2021-2022学年河南省邓州市第一高级中学高二下学期期末考前拉练（二）数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年河南省邓州市第一高级中学高二下学期期末考前拉练（二）数学（理）试题

一、单选题

1．设复数满足，则（       ）

A． B． C．9 D．10

【答案】A

【分析】根据复数的代数形式求模长即可.

【详解】由题设，则.

故选：A

2．已知函数的导函数为，且满足，则等于（       ）

A．1 B． C．-1 D．

【答案】B

【分析】根据已知求导得，利用方程思想将代入求值.

【详解】由题意，可得，代入

∴，得

故选：B．

3．袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，设A：第一次摸得白球，B：第二次摸得白球，C；第二次摸得黑球，则A与B、A与C的关系是（       ）

A．A与B、A与C均相互独立

B．A与B相互独立，A与C互斥

C．A与B、A与C均互斥

D．A与B互斥，A与C相互独立

【答案】A

【分析】根据独立事件、互斥事件的定义逐一判断即可.

【详解】由题意可知：.

因为，

所以A与B、A与C均相互独立，因此选项A正确；

因为事件A与C能同时发生，事件A与B能同时发生，

所以事件A与C不互斥，事件A与B不互斥，因此选项B、C、D不正确，

故选：A

4．设随机变量，满足：，，若，则（       ）

A．3 B． C．4 D．

【答案】C

【分析】由，，求出值，利用二项分布的方差公式求出，再利用方差的线性性质，即可得到答案．

【详解】由于随机变量满足： ，，

，

解得：，即

，

又随机变量，满足：，

，

故选：C.

5．用数学归纳法证明不等式时，从“到”左边需增加的代数式为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据数学归纳法证明的步骤即可求解.

【详解】解：利用数学归纳法知：

当时，

假设成立，

当时，

需证成立，

故从“到”左边需增加的代数式为：.

故选：D.

6．先后投掷骰子（骰子的六个面分别标有1、2、3、4、5、6个点）两次落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为，设事件为“为偶数”，事件为“中有偶数，且”，则概率

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题意有，所以只须分析事件A和事件AB所包含的基本事件，即可根据公式求出结果.

【详解】解：事件A中“为偶数”，所以同奇同偶，共包含种基本事件；

事件AB同时发生，则都为偶数，且，则包含个基本事件；

.

故选：A.

【点睛】本题考查条件概率的应用，考查基本事件的求法，解题的关键是辨析条件概率，属于基础题.

7．已知函数，若方程有两个相异实根，且，则实数的值等于

A．或 B． C． D．0

【答案】C

【详解】分析：方程有两个相异实根，则有两个不同交点，令，求导后看图有两个交点，根据确定出实数的值

详解：由题意可得：有两个不同交点

令，

当时，，递增

当时，，递减

当时，，递增，

则当时，，可得，，，舍去

当时，，可得，，，符合题意，故

故选

点睛：本题主要考查的知识点是导数的运用．在解答过程中，采用了分离参量，转化为函数图像的交点问题，再利用导数求出函数的单调性，结合题意求出实数的值，本题也可以不分离参量进行求解．

8．设，若为函数的极大值点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.

【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.

有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.

当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

综上所述，成立.

故选：D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.

9．某学校组织演讲比赛，准备从甲、乙等8名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加时，他们的演讲顺序不能相邻，那么不同的演讲顺序的种数为

A．1860 B．1320 C．1140 D．1020

【答案】C

【分析】分2种情况讨论，①只有甲乙其中一人参加，②甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案．

【详解】根据题意，分2种情况讨论，

若只有甲乙其中一人参加，有种情况；

若甲乙两人都参加，有种情况，其中甲乙相邻的有种情况；

则不同的发言顺序种数种．

故选：C．

10．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等、乙等和次品的概率分别为0.6、0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（       ）

A．36元 B．37元 C．38元 D．39元

【答案】B

【分析】根据离散型随机变量的分布列，即可根据期望的公式进行求解.

【详解】由题意可得：设这台机器每生产一件产品可获利X，则X可能取的数值为50，30，，所以X的分布列为：，，，所以这台机器每生产一件产品平均预期可获利为：（元）

故选：B

11．一般地，对于一元三次函数，若，则为三次函数的对称中心，已知函数图象的对称中心的横坐标为（），且有三个零点，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，用a表示，再求出的极大值与极小值，列式求解作答.

【详解】由函数求导得：，则，

由解得，则有，

，当或时，，当时，，

则在，上单调递增，在上单调递减，

因此，当时，取得极大值，当时，取得极小值，

因函数有三个零点，即函数的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，

于是得，解得，

综上得：，

实数a的取值范围是.

故选：A.

12．设函数是定义在上的函数的导函数,.当时，,若,则

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】设 在 为增函数， 关于对称， ．选A．

二、填空题

13．下图中的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯.在图中4个大正方形中，着色的正方形的个数依次构成一个数列的前4项，则数列的一个通项公式为______.

【答案】

【解析】根据图象的规律，得到前后两项的递推关系，然后利用迭代法求通项，并利用等比数列求和.

【详解】由图分析可知，，，

依次类推，，

数列是首项为1，公比为8的等比数列，所以，

故答案为：

【点睛】关键点点睛：本题的关键是迭代法求通项，重点是得到前后两项的递推关系.

14．某照明单元按如图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则照明单元正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该照明单元的使用寿命超过2000小时的概率为________．

【答案】0.375

【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及相互独立事件的概率公式，即可求解．

【详解】解：设元件1，2，3的使用寿命超过2000小时的事件分别记为，，，显然，

则该照明单元的使用寿命超过2000的事件为，

故该照明单元的使用寿命超过2000小时的概率为．

故答案为：．

15．已知函数的导函数为，且，则______．

【答案】

【分析】设，利用导数求出，再根据定积分求出结合即可得出答案.

【详解】解：设，则，

则，

令，求得，

故，

因此，，

则有，得，

所以.

故答案为：.

16．若函数无极值点，则a的取值范围是______．

【答案】

【分析】先求导数，分离参数，构造新函数，结合导数研究新函数的单调性，最值，然后可得a的范围.

【详解】当时，单调递增，显然没有极值点，符合题意；

当时，，令，得，即；

设，则；

时，，为增函数；时，，为减函数；所以，简图如下：

因为无极值点，所以，解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查导数的应用，函数没有极值点转化为导数没有变号零点，一般利用分离参数法，转化为两个函数图象的问题进行求解.

三、解答题

17．（1）若，求出的值；

（2）已知的展开式中偶数项的二项式系数的和比展开式中奇数项的二项式系数的和小120，求第一个展开式的第三项．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）利用赋值法计算可得；

（2）根据二项式系数的特征得到方程，即可求出，再写出展开式的第三项即可.

【详解】解：（1）因为，

令，则，

令，则，

∴，

令，则，∴．

（2）的展开式中偶数项的二项式系数的和为，

展开式中奇数项的二项式系数的和为，

∴，即，

解得或（舍去），∴，

∴第一个展开式的第三项为．

18．年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为，其中男生人对于线上教育满意，女生中有名表示对线上教育不满意．

（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取名学生，再在名学生中抽取名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为．求出的分布列及期望值．附公式及表，其中．

【答案】(1)填表见解析，有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；(2)分布列见解析，期望.

【分析】(1)完善列联表，并用表中数据计算的观测值，再与临界值表比对即可得解；

(2)求出抽取的8名学生中男女生人数，计算出的可能值及其对应的概率即可作答.

【详解】(1)抽取的名学生中，男生人数为，女生人数为65，由此得列联表：

的观测值：，

所以有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

(2)抽取的120名学生中，对线上教育满意的男生、女生各有30名，50名，利用分层抽样抽8人，其中男生有3人，女生有5人，

于是得的所有可能值是：0，1，2，3，

，，

，，

所以的分布列为：

的期望：.

19．已知函数．

(1)求函数在处的切线方程；

(2)若函数在上单调递减，且在上单调递增，求实数a的取值范围；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导函数的几何意义求解；（2）把原函数的单调性转化为导数的正负问题求解.

【详解】解：（1），，

∴函数在处的切线方程为；

（2）当时，，满足题意；

当时，，则由于函数在上单调递减，且在上单调增，

所以在上导函数及在上恒成立，

即满足①和②都成立．由①得解得，

由②得，∴；综上，a的取值范围是.

20．改革开放以来，我国经济持续高速增长.如图给出了我国2010年至2019年第二产业增加值与第一产业增加值的差值(以下简称为：产业差值)的折线图，记产业差值为(单位：万亿元).

注：年份代码1-10分别对应年份2010-2019.

（1）求出关于年份代码的线性回归方程；

（2）利用（1）中的回归方程，分析2010-2019年我国产业差值的变化情况，并预测我国产业差值在哪一年约为34万亿元；

（3）结合折线图，试求出除去2014年产业差值后剩余的9年产业差值的平均值及方差(结果精确到0.1).

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.样本方差公式：.参考数据：，，.

【答案】（1）；（2）2010-2019年我国产业差值逐年增加，平均每年增加1.6万亿元，预测我国产业差值在2029约为34万亿元；（3）平均值为，方差为．

【分析】求出回归系数，求出回归方程即可；

根据的值，即可分析变化情况，令即可求解；

结合折线图求出平均值和方差即可．

【详解】解：（1）由题意可得，，，，

所以，

故，

所以回归直线为；

（2）由（1）值，，

故2010-2019年我国产业差值逐年增加，平均每年增加1.6万亿元，

令，解得，

故预测我国产业差值在2029约为34万亿元；

（3）结合折线图，2014年产业差值为10.8万亿元，

除去2014年(时)产业差值外的9年的产业差值的平均值为，

又，故除去2014年(时)产业差值外的9年的产业差值的方差为．

21．设，，．

(1)当时，试比较与1的大小；

(2)根据（1）的结果猜测一个一般性结论，并加以证明．

【答案】(1)；；；；

(2)当，时，有，证明见解析.

【分析】（1）求出的值即得；

（2）利用数学归纳法证明即得.

【详解】(1)∵，，

∴，．

∵，，

∴，．

∵，，

∴，．

∵，，

∴，．

(2)猜想：当，时，有．

证明：①当时，猜想成立．

②假设当（，）时猜想成立，．

当，．

∵，

∴，则，

即，

∴当时，猜想成立.

由①②知，当，时，有．

22．设函数为的导函数.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）当时，证明；

（Ⅲ）设为函数在区间内的零点，其中，证明.

【答案】（Ⅰ）单调递增区间为的单调递减区间为.（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明

【分析】(Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数的单调区间；

(Ⅱ)构造函数，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数的最小值即可证得题中的结论；

(Ⅲ)令，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果.

【详解】(Ⅰ)由已知，有.

当时，有，得，则单调递减;

当时，有，得，则单调递增.

所以，的单调递增区间为，

的单调递减区间为.

(Ⅱ)记.依题意及(Ⅰ)有：，

从而.当时，，故

.

因此，在区间上单调递减，进而.

所以，当时，.

(Ⅲ)依题意，，即.

记，则.

且.

由及(Ⅰ)得.

由(Ⅱ)知，当时，，所以在上为减函数，

因此.

又由(Ⅱ)知，故：

.

所以.

【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.