高考数学二轮复习专项分层特训命题点6三角恒等变换含答案

这是一份高考数学二轮复习专项分层特训命题点6三角恒等变换含答案，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1．[2022·湖南岳阳三模]1－2cs267.5°＝( )
A．－ eq \f(1,2) B．－ eq \f(\r(2),2)
C．－ eq \f(\r(3),2) D． eq \f(\r(2),2)
2．[2021·新高考Ⅰ卷]若tanθ＝－2，则 eq \f(sin θ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋sin 2θ)),sin θ＋cs θ) ＝( )
A．－ eq \f(6,5) B. － eq \f(2,5)
C． eq \f(2,5) D. eq \f(6,5)
3．[2022·福建模拟]已知α为锐角，且sin (α＋ eq \f(π,3) )＝sin (α－ eq \f(π,6) )，则tan α＝( )
A． eq \r(3) B．2＋ eq \r(3)
C． eq \r(6) D． eq \r(6) ＋ eq \r(3)
4．[2022·广东汕头三模]已知α∈(0，π)，sin ( eq \f(π,4) －α)＝ eq \f(3,5) ，则cs 2α＝( )
A． eq \f(24,25) B．－ eq \f(16,25)
C．－ eq \f(24,25) D． eq \f(13,25)
5．[2021·全国甲卷]若α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，tan 2α＝ eq \f(cs α,2－sin α) ，则tan α＝( )
A． eq \f(\r(15),15) B． eq \f(\r(5),5)
C． eq \f(\r(5),3) D． eq \f(\r(15),3)
6．[2022·新高考Ⅱ卷]若sin (α＋β)＋cs (α＋β)＝2 eq \r(2) cs (α＋ eq \f(π,4) )sin β，则( )
A．tan (α－β)＝1 B．tan (α＋β)＝1
C．tan (α－β)＝－1 D．tan (α＋β)＝－1
7．[2022·广东韶关二模]已知 sin α＋cs α＝ eq \f(1,5) ，则 eq \f(tan （π＋α）＋1,2sin2α＋sin2α) ＝( )
A．－ eq \f(175,24) B． eq \f(175,24)
C．－ eq \f(25,24) D． eq \f(25,24)
8．[2022·山东胜利一中模拟]已知α，β∈(0，π)，且tan α＝ eq \f(cs 2β－1,sin 2β) ＝2，则cs (α－β)＝( )
A．－ eq \f(4,5) B．－ eq \f(3,5)
C． eq \f(3,5) D． eq \f(4,5)
二、多项选择题
9．[2022·河北石家庄高三期末]下列式子等于cs (x－ eq \f(π,6) )的是( )
A．cs (x－ eq \f(5π,6) ) B．sin (x－ eq \f(2π,3) )
C． eq \f(\r(3)cs x＋sin x,2) D．2cs2( eq \f(π,12) － eq \f(x,2) )－1
10．[2022·广东湛江二模]已知π是函数y＝2sin(ωx＋ eq \f(π,6) )cs (ωx＋ eq \f(π,6) )(ω≠0)的一个周期，则ω的取值可能为( )
A．－2 B．1
C． eq \f(1,2) D．3
11．已知α，β，γ∈(0， eq \f(π,2) )，sin α＋sin γ＝sin β，cs β＋cs γ＝cs α，则下列说法正确的是( )
A．cs (β－α)＝ eq \f(1,2) B．cs (β－α)＝ eq \f(1,3)
C．β－α＝－ eq \f(π,3) D．β－α＝ eq \f(π,3)
12．[2022·河北张家口高三期末]已知sin θcs θ＋ eq \r(3) cs2θ＝csθ＋ eq \f(\r(3),2) ，θ∈(0， eq \f(π,2) )，则θ＝( )
A． eq \f(π,3) B． eq \f(π,6)
C． eq \f(π,12) D． eq \f(π,18)
三、填空题
13．[2022·湖南长郡中学模拟]已知sin α－cs α＝ eq \f(5,4) ，则sin 2α＝________．
14．[2022·河北秦皇岛二模]已知α为锐角，且tan α＋tan ( eq \f(π,4) －α)＝ eq \f(5,3) ，则 eq \f(sin 2α＋1,cs 2α) ＝________．
15．[2022·江苏南京模拟]已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4))) ＝ eq \f(1,3) ，x∈(0，π)，则sin x＝________．
16．[2022·浙江卷]若3sin α－sin β＝ eq \r(10) ，α＋β＝ eq \f(π,2) ，则sin α＝______，cs 2β＝______．
命题点6 三角恒等变换(小题突破)
1．解析：由余弦的倍角公式，可得1－2cs267.5°＝－cs(2×67.5°)＝－cs 135°＝ eq \f(\r(2),2) .
故选D.
答案：D
2．解析：将式子进行齐次化处理得：
eq \f(sin θ（1＋sin 2θ）,sin θ＋cs θ) ＝ eq \f(sin θ（sin 2θ＋cs 2θ＋2sin θcs θ）,sin θ＋cs θ)
＝sin θ(sin θ＋cs θ)＝ eq \f(sin θ（sin θ＋cs θ）,sin 2θ＋cs 2θ) ＝ eq \f(tan 2θ＋tan θ,1＋tan 2θ) ＝ eq \f(4－2,1＋4) ＝ eq \f(2,5) .故选C.
答案：C
3．解析：因为sin (α＋ eq \f(π,3) )＝sin (α－ eq \f(π,6) )，所以 eq \f(1,2) sin α＋ eq \f(\r(3),2) cs α＝ eq \f(\r(3),2) sin α－ eq \f(1,2) cs α，
所以( eq \r(3) ＋1)cs α＝( eq \r(3) －1)sin α，所以tan α＝ eq \f(\r(3)＋1,\r(3)－1) ＝2＋ eq \r(3) .
故选B.
答案：B
4．解析：因为α∈(0，π)， eq \f(π,4) －α∈(－ eq \f(3,4) π， eq \f(π,4) )，sin ( eq \f(π,4) －α)＝ eq \f(3,5) >0，
所以 eq \f(π,4) －α∈(0， eq \f(π,4) )，cs ( eq \f(π,4) －α)＝ eq \f(4,5) ，
cs 2α＝cs eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（\f(π,4)－α）－\f(π,2))) ＝sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2（\f(π,4)－α）))
＝2sin ( eq \f(π,4) －α)cs ( eq \f(π,4) －α)＝2× eq \f(3,5) × eq \f(4,5) ＝ eq \f(24,25) .
故选A.
答案：A
5．解析：方法一 因为tan 2α＝ eq \f(sin 2α,cs 2α) ＝ eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α) ，且tan 2α＝ eq \f(cs α,2－sin α) ，所以 eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α) ＝ eq \f(csα,2－sin α) ，解得sin α＝ eq \f(1,4) .因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，所以cs α＝ eq \f(\r(15),4) ，tan α＝ eq \f(sin α,cs α) ＝ eq \f(\r(15),15) .故选A.
方法二 因为tan 2α＝ eq \f(2tan α,1－tan2α) ＝ eq \f(\f(2sinα,cs α),1－\f(sin2α,cs2α)) ＝ eq \f(2sinαcs α,cs2α－sin2α) ＝ eq \f(2sinαcs α,1－2sin2α) ，且tan2α＝ eq \f(cs α,2－sin α) ，所以 eq \f(2sin αcs α,1－2sin2α) ＝ eq \f(csα,2－sin α) ，解得sin α＝ eq \f(1,4) .因为α∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))) ，所以cs α＝ eq \f(\r(15),4) ，tan α＝ eq \f(sin α,cs α) ＝ eq \f(\r(15),15) .故选A.
答案：A
6．解析：方法一 设β＝0，则sin α＋cs α＝0，即tan α＝－1.取α＝ eq \f(3π,4) ，排除A，B.设α＝0，则sin β＋cs β＝2sin β，即tan β＝1.取β＝ eq \f(π,4) ，排除D.故选C.
方法二 因为sin (α＋β)＋cs (α＋β)＝ eq \r(2) ·sin (α＋β＋ eq \f(π,4) )＝ eq \r(2) sin [(α＋ eq \f(π,4) )＋β]＝ eq \r(2) sin (α＋ eq \f(π,4) )·cs β＋ eq \r(2) cs (α＋ eq \f(π,4) )sin β＝2 eq \r(2) cs (α＋ eq \f(π,4) )sin β，所以 eq \r(2) sin (α＋ eq \f(π,4) )cs β＝ eq \r(2) cs (α＋ eq \f(π,4) )sin β，所以sin (α＋ eq \f(π,4) )cs β－cs (α＋ eq \f(π,4) )sin β＝0，即sin (α＋ eq \f(π,4) －β)＝0.所以sin (α－β＋ eq \f(π,4) )＝ eq \f(\r(2),2) sin (α－β)＋ eq \f(\r(2),2) cs (α－β)＝0，即sin (α－β)＝－cs (α－β)，所以tan (α－β)＝－1.故选C.
方法三 因为sin (α＋β)＋cs (α＋β)＝2 eq \r(2) ·cs (α＋ eq \f(π,4) )sin β，所以sin αcs β＋cs αsin β＋cs αcs β－sin αsin β＝2 eq \r(2) sin β( eq \f(\r(2),2) cs α－ eq \f(\r(2),2) sin α)＝2sin βcs α－2sin αsin β，所以cs αcs β＋sin αsin β＝－sin αcs β＋sin βcs α，所以cs (α－β)＝－sin (α－β)，所以tan (α－β)＝－1.故选C.
答案：C
7．解析：由题知sin α＋cs α＝ eq \f(1,5) ，有2sin αcs α＝－ eq \f(24,25) ，
所以 eq \f(tan （π＋α）＋1,2sin2α＋sin2α) ＝ eq \f(tan α＋1,2sin α（sin α＋cs α）)
＝ eq \f(sin α＋cs α,cs α) × eq \f(1,2sin α（sin α＋cs α）)
＝ eq \f(1,2sin αcs α) ＝－ eq \f(25,24) ，
故选C.
答案：C
8．解析：∵ eq \f(cs 2β－1,sin 2β) ＝ eq \f(－2sin2β,2sin βcs β) ＝－tan β，∴tan α＝2，tan β＝－2，
∵α，β∈(0，π)，∴α∈(0， eq \f(π,2) )，β∈( eq \f(π,2) ，π)，
∴sin α＝ eq \f(2\r(5),5) ，cs α＝ eq \f(\r(5),5) ，sin β＝ eq \f(2\r(5),5) ，cs β＝－ eq \f(\r(5),5) ，
∴cs (α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β＝ eq \f(\r(5),5) ×(－ eq \f(\r(5),5) )＋ eq \f(2\r(5),5) × eq \f(2\r(5),5) ＝ eq \f(3,5) .
故选C.
答案：C
9．解析：cs (x－ eq \f(5π,6) )＝cs (x＋ eq \f(π,6) －π)＝－cs (x＋ eq \f(π,6) )≠cs (x－ eq \f(π,6) )，故A不正确；
sin (x－ eq \f(2π,3) )＝sin (x－ eq \f(π,6) － eq \f(π,2) )＝－cs (x－ eq \f(π,6) )≠cs (x－ eq \f(π,6) )，故B不正确；
eq \f(\r(3)cs x＋sin x,2) ＝ eq \f(\r(3),2) cs x＋ eq \f(1,2) sin x＝cs (x－ eq \f(π,6) )，故C正确；
2cs2( eq \f(π,12) － eq \f(x,2) )－1＝cs( eq \f(π,6) －x)＝cs (x－ eq \f(π,6) )，故D正确．
故选CD.
答案：CD
10．解析：依题意得，
y＝2sin (ωx＋ eq \f(π,6) )cs (ωx＋ eq \f(π,6) )＝sin (2ωx＋ eq \f(π,3) )，
由周期函数定义得：
f(x＋π)＝f(x)，即：sin eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2ω（x＋π）＋\f(π,3))) ＝sin (2ωx＋ eq \f(π,3) ) ，
即：sin (2ωx＋2ωπ＋ eq \f(π,3) )＝sin (2ωx＋ eq \f(π,3) )，
∴2ωx＋2ωπ＋ eq \f(π,3) ＝2ωx＋ eq \f(π,3) ＋2kπ，k∈Z，
解得：ω＝k，k∈Z，
又∵ω≠0，
∴ω＝1或ω＝3，－2，
故选ABD.
答案：ABD
11．解析：由题意知，sin γ＝sin β－sin α，cs γ＝cs α－cs β，
将两式分别平方相加，得1＝(sin β－sin α)2＋(cs α－cs β)2＝2－2(sin β sin α＋cs β cs α)，
∴cs (β－α)＝ eq \f(1,2) ，即选项A正确，B错误；
∵γ∈(0， eq \f(π,2) )，∴sin γ＝sin β－sin α>0，∴β>α，而α，β∈(0， eq \f(π,2) )，
∴0