4.1认识三角形寒假预习自测北师大版数学七年级下册

这是一份4.1认识三角形寒假预习自测北师大版数学七年级下册，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

4.1认识三角形寒假预习自测北师大版数学七年级下册
限时：60分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题(共30分)
1．(本题3分)如图，用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两颗螺丝的距离依次为3、4、6、8，且相邻两根木条的夹角均可以调整，若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两颗螺丝的距离的最大值是(   )

A．7 B．10 C．11 D．14
2．(本题3分)一副三角尺如图摆放，则α的大小为（　　）

A．105° B．120° C．135° D．150°
3．(本题3分)如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，于点P，连接PC，若△PAB的面积为，△PBC的面积为，则△PAC的面积为（    ）．

A．2 B．2.5 C．3 D．4
4．(本题3分)如图，在中，，，为中线．则与的周长之差为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4
5．(本题3分)一副三角板按如图所示的位置叠放在一起，则图中的度数是（    ）

A． B． C． D．
6．(本题3分)八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距离分别是和．那么杨冲，李锐两家的直线距离不可能是（    ）
A． B． C． D．
7．(本题3分)已知三角形的三边长分别为3，4，x，且x为整数，则x的最大值为（    ）
A．8 B．7 C．5 D．6
8．(本题3分)下列四个图形中，线段是中边的高的是（    ）
A． B．
C． D．
9．(本题3分)如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为24，则△BEF的面积是（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8
10．(本题3分)如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（　　）

A．105° B．120° C．75° D．45°

二、填空题(共30分)
11．(本题3分)如图所示，AD是△ABC的中线．若AB＝7cm，AC＝5cm，则△ABD和△ADC的周长的差为____cm．

12．(本题3分)若a，b，c是的三边的长，则化简________．
13．(本题3分)在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3cm，已知AB＝4cm，则AC的长为 _____．
14．(本题3分)如图，直线 AB ，CD  相交于点O ，若∠EOC ：∠EOD=4 ：5 ，OA平分∠EOC ，则∠BOE=___________．

15．(本题3分)周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有_______个．
16．(本题3分)已知三角形的三边长为4、x、11，化简______．
17．(本题3分)在中，已知点D、E、F分别是边AE、BF、CD上的中点，若的面积是14，则的面积为_________．

18．(本题3分)三角形的中线把三角形分成了面积相等的两部分，而三条中线交于一点，这一点叫此三角形的_________心．
19．(本题3分)如图，若，则____________．

20．(本题3分)如图，BE是△ABC的中线，点D是BC边上一点，BD＝2CD，BE、AD交于点F，若△ABC的面积为24，则S△BDF﹣S△AEF等于_____．


三、解答题(共40分)
21．(本题8分)如图∠A＝20°，∠B＝45°，∠C＝40°，求∠DFE的度数．

22．(本题8分)如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上的一点，求证： 2AC> BD+CD．

23．(本题8分)已知：如图，点E在AC上，点F在AB上，BE、CF交于点O，且，，求的度数．

24．(本题8分)已知是的三边长．
（1）若满足，，试判断的形状；
（2）化简：
25．(本题8分)【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．

【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝　 　°，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是　 　．（用含α的代数式表示）
（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．

参考答案：
1．B
【分析】若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
【详解】已知4条木棍的四边长为3、4、6、8；
选3+4、6、8作为三角形，则三边长为7、6、8；，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为8；
选4+6、8、3作为三角形，则三边长为10、8、3，，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为10；
选6+8、3、4作为三角形，则三边长为14、3、4；，不能构成三角形，此种情况不成立；
选3+8、4、6作为三角形，则三边长为11、4、6；，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为10；
故选：B．
【点睛】本题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．
2．A
【分析】由题意可得∠ABC=45°，∠1=30°，∠C=90°，则可求得∠2=15°，利用三角形的外角性质即可求∠α的度数．
【详解】解：如图，

由题意得：∠ABC=45°，∠1=30°，∠C=90°，
∴∠2=∠ABC∠1=15°，
∴∠α=∠2+∠C=105°．
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．
3．A
【分析】延长交于点，证明，可得是的中线，，结合已知条件即可求解．
【详解】如图，延长交于点，

，BP平分∠ABC，

又

，
是的中线

△PAB的面积为，△PBC的面积为，


故选A
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，三角形全等的性质与判定，角平分线的意义，掌握三角形中线的性质是解题的关键．
4．B
【分析】利用三角形中线的定义、三角形的周长公式进行计算即可得出结果．
【详解】在中，为中线,
．
，，
．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形的中线的理解与运用能力．三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线．明确三角形的中线的定义，运用两个三角形的周长的差等于两边的差是解本题的关键．
5．C
【分析】根据三角形的外角性质计算，可得答案．
【详解】解：如图所示：

由题意得，，，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
6．A
【分析】利用构成三角形的条件即可进行解答．
【详解】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为a，
则根据题意有：，即，
当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，或者，
综上a的取值范围为：，
据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km，
故选：A．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，任意的两边之差小于第三边．
7．D
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．
【详解】解：根据三角形的三边关系，得：4-3＜x＜4+3，
即1＜x＜7，
∵x为整数，
∴x的最大值为6．
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件．
8．A
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作BE⊥AC，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断即可．
【详解】解：线段是中边的高的图是选项A．

故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．
9．C
【分析】由三角形中线平分三角形的面积可得S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝12，再求出S△EBD＝6，S△ECD＝6，然后利用F点为CE的中点，即可得到S△BEF＝ S△EBC．
【详解】解：∵D点为BC的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝S△ABC＝×24＝12，
∵E点为AD的中点，
∴S△EBD＝S△ABD＝6，S△ECD＝S△ACD＝6，
∴S△EBC＝S△EBD+S△ECD＝6+6＝12，
∵F点为CE的中点，
∴S△BEF＝ S△EBC＝×12＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，掌握知识点是解题的关键．
10．A
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．
【详解】解：由三角形的外角性质可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
11．2
【分析】将△ABD和△ADC的周长表示出来，可以得到周长差即为AB﹣AC的差，算出即可．
【详解】解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD的周长差为：
（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵AB＝7cm，AC＝5cm，
∴△ABD和△ACD的周长差＝7﹣5＝2cm．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了三角形中线的定义、三角形的周长，掌握三角形中线的定义是解题关键．三角形中线的定义：在三角形中，连接一个顶点和它所对的边的中点的线段叫做三角形的中线．
12．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断绝对值内的代数式的符号，再根据绝对值的性质进行化简即可．
【详解】∵a，b，c是的三边，
∴，，，
∴，，，
∴

．
故答案为：．
【点睛】题目主要考查的是三角形的三边关系及去绝地值，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
13．7cm##7厘米
【分析】根据中线的定义知，结合三角形周长可得，根据题意，即可得出AC的长度．
【详解】解：如图所示：

∵AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，，
∵，，
即，
∴，
∴．
故答案为：7cm．
【点睛】本题考查了三角形的中线性质，理解题意，作出图形是解题关键．
14．140°
【分析】直接利用平角的定义得出：∠COE=80°，∠EOD=100°，进而结合角平分线的定义得出∠AOC=∠BOD，进而得出答案．
【详解】∵∠EOC：∠EOD=4：5，
∴设∠EOC=4x，∠EOD=5x，
故4x+5x=180°，
解得：x=20°，
可得：∠COE=80°，∠EOD=100°，
∵OA平分∠EOC，
∴∠COA=∠AOE=40°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=140°．
故答案为140°.
【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角，正确把握相关定义是解题关键.
15．##十二
【分析】三角形的边长互不相等且均为正整数，周长等于30，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【详解】解：设三角形三边长为 且由于得到
为整数，
c 为：11，12，13，14，
①当 c 为14时，有5个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10
6；14，9，7；
②当 c 为13时，有4个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9
8；
③当 c 为12时，有2个三角形，分别是12，11，7；12，10，8；
④当 c 为11时，有1个三角形，分别是：11，10，9；
所以各边互不相等且都是整数的三角形有12个．
故答案为：12．
【点睛】本题利用了三角形中三边的关系求解，注意不要漏掉哪一种情况．
16．11
【分析】根据三角形三边关系可求出x的取值范围，即可求解．
【详解】∵三角形的三边为4、x、11，
∴11-4＜x＜11+4，
∴，
∴，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查了构成三角形三边大小的关系和去绝对值的知识，利用三角形三边关系求出x的取值范围是解答本题的关键．
17．2
【分析】连接，，，利用三角形的中线的性质，三角形的一条中线把三角形的面积分成相等的两部分进行计算，得到，计算即可求解．
【详解】解：如图，连接，，，

∵点是的中点，点是的中点，
∴是的中线，是的中线，
∴，，
∴；
同理可得；；
∴，
∵，，
∴，解得，
故答案为：2
【点睛】本题考查了三角形的中线的性质，熟记三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键．
18．重
【分析】根据三角形的重心的定义即可求解．
【详解】三角形的三条中线交于一点，这一点叫此三角形的重心；
故答案为：重．
【点睛】本题主要考查了三角形的重心，重心是三角形三边中线的交点；三角形的中线将三角形的面积分成了相等的两部分，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．
19．230°
【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．
【详解】解：如图

∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，
∴∠E+∠D+∠C=115°，
∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，
∴∠A+∠B+∠F=115°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，
故答案为：230°．
【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．
20．4
【分析】由△ABC的面积为24，得S△ABC=BC•hBC=AC•hAC=24，根据AE=CE=AC，得S△AEB=AE•hAC，S△BCE=EC•hAC，即S△AEF+S△ABF=12①，同理可得S△BDF+S△ABF=16②，②-①即可求得．
【详解】解：∵S△ABC=BC•hBC=AC•hAC=24，
∴S△ABC=（BD+CD）•hBC=（AE+CE）•hAC=24，
∵AE=CE=AC，S△AEB=AE•hAC，S△BCE=EC•hAC，
∴S△AEB=S△CEB=S△ABC=×24=12，
即S△AEF+S△ABF=12①，
同理：∵BD=2CD，BD+CD=BC，
∴BD=BC，S△ABD=BD•hBC，
∴S△ABD=S△ABC=×24=16，
即S△BDF+S△ABF=16②，
②-①得：S△BDF-SAEF=（S△BDF+S△ABF）-（S△AEF+S△ABF）=16-12=4，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是等积代换．
21．105°
【分析】先根据三角形的外角性质求出∠ADB，再根据三角形的外角性质计算即可．
【详解】解：∵∠ADB＝∠B+∠C，∠B＝45°，∠C＝40°，
∴∠ADB＝40°+45°＝85°，
∵∠DFE＝∠A+∠ADB，∠A＝20°，
∴∠DFE＝85°+20°＝105°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
22．见解析
【分析】根据三角形三边的关系证明即可．
【详解】证明：∵AD+AB>BD
∴AD+AB+CD>BD+CD
又∵AD+CD=AC
∴AC+AB>BD+CD
∵AC=AB
∴2AC>BD+CD
【点睛】本题主要考查了三角形三边的关系，熟知三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
23．45°
【分析】先根据三角形外角的性质得到∠BFC=∠A+∠C，∠EOF=∠B+∠BFC，从而推出∠EOF-∠A=∠C+∠B，再由∠EOF-∠A=70°，即可得到∠C=70°-∠B，再根据∠C-∠B=20°，进行求解即可．
【详解】解：∵∠BFC=∠A+∠C，∠EOF=∠B+∠BFC，
∴∠EOF=∠A+∠C+∠B，即∠EOF-∠A=∠C+∠B
∵∠EOF-∠A=70°，
∴∠C+∠B=70°，即∠C=70°-∠B，
∵∠C-∠B=20°，
∴70°-2∠B=20°，
∴∠B=25°，
∴∠C=45°．

【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握三角形外角的性质．
24．（1）是等边三角形；（2）
【分析】（1）由性质可得a=b，b=c，故为等边三角形．
（2）根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定正负，再由绝对值性质去绝对值计算即可．
【详解】（1）∵
∴且
∴
∴是等边三角形．
（2）∵是的三边长
∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0
原式=
=
=
【点睛】本题考查了三角形三条边的关系以及绝对值化简，根据三角形任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边判定绝对值内数值正负是解题的关键．
25．（1）；（2）存在，t＝20秒或25秒；（3）或或或30s
【分析】（1）根据伴随线定义即可求解；
（2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可；
②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可．
【详解】解：（1）如图， 射线是OA的伴随射线，
,
，

同理，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，
,
射线OC是∠AOB的平分线，
,
=，

故答案为：
（2）射线OD与OA重合时，t＝＝36（秒）
①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则180﹣5t﹣3t＝20，
∴t＝20；
若在相遇之后，则5t+3t﹣180＝20，
∴t＝25；
所以，综上所述，当t＝20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．
②相遇之前：
（i）如图1，

OC是OA的伴随线时，则∠AOC＝ ∠COD
即  3t＝（180﹣5t﹣3t）
∴t＝
（ii）如图2，

OC是OD的伴随线时，
则∠COD＝∠AOC
即180﹣5t﹣3t＝3t
∴t＝
相遇之后：
（iii）如图3，

OD是OC的伴随线时，
则∠COD＝ ∠AOD
即5t+3t﹣180＝（180﹣5t）
∴t＝
（iv）如图4，

OD是OA的伴随线时，则∠AOD＝ ∠COD
即180﹣5t＝（3t+5t﹣180）
∴t＝30
所以，综上所述，当t＝， 30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想．