2021-2022学年河南省豫北名校联盟高二下学期联考（二）数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年河南省豫北名校联盟高二下学期联考（二）数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数，则

A．1 B． C． D．13

【答案】A

【分析】将代入，利用复数的乘除运算法则化简，再求复数的模即可.

【详解】因为复数，

所以，

所以，故选A.

【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

2．设，“”是“复数是纯虚数”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】当a=0时，如果b=0，此时是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到a=0，因此是必要条件，故选B

【考点定位】

本小题主要考查的是充分必要条件，但问题中又涉及到了复数问题，复数部分本题所考查的是纯虚数的定义

3．甲、乙、丙、丁、戊5个文艺节目在三家电视台播放，要求每个文艺节目只能独家播放，每家电视台至少播放其中的一个，则不同的播放方案的种数为（       ）

A．150 B．210 C．240 D．280

【答案】A

【解析】先根据巳知条件将5个节目分成3组，再计算出每组分到三家电视台的排列数，最后利用分步乘法计数原理计算出正确答案．

【详解】解：第一步：分组，将5个节目在三家电视台独家播放，每家电视台至少播放一个节目的分组方案有1,1,3和2,2,1这两种，

当分组1,1,3时，共有种分组方法，

当分组为2,2,1时，共有种分组方法，

所以总的分组情况共有（种）．

第二步；排列，将分好的组分配到三家电视台每一个组有种分法．

故不同的播放方案共有（种），

故选：A．

【点睛】本题主要考查排列数、组合数及两个计数原理的应用，考查考生的逻辑推理能力和运算求解能力．

4．淮南市正在创建全国文明城市，某校数学组办公室为了美化环境，购买了5盆月季花和4盆菊花，各盆大小均不一样，将其中4盆摆成一排，则至多有一盆菊花的摆法种数为（       ）

A．960 B．1080 C．1560 D．3024

【答案】B

【解析】分两类：第一类一盆菊花都没有，第二类只有一盆菊花，将两类种数分别算出相加即可.

【详解】解：一盆菊花都没有的摆法种数为，只有一盆菊花的摆法种数为，

则至多有一盆菊花的摆法种数为，

故选：B.

【点睛】本题考查分类加法原理，考查排列组合数的计算，是基础题.

5．二项式（为虚数单位）的展开式中第8项是（       ）.

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二项式的通项公式直接求解即可.

【详解】二项式的展开式中第8项是.

故选：C

【点睛】本题考查了求二项式展开式中某项问题，考查了数学运算能力.

6．函数的图象大致是

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用定义法判断函数的奇偶性，得出为奇函数，排除C和D，由于，当，求得，得出原函数图象逼近时，图象单调递减，故A正确.

【详解】解：由于函数，

则，

所以为奇函数，则图象关于原点对称，排除C和D，

由于，

当时，，

即，即原函数图象逼近时，切线的斜率小于0，

所以原函数图象逼近时，图象单调递减，故A正确.

故选：A.

【点睛】本题考查根据函数解析式识别函数图象，利用定义法判断奇偶性和利用导数法判断单调性进行排除.

7．已知函数，那么（       ）

A．有极小值，也有大极值 B．有极小值，没有极大值

C．有极大值，没有极小值 D．没有极值

【答案】C

【分析】求导得到，故函数在上单调递增，在上单调递减，得到答案.

【详解】，则，故函数在上单调递增，在上单调递减，

故函数有极大值，没有极小值.

故选：.

【点睛】本题考查了函数的极值，意在考查学生的计算能力和转化能力.

8．设直线与轴交于点，与曲线交于点，为原点，记线段，及曲线围成的区域为．在内随机取一个点，已知点取在内的概率等于，则图中阴影部分的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用定积分求出曲边梯形的面积，利用点取在内的概率等于，求得点P取在阴影部分的概率等于，从而求出阴影部分面积.

【详解】联立，解得．

则曲边梯形的面积为，

∵在内随机取一个点，点取在内的概率等于，

∴点P取在阴影部分的概率等于，∴图中阴影部分的面积为．

故选：B．

【点睛】方法点睛：求曲边梯形面积的步骤：

（1）画出曲线的草图；

（2）借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．

（3）将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．

（4）计算定积分，写出答案．

9．已知直线分别与函数和交于、两点，则、之间的最短距离是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直线与两曲线分别联解求出、两点坐标，计算得到函数表达式，对函数求导研究单调性，求出最小值

【详解】联立求解得，得到

，设，则

令，

所以在在上单增，在上单减，

故选：B.

【点睛】本题考查函数的最值.

求函数最值的五种常用方法：

单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值

图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值

基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值

导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值

换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值

10．假设每架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1-p,且各引擎是否有故障是独立的,如有至少50%的引擎能正常运行,飞机就可以成功飞行.若使4引擎飞机比双引擎飞机更为安全,则p的取值范围是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别计算引擎和引擎飞机正常运行的概率，根据引擎正常运行的概率大于引擎飞机正常运行的概率来列出不等式，解不等式求得的取值范围.

【详解】首先计算引擎飞机正常运行的概率，包括个引擎、个引擎、个引擎正常工作种情况，故概率为.然后计算引擎飞机正常运行的概率，包括个引擎和个引擎正常工作种情况，故概率为.由于“引擎正常运行的概率大于引擎飞机正常运行的概率”，故，由于，故上式解得，故选C.

【点睛】本小题主要考查在实际问题中识别二项分布，考查利用二项分布概率计算公式计算概率，属于中档题.

11．已知，，随机变量的分布列如下：

当取最大值时，（       ）A．1 B． C．3 D．

【答案】A

【分析】解法一：由分布列的性质得，进而得，再根据基本不等式即可得，当且仅当时取等号，再根据方程公式计算即可得答案.

解法二：由分布列的性质得，进而得，令，，根据三角换元得：，当且仅当，即时取等号，再求随机变量的分布列，进而根据公式计算即可.

【详解】解法一:根据随机变量分布列的性质，得，所以，

所以，

当且仅当时取等号，此时随机变量的分布列为

所以.

故选:A．

解法二：根据随机变量分布列的性质，得，所以，

所以．

令，，则，

所以，

当且仅当，即时取等号，

此时随机变量的分布列为

故，所以．

故选：A．

【点睛】本题考查离散型随机变量的概率分布列，期望，方程的求解，考查运算求解能力，是中档题.值得指出的是：在求解与离散型随机变量的数学期望和方差有关的问题时，考生若能熟练掌握公式，能大大降低运算量，起到事半功倍的效果．

12．已知为自然对数的底数，为函数的导数.函数满足，且对任意的都有，，则下列一定判断正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】构造函数，根据导数判断函数在上单调递增，根据得到函数关于对称，得出，，以及，进而可得结果.

【详解】设，则，

∵对任意的都有，

∴，则在上单调递增，

，，

∵，∴，

∴，∴，

∴关于对称，则，

∵在上单调递增，

∴，即，∴；

即成立，故D错误；

∵，，

∴，，

即，，故A，C 均错误；

∵，∴，故B正确；

故选：B.

【点睛】破解抽象函数不等问题需要构建新函数，常见构造形式如下：

1.对于不等式，构造函数；

2.对于不等式，构造函数；

3.对于不等式，构造函数；

4. 对于不等式，构造函数；

5. 对于不等式，构造函数；

二、填空题

13．已知函数，则______．

【答案】12

【分析】由导数的定义计算即可.

【详解】

故答案为：12

14．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.

【答案】

【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．

【详解】根据题意可得基本事件数总为个.

点数和为5的基本事件有，，，共4个.

∴出现向上的点数和为5的概率为.

故答案为：.

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15．某公司招聘员工，甲、乙、丙、丁四人去应聘，最后只有一人被录用．关于应聘结果四人说法如下：甲说“我没有被录用”；乙说“丙被录用”；丙说“丁被录用”；丁说“我没有被录用”，现知道他们只有一人说的是真话．根据以上条件，可以判断被录用的人是______

【答案】甲

【分析】运用假设法，结合题意进行判断即可.

【详解】解：假设被录用的人是甲，则丁说的是真话．与他们只有一人说的是真话相符，故假设成立，

假设被录用的人是乙，则甲、丁说的是真话．与他们只有一人说的是真话矛盾，故假设成立，

假设被录用的人是丙，则甲、乙、丁说的是真话．与他们只有一人说的是真话矛盾，故假设不成立，

假设被录用的人是丁，则甲、丙说的是真话．与他们只有一人说的是真话矛盾，故假设不成立，

即被录用的人是甲，

故答案为：甲

16．若对任意，不等式恒成立，则a的范围__________．

【答案】

【分析】由已知条件可得，首先将原不等式转化为，构造函数

，可得，判断在上的单调性，可得，分离转化为最值问题即可求解.

【详解】由题意可得：，

，

由可得，

即，

令，可得

由可得，由可得，

如图

可得在单调递增，

若

则，可得，

令，只需要，

对于恒成立，

所以在单调递减，

所以，

所以，实数a的范围为，

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将原不等式变形，构造函数

，可得利用单调性脱掉，再分离参数求最值.

三、解答题

17．求由曲线和所围成的平面图形的面积.

【答案】.

【分析】利用定积分求平面图形的面积.

【详解】曲线和所围成的平面图形的面积为：

.

18．观察如图所示的“三角数阵”

记第行的第个数为，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：

（1）第行的个数依次为_____、_____、_____、_____、_____、_____；

（2）依次写出、、、；

（3）归纳出与的关系式．

【答案】（1）、、、、、；（2），，，；（3）.

【分析】（1）根据数阵的规律可写出第行的个数；

（2）根据数阵可写出、、、的值；

（3）由（2）结合数阵中的规律可得出与的关系式.

【详解】由数阵可看出，除首末的两数外，每行中的数都等于它上一行的“肩膀”上的两数之和，且每一行的首末两数之和都等于行数.

（1）由数阵的规律可知，第行的个数依次为、、、、、；

（2），，，；

（3）由（2）可知，，，，

且等于它上一行的“肩膀”上的两数和之和，

由此可归纳得出.

19．2020年寒假是特殊的寒假，因为疫情全体学生只能在家进行网上在线学习，为了研究学生在网上学习的情况，某学校在网上随机抽取120名学生对线上教育进行调查，其中男生与女生的人数之比为，其中男生30人对于线上教育满意，女生中有15名表示对线上教育不满意．

（1）完成列联表，并回答能否有99%的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

（2）从被调查中对线上教育满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在8名学生中抽取3名学生，作学习经验介绍，其中抽取男生的个数为，求出的分布列及期望值．

附公式及表：，其中．

【答案】（1）有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；（2）分布列见解析，期望为；

【分析】（1）根据分层抽样方法求出男生、女生人数，填写列联表，计算，对照附表得出结论；

（2）由题意知的可能取值，计算所求的概率值，写出分布列，计算数学期望值．

【详解】解：（1）120名学生中男生有（人，女生有65人，

结合题意填写列联表如下：

计算，且，

所以有的把握认为对“线上教育是否满意与性别有关”；

（2）利用分层抽样抽取8名学生，男生有3人，女生5人，

从这8名学生中抽取3名，抽取男生的个数的可能取值为0，1，2，3；

计算，，，；

所以的分布列为：

的数学期望值为．

20．已知函数．

（I）若是的极值点，求的单调区间；

（II）求a的范围，使得恒成立．

【答案】（I）的单调增区间为，减区间为；（II）

【分析】（I）根据题意得出，求出a，进而由求得增区间，由求得减区间；

（II）根据题意将问题转化为时恒成立，设，求出，分类讨论参数a，得到，即可得到a的范围.

【详解】（I）函数的定义域为，，

因为是的极值点，所以，解得a=3，

当a=3时，，

令，得或；令，得，

所以函数的单调增区间为；单调减区间为.

（II）要使得恒成立，即时恒成立，

设，则，

当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，

故，得；

当时，由得单调减区间为，

由得单调增区间为，；此时，不合题意；

当时，在上单调递增，此时，不合题意；

当时，由得单调减区间为，由得单调增区间为，，此时，不合题意；

综上所述：时，恒成立.

21．年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎.为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情.某社区组织了名社区居民参加防疫知识竞赛，他们的成绩全部在分至分之间，现将成绩按如下方式分成组：第一组，成绩大于等于分且小于分；第二组，成绩大于等于分且小于分；第六组，成绩大于等于分且小于等于分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.

（1）求社区居民成绩的众数及的值；

（2）我们将成绩大于等于分称为优秀，成绩小于分称为不合格.用分层抽样的方法从这个成绩中抽取个成绩继续分析，成绩不合格和优秀各抽了多少个？再从抽取的不合格成绩和优秀成绩中任选个成绩，记优秀成绩的个数为个，求的分布列和数学期望.

【答案】（1）众数为，；（2）成绩不合格的个数为，成绩优秀的个数为，分布列答案见解析，数学期望为.

【分析】（1）利用最高矩形底边的中点值为样本的众数可得出社区居民成绩的众数，利用直方图的面积之和为可求得的值；

（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的数学期望.

【详解】（1）由频率分布直方图得众数为，

由于所有矩形的面积和为，则，得；

（2）成绩不合格有个，优秀有个，可能取值为、、、，

，，，，

的分布列为

.

22．已知函数(b为常数)

（1）若b=1,求函数H(x)=f(x)﹣g(x)图象在x=1处的切线方程;

（2）若b≥2,对任意x1,x2∈[1,2],且x1≠x2,都有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求实数b的值.

【答案】（1）.（2）

【解析】（1）将b=1代入，求导后得到斜率，求出切点，利用点斜式得到切线方程;

（2）分析可知，函数f(x)=lnx在区间[1，2]上是增函数，函数g(x)在区间[1，2]上是减函数，进而问题等价于f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2)，进一步等价于在区间[1，2]上恒成立，由此即可得解.

【详解】（1）若b=1，函数，

∴，故又切点为，

故所求切线方程为2x﹣2y﹣1=0;

（2）不妨设x1>x2，

∵函数f(x)=lnx在区间[1，2]上是增函数，

∴f(x1)>f(x2)，

∵函数g(x)图象的对称轴为x=b，且b>2，

∴当b≥2时，函数g(x)在区间[1，2]上是减函数，

∴g(x1)<g(x2)，

∴|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|等价于f(x1)+g(x1)>f(x2)+g(x2)，

等价于函数在区间[1，2]上是增函数，

等价于在区间[1，2]上恒成立，

等价于在区间[1，2]上恒成立，

∴b≤2，

又b≥2，故b=2.

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，不等式的恒成立问题 ，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.