高考数学二轮复习专项分层特训命题点21 概率与统计含答案

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1．[2020·新高考Ⅰ卷]为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：
(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；
(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：
(3)根据(2)中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？
附：χ2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）) ，n＝a＋b＋c＋d.
2．[2022·北京卷]在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50 m以上(含9.50 m)的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据(单位：m)：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E(X)；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？(结论不要求证明)
3．[2022·新高考Ⅱ卷]在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率；
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.000 1).
4.
[2022·福建南平三模]南平市于2018年成功获得2022年第十七届福建省运会承办权．为进一步提升第十七届福建省运会志愿者综合素质，提高志愿者服务能力，南平市启动首批志愿者通识培训，并于培训后对参训志愿者进行了一次测试，通过随机抽样，得到100名参训志愿者的测试成绩，统计结果整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)由频率分布直方图可以认为，此次测试成绩X近似于服从正态分布N(μ，11.52)，μ近似为这100人测试成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)，
①求μ的值；
②利用该正态分布，求P(75.5(2)在(1)的条件下，主办单位为此次参加测试的志愿者制定如下奖励方案：①测试成绩不低于μ的可以获赠2次随机话费，测试成绩低于μ的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费的金额(元)和对应的概率为：
在此次参加测试的志愿者中随机抽取一名，记该志愿者获赠的话费为ξ(单位：元)，试根据样本估计总体的思想，求ξ的分布列与数学期望．
参考数据与公式：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ5.[2022·新高考Ⅰ卷]一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯(卫生习惯分为良好和不够良好两类)的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例(称为病例组)，同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组)，得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”， eq \f(P（B|A）,P（\(B,\s\up6(－))|A） ) 与 eq \f(P（B|\(A,\s\up6(－))）,P（\(B,\s\up6(－))|\(A,\s\up6(－))） ) 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R.
(ⅰ)证明：R＝ eq \f(P（A|B）,P（\(A,\s\up6(－))|B） ) · eq \f(P（\(A,\s\up6(－))|\(B,\s\up6(－))）,P（A|\(B,\s\up6(－))） ) ；
(ⅱ)利用该调查数据，给出P(A|B)，P(A| eq \(B,\s\up6(－)) )的估计值，并利用(ⅰ)的结果给出R的估计值．
附：χ2＝ eq \f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）) ，
6．[2022·山东日照二模]2018年9月10日，全国教育大会在北京召开，习近平总书记在会上提出“培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人”．某学校贯彻大会精神，为学生开设了一门模具加工课，经过一段时间的学习，拟举行一次模具加工大赛，学生小明、小红打算报名参加大赛．
(1)赛前，小明进行了一段时间的强化训练，加工完成一个模具的平均速度y(秒)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下表数据：
经研究发现，可用y＝a＋ eq \f(b,x) 作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为多少秒？
(2)小明和小红拟先举行一次模拟赛，每局比赛各加工一个模具，先加工完成模具的人获胜，两人约定先胜4局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为 eq \f(3,5) ，已知在前3局中小明胜2局，小红胜1局．若每局不存在平局，请你估计小明最终赢得比赛的概率．
参考数据：(其中ti＝ eq \f(1,xi) )
参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线 eq \(v,\s\up6(－)) ＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为β＝ eq \f(\i\su(i＝1,n,u)ivi－n\(u,\s\up6(－))·\(v,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,u) eq \\al(2,i) －n\(u,\s\up6(－))2) ，α＝ eq \(v,\s\up6(－)) －β· eq \(u,\s\up6(－)) .
命题点21 概率与统计(大题突破)
1．解析：(1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为 eq \f(64,100) ＝0.64.
(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：
(3)根据(2)的列联表得
χ2＝ eq \f(100×（64×10－16×10）2,80×20×74×26) ≈7.484.
由于7.484>6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关．
2．解析：(1)由题意知，甲以往比赛10次，其中成绩在9.50 m以上(包括9.50 m)共有4次，所以估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率p1＝ eq \f(4,10) ＝ eq \f(2,5) .
(2)由题意知，乙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率p2＝ eq \f(3,6) ＝ eq \f(1,2) ，丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率p3＝ eq \f(2,4) ＝ eq \f(1,2) .
设甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件A，B，C，并且A，B，C两两相互独立，
则X的可能取值为0，1，2，3.
P(X＝0)＝P( eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－)) eq \(C,\s\up6(－)) )＝(1－ eq \f(2,5) )×(1－ eq \f(1,2) )×(1－ eq \f(1,2) )＝ eq \f(3,20) ，
P(X＝1)＝P(A eq \(B,\s\up6(－)) eq \(C,\s\up6(－)) )＋P( eq \(A,\s\up6(－)) B eq \(C,\s\up6(－)) )＋P( eq \(A,\s\up6(－)) eq \(B,\s\up6(－)) C)＝ eq \f(2,5) ×(1－ eq \f(1,2) )×(1－ eq \f(1,2) )＋(1－ eq \f(2,5) )× eq \f(1,2) ×(1－ eq \f(1,2) )＋(1－ eq \f(2,5) )×(1－ eq \f(1,2) )× eq \f(1,2) ＝ eq \f(2,5) ，
P(X＝2)＝P(AB eq \(C,\s\up6(－)) )＋P( eq \(A,\s\up6(－)) BC)＋P(A eq \(B,\s\up6(－)) C)＝ eq \f(2,5) × eq \f(1,2) ×(1－ eq \f(1,2) )＋(1－ eq \f(2,5) )× eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＋ eq \f(2,5) ×(1－ eq \f(1,2) )× eq \f(1,2) ＝ eq \f(7,20) ，
P(X＝3)＝P(ABC)＝ eq \f(2,5) × eq \f(1,2) × eq \f(1,2) ＝ eq \f(1,10) .
所以X的分布列为
所以X的数学期望EX＝0× eq \f(3,20) ＋1× eq \f(2,5) ＋2× eq \f(7,20) ＋3× eq \f(1,10) ＝1.4.
(3)丙．理由如下：
由题意可得，甲、乙、丙三人参赛的结果共有10×6×4＝240(种).
丙获得冠军的结果有10×6＋8×5＝100(种)，
乙获得冠军的结果有9×3＋8×2＋6×2＋3×2＋2×2＝65(种)，甲获得冠军的结果有240－100－65＝75(种)，
所以丙获得冠军的概率估计值最大．
3．解析：(1)平均年龄 eq \(x,\s\up6(－)) ＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝(0.005＋0.03＋0.3＋0.595＋1.035＋1.1＋1.105＋0.45＋0.17)×10＝47.9(岁).
(2)设A＝{一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)}，则P(A)＝1－P( eq \(A,\s\up6(－)) )＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.
(3)设B＝{任选一人年龄位于区间[40，50)}，C＝{任选一人患这种疾病}，
则由条件概率公式，得
P(C|B)＝ eq \f(P（BC）,P（B）) ＝ eq \f(0.1%×0.023×10,16%) ＝ eq \f(0.001×0.23,0.16) ＝0.001 437 5≈0.001 4.
即此人患这种疾病的概率约为0.001 4.
4．解析：(1)由题，μ＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.15＋95×0.15＝75.5，
因为σ＝11.5，
所以P(75.5(2)由题，P(X<μ)＝P(X≥μ)＝ eq \f(1,2) ，
所获赠话费ξ的可能取值为10，20，30，40，60，
P(ξ＝10)＝ eq \f(1,2) × eq \f(3,4) ＝ eq \f(3,8) ，
P(ξ＝20)＝ eq \f(1,2) × eq \f(3,4) × eq \f(3,4) ＝ eq \f(9,32) ，
P(ξ＝30)＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,4) ＝ eq \f(1,8) ，
P(ξ＝40)＝ eq \f(1,2) × eq \f(3,4) × eq \f(1,4) ＋ eq \f(1,2) × eq \f(1,4) × eq \f(3,4) ＝ eq \f(3,16) ，
P(ξ＝60)＝ eq \f(1,2) × eq \f(1,4) × eq \f(1,4) ＝ eq \f(1,32) ，
所以ξ的分布列为：
所以E(ξ)＝10× eq \f(3,8) ＋20× eq \f(9,32) ＋30× eq \f(1,8) ＋40× eq \f(3,16) ＋60× eq \f(1,32) ＝ eq \f(45,2) .
5．解析：(1)由题意，得
χ2＝ eq \f(200×（40×90－60×10）2,（40＋60）×（10＋90）×（40＋10）×（60＋90）) ＝24>6.635，
∴有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异．
(2)(ⅰ)证明：∵ eq \f(\f(P(B|A),P(\(B,\s\up6(－))|A） ),\f(P（B|\(A,\s\up6(－))）,P（\(B,\s\up6(－))|\(A,\s\up6(－))） )) ＝ eq \f(P（B|A）,P（\(B,\s\up6(－))|A） ) · eq \f(P（\(B,\s\up6(－))|\(A,\s\up6(－))）,P（B|\(A,\s\up6(－))） ) ＝ eq \f(P（AB）,P（A）) · eq \f(P（A）,P（A\(B,\s\up6(－))） ) · eq \f(P（\(A,\s\up6(－))\(B,\s\up6(－))）,P（\(A,\s\up6(－))） ) · eq \f(P（\(A,\s\up6(－))）,P（\(A,\s\up6(－))B） ) ＝ eq \f(P（AB）,P（A\(B,\s\up6(－))） ) · eq \f(P（\(A,\s\up6(－))\(B,\s\up6(－))）,P（\(A,\s\up6(－))B） ) ，
eq \f(P（A|B）,P（\(A,\s\up6(－))|B） ) · eq \f(P（\(A,\s\up6(－))|\(B,\s\up6(－))）,P（A|\(B,\s\up6(－))） ) ＝ eq \f(P（AB）,P（B）) · eq \f(P（B）,P（\(A,\s\up6(－))B） ) · eq \f(P（\(A,\s\up6(－))\(B,\s\up6(－))）,P（\(B,\s\up6(－))） ) · eq \f(P（\(B,\s\up6(－))）,P（A\(B,\s\up6(－))） ) ＝ eq \f(P（AB）,P（\(A,\s\up6(－))B） ) · eq \f(P（\(A,\s\up6(－))\(B,\s\up6(－))）,P（A\(B,\s\up6(－))） ) ＝ eq \f(P（AB）,P（A\(B,\s\up6(－))） ) · eq \f(P（\(A,\s\up6(－))\(B,\s\up6(－))）,P（\(A,\s\up6(－))B） ) ，
∴R＝ eq \f(P（A|B）,P（\(A,\s\up6(－))|B） ) · eq \f(P（\(A,\s\up6(－))|\(B,\s\up6(－))）,P（A|\(B,\s\up6(－))） ) .
(ⅱ)由表格中的数据，得
P(A|B)＝ eq \f(40,100) ＝ eq \f(2,5) ，P(A| eq \(B,\s\up6(－)) )＝ eq \f(10,100) ＝ eq \f(1,10) ，
∴P( eq \(A,\s\up6(－)) |B)＝1－P(A|B)＝ eq \f(3,5) ，
P( eq \(A,\s\up6(－)) | eq \(B,\s\up6(－)) )＝1－P(A| eq \(B,\s\up6(－)) )＝ eq \f(9,10) ，
∴R＝ eq \f(P（A|B）,P（\(A,\s\up6(－))|B） ) · eq \f(P（\(A,\s\up6(－))|\(B,\s\up6(－))）,P（A|\(B,\s\up6(－))）) ＝ eq \f(\f(2,5),\f(3,5)) × eq \f(\f(9,10),\f(1,10)) ＝6.
6．解析：(1)由题意， eq \(y,\s\up6(－)) ＝ eq \f(1,7) (990＋990＋450＋320＋300＋240＋210)＝500，
令t＝ eq \f(1,x) ，设y关于t的线性回归方程为 eq \(y,\s\up6(^)) ＝ eq \(b,\s\up6(^)) t＋ eq \(a,\s\up6(^)) ，
则 eq \(b,\s\up6(^)) ＝ eq \f(\i\su(i＝1,7,t)iyi－7\(t,\s\up6(－))·\(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,7,t) eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(i)) －7\(t,\s\up6(－))2) ＝ eq \f(1 845－7×0.37×500,0.55) ＝1 000，
则 eq \(a,\s\up6(^)) ＝500－1 000×0.37＝130，
∴ eq \(y,\s\up6(^)) ＝1 000t＋130，
∴y关于x的回归方程为 eq \(y,\s\up6(^)) ＝ eq \f(1 000,x) ＋130，
当x＝50时， eq \(y,\s\up6(^)) ＝150，
∴预测小明经过50天训练后，加工完成一个模具的平均速度y约为150秒．
(2)设比赛再继续进行X局小明最终赢得比赛，则最后一局一定是小明获胜，
由题意知，最多再进行4局就有胜负，X的可能取值为2、3、4.
当X＝2时，小明4∶1胜，∴P(X＝2)＝ eq \f(3,5) × eq \f(3,5) ＝ eq \f(9,25) ；
当X＝3时，小明4∶2胜，∴P(X＝3)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) × eq \f(3,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5))) × eq \f(3,5) ＝ eq \f(36,125) ；
当X＝4时，小明4∶3胜，∴P(X＝4)＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(3)) × eq \f(3,5) × eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5))) 2× eq \f(3,5) ＝ eq \f(108,625) .
∴小明最终赢得比赛的概率为 eq \f(9,25) ＋ eq \f(36,125) ＋ eq \f(108,625) ＝ eq \f(513,625) .
SO2
PM2.5
[0，50]
(50，150]
(150，475]
[0，35]
32
18
4
(35，75]
6
8
12
(75，115]
3
7
10
SO2
PM2.5
[0，150]
(150，475]
[0，75]
(75，115]
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
赠送话费的金额(元)
10
30
概率
eq \f(3,4)
eq \f(1,4)
不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
x(天)
1
2
3
4
5
6
7
y(秒)
990
990
450
320
300
240
210
eq \i\su(i＝1,7,t) iyi
eq \(t,\s\up6(－))
eq \i\su(i＝1,7,t) eq \\al(2,i) －7× eq \(t,\s\up6(－)) 2
1845
0.37
0.55
SO2
PM2.5
[0，150]
(150，475]
[0，75]
64
16
(75，115]
10
10
X
0
1
2
3
P
eq \f(3,20)
eq \f(2,5)
eq \f(7,20)
eq \f(1,10)
ξ
10
20
30
40
60
P
eq \f(3,8)
eq \f(9,32)
eq \f(1,8)
eq \f(3,16)
eq \f(1,32)