高考数学二轮复习专项分层特训命题点23 椭圆含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训命题点23 椭圆含答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．[2022·山东日照二模]已知曲线C： eq \f(x2,a) ＋ eq \f(y2,a－1) ＝1，则“a>0”是“曲线C是椭圆”的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
2．[2022·全国甲卷(文) ]已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的离心率为 eq \f(1,3) ，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若 eq \(BA1,\s\up6(→)) · eq \(BA2,\s\up6(→)) ＝－1，则C的方程为( )
A． eq \f(x2,18) ＋ eq \f(y2,16) ＝1 B． eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,8) ＝1
C． eq \f(x2,3) ＋ eq \f(y2,2) ＝1 D． eq \f(x2,2) ＋y2＝1
3．[2022·广东肇庆二模]已知点F1，F2分别是椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左、右焦点，点A是椭圆上一点，点О为坐标原点，若|OA|＝|OF1|，直线F2A的斜率为－3，则椭圆C的离心率为( )
A． eq \f(5,8) B． eq \f(\r(5),4)
C． eq \f(1,3) D． eq \f(\r(10),4)
4．[2021·新高考Ⅰ卷]已知F1，F2是椭圆C： eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,4) ＝1的两个焦点，点M在C上，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1)) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)) 的最大值为( )
A．13 B. 12
C．9 D. 6
5．[2022·河北邯郸一模]已知椭圆C： eq \f(x2,25) ＋ eq \f(y2,16) ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上一点，则满足△PF1F2为直角三角形的点P有( )
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
6．[2022·湖南岳阳一模]已知椭圆长轴AB的长为4，N为椭圆上一点，满足 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NA)) ＝1，∠NAB＝60°，则椭圆的离心率为( )
A． eq \f(\r(5),5) B． eq \f(2\r(5),5)
C． eq \f(2\r(7),7) D． eq \f(3\r(7),7)
7．[2022·全国甲卷(理)]椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为 eq \f(1,4) ，则C的离心率为( )
A． eq \f(\r(3),2) B． eq \f(\r(2),2)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,3)
8．[2021·全国乙卷]设B是椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是( )

A．[ eq \f(\r(2),2) ，1) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
C．(0， eq \f(\r(2),2) ] D． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
二、多项选择题
9．椭圆 eq \f(x2,m) ＋ eq \f(y2,3) ＝1的离心率是 eq \f(1,2) ，则实数m的值是( )
A．4 B． eq \f(9,4)
C．1 D． eq \f(3,4)
10．如图椭圆Ⅰ、Ⅱ有公共的右焦点F与右顶点P，椭圆Ⅰ、Ⅱ的焦距分别是2c1、2c2，长轴分别是2a1、2a2, 以下正确的是 ( )
A．a1＋c1＝a2＋c2
B．a1－c1＝a2－c2
C．c1a2a1c2
11．[2022·山东泰安模拟]已知椭圆C： eq \f(x2,6) ＋ eq \f(y2,2) ＝1的左，右焦点分别为F1，F2，A，B两点都在C上，且A，B关于坐标原点对称，则( )
A．|AB|的最大值为2 eq \r(6)
B．|AF1|＋|BF1|为定值
C．C的焦距是短轴长的2倍
D．存在点A，使得AF1⊥AF2
12．[2022·山东济宁二模]设椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，上、下顶点分别为A1、A2，点P是C上异于A1、A2的一点，则下列结论正确的是( )
A．若C的离心率为 eq \f(1,2) ，则直线PA1与PA2的斜率之积为－ eq \f(4,3)
B．若PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为b2
C．若C上存在四个点P使得PF1⊥PF2，则C的离心率的范围是(0， eq \f(\r(2),2) )
D．若|PF1|≤2b恒成立，则C的离心率的范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,5)))
三、填空题
13．[2022·湖南长郡中学一模]已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a＞b＞0)，若长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为________．
14．[2022·广东佛山二模]若椭圆 eq \f(x2,k－1) ＋ eq \f(y2,3－k) ＝1的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是________．
15．[2022·新高考Ⅱ卷] 已知直线l与椭圆 eq \f(x2,6) ＋ eq \f(y2,3) ＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2 eq \r(3) ，则l的方程为________．
16．[2022·新高考Ⅰ卷] 已知椭圆C： eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为 eq \f(1,2) .过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是________．
命题点23 椭圆(小题突破)
1．解析：若曲线C： eq \f(x2,a) ＋ eq \f(y2,a－1) ＝1表示椭圆，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0,a－1>0,a≠a－1)) ⇒a>1，
故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件．
故选C.
答案：C
2．解析：由椭圆C的离心率为 eq \f(1,3) ，可得e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \r(\f(a2－b2,a2)) ＝ eq \f(1,3) .化简，得8a2＝9b2.易知A1(－a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以BA1·BA2＝(－a，－b)·(a，－b)＝－a2＋b2＝－1.联立得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(8a2＝9b2，,－a2＋b2＝－1，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝9，,b2＝8.)) 所以C的方程为 eq \f(x2,9) ＋ eq \f(y2,8) ＝1.故选B.
答案：B
3．解析：
如图，由|OA|＝|OF1|，得|OA|＝|OF1|＝|OF2|＝c，故∠F1AF2＝90°.
因为直线F2A的斜率为－3，
所以tan ∠F1F2A＝3，所以|AF1|＝3|AF2|，
又|AF1|＋|AF2|＝2a，所以|AF1|＝ eq \f(3a,2) ，|AF2|＝ eq \f(a,2) ，
又|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，
故 eq \f(9,4) a2＋ eq \f(1,4) a2＝4c2，得 eq \f(c2,a2) ＝ eq \f(5,8) ，
所以 eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(10),4) .
故选D.
答案：D
4．解析：由题，a2＝9，b2＝4，则 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1)) ＋ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)) ＝2a＝6，
所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1)) · eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)) ≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1))＋\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)),2))) 2＝9(当且仅当 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF1)) ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2)) ＝3时，等号成立).故选C.
答案：C
5．解析：当F1为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点P有2个；
当F2为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点P有2个；
设椭圆C的上顶点为B，
由椭圆C： eq \f(x2,25) ＋ eq \f(y2,16) ＝1，可得a2＝25，b2＝16，可得a＝5，b＝4，c＝ eq \r(a2－b2) ＝3，
则|BF1|＝|BF2|＝5，|F1F2|＝2c＝6，
所以cs ∠F1BF2＝ eq \f(52＋52－62,2×5×5) >0，故∠F1BF2∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，
所以不存在以P为直角顶点的△PF1F2，
故满足本题条件的点P共有4个．
故选B.
答案：B
6．解析：不妨设椭圆的方程为 eq \f(x2,a2) ＋ eq \f(y2,b2) ＝1(a>b>0)，如图，
由题可知a＝2，|OA|＝2，又 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(NA)) ＝1，∠NAB＝60°，
∴N eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(\r(3),2))) ，代入椭圆方程可得 eq \f(9,4×22) ＋ eq \f(3,4b2) ＝1，
解得b2＝ eq \f(12,7) ，
∴c2＝a2－b2＝4－ eq \f(12,7) ＝ eq \f(16,7) ，即c＝ eq \f(4\r(7),7) ，
∴e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\f(4\r(7),7),2) ＝ eq \f(2\r(7),7) .
故选C.
答案：C
7．解析：设P(x1，y1)，则点Q的坐标为(－x1，y1).由题意，得点A(－a，0).又直线AP，AQ的斜率之积为 eq \f(1,4) ，所以 eq \f(y1,x1＋a) · eq \f(y1,－x1＋a) ＝ eq \f(1,4) ，即 eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2－x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ) ＝ eq \f(1,4) ①.又点P在椭圆C上，所以 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,a2) ＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ,b2) ＝1 ②.由①②，得 eq \f(b2,a2) ＝ eq \f(1,4) ，所以a2＝4b2，所以a2＝4(a2－c2)，所以椭圆C的离心率e＝ eq \f(c,a) ＝ eq \f(\r(3),2) .故选A.
答案：A
8．解析：设P(x0，y0)，由B(0，b)，因为 eq \f(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,a2) ＋ eq \f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,b2) ＝1，a2＝b2＋c2，
所以|PB|2＝x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＋(y0－b)2＝a2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ,b2))) ＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0－b)) 2＝－ eq \f(c2,b2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y0＋\f(b3,c2))) 2＋ eq \f(b4,c2) ＋a2＋b2，
因为－b≤y0≤b，当－ eq \f(b3,c2) ≤－b，即b2≥c2时，|PB| eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(max)) ＝4b2，即|PB|max＝2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0－b，即b2a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －c eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ，即(a1＋c1)(a1－c1)>(a2＋c2)(a2－c2)，所以a1＋c1>a2＋c2，A错误；
由图形知：a1>a2，c1>c2，设a1－c1＝a2－c2＝t>0，
c1a2－c2a1＝c1(c2＋t)－c2(c1＋t)＝t(c1－c2)>0，所以c1a2>c2a1，D正确，C错误．
故选BD.
答案：BD
11．解析：由题意，a2＝6，b2＝2，c2＝a2－b2＝4，
所以a＝ eq \r(6) ，b＝ eq \r(2) ，c＝2，|AB|≤2a＝2 eq \r(6) ， eq \f(2c,2b) ＝ eq \r(2) ，所以A正确，C错误；
由椭圆的对称性知，|AF1|＋|BF1|＝|AF1|＋|AF2|＝2a＝2 eq \r(6) ，所以B正确；
当A在y轴上时，cs ∠F1AF2＝ eq \f(6＋6－42,2×6) b2，∴c>b，∴c2>a2－c2，∴e∈( eq \f(\r(2),2) ，1)，所以该选项错误；
D．若|PF1|≤2b恒成立，所以a＋c≤2b，∴a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，所以5e2＋2e－3≤0，∴0k－1,3－k>0,k－1>0)) ，解得1