2022-2023学年云南省名校联盟高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年云南省名校联盟高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．复数（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据复数的乘法运算可得答案.

【详解】.

故选：B

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求解二次不等式解得集合，再根据集合的交运算，即可求得结果.

【详解】因为，，所以.

故选：C.

3．已知空间向量，，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据空间向量数量积的坐标运算可得答案.

【详解】因为，所以，故.

故选：A

4．一箱脐橙共有21个，其中有3个是坏果，若从中随机取一个，则取到的脐橙不是坏果的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据古典概型的概率计算公式可得答案.

【详解】依题意可得，取到的脐橙不是坏果的概率为.

故选：D

5．命题：，.命题：每个大于2的质数都是奇数.关于这两个命题，下列判断正确的是（    ）

A．是假命题 B．：，

C．是假命题 D．：存在一个大于2的质数不是奇数

【答案】D

【分析】首先判断出的真假，然后写出它们的否定，即可选出答案.

【详解】若，则，所以是真命题，故A错误；

：，，故B错误；

是真命题，故C错误；

：存在一个大于2的质数不是奇数，故D正确；

故选：D

6．过点作圆的一条切线，切点为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意可得，然后代入计算即可得到结果.

【详解】根据题意可得，圆心，，则，

由圆的切线定理可得.

故选:A

7．若一个长方体的长､宽､高分别为4，，2，且该长方体的每个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，利用体对角线公式求得半径，结合球的表面积公式，即得解.

【详解】由题意，长方体的体对角线的交点到各个顶点的距离相等，即球心即为体对角线交点，

半径为体对角线的一半，即球的半径，

则球的表面积.

故选：D

8．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．充要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据给定的条件，利用对数函数单调性比较大小，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】因为，因此，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：C

9．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【分析】利用共面向量定理分析判断，其中选项ABD中，一个向量可以表示为另外两个向量的共线向量的和的形式，所以三个向量共面；只有选项C的向量不可以，即得解.

【详解】因为

所以共面；

因为

所以共面；

，

所以共面；

假设存在实数满足，

所以,所以 ，该方程组没有实数解.

所以不存在实数满足，

故不共面．所以选项C符合题意.

故选：C

10．函数的值域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】将函数平方可得，结合二次函数的性质，可求解值域.

【详解】因为（），

所以，

又，

所以.

故选：A

11．设函数，给出下列结论：

①若，，则；

②存在，使得的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称；

③若在上有且仅有4个零点，则的取值范围为；

④，在上单调递增.

其中正确的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据二倍角公式化简得，根据最值与周期的关系可判断①,根据平移可判断②，根据零点问题可判断③,根据整体法验证可判断④.

【详解】因为，所以的最小正周期为.

对于①，因为，故分别为最大、最小值，由于，所以的最小正周期，所以.故①错误；

对于②，图象变换后所得函数为，

若其图象关于原点对称，则，，解得，，

当时，，故②正确；

对于③，当时，，因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，故③正确；

对于④，当时，，

因为，所以，，

所以在上单调递增.故④正确.综上，正确的个数为3.

故选：C

12．台风中心从地以的速度向西北方向移动，离台风中心内的地区为危险地区，城市在地正西方向的处，则城市处于危险地区内的时长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出平面图形后，可求得到的距离，结合勾股定理可求得的长度，由此可得所求时长.

【详解】以为圆心，为半径作圆，与运动方向交于两点，

由题意知：，，，

作，垂足为，则为中点，

，，，

城市处于危险地区内的时长为.

故选：D.

二、填空题

13．已知向量，，且，则___________.

【答案】

【分析】根据向量平行的坐标表示，求解即可.

【详解】因为，所以，解得.

故答案为：

14．已知某地最近12天的平均气温（单位：℃）为12，13，17，19，12，16，15，17，15，18，14，18，则这12天平均气温的70%分位数为______℃.

【答案】17

【分析】先把数据由小到大进行排列，再求出70%分位数为第9个数据的气温，即可求解.

【详解】解：这12天的平均气温的数据按照从小到大的顺序排列为：

12，12，13，14，15，15，16，17，17，18，18，19，

，

这12天平均气温的70%分位数为第9个数据的气温，

即17℃.

故答案为：.

三、双空题

15．若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则直线在轴上的截距为__________，__________．

【答案】         

【分析】根据截距的定义，以及斜率和倾斜角的关系和二倍角公式求解即可.

【详解】令，得，则直线在轴上的截距为．依題意可得，则.

故答案为：，.

16．若空间中有三点，则到直线的距离为___________；点到平面的距离为___________.

【答案】         

【分析】利用空间向量的夹角去求到直线的距离；利用公式去求到平面的距离

【详解】由可得

则，

又，则

则到直线的距离为

设平面的一个法向量为

则，即，

令，则，又

则点到平面的距离为

故答案为：；

四、解答题

17．（1）求两条平行直线与间的距离；

（2）求过点且与直线垂直的直线方程.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）直接根据平行线间的距离公式即可得结果；

（2）根据垂直关系设所求直线的方程为，将点代入求出值即可.

【详解】（1）两条平行直线与间的距离.

（2）依题可设所求直线的方程为，

将点的坐标代入得.

则，

故所求直线的方程为.

18．在长方体中，底面是边长为2的正方形，，，分别是，的中点.

(1)的值；

(2)求与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，求向量，的坐标，根据数量积的坐标运算求解；（2）利用向量法求平面的法向量，利用向量夹角公式求与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，

，，.

；

（2）设平面的法向量为，

则

令，得.

设与平面所成角为，

则，

故与平面所成角的正弦值为.

19．某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动.

(1)求甲最后没有得奖的概率；

(2)已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）分第一关未通过，第一关通过第二关未通过，前两关通过第三关未通过三种情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式，求解即可；

（2）若奖金为900，则甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，计算对应概率即可.

【详解】（1）记第一关未通过为事件，第一关通过第二关未通过为事件，前两关通过第三关未通过为事件，甲最后没有得奖为事件，

则，，，

故.

（2）记通过了前两关时最后获得二等奖为事件，通过了前两关时最后获得一等奖为事件，

则，.

因为甲和乙最后所得奖金总和为900元，所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，

故甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率为.

20．在锐角中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且．

(1)求角C的大小；

(2)若，，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用二倍角公式得到，再由余弦定理将角化边，最后由余弦定理计算可得；

（2）由（1）可得，由正弦定理将边化角，由三角恒等变换公式化简得到，再根据三角形为锐角三角形及求出角的取值范围，最后由正弦函数的性质计算可得.

【详解】（1）解：因为，

所以，

即，

由余弦定理可得，

所以，

所以，

因为在锐角中，所以.

（2）解：由（1）知，

所以，

因为，

由正弦定理，

所以，，

所以

因为，所以，所以，解得，

又三角形为锐角三角形，所以，所以，

所以，所以，

所以，所以，即的取值范围为.

21．已知圆．

(1)若圆C被直线截得的弦长为8，求圆C的直径；

(2)已知圆C过定点P，且直线与圆C交于A，B两点，若，求a的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据弦长为8，利用弦心距、半径、半弦长之间的关系列出方程求解即可；

（2）求出动圆所过定点，再联立直线与圆的方程，求出交点坐标，由数量积的坐标运算列出不等式即可求解.

【详解】（1）依题意可知圆的圆心为，

到直线的距离，

因为圆被直线截得的弦长为8，所以，

解得，故圆的直径为.

（2）圆的一般方程为，

令，，解得，所以定点的坐标为.

联立解得或

所以，因为，所以.

又方程表示一个圆，所以，

所以的取值范围是.

22．如图1，已知是边长为4的正三角形，，，分别是，，边的中点，将沿折起，使点A到达如图2所示的点的位置，为边的中点.

(1)证明：平面.

(2)若平面平面，求平面与平面夹角的正切值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，，设与交于点，连接，证明，根据线面平行的判定定理可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求得平面的法向量，根据向量的夹角公式结合同角的三角函数关系，即可求得答案.

【详解】（1）证明：连接，，设与交于点，连接.

因为，，分别是，，边的中点，

所以且，

则四边形为平行四边形，所以为的中点，

因为为的中点，所以，

又因为平面，平面，所以平面.

（2）取的中点，连接，，由题意知,则，

因为平面，平面平面，

平面,所以平面，，，两两垂直.

如图所示，以为原点，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，，，，，

，，设平面的法向量为，

则，即,

令，得.

由题意知为平面的一个法向量，

由，可得，

得平面与平面夹角范围为，故其正切值为.