广东省茂名市茂南区祥和中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)

2022-2023学年广东省茂名市茂南区祥和中学九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图所示，该几何体的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

2.  一个不透明的布袋里装有个只有颜色不同的球，其中个白球，个红球，个黄球．从布袋里任意摸出个球，是红球的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  若点在反比例函数上，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  将抛物线向左平移个单位，得到抛物线的解析式是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  在下列条件中，不能判断与相似的是(    )

A. ，
B. 且
C.
D. 且

6.  若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为：，则斜坡的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，点在双曲线上，过点作轴，垂足为，线段的垂直平分线交于点，则周长的值是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，正方形与正方形是位似图形，为位似中心，两个正方形的面积之比为：，点的坐标为，则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，菱形的边长为，，点和点分别从点和点出发，沿射线向右运动，且速度相同，过点作，垂足为，连接，设点运动的距离为，的面积为，则能反映与之间的函数关系的图象大致为 (    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  函的开口向______，对称轴为直线______，顶点坐标为______．

12.  已知点是线段的黄金分割点，若则______结果保留根号．

13.  若的两个根为、，则的值是______．

14.  如图，直线与轴、轴分别交于点和点，与反比例函数的图象交于点，若，则的值是______ ．

15.  如图，函数经过点，对称轴为直线，下列结论：；；；若点、，则其中结论的正确的有______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．
解方程：．

17.  本小题分
关于的一元二次方程．
若方程的一个根为，求的值；
求证：方程总有两个不相等的实数根．

18.  本小题分
某校为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生做为样本进行调查．

根据图中提供的不完整信息，解答下列问题：
补全条形统计图，并求类所对应扇形的圆心角的大小；
已知类中有名女生，从类中随机抽取名同学，求抽到“一男一女”的概率．

19.  本小题分
如图，中，，点是中点，连接，过点作．
尺规作图：过点作直线于点基本作图，保留作图痕迹不写作法，并标明字母；
求证：四边形是矩形．

20.  本小题分
如图，已知四边形中，，对角线、相交于点，平分，平分，点在边的延长线上，联结，交边于点．
求证：四边形是菱形；
如果，求证：．

21.  本小题分
某商店购进一批单价为元的日用商品，如果以单价元销售，那么半月内可售出件，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高元，销售量相应减少件，销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？最大利润是多少？

22.  本小题分
如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为点，在抛物线上，为抛物线的顶点．
抛物线的解析式为______ ；
的面积为______ ．

23.  本小题分
如图，在中，，顶点，都在反比例函数的图象上，直线轴，垂足为，连接，．
若、，求的值；
若，求直线的解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从上面看可得到一个正方形，正方形里面有一条撇向的实线，如图所示：．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意看见的棱用实线表示．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
 

2.【答案】 

【解析】解：从布袋里任意摸出个球，是红球的概率．
故选：．
根据概率公式求解．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
 

3.【答案】 

【解析】解：把点代入得．
故选：．
把已知点的坐标代入中即可得到的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即．
 

4.【答案】 

【解析】解：将抛物线向左平移个单位，得到抛物线的解析式是即．
故选：．
按照“左加右减”的规律即可求得．
此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，可以得出∽，故此选项不合题意；
B、，且，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
C、，可以得出∽，故此选项不合题意；
D、且，可以得出∽，故此选项不合题意；
故选：．
直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
 

6.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
．
故选：．
由关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式，即可得方程，解此方程即可求得答案．
此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题难度不大，注意若一元二次方程有两个相等的实数根，则可得．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图所示：
：，，
，
解得：，
则，
故选：．
直接利用坡度的定义得出的长，再利用勾股定理得出的长．
此题主要考查了解直角三角的应用，由坡度的定义正确得出的长是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：点在双曲线上，
，
，
，．
的垂直平分线交于，
，
的周长．
故选：．
先求出点的坐标，根据点的坐标的定义得到，，再根据线段垂直平分线的性质可知，由此推出的周长．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和线段中垂线的性质，将求的周长转换成求是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：正方形与正方形是位似图形，
正方形∽正方形，
两个正方形的面积之比为：，
两个正方形的相似比为：，
点的坐标为，四边形为正方形，
点的坐标为，
正方形与正方形是位似图形，为位似中心，
点的坐标为，
故选：．
根据相似多边形的性质得到两个正方形的相似比为：，根据正方形的性质求出点的坐标，根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似多边形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了动点问题的函数图象，菱形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
根据菱形的性质得到，根据直角三角形的性质得到，过作，得到，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】
解：菱形的边长为，，
，
，，
，
过作，

，
，，
在时，关于的函数图像是开口向上的抛物线的一部分，且随着的增大而增大，
故选A．  

11.【答案】上     

【解析】解：函数中，
，
开口方向向上，
顶点坐标是；对称轴是直线．
故答案为：向上，，．
根据二次项系数确定开口方向，利用顶点坐标公式确定顶点坐标和对称轴．
此题主要考查了二次函数的性质，其中求抛物线的顶点坐标的方法和公式必须熟练掌握．
 

12.【答案】 

【解析】解：由于为线段的黄金分割点，且是较长线段；
则．
根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
本题考查黄金分割点，正确记忆识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的，较长的线段原线段的是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，，


．
故答案为：．
根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根的和与积，代入数值计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
 

14.【答案】 

【解析】解：对于，令，则，故点的坐标为，则，
设点的坐标为，
，
则，
解得舍去或，
故点的坐标为，
将点的坐标代入反比例函数表达式得：，解得，
故答案为：．
设点的坐标为，由得到则，即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了函数思想，综合性较强．
 

15.【答案】 

【解析】解：抛物线与轴有两个交点，
，
，
正确；
抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴在轴右侧，
与异号，即，
抛物线与轴交点在轴下方，
，
，
正确；
抛物线对称轴为，与轴的一个交点为，
抛物线与轴的另一个交点为，
抛物线开口向上，在对称轴左侧随增大而减小，
当时，，
，
错误；
，
，
抛物线对称轴为，抛物线开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，
，
，
正确；
综上所述，正确．
故答案为：．
根据图象与轴有两个交点，即可判断；
根据图象的开口方向、对称轴、图象与轴的交点即可判断；
根据图象抛物线与轴的一个交点为，可得，对称轴为，可得，将代入，即可判断；
根据图象可得，即可得出，再结合对称轴为，运用二次函数增减性即可判断．
本题考查了二次函数图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是综合运用二次函数的相关知识．
 

16.【答案】解：原式

；
，
，
，即，
，
，． 

【解析】原式利用绝对值的意义、特殊角的三角函数值，零指数的意义化简，再计算即可．
利用配方法求解即可．
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键；也考查了实数的运算．
 

17.【答案】解：方程的一个根为，
，
；
证明：，，，
，
方程总有两个不相等的实数根． 

【解析】将代入已知方程，列出关于的新方程，通过解方程求得的值；
由根的判别式符号进行证明．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

18.【答案】解：抽查的人数为：人，
类的人数为人，类所对应扇形的圆心角的度数为：，
补全条形统计图如下：

画树状图如图：

共有个等可能的结果，抽到“一男一女”的结果有个，
抽到“一男一女”的概率为． 

【解析】先求出调查人数，再求出类的人数，即可求解；
画树状图，共有个等可能的结果，再找出符合条件的结果数，然后由概率公式求解即可．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了条形统计图和扇形统计图．
 

19.【答案】解：如图，直线即为所求作．

证明：，，
，
，
，
，
，
四边形是矩形． 

【解析】根据要求作出图形即可．
根据三个角是直角的四边形是矩形证明即可．
本题考查作图复杂作图，垂线，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

20.【答案】证明：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
如图，过点作于，

四边形是菱形，
，
又，，
，
，，
∽，
，
． 

【解析】由平行线的性质和角平分线的性质可证，，由菱形的判定可得结论；
由菱形的性质和角平分线的性质可得，通过证明∽，可得结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．
 

21.【答案】解：设销售单价为元，销售利润为元．
根据题意，得：
，
，
时，有最大值，最大值为，
，
所以，销售单价提高元，才能在半月内获得最大利润元． 

【解析】设销售单价为元，销售利润为元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题．
 

22.【答案】； 

【解析】解：，，三点在抛物线上，
则有
解方程得，，所以抛物线解析式为．

，
即，
由、两点坐标得直线的解析式为：：，
则点到直线的距离为，
则．
由、、三点在抛物线上，根据待定系数可求出抛物线解析式；
把边上的高和边长求出来，就可以得出面积．
此题考待定系数求函数表达式及函数顶点的坐标，函数内三角形面积求法，点到直线距离．
 

23.【答案】解：在中，，，
故点的坐标为，
将点的坐标代入函数表达式得：，
解得；

，
故设，则，
设点的坐标为，则点的坐标为、点，
将点、的坐标代入函数表达式得：，
解得，
则点的坐标为，
设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式并解得：，解得，
故直线的表达式为 

【解析】在中，，，故点的坐标为，即可求解；
，故设，则，设点的坐标为，则点的坐标为、点，将点、的坐标代入函数表达式得：，解得，进而求解．
本题是反比例函数综合题，主要考查了一次函数的性质、反比例函数的性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．