2021-2022学年上海市金汇高级中学高一下学期期末数学试题（解析版）

2021-2022学年上海市金汇高级中学高一下学期期末数学试题

一、单选题

1．用数学归纳法证明等式，在验证成立时，左边需计算的项是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将代入等式左边可得出结果.

【详解】当时，等式左边，故选A.

【点睛】本题主要考查数学归纳法证明等式的问题，考查对数学归纳法基本概念的理解，属于基础题.

2．若，且，则的值为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】∵，，

∴，

∴．选B．

3．已知集合M={1，2，(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i}，N={-1，3}，且M∩N={3}，则实数m的值为（    ）

A．4 B．-1

C．-1或4 D．-1或6

【答案】B

【分析】根据已知得，从而有，再利用复数相等可得方程组，即可得到答案；

【详解】由于,故,必有,所以即得.

故选：B

4．如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有中，不同的数值有（    ）

A．6个 B．5个 C．4个 D．3个

【答案】D

【分析】根据数量积的几何意义，即可判断结果

【详解】根据向量数量积的几何意义可知，，，，所以所有中有3个数值.

故选：D

二、填空题

5．已知等差数列中，，则_____．

【答案】9

【分析】利用等差数列的通项公式求解即可.

【详解】因为是等差数列，所以，解得，

所以，

故答案为：9

6．已知是角终边上一点，则______．

【答案】

【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．

【详解】解：是角终边上一点，则，，，

，

故答案为．

【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

7．在中，若，则_____．

【答案】##

【分析】根据正弦定理直接代入计算，即可得到结果.

【详解】由正弦定理可得，即

故答案为:

8．计算：______.

【答案】

【分析】直接利用反三角函数运算法则写出结果即可．

【详解】解：．

故答案为：．

【点睛】本题考查反三角函数的运算法则的应用，属于基础题．

9．已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=　_________　．

【答案】

【详解】复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|==．

故答案为．

10．已知点、，则向量___________.

【答案】

【解析】由点坐标减去点点坐标即得.

【详解】点、，

.

故答案为：.

【点睛】本题考查有向线段表示的向量，它的坐标是其终点的坐标减去始点的坐标，属于基础题.

11．设无穷等比数列的各项和为，若该数列的公比为，则________．

【答案】

【解析】根据题意，得到，求得，结合等比数列的通项公式，即可求解.

【详解】由题意，无穷等比数列的各项和为，且公比为，

可得，可得，所以.

故答案为：.

12．若，则_____．

【答案】3

【分析】直接利用两角差的正切公式代入即可求解．

【详解】∵tanα＝﹣2，

则．

故答案为3

【点睛】本题考查两角差的正切公式的应用，属于简单题.

13．已知中，，则＝________．

【答案】

【详解】 ,.

14．函数，的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是_____.

【答案】

【详解】作出其图像，可只有两个交点时k的范围为.

故答案为

15．已知关于的实系数方程两个虚根为，，且，则______.

【答案】

【解析】根据关于的实系数的方程有两个虚根，由解得a的范围，再根据及两根互为共轭，由求解.

【详解】由，得，

因为，

所以

即，

解得或(舍)，

所以.

故答案为：

16．如图是函数在一个周期内的图像，该函数图像分别与轴、轴相交于、两点，与过点的直线相交于另外两点、，为轴正方向的单位向量，则______.

【答案】

【分析】根据题意和三角函数的图象与性质，求得，，根据向量的线性运算，求得，结合向量的数量积的坐标运算，即可求解.

【详解】因为函数，由，所以，

令，即，可得，即，

当时，，所以，

因为函数关于点对称，所以关于的对称点为，即的中点为，

所以，

又由为轴正方向的单位向量，所以，

所以.

故答案为：.

三、解答题

17．已知复数，其中为虚数单位.

（1）若复数是实数，求实数的值；

（2）若复数是纯虚数，求实数的值.

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）根据复数是实数得到虚部为零；

（2）复数是纯虚数，则实部为零虚部不为零.

【详解】（1）若复数是实数，则

所以或.

（2）若复数是纯虚数，则

所以.

【点睛】本题主要考查复数的有关概念，根据条件转化为相应的表达式关系是解决本题的关键，属于基础题.

18．已知向量，，且与的夹角为．

(1)求及；

(2)若与垂直，求实数的值．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据向量，且与的夹角为，由，求得m，再得到 的坐标求解.

（2）根据题意，直接计算 与的坐标，根据与 垂直，列式求解.

【详解】（1）因为向量，且与的夹角为，

所以，

解得，

所以 ，

则.

（2）由（1）知m = 1，故，故，，

因为 与 垂直，

所以，

解得.

19．函数的部分图象如图所示．

(1)写出的最小正周期及图中、的值；

(2)求在区间上的最大值和最小值．

【答案】(1)周期为，，

(2)最大值是3，最小值是

【分析】（1）根据周期公式求周期，结合图象求；

（2）首先求的范围，再求函数的最值.

【详解】（1）,

令，，

解得：，由图可知，当时，，此时函数取得最大值；

（2）当时，，

此时

所以函数的最大值是3，最小值是

20．在平面直角坐标系中，为原点，两个点列、、、和、、、满足：①，，； ②，．

(1)求点和的坐标；

(2)求向量、的坐标．

【答案】(1)，

(2)，

【分析】（1）根据题意赋值求解；（2）根据题意结合等差、等比数列以及累加法分析运算.

【详解】（1）设，令，则，

∵，则，解得，

∴，

设，令，则，

∵，则，解得，

∴，

同理可得：.

（2）设，则，且，

∵，则，

∴数列是以首项，公比的等比数列，则，

故当时，

，

满足上式，所以；

又∵，则，即，

故数列为常数列，则，

∴，

设，则，

∴，则数列是以首项，公差的等差数列，故，

同理可得：，

故.