广东省惠州市第八中学2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷 (含答案)

2022-2023学年广东省惠州八中九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列方程是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是(    )

A. 平行四边形 B. 梯形 C. 矩形 D. 三角形

3.  已知关于的方程有实数根，则的取值范围是(    )

A.  B.  C. 且 D.

4.  函数的顶点所在象限为(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

5.  已知点，，都在反比例函数的图象上，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知关于的函数和它们在同一坐标系中的大致图象是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是(    )

A.
B. 或
C. 或
D.

8.  如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到若点恰好落在边上，且，则的度数为(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  如图，已知的半径为，弦，是上任意一点，则线段的长可能是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，已知二次函数的图象如图所示，给出以下四个结论：；；；其中正确的结论有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  反比例函数的图象位于______象限．

12.  在，，，，，中任取一个数，取到无理数的概率是______．

13.  若为关于的一元二次方程的根，则的值为______．

14.  将抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度所得的抛物线解析式为______．

15.  如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；又将线段绕点按顺时针方向旋转，长度伸长为的倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，为正整数，则点的坐标是______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解方程：
；
．

17.  本小题分
随着国内新能源汽车的普及，为了适应社会的需求，全国各地都在加快公共充电桩的建设，某省年公共充电桩的数量为万个，年公共充电桩的数量为万个．
求年至年该省公共充电桩数量的年平均增长率；
按照这样的增长速度，预计年该省将新增多少万个公共充电桩？

18.  本小题分
如图，在，且点的坐标为，点的坐标为．
画出关于点成中心对称的，并写出点的坐标；
求出以点为顶点，并经过点的二次函数关系式．

19.  本小题分

已知关于的一元二次方程．

求证：无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；

当一矩形的对角线长为，且矩形两条边和恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长．

20.  本小题分
一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，把它们分别标号为，，小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号．若两次抽取的小球标号之和为奇数，小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢．
用画树状图或列表的方法，列出前后两次取出小球上所标数字的所有可能情况；
请判断这个游戏是否公平，并说明理由．

21.  本小题分
如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且，过点作于点，延长和的延长线交于点．
证明：是的切线；
若，，求的面积．
 

22.  本小题分
某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为元件在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量件与销售价格元件之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表：

若与之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式______不用写自变量的取值范围；
若该公司想每天获利元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？
为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款元，该公司应该如何定价，才能使每天获利最大？利润用表示

23.  本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，一次函数经过点，，点是抛物线上的动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．
求抛物线的解析式及点的坐标；

当点位于直线上方且面积最大时，求线段的长；
在平面直角坐标系中，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、，是二元二次方程，故A不符合题意；
B、为常数且，是一元二次方程，故B不符合题意；
C、，不是一元二次方程，故C不符合题意；
D、，是一元二次方程，故D符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的一般形式：形如为常数且，逐一判断即可解答．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、梯形既不能说是中心对称图形，也不能说是轴对称图形，不符合题意；
C、矩形是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、三角形既不能说是中心对称图形，也不能说是轴对称图形，不符合题意．
故选：．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了解一元二次方程、根的判别式以及解一元一次不等式，分别讨论二次项系数和两种情况是解题的关键．
二次项系数分两种情况考虑，当时，解一元一次方程可得出的值，由此得出符合题意；当时，根据根的判别式，即可求得的取值范围．综上即可得出结论．
【解答】
解：当，即时，原方程为，
解得：，方程有实数根，
符合题意；
当，即时，
关于的方程有实数根，
，
解得：且．
综上可知：的取值范围为．
故选A．  

4.【答案】 

【解析】解：
，
抛物线顶点坐标为，
顶点在第三象限，
故选：．
把二次函数化为顶点式则可求得顶点的坐标，则可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中对称轴为，顶点坐标为．
 

5.【答案】 

【解析】解：反比例函数中，，
反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，
点，，都在反比例函数的图象上，
、在第三象限内，在第一象限内，
，
，
故选：．
根据反比例函数的性质得出反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，再根据点的坐标特点得出即可．
本题考查了反比例函数图象和性质，能熟记反比例函数的性质的内容是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：当时，反比例函数的系数，反比例函数过二、四象限，一次函数过一、二、三象限，原题没有满足的图形；
当时，反比例函数的系数，所以反比例函数过一、三象限，一次函数过二、三、四象限．
故选：．
先根据反比例函数的性质判断出的取值，再根据一次函数的性质判断出取值，二者一致的即为正确答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据抛物线的图象可知：
抛物线的对称轴为，已知一个交点为，
根据对称性，则另一交点为，
所以时，的取值范围是．
故选：．
根据抛物线的对称轴为，一个交点为，可推出另一交点为，结合图象求出时的范围．
本题考查了抛物线与轴的交点；根据二次函数的对称轴与对称性，找出抛物线的完整图象，求出另一个交点是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可得，，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】
解：，
，
，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，
，
，
，
，
，
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：连接，作于，

则，
在中，由勾股定理得，，
是上任意一点，
，
故选：．
连接，作于，利用勾股定理求出，从而得出的范围．
本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，求出的范围是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
，
，
抛物线交的正半轴，
，
，故错误；
，，
，故错误；
抛物线与轴有两个交点，
，
，故正确；
时，，
，故正确．
故选：．
根据抛物线开口方向，对称轴以及与轴的交点即可判断；求得即可判断；根据图象与轴的交点个数即可判断；根据图象上点的坐标特征即可判断．
本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．
 

11.【答案】一，三 

【解析】解：反比例函数中，，
函数的图象位于一、三象限．
本题考查反比例函数的图象和性质．
本题考查了反比例函数的性质，应注意中的取值．
 

12.【答案】 

【解析】解：共有种等可能的结果，无理数有：，共种情况，
取到无理数的概率是：．
故答案为：．
由题意可得共有种等可能的结果，其中无理数有：，共种情况，则可利用概率公式求解．
此题考查了概率公式的应用与无理数的定义．此题比较简单，注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

13.【答案】 

【解析】解：为关于的一元二次方程的根，
，
，
或，
．
故答案为：．
首先把代入一元二次方程中，可得，再把方程左边分解因式即可求出答案．
此题主要考查了一元二次方程的解根的意义，关键是正确把握一元二次方程的解根的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
 

14.【答案】 

【解析】解：抛物线左平移个单位长度，
平移后解析式为：，
再向上平移个单位长度所得的抛物线解析式为：，即．
故答案为：．
利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
此题主要考查了二次函数与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；
，，
，如此下去，得到线段，，
，
由题意可得出线段每旋转次旋转一周，
，
点的坐标与点的坐标在同一直线上，正好在轴的负半轴上，
点的坐标是．
故答案为：．
根据题意得出，，，如此下去，得到线段，，，再利用旋转角度得出点的坐标与点的坐标在同一直线上，进而得出答案．
此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出点的坐标与点的坐标在同一直线上是解题关键．
 

16.【答案】解：，
，
，
，
，
，；
原方程可化为：，
，
或，
，． 

【解析】利用配方法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的简便的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：设年至年该省公共充电桩数量的年平均增长率为，
依题意得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：年至年该省公共充电桩数量的年平均增长率为．
万个．
答：预计年该省将新增万个公共充电桩． 

【解析】设年至年该省公共充电桩数量的年平均增长率为，根据该省年及年公共充电桩数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据该省年公共充电桩数量该省年公共充电桩数量增长率，即可求出答案．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图，为所作，点的坐标为；
抛物线的顶点的坐标为，
抛物线的解析式可设为，
把代入得，解得，
抛物线的解析式可设为． 

【解析】利用关于关于原点对称的点的坐标特征写出、的坐标，然后描点即可得到；
设顶点式抛物线的顶点的坐标为，然后把点坐标代入求出即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了待定系数法求抛物线解析式．
 

19.【答案】证明：
，
，
，
无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
根据题意得，，
而，
，
整理得，解得，，
而，，
的值为，
，
矩形的周长为． 

【解析】计算判别式的值得到，利用非负数的性质得到，从而根据判别式的意义得到结论；
利用根与系数的关系得到，，利用矩形的性质和勾股定理得到，则，解得，，利用、为正数得到的值为，然后计算得到矩形的周长．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

20.【答案】解：由题意画出树状图如下：

所有可能情况如下：
，，，，，，，，；

这个游戏不公平，理由如下：
由可得：标号之和分别为，，，，，，，，共种等可能的结果，标号之和为奇数的有种结果，标号之和为偶数的有种结果，
小林赢的概率是：，小华赢的概率是：，
，
这个游戏不公平． 

【解析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
根据题意画出树状图得出所有等可能情况数即可；
根据概率公式先求出标号之和为奇数和偶数的概率，再进行比较，即可得出这个游戏是否公平．
 

21.【答案】解：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
设，
在中，，，
由可得，
解得：，即，
则． 

【解析】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直．
连接，由知，由可证，根据得，得证；
设，在中由勾股定理求得，即，再根据三角形的面积公式得解．
 

22.【答案】 

【解析】解：设与之间的函数关系关系式为，
则，
解得，
与之间的函数关系关系式为，
故答案为：；
根据题意得：，
解得，，
公司尽可能多让利给顾客，
应定价元；
根据题意得，
，
当时，有最大值，最大值为，
答：当一件衣服定为元时，才能使每天获利最大．
用待定系数法求出函数解析式；
根据题意列出一元二次方程，解方程即可；
根据总利润一件衣服的纯利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数的最值．
本题考查了二次函数的应用，关键是根据等量关系列出函数解析式．
 

23.【答案】解：把点代入一次函数解析式：，得，
．
．
令，则，
点．
把点，代入抛物线的解析式，
得
解得
抛物线的解析式为：；
令，解得：，．
点；
设，则，
．
点，
．
，
当时，的面积最大，将代入解析式得：；
轴，轴，
，
当时，以，，，为顶点的四边形就是平行四边形，
点在直线上面，，
解得：，则，
；
点在直线下面，，
解得：或，则或，
或．
符合条件点的坐标为或或． 

【解析】把代入，先求出的值，再求出的坐标，将点、代入解析式，求解即可；
设，则，用含的代数式表示出，可得，利用二次函数求最值求解即可；
轴，轴，，当时，以，，，为顶点的四边形就是平行四边形，据此解答．
本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．解题关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．