高考数学二轮复习专项分层特训命题点10数列的递推含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训命题点10数列的递推含答案，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单项选择题
1．[2022·广东汕头模拟]在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1－ eq \f(1,an) ，则a2 022的值为( )
A．－2 B． eq \f(1,3)
C． eq \f(1,2) D． eq \f(3,2)
2．[2022·山东师范大学附中模拟]如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n项和为Sn，则S22＝( )
A.361 B．374
C．385 D．395
3．[2022·湖南师大附中二模]设数列{an}满足a1＋2a2＝3，点Pn(n，an)对任意的n∈N*，都有PnPn＋1＝(1，2)则数列{an}的前n项和Sn＝( )
A．n(n－ eq \f(4,3) ) B．n(n－ eq \f(3,4) )
C．n(n－ eq \f(2,3) ) D．n(n－ eq \f(1,2) )
4．[2022·湖北部分学校5月联考]已知正项数列{an}满足2a eq \\al(2,n) ＝a eq \\al(2,n＋1) ＋a eq \\al(2,n－1) (n∈N*，n≥2)，a1＝1，a2＝2，则a30＝( )
A．7 eq \r(2) B．2 eq \r(22)
C． eq \r(31) D． eq \r(29)
5．[2022·山东肥城模拟]记Tn为数列{an}的前n项积，已知 eq \f(1,Tn) ＋ eq \f(3,an) ＝3，则T10＝ ( )
A． eq \f(16,3) B． eq \f(15,4)
C． eq \f(13,3) D． eq \f(11,4)
6．[2022·湖南长郡中学模拟]已知数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝ eq \f(n,3) (n∈N*)，则an＝( )
A． eq \f(1,3n) B． eq \f(1,3n－1)
C． eq \f(1,3n) D． eq \f(1,3n＋1)
7．[2022·山东菏泽二模]已知数列{an}中，a1＝1，且对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋1，则下列选项正确的是( )
A．an＋1－an的值随n的变化而变化
B．a5a6＝a1a10
C．若m＋n＝2p，则am＋an＝a2p
D． eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n))) 为递增数列
8．[2022·广东华南师大附中三模]已知数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3，a1＝1，a2＝2，数列{an}的前n项和为Sn，则S30＝( )
A．351 B．353
C．531 D．533
二、多项选择题
9．[2022·广东广州5月联考]已知数列{an}满足a1＝1，an＋an－1＝n2(n≥2，n∈N*)，Sn为其前n项和，则( )
A．a4－a2＝7 B．a10＝55
C．S5＝35 D．a8＋a4＝28
10．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，则有( )
A．Sn＝3n－1 B．{Sn}为等比数列
C．an＝2·3n－1 D．an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n＝1,2·3n－2，n≥2))
11．[2022·河北保定一模]已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，a2＝2，an＋1＝4an－3an－1，则下面说法正确的是( )
A．数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋1－an)) 为等比数列
B．数列 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋1－3an)) 为等差数列
C．an＝3n－1＋1
D．Sn＝ eq \f(3n－1,4) ＋ eq \f(n,2)
12．[2022·山东聊城一模]在数列{an}中，对于任意的n∈N*都有an>0，且a eq \\al(2,n＋1) －an＋1＝an，则下列结论正确的是( )
A．对于任意的n≥2，都有an>1
B．对于任意的a1>0，数列{an}不可能为常数列
C．若0D．若a1>2，则当n≥2时，2三、填空题
13．设数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n，则an＝________．
14．[2022·福建长汀一中模拟]已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ eq \f(an,2＋3an) (n∈N*)，则 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an))) 的前n项和为________．
15．[2022·湖南衡阳三模]已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足anan＋1＝2Sn(n∈N*)，则a2＋a4＋a6＋…＋a66＝________．
16．[2022·北京卷]已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和Sn，满足an·Sn＝9(n＝1，2，…).给出下列四个结论：
①{an}的第2项小于3；②{an}为等比数列；③{an}为递减数列；④{an}中存在小于 eq \f(1,100) 的项．
其中所有正确结论的序号是________．
命题点10 数列的递推(小题突破)
1．解析：在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1－ eq \f(1,an) ，a2＝1－ eq \f(1,a1) ＝1－ eq \f(1,－2) ＝ eq \f(3,2) ，a3＝1－ eq \f(1,a2) ＝1－ eq \f(2,3) ＝ eq \f(1,3) ，a4＝1－ eq \f(1,a3) ＝1－3＝－2，所以数列{an}的周期为3，2 022＝3×674，所以a2 022＝a3＝ eq \f(1,3) .
故选B.
答案：B
2．解析：根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：
1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，
所以S22＝(1＋3＋6＋10＋15＋21＋28＋36＋45＋55＋66)＋(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13)＝286＋ eq \f(（3＋13）×11,2) ＝374.
故选B.
答案：B
3．解析：因为PnPn+1＝OPn+1－OPnOPn＝(n＋1，an＋1)－(n，an)＝(1，an＋1－an)＝(1，2)，
可得an＋1－an＝2，所以{an}是公差为2的等差数列，
由a1＋2a2＝3，得a1＝－ eq \f(1,3) ，所以Sn＝－ eq \f(n,3) ＋ eq \f(1,2) n(n－1)×2＝n(n－ eq \f(4,3) ).
故选A.
答案：A
4．解析：由题意知，数列{a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) }为等差数列，公差d＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝4－1＝3，
则a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋3(n－2)＝4＋3n－6＝3n－2，
所以a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(30)) ＝3×30－2＝88，a30＝ eq \r(3×30－2) ＝2 eq \r(22) .
故选B.
答案：B
5．解析：n＝1，T1＝ eq \f(4,3) ，Tn＝a1a2a3…an，则an＝ eq \f(Tn,Tn－1) (n≥2)，代入 eq \f(1,Tn) ＋ eq \f(3,an) ＝3，
化简得：Tn－Tn－1＝ eq \f(1,3) ，则Tn＝ eq \f(n＋3,3) ，T10＝ eq \f(13,3) .
故选C.
答案：C
6．解析：由题设，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝ eq \f(n,3) ①，则a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝ eq \f(n－1,3) (n≥2) ②，
①－②得：3n－1an＝ eq \f(n,3) － eq \f(n－1,3) ＝ eq \f(1,3) (n≥2)，
所以an＝ eq \f(1,3n) (n≥2)，由①知a1＝ eq \f(1,3) 也满足上式，故an＝ eq \f(1,3n) (n∈N*).
故选C.
答案：C
7．解析：因为对任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋1，
所以令m＝1，得an＋1－an＝a1＋1＝1＋1＝2，故A不正确；
所以an＝a1＋(n－1)×2＝1＋2n－2＝2n－1，
所以a5a6－a1a10＝9×11－1×19＝80≠0，所以B不正确；
若m＋n＝2p，则am＋an－a2p＝2m－1＋2n－1－4p＋1＝－1≠0，故C不正确；
eq \f(Sn,n) ＝ eq \f(\f(n（1＋2n－1）,2),n) ＝n，所以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n))) 为递增数列，故D正确．
故选D.
答案：D
8．解析：依题意，an＋2＋(－1)nan＝3，
显然，当n为奇数时有an＋2－an＝3，
即有a3－a1＝3，a5－a3＝3，…，a2n＋1－a2n－1＝3，
令bn＝a2n－1，故bn＋1－bn＝3，
所以数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列，
故bn＝3n－2；
当n为偶数时有an＋2＋an＝3，
即a4＋a2＝3，a6＋a4＝3，…，a2n＋2＋a2n＝3，
于是，S30＝(a1＋a3＋…＋a29)＋(a2＋a4＋…＋a30)
＝(b1＋b2＋…＋b15)＋ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(a2＋（a4＋a6）＋…＋（a28＋a30）))
＝ eq \f(1＋43,2) ×15＋2＋7×3＝330＋23＝353，
故选B.
答案：B
9．解析：因为a1＝1，a2＋a1＝22，a3＋a2＝32，a4＋a3＝42，
a5＋a4＝52，a6＋a5＝62，…，a10＋a9＝102，
所以a4－a2＝42－32＝7，a6－a4＝62－52＝11，
a8－a6＝82－72＝15，a10－a8＝102－92＝19，
累加得a10－a2＝7＋11＋15＋19＝52，
∴a10＝a2＋52＝22－a1＋52＝3＋52＝55，S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1＋32＋52＝35，
因为a4－a2＝7，a8－a2＝7＋11＋15＝33，所以a8＋a4＝7＋33＋2a2＝46，
故选ABC.
答案：ABC
10．解析：依题意a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，
当n＝1时，a2＝2a1＝2，
当n≥2时，an＝2Sn－1，
an＋1－an＝2Sn－2Sn－1＝2an，所以an＋1＝3an，
所以an＝a2·3n－2＝2·3n－2(n≥2)，
所以an＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1，n＝1,2·3n－2，n≥2)) .
当n≥2时，Sn＝ eq \f(an＋1,2) ＝3n－1；当n＝1时，S1＝a1＝1符合上式，所以Sn＝3n－1.
eq \f(Sn＋1,Sn) ＝3，所以数列{Sn}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以ABD选项正确，C选项错误．
故选ABD.
答案：ABD
11．解析：根据题意得an＋1＝4an－3an－1⇒an＋1＋kan＝(k＋4)an－3an－1＝(k＋4)(an－ eq \f(3,k＋4) an－1)，令k＝－ eq \f(3,k＋4) ⇒k2＋4k＋3＝0⇒k＝－1或k＝－3，所以可得an＋1－an＝3(an－an－1)或an＋1－3an＝an－3an－1，所以数列{an＋1－an}为公比为3的等比数列，故选项A正确；
数列{an＋1－3an}为常数列，即为公差为0的等差数列，故选项B正确；
所以an＋1－an＝1×3n－1，且an＋1－3an＝－1，
解得an＝ eq \f(3n－1＋1,2) ，所以C错误，
所以Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝ eq \f(30＋1,2) ＋ eq \f(31＋1,2) ＋…＋ eq \f(3n－1＋1,2)
＝ eq \f(1,2) (30＋31＋…＋3n－1)＋ eq \f(n,2)
＝ eq \f(1,2) × eq \f(1－3n,1－3) ＋ eq \f(n,2)
＝ eq \f(3n－1,4) ＋ eq \f(n,2) ，所以D正确，
故选ABD.
答案：ABD
12．解析：A：由an＋1＝ eq \f(an,an＋1) ＋1，对∀n∈N*有an>0，则an＋1＝ eq \f(an,an＋1) ＋1>1，即任意n≥2都有an>1，正确；
B：由an＋1(an＋1－1)＝an，若{an}为常数列且an>0，则an＝2满足a1>0，错误；
C：由 eq \f(an,an＋1) ＝an＋1－1且n∈N*，
当1当an＋1>2时 eq \f(an,an＋1) >1，此时a1＝a2(a2－1)>a2>2，数列{an}递减；
所以0D：由C分析知：a1>2时an＋1>2且数列{an}递减，即n≥2时2故选ACD.
答案：ACD
13．解析：当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)＝n2－n，
所以an＝Sn－Sn－1＝2n，
a1＝2也符合上式，
所以an＝2n.
答案：2n
14．解析：数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ eq \f(an,2＋3an) (n∈N*)，整理得：2an＋1＋3anan＋1＝an，
所以 eq \f(1,an＋1) ＋3＝2( eq \f(1,an) ＋3)，
又 eq \f(1,a1) ＋3＝4，
故 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋3)) 是以4为首项，2为公比的等比数列，
所以 eq \f(1,an) ＋3＝4·2n－1＝2n＋1，所以 eq \f(1,an) ＝2n＋1－3，所以 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an))) 的前n项和Tn＝ eq \f(4（1－2n）,1－2) －3n＝2n＋2－3n－4.
答案：2n＋2－3n－4
15．解析：由于数列{an}的各项均为正数，即an>0，
当n＝1时，2S1＝a1a2，即2a1＝a1a2，∴a2＝2，
当n≥2时，由2Sn＝anan＋1，可得2Sn－1＝an－1an，
两式相减得2an＝an(an＋1－an－1)，
又∵an≠0，∴an＋1－an－1＝2，
∴{a2n}为一个以2为首项，2为公差的等差数列，
∴a2＋a4＋a6＋…＋a2n＝2n＋ eq \f(n（n－1）×2,2) ＝n(n＋1).
故a2＋a4＋a6＋…＋a66＝33×34＝1 122.
答案：1 122
16．解析：由题意可知an>0，n∈N*.当n＝1时，a1＝S1，所以a1·S1＝a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝9.又an>0，所以a1＝3.由an·Sn＝9(n＝1，2，…)，得an·Sn＝an＋1·Sn＋1，即 eq \f(an＋1,an) ＝ eq \f(Sn,Sn＋1) .又数列{an}的各项均为正数，所以 eq \f(Sn,Sn＋1) <1，所以 eq \f(an＋1,an) <1，即an＋190 000，则Sn>900，an·Sn>9，与题设矛盾，所以数列{an}中存在小于 eq \f(1,100) 的项，所以④正确．故正确结论的序号为①③④.
答案：①③④