2022-2023学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．过两点的直线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由斜率公式求解即可.

【详解】设倾斜角为，则，

故选：C

2．长轴长为10，焦点坐标为的椭圆方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题得椭圆焦点在轴上，且，所以，

由焦点坐标为

所以，所以 ，

所以椭圆的标准方程为：，

故选：A.

3．双曲线的左右焦点分别为，，点P在双曲线C上且，则等于（    ）

A．14 B．26 C．14或26 D．16或24

【答案】C

【分析】根据双曲线的方程可得，由即可求解.

【详解】由双曲线的方程可得，故.

因为，故，解得或26.

故选:C.

4．已知直线与平行，则（    ）

A．0或1 B．1或2 C．0 D．1

【答案】A

【分析】结合已知两直线平行的条件得到，解方程求出结果，注意检验两直线是否重合即可.

【详解】由题意知：，解得或，经检验或时均符合题意，

故选：A.

5．已知双曲线的右焦点为，过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由焦点坐标得，由平行线斜率相等得，从而求得得双曲线方程．

【详解】右焦点为，则，

过F和两点的直线与双曲线的一条渐近线平行，则，，

，

双曲线方程为．

故选：B．

6．已知直线，若不论为何值时，直线总经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ）

A．  B． C． D．

【答案】C

【分析】先变形解析式得到关于的不定方程，由于有无数个解，则且，然后求出和的值即可得到定点坐标．

【详解】由直线，知．

不论为何值时，直线总经过一个定点，即有无数个解，

且，

，，

这个定点的坐标是．

故选：C．

7．数学家蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆．若圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由新定义求得后，再求出可得离心率．

【详解】由题意，，所以，

离心率为．

故选：A．

8．已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，测量得水面宽8米．当水面升高0.5米后，水面宽度是（    ）米.

A．3 B．4 C． D．

【答案】D

【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，根据题意确定点的坐标，代入方程求得p，继而可求得水面升高米后的水面宽度，即得答案.

【详解】由题意，以拱桥的顶点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，抛物线的开口向下，

设抛物线的标准方程为，∵顶点距水面2米时，量得水面宽8米，

∴点在抛物线上，代入方程得，p＝4，∴，

当水面升高0.5米后，设水面如图中,则A点纵坐标为 ，

代入方程得：，

∴水面宽度是米，

故选：D．

9．设、为椭圆的左、右焦点，动点P在椭圆上，当面积最大时，的值等于（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【分析】根据焦点三角形面积公式可知，当为上下顶点时，面积最大，再利用数量积公式即可求得.

【详解】根据对称性，可设点，,则的面积为，则当面积最大时，即最大，此时为上顶点时，即时最大.此时.又，则、.

则，.

故选：B

10．已知A，B分别是椭圆与圆上的动点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先利用点到圆心的距离得到、的等式，再将代入，化简可得，最后利用二次函数的性质即可求得最小值.

【详解】依据题意，圆心记为，半径，则的最小值为的最小值减去圆的半径，设，在椭圆上，则有，且 ，当时，有最小值.的最小值为.

故选：B

11．在平面直角坐标系中，已知点，圆，在圆上存在点P满足，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据，得出点P轨迹为圆，求出轨迹方程.当两圆相切或相交时存在，根据两圆位置关系得出实数m的取值范围.

【详解】设 ，由可得 ，

整理得， ，圆心设为D， ，半径 ；

圆，圆心 ，半径 .

由已知，可得，两圆相交或相切，则有， ，

即， ，解得，.

故选：D.

12．已知抛物线的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以为直径的圆与y轴交于D，E两点，且，则直线l的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】设的中点为M，根据求出r，进而得到M点横坐标；再设直线，由韦达定理得到k与M横坐标的关系，进而求出k．

【详解】设的中点为M，轴于点N，过A，B作准线的垂线，垂足分别为，如下图：

由抛物线的定义知，

故，

所以，

即，

解得或（舍去），

故M的横坐标为，

设直线，

将代入，

得，

则，

解得，

故直线l的方程为．

故选：C．

【点睛】本题解题的关键是要抓住圆的两要素：圆心和半径，用圆心的横坐标得到斜率的等量关系．

二、填空题

13．在空间直角坐标系（为坐标原点）中，点关于轴的对称点为点，则___________.

【答案】

【分析】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，由此得到点的坐标，再利用两点距离公式即可求得.

【详解】因为在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，

所以.

故答案为：.

14．直线关于点对称的直线方程是_____________．

【答案】

【分析】首先设出直线方程上的点为，根据中点坐标公式，表示出对称点，然后代入所给直线方程即可求得.

【详解】设直线上的点为，设关于点对称的直线方程上的点为.由中点坐标公式可得：，即，将其代入直线中，整理得，即关于点对称的直线方程是.

故答案为：

15．在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为_____________．

【答案】

【分析】直接用坐标表示向量的数量积和模，化简即可得．

【详解】由题意，

由得，

化简得．

故答案为：．

16．已知分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与的右支交于两点，若 ，且，则_____．

【答案】

【分析】设，利用双曲线的定义可求，，结合余弦定理列方程求，再由余弦定理列方程求焦距，由此可求.

【详解】因为双曲线的方程为，所以双曲线的实半轴长，虚半轴长，设，则．由双曲线的定义可得，．在中，，

即，解得．

则，，，

 所以，

则，故．

故答案为：.

三、解答题

17．已知的顶点．

(1)求边上的中线所在直线的方程；

(2)求经过点B，且在x轴上的截距和轴上的截距相等的直线的方程．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）先求得边中点坐标，然后得斜率，由点斜式得直线方程并化简；

（2）按直线是否过原点分类讨论．不过原点时设截距式方程求解．

【详解】（1）由已知边中点坐标为，中线斜率为，

中线所在直线方程为，即；

（2）当直线过原点时，斜率为，直线方程为，即，

直线不过原点时，设直线方程为，则，，直线方程为，即，

所以所求直线方程为或．

18．已知圆．

(1)若直线l与C交于A，B两点，线段的中点为，求；

(2)已知点P的坐标为，求过点P的圆C的切线的方程．

【答案】(1)2

(2)或．

【分析】（1）用几何法由勾股定理求弦长；

（2）分斜率存在和不存在两种情况分别求解，斜率存在时设切线方程，由圆心到切线距离等于半径求解．

【详解】（1）由题意圆心到直线的距离为，圆半径为，

∴弦长；

（2）在直线斜率不存在时，显然直线与圆相切，

在直线斜率存在时，设方程为，即，

由，解得，

切线方程，即．、

综上，切线方程为或．

19．已知双曲线C的焦点在x轴上，其渐近线方程为，实轴长为4．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)过点的直线与双曲线C的左、右支各交于一点，求该直线斜率k的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意确定双曲线为等轴双曲线，确定a的值，可得答案;

（2）设直线方程为，联立双曲线方程，整理并列出相应不等式，求得答案.

【详解】（1）由题意双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为，实轴长为4，

可设双曲线方程为，且 ，

则双曲线标准方程为；

（2）题意可知过点的直线与双曲线的左、右支各交于一点，

故该直线斜率一定存在，且不和双曲线渐近线平行，

故设直线方程为，

联立，整理得，

需满足，解得 ，

即该直线斜率的取值范围为.

20．如图，某海面上有O、A、B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系圆C经过O、A、B三点．

(1)求圆C的标准方程；

(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西方向距O岛40千米处，正沿着北偏东行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？

【答案】(1)

(2)该船没有触礁的危险

【分析】（1）由图中坐标系得坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解，然后把一般方程配方得标准方程；

（2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得．

【详解】（1）如图所示，，

设过O、A、B三点的圆C的方程为，

得：，解得，

故所以圆C的方程为，

圆心为，半径，

（2）该船初始位置为点D，则，

且该船航线所在直线l的斜率为,

故该船航行方向为直线，

由于圆心C到直线l的距离，

故该船没有触礁的危险

21．已知抛物线的焦点为F，A为E上一点，的最小值为1．

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)过焦点F作互相垂直的两条直线与抛物线E相交于P，Q两点，与抛物线E相交于M，N两点．若C，D分别是线段的中点，求的最小值．

【答案】(1)

(2)16

【分析】（1）由抛物线的性质得焦参数，从而得抛物线方程；

（2）确定直线的斜率都存在且不为0，设直线斜率为k，则的斜率为，设，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理得，从而可中点坐标，求出，同理求得，计算，换元，设，由基本不等式得的范围，换元后由二次函数性质得最小值．

【详解】（1）由已知可得，解得，

所以抛物线E的标准方程为

（2）由（1）得，点，显然直线的斜率都存在且不为0，

设直线斜率为k，则的斜率为，

直线的方程为，由消去y并整理得，

，

设，则，所以线段中点，

，同理，

所以，

令，当且仅当，即时等号成立．

所以，且，

所以，

当且仅当时取等号，

所以的最小值为16

22．椭圆C的方程为，过椭圆左焦点的直线与椭圆相交于点P、Q，椭圆的右焦点为，已知的周长为8，且椭圆过点．

(1)求椭圆C中a，b的值；

(2)过椭圆C的右焦点作直线交椭圆C于A，B两点，交轴于M点，若，，求证：为定值．

【答案】(1)，

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意可得，解方程即求出椭圆C中a，b的值；

（2）设点，设直线l的方程为，联立，结合韦达定理，以及向量关系，然后转化为求解.

【详解】（1）依题可知：，解得

又∵椭圆C过点，则，解得．

椭圆C的标准方程为．

（2）设点，

由题意可知，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为，

联立，可得，

由于点在椭圆C的内部，直线l与椭圆C必有两个交点，

由韦达定理可得，

∵，

得，

∴，，

∴