2022-2023学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2022-2023学年四川省绵阳南山中学高二上学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．在空间直角坐标系中，已知,则线段中点坐标是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用中点坐标公式直接求解.

【详解】在空间直角坐标系中，已知点,

则线段中点坐标是：，

即中点坐标是.

故选：A.

2．已知抛物线的顶点在原点，焦点坐标为，则抛物线的方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，由焦点坐标求，并确定焦点所在位置，进而求抛物线方程.

【详解】∵抛物线的焦点坐标为，则，且焦点在轴正半轴上，

∴，

故抛物线的方程为.

故选：D.

3．若图中的直线､､的斜率分别为､､，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由倾斜角与斜率的关系即可求解.

【详解】设直线､､的倾斜角分别为，

则，

由图可知：，，

所以.

故选：A

4．已知直线，且，则（    ）

A．或 B． C． D．

【答案】D

【分析】直接根据直线垂直得到，解得答案.

【详解】直线，且，故，

解得.

故选：D.

5．已知双曲线的左､右焦点为，虚轴的上､下端点为，则四边的面积为（    ）

A．24 B．12 C．8 D．4

【答案】B

【分析】根据双曲线的性质结合菱形的面积公式求解即可

【详解】设虚半轴､半焦距分别为b，c，则，

所以四边形的面积为.

故选：B

6．以点，为直径端点的圆的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求得圆心和半径，从而求得圆的方程.

【详解】的中点坐标为，即圆心为，

，所以圆的半径为，

所以圆的方程为.

故选：D

7．已知点和，点C为直线上一点，则的面积为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】A

【分析】由题可得，，然后利用平行线间距离公式可得点C到的距离，进而即得.

【详解】由点，，可得，，

又点C为直线上一点，

可知，所以点C到的距离为，

所以的面积为，

故选：A.

8．已知圆与圆恰有三条公切线，则实数a的值是（    ）

A．4 B．6 C．8 D．16

【答案】D

【分析】由题可知，圆与圆外切，则有圆心距.

【详解】圆化为：，

则圆心为，半径，

圆，圆心为，半径，

若圆与圆恰有三条公切线，则两圆外切.

两圆心的距离，

则有，即，解得.

故选：D

9．双曲线上一点到它的一个焦点的距离为5，则到另一个焦点的距离等于（    ）

A．3 B．7 C． D．3或7

【答案】D

【分析】将双曲线方程化为标准式，即可求出、，设到另一个焦点的距离为，根据双曲线的定义可得，从而可得结果.

【详解】解：双曲线，即，

所以，，则，，，

设到另一个焦点的距离为，

根据双曲线的定义可得，解得或，

即点到另一个焦点的距离等于或.

故选：D.

10．已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C点，若，则等于（    ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】B

【分析】过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，根据相似得到，再利用抛物线的性质得到答案.

【详解】如图所示：

过点作垂直于准线交准线于，过点作垂直于准线交准线于，

则，，，故，即.

故选：B

11．双曲线的左右焦点分别为和，过且与x轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点，若为正三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据题意得到，代入双曲线方程，化简得到，解得答案.

【详解】不妨设在第一象限，为正三角形，故，

代入双曲线方程得到：，化简得到，

解得或（舍去）.

故选：B

12．已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点（）使得，则椭圆的离心率的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用结论建立不等式即可求解.

【详解】根据题意作图如下：

由图可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时，最大，

要满足椭圆C上存在点（）使得，则，

∴，即：，整理得：，

又，∴得到：，∴，

∴椭圆离心率的取值范围为，

故选:B．

二、填空题

13．抛物线的焦点到准线的距离为______.

【答案】1.

【解析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果.

【详解】抛物线的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得.

故答案为：1

【点睛】本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题.

14．若直线过点，则此直线的斜率是_____________．

【答案】

【分析】根据直线的斜率公式计算即可.

【详解】解：因为直线过点，

所以此直线的斜率是.

故答案为：.

15．点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为．且（为坐标原点），则线段的长为_____________．

【答案】6

【分析】根据三角形中位线及椭圆定义，即可得线段的长.

【详解】解：由题设椭圆的左焦点为，右焦点为，连接

则，

又点在椭圆上，线段的中点为．且，又为中点，所以

由椭圆的定义得，所以.

故答案为：6.

16．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史．为宜传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示．该伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率_____________．

【答案】##0.5

【分析】由伞沿半径及圆心到伞柄底端的距离，得伞柄与地面夹角为，阳光光线与伞柄平行，易得椭圆长半轴，短半轴的长，可求出离心率.

【详解】因为伞沿是半径为2的圆，圆心到伞柄底端的距离为，

设伞柄与地面的夹角为，则，所以，

即阳光光线与伞柄平行，所以椭圆长半轴，短半轴，

离心率.

故答案为：.

三、解答题

17．已知顶点

(1)求边上中线所在的直线方程

(2)求边上高线所在的直线方程．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）求出线段的中点坐标，用两点式求出直线方程，化为一般方程；

（2）求出直线的斜率，得到边上高线所在直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，化为一般方程.

【详解】（1）线段的中点坐标为，即，

所以边上中线所在的直线方程为：，

整理得：；

（2）直线的斜率为，

所以边上高线所在直线的斜率为，

所以边上高线所在直线的方程为，

整理得：

18．已知圆经过点，，且圆与轴相切．

(1)求圆的一般方程；

(2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设圆的方程为，依题意可得圆心在轴右侧，且跟轴的切点为，即可得到圆心的纵坐标为，再将点的坐标代入方程，即可得到方程组，解得即可；

（2）设则，再由点是圆上的动点，代入圆的方程，即可得解.

【详解】（1）解：设圆的方程为，

因为圆过点，，又跟轴相切，

圆必在轴右侧，且跟轴的切点为，

圆心的纵坐标为．

，解得，

圆的方程为，化简得．

（2）解：设．因为为线段的中点，所以，

因为点是圆上的动点，所以，即，

所以的轨迹方程为．

19．已知双曲线的渐近线方程为，且经过点．

(1)求双曲线C的方程；

(2)直线与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，求的面积．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据渐近线方程和点代入方程得到方程组，解得答案.

（2）联立方程消去得到二次方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算，再计算点到直线的距离得到面积.

【详解】（1）根据题意：解得，故双曲线的方程为：．

（2）设，则，消去得：，

，

又点O到直线的距离，

．

20．已知圆及直线．

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；

(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．

【答案】(1)证明见解析

(2)，

【分析】（1）根据直线过定点，而该点在圆内，即可求解，

（2）由时，圆心到直线的距离最大，进而可求最短的弦长以及直线方程.

【详解】（1）将直线的方程变形为，令，解得，即直线过定点．因为，所以点在圆内部．所以不论m为何实数，直线与圆恒相交．

（2）（1）的结论知直线过定点，且当直线时，此时圆心到直线的距离最大，进而被圆所截的弦长最短，故,

从而此时，

此时,直线方程为，即

21．已知点，直线和交于点P，且它们的斜率之积为．

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)过点的直线与C交于A，B两点，点，求直线与的斜率之和．

【答案】(1)

(2)0

【分析】（1）设 ，依题意由斜率公式得到方程，整理即可得解；

（2）设直线l的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，表示出直线与的斜率，整理计算可得.

【详解】（1）解：设 ，依题意可得，

所以，整理得，

所以点的轨迹的方程为.

（2）解：设直线l的方程为，，，联立方程，

消去整理得

因为直线与椭圆存在两个交点，故，

根据韦达定理：

则，，

根据题意可知

上式的分子

，

所以，即直线与的斜率之和为．

22．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．

(1)求抛物线的方程；

(2)若直线过F且与抛物线交于A，B两点，线段的垂直平分线交轴于点N，交于点M，求证：为定值．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据抛物线的定义可求得，即可得抛物线方程；

（2）根据直线与抛物线的位置，分别求解线段，即可验证.

【详解】（1）解：点在抛物线上，由抛物线的定义得故，所以．

（2）解：由题意知直线l的斜率存在且不为0，

∵直线l过焦点F，故设直线l的方程为，设．

由，得，

∴．

∴，

∴．

∴的方程为．

令，解得，

∴，∴，为定值．