高考数学二轮复习专项分层特训命题点17排列、组合与二项式定理含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训命题点17排列、组合与二项式定理含答案，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．[2022·新高考Ⅱ卷]甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
2．[2022·广东惠州一模]现有3名学生报名参加校园文化活动的3个项目，每人须报1项且只报1项，则恰有2名学生报同一项目的报名方法有( )
A．36种 B．18种
C．9种 D．6种
3．[2020新高考Ⅰ卷]6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
4．[2021·全国乙卷] 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种 B．120种
C．240种 D．480种
5．[2022·山东临沂一模]公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：3.141 592 6<π<3.141 592 7，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.141 592 6称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们把小数点后的7位数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么可以得到大于3.14的不同数字的个数为( )
A．720 B．1 440
C．2 280 D．4 080
6．[2022·辽宁葫芦岛一模](2x－ eq \f(1,\r(x)) )6的展开式中的常数项为( )
A．－120 B．120
C．－60 D．60
7．[2022·山东枣庄三模]在(x2－2x＋y)6的展开式中，含x5y2项的系数为( )
A．－480 B．480
C．－240 D．240
8．[2022·河北唐山三模](1＋x2)(x－ eq \f(1,x) )4的展开式中x2的系数为( )
A．－4 B．－2
C．2 D．10
9．[2022·福建漳州一模]已知二项式(ax＋y)5(a∈R)的展开式的所有项的系数和为32，则(x2－ eq \f(a,\r(x)) )10的展开式中常数项为( )
A．45 B．－45
C．1 D．－1
10．[2022·北京卷] 若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝( )
A．40 B．41
C．－40 D．－41
二、多项选择题
11.
[2022·山东日照二模]传说古希腊科学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径与圆柱的高相等．因为阿基米德认为这个“圆柱容球”是他在几何上最为得意的发现，于是留下遗言：他去世后，墓碑上要刻上一个“圆柱容球”的几何图形．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，若f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m,n)x3－\f(1,x))) 8，则( )
A．n＝ eq \f(3,2)
B．f(x)的展开式中的x4的系数为56
C．f(x)的展开式中的各项系数之和为0
D．f(i)＝－16，其中i为虚数单位
12．[2022·江苏扬州模拟]已知f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x))) 9，则下列说法中正确的有( )
A．f(x)的展开式中的常数项为84
B．f(x)的展开式中不含 eq \f(1,x3) 的项
C．f(x)的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
D．f(x)的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
三、填空题
13．[2022·山东济宁二模]从甲、乙、丙3名同学中选出2人担任正、副班长两个职位，共有n种方法，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x))) n的展开式中的常数项为________．(用数字作答)
14．[2022·新高考Ⅰ卷] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(y,x))) (x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答).
15．[2022·浙江卷] 已知多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝______，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝______．
16．[2022·河北石家庄二中模拟]某省示范性高中安排5名教师去A，B，C三所乡村中学支教，每所中学至少去1人，因工作需要，其中的教师甲不能去A中学，则分配方案的种数为________．(用数字作答)
命题点17 排列、组合与二项式定理(小题突破)
1．解析：先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人，再用插空法选甲的位置，共有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(2)) ＝24(种)不同的排列方式．故选B.
答案：B
2．解析：根据题意首先从3名学生中选2名选报同一项目作为一个整体，
然后从3个项目中选择2个项目排列即可，故不同的报名方法种数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ·A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝18.
故选B.
答案：B
3．解析：先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) 种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) 种选法，由分步乘法计数原理知，共有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(6)) ·C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ·C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝60(种)不同的安排方法．故选C.
答案：C
4．解析：根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ×4！＝240种不同的分配方案．
答案：C
5．解析：一共有7个数字，且其中有两个相同的数字1.
这7个数字按题意随机排列，可以得到 eq \f(A eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(7)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ＝2 520个不同的数字．
当前两位数字为11或12时，得到的数字不大于3.14，
当前两位数字为11或12时，共可以得到2A eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＝240个不同的数字，
则大于3.14的不同数字的个数为2 520－240＝2 280.
故选C.
答案：C
6．解析： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,\r(x)))) eq \s\up12(6) 的展开式中的r＋1项为Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) (2x)6－r eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x)))) r＝(－1)r·C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) ·26－r·x6－ eq \f(3,2) r，
令6－ eq \f(3,2) r＝0，解得r＝4，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,\r(x)))) 6的展开式中的常数项为(－1)4·C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) ·26－4＝60.
故选D.
答案：D
7．解析：(x2－2x＋y)6看成是6个(x2－2x＋y)相乘，要得到x5y2，分以下情况：
6个因式中，2个因式取y，1个因式取x2，3个因式取－2x，此时x5y2的系数C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ·(－2)3＝－480，所以x5y2的系数为－480.
故选A.
答案：A
8．解析： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x))) 4的第k＋1项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) x4－k(－x－1)k＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) (－1)kx4－2k，
令4－2k＝2，则k＝1，C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) (－1)k＝－4，
令4－2k＝0，则k＝2，C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(4)) (－1)k＝6，
则(1＋x2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x))) 4的展开式中x2的系数为1×(－4)＋1×6＝2，
故选C.
答案：C
9．解析：令x＝1，y＝1，可得展开式的所有项的系数之和(a＋1)5＝32，得a＝1，
所以 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(a,\r(x)))) 10＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2－\f(1,\r(x)))) 10，
其通项Tk＋1＝C eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) (x2)10－k eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x)))) k＝(－1)kC eq \\al(\s\up1(k),\s\d1(10)) x20－ eq \f(5,2) k，令20－ eq \f(5k,2) ＝0，得k＝8，所以展开式中常数项为(－1)8C eq \\al(\s\up1(8),\s\d1(10)) ＝45.
故选A.
答案：A
10．解析：方法一 当x＝1时，1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0 ①；当x＝－1时，81＝a4－a3＋a2－a1＋a0 ②.(①＋②)÷2，得a4＋a2＋a0＝ eq \f(1＋81,2) ＝41.故选B.
方法二 由二项式定理可得(2x－1)4＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) (2x)4(－1)0＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) (2x)3(－1)1＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) (2x)2(－1)2＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) (2x)(－1)3＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) (2x)0(－1)4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1，所以a4＝16，a2＝24，a0＝1，所以a0＋a2＋a4＝41.故选B.
答案：B
11．解析：对于A，设内切球的半径为r，则圆柱的高为2r，
∴m＝ eq \f(πr2·2r,\f(4,3)πr3) ＝ eq \f(3,2) ，n＝ eq \f(2πr2＋2πr·2r,4πr2) ＝ eq \f(3,2) ，A正确；
从而可知 eq \f(m,n) ＝1，∴f(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x))) 8；
对于B，f(x)展开式通项公式为：Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) x24－3r eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x))) r＝(－1)rC eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(8)) x24－4r，
令24－4r＝4，解得r＝5，∴f(x)的展开式中的x4的系数为(－1)5C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(8)) ＝－56，B错误；
对于C，f(1)＝0，即f(x)展开式的各项系数之和为0，C正确；
对于D，f(i)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(i3－\f(1,i))) 8＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－i＋i)) 8＝0，D错误．
故选AC.
答案：AC
12．解析： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,x))) 9展开式的通项公式Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(9)) (x2)9－r eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))) r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(9)) x18－3r，
当r＝6时，T7＝C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(9)) ＝84，A正确；
当r＝7时，T8＝C eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(9)) x－3＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(9)) ,x3) ，B错误；
f(x)的展开式中各项系数和为29，二项式系数之和为29，C正确；
根据二项式系数的性质可知，C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(9)) ＝C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(9)) 最大，所以，f(x)的展开式中二项式系数最大的项是第五项和第六项，D错误．
故选AC.
答案：AC
13．解析：因为从甲、乙、丙3名同学中选出2人担任正、副班长两个职位，共有n种方法，
所以n＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝6，
所以二项式 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(1,x))) 6展开式的通项公式为
Tr＋1＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) (2x)6－r eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,x))) r＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(6)) ·(－1)r·26－r·x6－2r，
令6－2r＝0，得r＝3，
所以二项式展开式的常数项为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ·(－1)3·23＝－160，
答案：－160
14．解析：(1－ eq \f(y,x) )(x＋y)8＝(x＋y)8－ eq \f(y,x) (x＋y)8，由二项式定理可知其展开式中x2y6的系数为C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(8)) －C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(8)) ＝－28.
答案：－28
15．解析：因为(x＋2)(x－1)4展开式中x2的系数为a2，所以a2＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) (－1)3＋2C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) (－1)2＝8.在多项式(x＋2)(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5中，令x＝0，得a0＝2；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－a0＝－2.
答案：8 －2
16．解析：①若三所学校分配人数分别为1，1，3时，共有 eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ·A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝60种安排方法；
其中甲去A中学的安排方法有C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝20种；
则此时分配方案的种数为60－20＝40种；
②若三所学校分配人数分别为1，2，2时，共有 eq \f(C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ,A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ) ·A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝90种安排方法；
其中甲去A中学的安排方法有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝30种；
则此时分配方案的种数为90－30＝60种；
综上所述：满足题意的分配方案的种数为40＋60＝100种．
答案：100