份2023高考数学二轮复习专题02 常用逻辑用语（解析版），共38页。

专题02 常用逻辑用语
【考点预测】
一、充分条件、必要条件、充要条件
1．定义
如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件.
2．从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件.
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
二．全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”.
（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.
三．含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，.
（2）存在量词命题的否定为.
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.

【方法技巧与总结】
1．从集合与集合之间的关系上看
设.
（1）若，则是的充分条件()，是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”.
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件.
2.常见的一些词语和它的否定词如下表
原词语
等于

大于

小于

是
都是
任意
（所有）
至多
有一个
至多
有一个
否定词语
不等于

小于等于

大于等于

不是
不都是
某个
至少有
两个
一个都
没有
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.

【题型归纳目录】
题型一：充分条件与必要条件的判断
题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定
题型五：根据命题的真假求参数的取值范围

【典例例题】
题型一：充分条件与必要条件的判断
例1．（2022·河北·模拟预测）“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
，列出不等式，求出，从而判断出答案.
【详解】
，则要满足，解得：，
因为，但
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
例2．（2022·重庆·三模）已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】
函数为增函数,则 ,此时,故函数在上单调递增;当在上单调递增时, ,,所以,故为增函数.
故选:C
例3．（2022·湖北·模拟预测）在等比数列中，已知，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用等比数列的通项公式及其充分条件，必要条件的定义求解即可.
【详解】
∵公比，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴且，
∴且，
即“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
例4．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据线面垂直的性质证明充分性成立，由线面垂直的定义判断必要性不成立.
【详解】
由线面垂直的性质知，若，，则成立，即充分性成立；
根据线面垂直的定义，必须垂直平面内的两条相交直线，才有，即必要性不成立.
故选：A.
例5．（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知两条直线m，n和平面，则的一个充分条件是（       ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】C
【解析】
【分析】
根据线面垂直的性质及线面平行的性质，结合充分条件的定义即可得出答案.
【详解】
解：对于A，若且，则，故A不符题意；
对于B，若且，则与平行或异面，故B不符题意；
对于C，若且，则，故C符合题意；
对于D，若且，则与平行、相交或异面，故D不符题意.
故选：C.
（多选题）例6．（2022·山东临沂·二模）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
对于A、D选项，取特殊值说明既不充分也不必要即可；对于B，先取特殊值说明不充分，再同时平方证必要即可；对于C，先取特殊值说明不充分，再结合基本不等式证必要即可；
【详解】
对于A，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；
当时，满足，不满足，即推不出，不必要；A错误；
对于B，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；
当时，平方得，又，又，故，
即能推出，必要；B正确；
对于C，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；
当时，由，，即能推出，必要；C正确；
对于D，当时，满足，不满足，即推不出，不充分；
当时，满足，不满足，即推不出，不必要；D错误.
故选：BC.

【方法技巧与总结】
1.要明确推出的含义，是成立一定成立才能叫推出而不是有可能成立.
2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.
3.充分必要条件考察范围广，失分率高，一定要注意各个知识面的培养.

题型二：根据充分必要条件求参数的取值范围
例7．（2022·湖南怀化·一模）已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先确定的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，
【详解】
等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：．
例8．（2022·浙江·高三专题练习）若成立的一个充分不必要条件是，则实数a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a的取值范围.
【详解】
由，可得：；
由，则，可得；
∵成立的一个充分不必要条件是，
∴，可得.
故选：D.
例9．（2022·山西晋中·二模（理））已知条件：，：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据充要条件与集合的包含关系可得.
【详解】
因为是的充分不必要条件，所以Ü，即.
故选：D.
例10．（2022·河南平顶山·高三期末（文））若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
理解充分不必要条件的含义；解不等式；理解解集间的关系.
【详解】
由题意可得 ，而


则 ，故，
故选：D
例11．（2022·全国·高三专题练习（文））若关于x的不等式成立的充分条件是，则实数a的取值范围是（       ）
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)
【答案】D
【解析】
【分析】
根据充分条件列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
成立的充分条件是，则，
，所以.
故选：D
例12．（2022·湖南怀化·一模）已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先确定的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，
【详解】
等价于或，
而且“”是“”的充分不必要条件，则．
故答案为：．
例13．（2022·重庆·高三阶段练习）若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据含绝对值不等式的解法，求解不等式的解集，结合充分条件，列出关系式，即可求解.
【详解】
由不等式，
当时，不等式的解集为空集，显然不成立；
当时，不等式，可得，
要使得不等式的一个充分条件为，则满足，
所以，即
∴实数a的取值范围是.
故答案为：.
例14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知集合，．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】
求函数的值域求得集合，根据“”是“”的充分条件列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】
函数的对称轴为，开口向上，
所以函数在上递增，
当时，；当时，.
所以.
，
由于“”是“”的充分条件，
所以，，
解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：
例15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式的解集为B．
(1)当m＝2时，求；
(2)若x∈A是x∈B的充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求对数复合函数定义域、解一元二次不等式求出集合A和B，利用集合的并补运算求．
（2）解含参一元二次不等式求集合B，根据充分条件有A⊆B，列不等式求m的范围即可．
(1)
由题设得：，即函数的定义域A＝，则，
当m＝2时，不等式得：，即B＝[3,4]，
所以＝．
(2)
由得： x＝m2或x＝，
又，即，
综上，的解集为B＝，
若x∈A是x∈B的充分条件，则A⊆B，即，得：，
所以实数m的取值范围是．
例16．（2022·天津·汉沽一中高三阶段练习）不等式的解集是，关于x的不等式的解集是.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
(3)设实数x满足，其中，命题实数x满足.若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）分别解出解出集合A，B，再求；
（2）由得到.对m分类讨论，分， 和三种情况，分别求出m的范围，即可得到答案；
（3）用集合法列不等式组，求出a的范围.
(1)
由的解集是，解得：.
当m=1时，可化为，解得.
所以.
(2)
因为，所以.
由（1）得：.
当时，由可解得.要使，只需，解得：；
当时，由可解得.不符合，舍去；
当时，由可解得.要使，只需，解得：；
所以，或.
所以实数的取值范围为：.
(3)
设关于x的不等式（其中）的解集为M，则；
不等式组的解集为N，则；
要使p是q的必要不充分条件，只需NÜM，即，解得：.
即实数a的取值范围.
例17．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））已知条件，条件．．
(1)若，求．
(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）首先求出集合，代入，得出，进而利用集合的交集、补集的定义即可求解.
（2）由（1）知，得出集合，再根据是的必要不充分条件转化为集合是集合的真子集，即即可求解.
(1)
由，得，
所以，
由，得，所以
当时，.所以
所以；
(2)
由（1）知，，，
是的必要不充分条件，，
所以，解得
所以实数的取值范围为.
【方法技巧与总结】
1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.
2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.
题型三：全称量词命题与存在量词命题的真假
例18.（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知，下列四个命题：①，，②，，③，，④，．
其中是真命题的有（       ）
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【答案】C
【解析】
【分析】
作商并结合单调性判断①；作差并结合对数函数性质、对数换底公式判断②；利用指数函数单调性比较判断③；在给定条件下，借助“媒介”数比较判断作答.
【详解】
对于①，由得：，，，则，①正确；
对于②，，，即，则，②正确；
对于③，函数在上为减函数，而，则，即，，③错误；
对于④，当时，，，即，④错误，
所以所给命题中，真命题的是①②．
故选：C
例19．（2022·江西·二模（理））已知命题：存在，使得，命题：对任意的，都有，命题：存在，使得，其中正确命题的个数是（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】
【分析】
取特值可判断和，由辅助角公式化简可判断.
【详解】
当时，显然成立；当时，可知不成立；由辅助角得，所以所以的最大值为5，所以为假.
故选：B
例20．（2022·河南·新乡县高中模拟预测（理））已知函数和的定义域均为，记的最大值为，的最大值为，则使得“”成立的充要条件为（       ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
先解读选项ABC，D选项是成立的充分不必要条件，再判断得解.
【详解】
解：A选项表述的是的最小值大于的最大值；
B选项表述的是的最小值大于的最小值；
C选项表述的是的最大值大于的最大值成立的充要条件；
D选项是成立的充分不必要条件．
故选：C
例21．（2022·浙江·高三专题练习）下列命题中，真命题为（       ）
A．存在，使得
B．直线，平面，平面，则平面
C．最小值为4
D．，是成立的充分不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
由指数函数的性质，可判定A为假命题；利用正四面体，举例判定，可得判定B为假命题；利用基本不等式和正弦函数的性质，可判定C为假命题，结合不等式的性质和充分、必要条件的判定方法，可判定D为真命题.
【详解】
对于A中，由指数函数的性质，可得恒成立，
所以不存在，使得，所以A为假命题；
对于B中，如图所示，在正方体中，
设平面为平面，平面为平面，直线为直线，直线为直线，
此时满足，且平面，平面，但平面与平面不垂直，
所以C为假命题.

对于C中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，
显然不成立，所以C为假命题
对于D中，由，可得，即充分性成立；
反之：例如：，此时满足，但不成立，即必要性不成立，
所以是的充分不必要条件，所以D为真命题.
故选：D
（多选题）例22．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中的真命题是（     ）
A．∀x∈R，2x－1>0 B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．∃x∈R，lgx<1 D．∃x∈R，tanx＝2
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对选项A，根据指数函数值域即可得到A正确；对选项B，当时，不满足题意，故B错误；对选项C，根据存在，使得，故C正确；对选项D，根据正切函数的值域为，即可判断D正确.
【详解】
对选项A，令，，
因为，所以，故A正确；
对选项B，当时，，故B错误；
对选项C，当时，，故存在，，C正确；
对选项D，因为的值域为，所以存在，使得.
故选：ACD
例23．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的是_____（写出正确命题的序号）
（1），使，只需；
（2），恒成立，只需；
（3），，成立，只需；
（4），，，只需．
【答案】（2）（3）
【解析】
【分析】
根据不等式恒成立问题和有解问题逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
对于（1），，使，只需，故（1）错误；
对于（2），，恒成立，即恒成立，
应需，故（2）正确；
对于（3），，，成立，
即需，故（3）正确；
对于（4），，，，，
应需，故（4）错误．
综上，正确的命题是（2）（3）．
故答案为：（2）（3）．
【方法技巧与总结】
1.全称量词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.
2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.
题型四：全称量词命题与存在量词命题的否定
例24．（2022·四川成都·三模（理））命题“，”的否定是（       ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】
由全称量词命题的否定可知：“，”的否定是“，”.
故选：A.
例25．（2022·云南昆明·模拟预测（文））已知命题p：，，则为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
：，.
故选：D
例26．（2022·江西赣州·二模（文））已知命题：，，则为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【解析】
命题：，的否定是：，．
故选：D．
例27．（2022·辽宁·建平县实验中学模拟预测）命题“，”的否定是（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】
由存在量词命题的否定知原命题的否定为：，.
故选：C.
例28．（2022·山东潍坊·二模）十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数，关于x，y，z的方程没有正整数解”，经历三百多年，1995年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为（       ）
A．对任意正整数n，关于x，y，z的方程都没有正整数解
B．对任意正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
C．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
D．存在正整数，关于x，y，z的方程至少存在一组正整数解
【答案】D
【解析】
【分析】
根据命题的否定形式，直接写出命题的否定即可
【详解】
命题的否定形式为，原命题的题设不变，结论改否定；
故只有D满足题意；
故选：D
例29．（2022·全国·高三专题练习（文））已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（       ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数
B．存在一个无理数，它的平方不是有理数
C．任意一个无理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方是无理数
【答案】A
【解析】
【分析】
根据存在命题的否定的性质进行判断即可.
【详解】
因为存在命题的否定是全称量词命题，
所以为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，
故选：A
例30．（2022·山西晋中·模拟预测（理））命题：，，则为___________.
【答案】，
【解析】
命题：，.   则为：，
故答案为：，
【方法技巧与总结】
1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定.
1. 全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.
题型五：根据命题的真假求参数的取值范围
例31．（2022·山东青岛·一模）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
结合二次函数的性质来求得的取值范围.
【详解】
依题意命题“，”为真命题，
当时，成立，
当时，成立，
当时，函数开口向下，不恒成立.
综上所述，.
故选：B
例32．（2022·浙江·高三专题练习）若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
该命题的否定为真命题，利用判别式可求实数的取值范围.
【详解】
∵命题“存在，使” 是假命题，
则其否定“任意， ” 为真命题,
∴ ，
所以 .
故选： C.
例33．（2022·江苏·南京市宁海中学模拟预测）若命题“时，”是假命题，则的取值范围（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
全称量词命题的否定是存在量词命题，将问题转化为不等式能成立求参数的取值范围
【详解】
因为“，”是假命题，
则其否定“，”为真命题
则
而当时，取得最小值
所以
故选：B
例34．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（文））若命题“”为假命题，则实数x的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
等价于“”为真命题．令，解不等式即得解.
【详解】
解：命题“”为假命题，其否定为真命题，
即“”为真命题．
令，
则，即，
解得，所以实数x的取值范围为.
故选：C
例35．（2022·全国·高三专题练习）若“，”是真命题，则实数的最大值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用正切函数的单调性求出正切函数的最小值，进而可求出结果.
【详解】
若“，”是真命题，
则实数小于等于函数在的最小值，
因为函数在上为增函数，
所以函数在上的最小值为，
所以，即实数的最大值为.
故答案为：
例36．（2022·全国·高三专题练习）已知定义在上的函数满足且，其中的解集为A.函数，，若，使得，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数结合已知条件可得的单调性，由，不等式等价于，由的单调性即可求得解集A，再分别求得，的值域，由已知可得函数的值域是函数的值域的子集，从而可求得实数a的取值范围.
【详解】
解：构造函数，
所以，
因为定义在上的函数满足，
所以，所以在上单调递增，且，
所以不等式可化为，即，
所以，
所以的解集，
函数，当且仅当，或时等号成立，在A上仅当时等号成立，
所以在A上的值域为，
为增函数，
所以在A上的值域为，
若，使得，
则，
所以，又因为
即实数a的取值范围是.
故答案为：.
例37．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
转化为命题的否定是真命题后求解
【详解】
由题意得“”为真命题，故，
故答案为：
例38．（2022·全国·高三专题练习）若“，”为假命题，则实数的最小值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】
由题意可知命题的否定是真命题，从而可求出的取值范围，进而可求得的最小值
【详解】
“，”的否定为“，都有”，
因为“，”为假命题，
所以“，都有”为真命题，
所以在上恒成立，
所以，
所以实数的最小值为3，
故答案为：3
例39．（2022·全国·高三专题练习）在①，，②，使得区间，满足这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．
已知命题p:，，命题q：______，p，q都是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】
由命题p为真命题可得，选择①，可得方程有解，借助判别式求解即得；选择②，由给定条件列出不等式求解即得.
【详解】
选条件①，由命题p为真命题，得不等式在上恒成立，
因为，则，即，
由命题q为真命题，即方程有解，则，解得或，
又p，q都是真命题，从而有或，
所以实数a的取值范围是.
选条件②，由命题p为真命题，得不等式在上恒成立，
因为，则，即，
因命题q为真命题，由区间得，又，即或，解得或，
又p，q都是真命题，从而有，
所以实数a的取值范围是.
例40．（2022·全国·高三专题练习）若f （x）＝x2－2x，g（x）＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f (x0)，求实数a的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
分别求两个函数的值域，利用子集关系，求参数的取值范围.
【详解】
由于函数g（x）在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1，2]，使得g(x1)＝f (x0)，因此问题等价于函数g（x）的值域是函数f （x）值域的子集．
，，
函数f （x）的值域是[－1，3]，因为a>0，所以函数g（x）的值域是[2－a，2＋2a]，
则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即．故a的取值范围是．

【方法技巧与总结】
1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级即可.
2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.

【过关测试】
一、单选题
1．（2022·河北·模拟预测）已知无解，为增函数，则p是q的（       ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
分别由无解和为增函数解出的范围，即可判断.
【详解】
由无解可得，解得；由为增函数
可得，解得，故p是q的充要条件.
故选：C.
2．（2022·北京房山·二模）已知是两个不同的平面，直线，且，那么“”是“”的（       ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间线面位置关系，结合必要不充分条件的概念判断即可.
【详解】
解：当直线，且，，则，或，与相交，故充分性不成立，
当直线，且，时，，故必要性成立，
所以，“”是“”的必要而不充分条件.
故选：B
3．（2022·江苏·华罗庚中学高三阶段练习）若，为复数，则“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的（       ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
分别判断命题的充分性和必要性即可得到答案.
【详解】
充分性：令，，满足是纯虚数，
不满足，互为共轭复数，不满足充分性.
必要性：若，满足，互为共轭复数，
则，不满足是纯虚数，不满足必要性.
所以“是纯虚数”是“，互为共轭复数”的既不充分也不必要条件.
故选：D
4．（2022·全国·高三专题练习）命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出当命题“，”是真命题时，实数的取值范围，结合题意可得出合适的选项.
【详解】
命题“，”是真命题，则，
因此，命题“，”是真命题的一个必要不充分条件是.
故选：A.
5．（2022·全国·高三专题练习）已知下列四个命题：正确的是（       ）
：，使得；
：，都有；
：，使得；
：，使得．
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【解析】
【分析】
构造函数，求导判断单调性求最大值可判断；对二次函数配方求的最小值可判断；举例子如可判断；举反例如可判断，进而可得正确答案.
【详解】
对于，设，则，
由可得；由可得，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以，所以恒成立，
所以，，故错误；
对于，，都有，故正确；
对于：当时，， ，此时满足，
故正确；
对于，当时，，，不满足成立，故错误；故正确是，，
故选：C．
6．（2022·重庆南开中学模拟预测）命题“，”的否定为（       ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【解析】
【分析】
由全称量词命题的否定：将任意改存在并否定原结论，即可得答案.
【详解】
由全称量词命题的否定为存在量词命题，
故原命题否定为“，”.
故选：A
7．（2022·江西景德镇·模拟预测（理））已知命题：函数，
且关于x的不等式的解集恰为（0，1），则该命题成立的必要非充分条件为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据已知条件，可从已知出发，求得结论成立的m需要满足的关系，然后结合选项要求进行分析验证，即可完成求解.
【详解】
函数，
故，，
，，
令，所以，
因为，，所以，此时函数是单调递增的，
所以，要使得的解集恰为（0，1）恒成立，
且、则应满足在为增函数，所以当时，，故，此时，，由选项可知，选项C和选项D无法由该结论推导，故排除，而选项C，，若，此时与矛盾，故不成立，所以该命题成立的必要非充分条件为.
故选：A.
8．（2022·全国·高三专题练习）定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（       ）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可.
【详解】
如图，由于，
故两个阴影部分均为，
于是，
（1）若，则，，
而，
成立；
（2）反之，若，
则由于，，
，
，
，
故选：A

【点睛】
本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想的应用，属于较难题.
二、多选题
9．（2022·广东茂名·模拟预测）下列四个命题中为真命题的是（       ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．设是两个集合，则“”是“”的充要条件
C．“”的否定是“”
D．名同学的数学竞赛成绩分别为：，则该数学成绩的分位数为70（注：一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或者等于这个值，且至少有的数据大于或者等于这个值．)
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义判断AB（可确定等价条件），根据命题的否定的定义判断C
，根据百分位数的概念确定值判断D．
【详解】
当时，；当成立时，可得，所以A正确；
因为等价于，所以B正确；
C项显然错误，命题的否定只否定结论，条件不否定；
把数据按照从小到大的顺序排列为：，因为，所以该数学成绩的百分位数为，D正确．
故选：ABD．
10．（2022·全国·高三专题练习）设，，且，则“”的一个必要条件可以是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】
【分析】
题中为必要条件，则能推出选项，逐一判断
【详解】
对于A，若，则成立；
对于B，若，则，成立；
对于C，，无法判断出；
对于D，，且，因为，所以不能得出与2的大小关系.
故选：AB
11．（2022·辽宁实验中学模拟预测）已知x，y均为正实数，则下列各式可成为“”的充要条件是（       ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】
【分析】
A应用作差法，结合充分、必要性的定义判断；B、C、D构造函数、、，利用导数研究其单调性，并结合充分、必要性的定义判断正误.
【详解】
A：由且，则成立，反之也有成立，满足要求；
B：由，则，令，则，即在定义域上递增，故，不满足充分性，排除；
C：由，则，令，则，即在定义域上递增，故，反之也有成立，满足要求；
D：由，则，令，则，，故在上，在上，
所以在上递减，在上递增，则，
所以在定义域上递增，故，反之也有成立，满足要求；
故选：ACD
12．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）下列命题正确的是（       ）
A．“关于的不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是
B．设，则“且”是“”的必要不充分条件
C．“”是“”的充分不必要条件
D．命题“”是假命题的实数的取值范围为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式的恒成立问题结合必要不充分条件的定义判断A；由且时，判断B；解不等式结合充分不必要条件的定义判断C；由命题“”是真命题，再由判断D.
【详解】
对于A，当时，显然不成立；当时，有，解得，故A正确；
对于B，当且时，，则“且”是“”的充分条件，故B错误；
对于C，由可得或，即“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D，命题“”是假命题，则命题“”是真命题，即在上恒成立，即，故D正确；
故选：ACD
三、填空题
13．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（文））若命题“”是假命题，则a的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】
依题意可得是真命题，参变分离得到，再利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：因为命题“”是假命题，所以命题“”是真命题，即，所以，因为，当且仅当即时取等号，所以，即
故答案为：
14．（2022·浙江·高三学业考试）已知函数，，若对，，使得，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
根据题意可转化为，利用单调性求解即可.
【详解】
因为若对，，使得，
所以，
因为的对称轴为，
所以，
因为，，
所以
所以，
即
所以
【点睛】
本题主要考查了存在性问题与任意性问题，考查了转化思想，属于中档题.
15．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数，则“方程在区间和上各有一个解”的一个充分不必要条件是a＝______．（写出满足条件的一个值即可）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】
先由方程在区间和上各有一个解，求出的范围，然后在该范围内取一值即可.
【详解】
方程在区间和上各有一个解，则
解得
所以是方程在区间和上各有一个解”的一个充分不必要条件
故答案为：
16．（2022·全国·高三专题练习）已知在上单调递增，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
先解出.再由是的充分不必要条件即可得出答案.
【详解】
在上单调递增
在上恒成立.
即在上恒成立，
所以：.
又是的充分不必要条件，
即.
故答案为：.
四、解答题
17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，
(1)当时，求；
(2)设命题，命题，的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
【解析】
【分析】
（1）根据解分式不等式求出集合；把的值代入得到，由可求出集合，从而可求；
（2）通过解含参不等式可求出集合；根据的充分不必要条件可得出A是B的真子集，从而可求出实数的取值范围．
(1)
由，得，即，
∴；
当时，，
由，得或，∴或，
∴或
(2)
由得，
∴或，∴或，
因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
∴或，即或，
所以a的取值范围是或.
18．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，.
(1)当时，是的充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
【解析】
【分析】
（1）解不等式确定集合，确定集合，然后充分条件得集合包含关系，从而可得参数范围；
（2）求得的补集，分类讨论确定集合，根据包含关系可得结论．
(1)
，，，
时，，
是的充分条件，即，所以，解得，
所以的取值范围是．
(2)
，，
由（1）知时，满足题意，
时，，则或，或，
所以或，
时，，，因此，
综上，或．
19．（2022·全国·高三专题练习）已知p：表示焦点在轴上的椭圆，q：，
(1)若p是真命题，求m的取值范围；
(2)若，都是真命题，求m的取值范围．
【答案】(1)
(2)（2，4）
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的标准方程可得m+1＞4﹣m＞0，解不等式即可求解.
（2）求出q为真命题时m的取值范围，结合（1）取交集即可求解.
(1)
因为表示焦点在x轴上的椭圆，
所以m+1＞4﹣m＞0，
解得，即m的取值范围为；
(2)
m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，
因为，都是真命题，所以，
解得2＜m＜4，
所以m的取值范围为（2，4）．
20．（2022·全国·高三专题练习）设，：实数满足.
(1)若，且都为真命题，求x的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求得命题对应的不等式解集，与命题对应的不等式取交集即可；
（2）求得命题对应的不等式解集，根据集合之间的关系，列出不等式，即可求得结果.
(1)
当时，可得，
可化为， 解得，                                                     
又由命题为真命题，则            .
所以，都为真命题时，则的取值范围是
(2)
由，解得，     
因为，且是的充分不必要条件，
即集合 是的真子集，            
则满足  ，解得，所以实数的取值范围是.
21．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.求：
（1）若，求实数的取值范围.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由，讨论和即可；
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可.
【详解】
（1）由，，
当时，，得，适合题意；
当时，则或，得.
综上所述.实数的取值范围.
（2）由题意，“”是“”的充分不必要条件，则，
又，.
所以，解得，
∴实数的取值范围为.
22．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数在上单调递增，函数．
（1）求m的值；
（2）当时，记的值域分别为集合A，B，设，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围．
（3）设，且在上单调递增，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）由幂函数的定义，再结合单调性即得解.
（2）求解，的值域，得到集合，，转化命题是成立的必要条件为，列出不等关系，即得解.
（3）由（1）可得，根据二次函数的性质，分类讨论和两种情况，取并集即可得解.
【详解】
（1）由幂函数的定义得：，或，
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当时，在上单调递增，符合题意；
综上可知：.
（2）由（1）得：，
当时，，即，
当时，，即，
由命题是成立的必要条件，则，显然，则，即，
所以实数k的取值范围为：.
（3）由（1）可得，二次函数的开口向上，对称轴为，
要使在上单调递增，如图所示：
或
即或，解得：或.
所以实数k的取值范围为：
【点睛】
关键点点睛：本题考查幂函数的定义及性质，必要条件的应用，已知函数的单调性求参数，理解是的必要不充分条件，则对应集合是
对应集合的真子集是解题的关键，考查学生的分析试题能力与分类讨论思想，及数形结合思想，属于较难题.