陕西省商洛市2021-2022学年高一上学期期末数学试题（解析版）

商洛市2021~2022学年度第一学期期末教学质量检测

高一数学

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．

2.请将各题答案填写在答题卡上．

3.本试卷主要考试内容：必修1和必修2.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】求出集合B，再根据交集的定义即可得解.

【详解】解：因为，所以．

故选：A.

2. 若直线与直线垂直，则（    ）

A. 6 B. 4 C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由两条直线垂直的条件可得答案.

【详解】由题意可知，即．

故选：A.

3. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表：

在以下区间中，一定有零点的是（    ）

A. （1，2） B. （2，4） C. （4，5） D. （5，6）

【答案】C

【解析】

【分析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间.

【详解】∵

∴ ，，，,

又函数的图象是一条连续不断的曲线，

由函数零点存在定理可得在区间上一定有零点．

故选：C.

4. 下列说法中正确的是（    ）

A. 存在只有4个面的棱柱 B. 棱柱的侧面都是四边形

C. 正三棱锥的所有棱长都相等 D. 所有几何体的表面都能展开成平面图形

【答案】B

【解析】

【分析】对于A、B：由棱柱的定义直接判断；

对于C：由正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，即可判断；

对于D：由球的表面不能展开成平面图形即可判断．

【详解】对于A：棱柱最少有5个面，则A错误；

对于B：棱柱的所有侧面都是平行四边形，则B正确；

对于C：正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，则C错误；

对于D：球的表面不能展开成平面图形，则D错误．

故选：B

5. 已知，，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】借助中间量比较大小即可.

【详解】解：因为，，，

所以．

故选：A

6. 《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其外形由圆柱和长方体组合而成.已知某组合体由圆柱和长方体组成，如图所示，圆柱的底面直径为1寸，长方体的长、宽、高分别为3.8寸，3寸，1寸，该组合体的体积约为12.6立方寸，若取3.14，则圆柱的母线长约为（    ）

A. 0.38寸 B. 1.15寸 C. 1.53寸 D. 4.59寸

【答案】C

【解析】

【分析】先求出长方体的体积，进而求出圆柱的体积，利用求出的圆柱体体积和圆柱的底面半径为0.5寸，求出圆柱的母线长

【详解】由题意得，长方体的体积为(立方寸)，故圆柱的体积为(立方寸).

设圆柱的母线长为l，则由圆柱的底面半径为0.5寸，得，计算得：(寸).

故选：C

7. 如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（    ）

A. 2 B.  C. 4 D.

【答案】D

【解析】

【分析】先确定是等腰直角三角形，求出，再确定原图的形状，进而求出.

【详解】由题意可知是等腰直角三角形，，

其原图形是，，，，

则，

故选：D.

8. 若函数满足，，则下列判断错误的是（    ）

A.  B.

C. 图象的对称轴为直线 D. f（x）的最小值为－1

【答案】C

【解析】

【分析】根据已知求出，再利用二次函数的性质判断得解.

【详解】解：由题得，解得，，

所以，

因为，所以选项A正确；

所以，所以选项B正确；因为，所以选项D正确；

因为的对称轴为，所以选项C错误．

故选：C

9. 尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系式为．年月日，日本东北部海域发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年月日我国四川九寨沟县发生里氏级地震的（    ）

A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍

【答案】C

【解析】

【分析】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,可得出，利用对数的运算性质可求得的值，即可得解.

【详解】设里氏级和级地震释放出的能量分别为和,

由已知可得，

则，故．

故选：C.

10. 已知，分别是圆和圆上的动点，点在直线上，则的最小值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得，，求得关于直线的对称点为，则，计算即可得出结果.

【详解】由题意可知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．

设关于直线的对称点为，则解得，

则．

因为，分别在圆和圆上，所以，，

则．

因为，所以．

故选：B.

11. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】借助正方体模型还原几何体，进而求解表面积即可.

【详解】解：如图，在边长为的正方体模型中，将三视图还原成直观图为三棱锥，

其中，均为直角三角形，为等边三角形，

，

所以该几何体的表面积为．

故选：D

12. 已知函数，函数有四个不同的的零点，，，，且，则（    ）

A. a的取值范围是(0,) B. 的取值范围是(0,1)

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】将问题转化为与有四个不同的交点，应用数形结合思想判断各交点横坐标的范围及数量关系，即可判断各选项的正误.

【详解】有四个不同的零点、、、，即有四个不同的解．

的图象如下图示，

由图知：，

所以，即的取值范围是(0,＋∞)．

由二次函数的对称性得：，

因为，即，故．

故选：D

【点睛】关键点点睛：将零点问题转化为函数交点问题，应用数形结合判断交点横坐标的范围或数量关系.

第II卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．

13. 在空间直角坐标系中，点A到坐标原点距离为2，写出点A的一个坐标：____________．

【答案】（2，0，0）（答案不唯一）

【解析】

【分析】利用空间两点间的距离求解.

【详解】解：设，

因为点A到坐标原点的距离为2，

所以，

故答案为：（2，0，0）（答案不唯一）

14. 已知直线与圆C：相交于A，B两点，则|AB|＝____________．

【答案】6

【解析】

【分析】先求圆心到直线的距离，再根据弦心距、半径、弦长的几何关系求|AB|.

【详解】因为圆心C(3,1)到直线的距离，

所以．

故答案为：6

15. 若，则__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先求出的值,然后再运用对数的运算法则求解出和的值,最后求解答案.

【详解】若,则,所以.

故答案为:

【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则来解题,并且要计算正确,本题较为基础.

16. 在棱长为2的正方体ABCD－中，E，F，G，H分别为棱，，，的中点，将该正方体挖去两个大小完全相同 的四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，现有下列四个结论：

①CG//平面ADE；                    ②该几何体的上底面的周长为；

③该几何体的的体积为；            ④三棱锥F－ABC的外接球的表面积为．

其中所有正确结论的序号是____________．

【答案】①③④

【解析】

【分析】由面面平行的性质判断①；由题设知两段圆弧的长度之和为，即可得上底周长判断②；利用正方体体积及圆锥体积的求法求几何体体积判断③；首先确定外接球球心位置，进而求出球体的半径，即可得F－ABC的外接球的表面积判断④.

【详解】因为面面，面，

所以CG//平面，即CG//平面ADE，①正确；

依题意知，弧EF与弧HG均为圆弧，且这两段圆弧的长度之和为，

所以该几何体的上底面的周长为，该几何体的体积为8－，②错误，③正确；

设M，N分别为下底面、上底面的中心，则三棱锥F－ABC的外接球的球心O在MN上．

设OM＝h，则，解得，

从而球O的表面积为，④正确.

故答案为：①③④

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）-2；    （2）18.

【解析】

【分析】（1）利用对数的运算性质化简求值即可.

（2）由有理数指数幂与根式的关系及指数幂的运算性质化简求值.

【小问1详解】

原式．

【小问2详解】

原式．

18. 已知直线：的倾斜角为．

（1）求a；

（2）若直线与直线平行，且在y轴上的截距为－2，求直线与直线的交点坐标．

【答案】（1）-1；    （2）(4,2).

【解析】

【分析】（1）根据倾斜角和斜率的关系可得，即可得a值.

（2）由直线平行有直线为，联立直线方程求交点坐标即可.

【小问1详解】

因为直线的斜率为，即，故．

【小问2详解】

依题意，直线的方程为．

将代入，得，故所求交点的(4,2)．

19. 已知函数．

（1）判断f（x）的奇偶性，并说明理由；

（2）用定义证明f（x）在（1，＋∞）上单调递增；

（3）求f（x）在[－2，－1]上的值域．

【答案】（1）f（x）为奇函数，理由见解析   

（2）证明见解析    （3）[－，－2]

【解析】

【分析】（1）根据奇偶性定义判断；

（2）由单调性的定义证明；

（3）由单调性得值域．

【小问1详解】

f（x）为奇函数．

由于f（x）的定义域为，关于原点对称，

且，所以f（x）为在上的奇函数

（画图正确，由图得出正确结论，也可以得分）

小问2详解】

证明：设任意，，

有．

由，得，

，

即，所以函数f（x）在（1，＋∞）上单调递增．

【小问3详解】

由（1），（2）得函数f（x）在[－2，－1]上单调递增，

故f（x）的最大值为，最小值为，

所以f（x）在[－2，－1]的值域为[－，－2]．

20. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PCD⊥底面ABCD，且BC＝2，，．

（1）证明：．

（2）若，求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）8.

【解析】

【分析】（1）由平行四边形的性质及勾股定理可得，再由面面垂直的性质有BC⊥面PCD，根据线面垂直的性质即可证结论.

（2）取CD的中点E，连接PE，易得，由面面垂直的性质有PE⊥底面ABCD，即PE是四棱锥的高，应用棱锥的体积公式求体积即可.

【小问1详解】

在平行四边形ABCD中．

因为，即，所以．

因为面PCD⊥面ABCD，且面PCD面ABCD＝CD，面PCD，

所以BC⊥面PCD，又PD平面PCD，所以．

【小问2详解】

如图，取CD的中点E，连接PE，

因为，所以，

又面PCD⊥面ABCD，面PCD面ABCD＝CD，面PCD，

所以PE⊥底面ABCD．

因为，，则，故．

21. 已知函数

（1）求的值域；

（2）讨论函数零点的个数.

【答案】（1）；   

（2）答案见解析.

【解析】

【分析】（1）分和，分别求出对应函数的值域，进而可求出结果；

（2）作出函数的图象，数形结合即可分析出结果.

【小问1详解】

当时，，对称轴为，开口向上，则在上单调递减，在上单调递增，所以，即值域为；

当时，，则在上单调递减，且，所以，即值域为，故的值域为.

【小问2详解】

由，得，则零点的个数可以看作直线与的图象的交点个数，当时，取得最小值，的图象如图所示.

①当时，直线与的图象有0个交点，即零点的个数为0；

②当或时，直线与的图象有1个交点，即零点的个数为1；

③当或时，直线与的图象有2个交点，即零点的个数为2；

④当时，直线与的图象有3个交点，即零点的个数为3.

综上：①当时， 零点的个数为0；②当或时， 零点的个数为1；③当或时， 零点的个数为2；④当时， 零点的个数为3.

22. 已知圆O：，点，点，直线l过点P．

（1）若直线l与圆O相切，求l的方程；

（2）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，且M的纵坐标为－，求△NAB的面积．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论求解，当直线斜率存在时，根据点到直线的距离公式求参数即可；

（2）设直线l方程为，，进而与圆的方程联立得中点的坐标，，解方程得直线方程，再求三角形面积即可.

【小问1详解】

解：若直线l的斜率不存在，则l的方程为，

此时直线l与圆O相切，符合题意；

若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，

因为直线l与圆O相切，所以圆心（0，0）到l的距离为2，

即，解得，

所以直线l的方程为，即．

故直线l的方程为或．

【小问2详解】

解：设直线l的方程为，

因为直线l与圆O相交，所以结合（1）得．

联立方程组消去y得，

设，则，

设中点，，①

代入直线l的方程得，②

解得或（舍去）

所以直线l的方程为．

因为圆心到直线l的距离，

所以．

因为N到直线l的距离

所以