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2021-2022学年河南省濮阳市第一高级中学高二下学期期中质量检测数学（理）试题含答案
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这是一份2021-2022学年河南省濮阳市第一高级中学高二下学期期中质量检测数学（理）试题含答案，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A. B. 2C. D. 8
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 要为5名游客和2位导游拍照留念，要求排成一排，且2位导游相邻，不同的排法共有（ ）种
A. 1440B. 960C. 720D. 240
5. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 设等比数列前n项和为，若，则=（ ）
A. 2B. C. D. 3
7. 直三棱柱中，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A. B. C. 1025D. 2049
10. 已知函数，若实数m，n满足不等式，则（ ）
A B.
C. D.
11. 阿波罗尼斯研究圆锥曲线光学性质得到：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点．设抛物线C：，一束平行于抛物线对称轴的光线经过，被抛物线反射后，又射到抛物线C上的Q点，则直线FQ的方程为（ ）
A. B.
C. D.
12. 函数在定义域内恒满足，其中为的导函数，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数，则函数的最小值为________．
14. 已知数列满足若数列为递增数列，则实数a的取值范围为___________.
15. 如图，在棱长为1的正方体中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面的距离为______．
16. 若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．
（1）求△ABC外接圆半径；
（2）求△ABC的面积的最大值．
18. 已知数列为等比数列，设其前n项和为，公比，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求数列的前n项和.
19. 某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克.
（1）求实数的值；
（2）若该商品的成本为元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.
20. 三棱柱中，AB⊥BC，．
（1）求证：平面平面ABC；
（2）若，求锐二面角余弦值．
21. 已知椭圆经过点，其右顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点、在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明直线经过定点．
22. 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若时，恒成立，求的取值范围.
答案
1-12 CBCAA BABBD DD
13. -
14.
15. 1
16.
17.（1）解：由，得．
由正弦定理得，
由余弦定理得，所以．
设△ABC外接圆半径为R，则，所以△ABC外接圆半径为3．
（2）
解：因为，，当且仅当a＝c时，等号成立，所以，
所以，所以△ABC的面积的最大值．
18. （1）因为，，
所以.
，两式相除得，
解得，，
故数列的通项公式.
（2）由（1）得，
则，
故，
则，
所以数列的前n项和为.
19. （1）∵时，，
由函数式，得，∴.
（2）由（1）知该商品每日的销售量，
∴商场每日销售该商品所获得的利润为
，，
，
令，得，
当时，，函数在上递增;
当时，，函数在上递减;
∴当时，函数取得最大值.
所以当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获的利润最大.
20.（1）证明：取AC中点为O，连接，BO．
由已知条件知，，
∴，，．
又，∴．
又，AC，平面ABC，∴平面ABC．
又平面，∴平面平面ABC．
（2）
由（1）知OB，OC，两两垂直，故以O为坐标原点，OB，OC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
，∴，
∴，．
令平面NAC的法向量，
则，即 令z＝1，则，
易知平面ABC的一个法向量，
∴，∴锐二面角的余弦值为．
21.（1）解：由题意可知，，将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，
因此，椭圆的方程为.
（2）
证明：若轴，则点、关于轴对称，则直线与也关于轴对称，
从而直线与的斜率互为相反数，不合乎题意.
设直线方程为，设点、，
联立，可得，
，可得，
由韦达定理可得，，
因，
整理可得，
即，化简得，
即，可得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意.
综上所述，直线过定点．
22.（1）的定义域为，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得：，所以在上单调递增；
令，解得：，所以在上单调递减；
综上所述：当时，上单调递减.
当时， 在上单调递增，在上单调递减；
（2）
设 ，
则有
当时，在上单调递增，所以满足题意；
当时，，且，
使时，单调递减，使得不合题意.
的取值范围为.
1. 已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A. B. 2C. D. 8
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 要为5名游客和2位导游拍照留念，要求排成一排，且2位导游相邻，不同的排法共有（ ）种
A. 1440B. 960C. 720D. 240
5. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 设等比数列前n项和为，若，则=（ ）
A. 2B. C. D. 3
7. 直三棱柱中，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知数列的前n项和为，，，则（ ）
A. B. C. 1025D. 2049
10. 已知函数，若实数m，n满足不等式，则（ ）
A B.
C. D.
11. 阿波罗尼斯研究圆锥曲线光学性质得到：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点．设抛物线C：，一束平行于抛物线对称轴的光线经过，被抛物线反射后，又射到抛物线C上的Q点，则直线FQ的方程为（ ）
A. B.
C. D.
12. 函数在定义域内恒满足，其中为的导函数，则（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知函数，则函数的最小值为________．
14. 已知数列满足若数列为递增数列，则实数a的取值范围为___________.
15. 如图，在棱长为1的正方体中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面的距离为______．
16. 若双曲线C的方程为，记双曲线C的左、右顶点为A，B．弦PQ⊥x轴，记直线PA与直线QB交点为M，其轨迹为曲线T，则曲线T的离心率为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．
（1）求△ABC外接圆半径；
（2）求△ABC的面积的最大值．
18. 已知数列为等比数列，设其前n项和为，公比，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求数列的前n项和.
19. 某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克.
（1）求实数的值；
（2）若该商品的成本为元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.
20. 三棱柱中，AB⊥BC，．
（1）求证：平面平面ABC；
（2）若，求锐二面角余弦值．
21. 已知椭圆经过点，其右顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点、在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，证明直线经过定点．
22. 已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若时，恒成立，求的取值范围.
答案
1-12 CBCAA BABBD DD
13. -
14.
15. 1
16.
17.（1）解：由，得．
由正弦定理得，
由余弦定理得，所以．
设△ABC外接圆半径为R，则，所以△ABC外接圆半径为3．
（2）
解：因为，，当且仅当a＝c时，等号成立，所以，
所以，所以△ABC的面积的最大值．
18. （1）因为，，
所以.
，两式相除得，
解得，，
故数列的通项公式.
（2）由（1）得，
则，
故，
则，
所以数列的前n项和为.
19. （1）∵时，，
由函数式，得，∴.
（2）由（1）知该商品每日的销售量，
∴商场每日销售该商品所获得的利润为
，，
，
令，得，
当时，，函数在上递增;
当时，，函数在上递减;
∴当时，函数取得最大值.
所以当销售价格为元/千克时，商场每日销售该商品所获的利润最大.
20.（1）证明：取AC中点为O，连接，BO．
由已知条件知，，
∴，，．
又，∴．
又，AC，平面ABC，∴平面ABC．
又平面，∴平面平面ABC．
（2）
由（1）知OB，OC，两两垂直，故以O为坐标原点，OB，OC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
，∴，
∴，．
令平面NAC的法向量，
则，即 令z＝1，则，
易知平面ABC的一个法向量，
∴，∴锐二面角的余弦值为．
21.（1）解：由题意可知，，将点的坐标代入椭圆的方程可得，可得，
因此，椭圆的方程为.
（2）
证明：若轴，则点、关于轴对称，则直线与也关于轴对称，
从而直线与的斜率互为相反数，不合乎题意.
设直线方程为，设点、，
联立，可得，
，可得，
由韦达定理可得，，
因，
整理可得，
即，化简得，
即，可得或.
当时，直线的方程为，此时直线过点，不合乎题意；
当时，直线的方程为，此时直线过定点，合乎题意.
综上所述，直线过定点．
22.（1）的定义域为，
当时，恒成立，所以在上单调递减；
当时，令，解得：，所以在上单调递增；
令，解得：，所以在上单调递减；
综上所述：当时，上单调递减.
当时， 在上单调递增，在上单调递减；
（2）
设 ，
则有
当时，在上单调递增，所以满足题意；
当时，，且，
使时，单调递减，使得不合题意.
的取值范围为.
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