2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中考试数学（理）试题 含解析

2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．命题“,若,则”的逆命题、否命题和逆否命题中,正确命题的个数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】试题分析：原命题是假命题，故其逆否命题是假命题.逆命题为“,若,则”为真命题，故其否命题为真命题.故选C.

【解析】四种命题及真假性判断．

2．设复数（i为虚数单位）为纯虚数，则实数（       ）

A．1 B．－1 C．2 D．－2

【答案】B

【分析】利用复数的除法运算求出复数z，再结合纯虚数的意义求解作答.

【详解】，因复数z为纯虚数，则，解得，

所以实数.

故选：B

3．已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（       ）

A．，，共线 B．O，A，B，C中至少有三点共线

C．与共线 D．O，A，B，C四点共面

【答案】D

【分析】根据空间向量基本定理即可判断

【详解】由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面

故选：D

4．一个关于自然数n的命题，已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，证明了当时命题成立，那么综上可知，该命题对于（       ）

A．一切自然数成立 B．一切正整数成立

C．一切正奇数成立 D．一切正偶数成立

【答案】C

【分析】依据数学归纳法的规则去判断即可解决

【详解】已经验证知时命题成立，并在假设（k为正整数）时命题成立的基础上，

证明了当时命题成立，那么综上可知，命题对成立

即该命题对于一切正奇数成立

故选：C

5．4名运动员同时参与到三项比赛冠军的争夺，则最终获奖结果种数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理列式作答.

【详解】每一项比赛的冠军在4个人中选取有4种方法，

由分步乘法计数原理得：最终获奖结果种数为.

故选：C

6．如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量

【详解】连接AG并延长交BC于N，连接ON，

由G是的重心，可得，

则

则

故选：D

7．是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】先化简不等式，再判断二者间的逻辑关系

【详解】

当时，，，，

则有成立，即成立；

当时，，

即成立，但此时不成立.

综上可知，是的充分不必要条件

故选：A

8．若函数在为增函数，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用函数的导函数在区间恒为非负数列不等式，用分离常数法求得的取值范围.

【详解】依题意，在区间上恒成立，即，当时，，故，在时为递增函数，其最大值为，故.所以选A.

【点睛】本小题主要考查利用导数求解函数单调性有关的问题，考查正切函数的单调性，属于中档题.

9．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（       ）

A．8种 B．14种 C．20种 D．116种

【答案】B

【分析】按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.

【详解】按照甲是否在天和核心舱划分，

①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能；

②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有种可能；

根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.

故选：B.

10．已知a，b是异面直线，A，B是a上的点，C，D是b上的点，，，且，，则a与b所成角为（       ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

【答案】C

【分析】先计算出 ,再根据计算夹角的余弦值，即可写出答案

【详解】设

又 ，

故选：C

11．已知t和是函数的零点，且也是函数的极小值点，则的极大值为（       ）

A．1 B．4 C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得，再借助导数求出极大值作答.

【详解】因函数在处取得极小值0，又t是函数的另一零点，因此函数只有两个零点，

从而有，求导得：，

当或时，，当时，，

于是，在处取得极小值，在处取得极大值，

所以的极大值为4.

故选：B

12．设，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数利用导数说明函数的单调性，即可得到，即可判断；

【详解】解：令，则，

所以当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，

即恒成立，即（当时取等号），

所以，∴，

又（当时取等号），

所以当且时，有，∴，∴．

故选：A

二、填空题

13．已知函数，则的值为______．

【答案】

【分析】将作为常量对求导，得到导函数，再将作为未知量求解即可.

【详解】由解析式知：，

∴，解得.

故答案为：.

14．某单位拟从A，B，C，D，E，F六名员工中选派三人外出学习，要求：

（1）A，C二人中至少选一人；             （2）B，E二人中至少选一人；

（3）B，C二人中至多选一人；             （4）A，D二人中至多选一人．

由于E因病无法外出，则该单位最终选派的三位员工为：______．

【答案】A，B，F

【分析】依据条件（2）（3）（1）（4）的顺序去选人即可解决

【详解】由于E因病无法外出，依据条件（2）B，E二人中至少选一人，可知一定选派B，

依据条件（3）B，C二人中至多选一人，可知一定不选派C，

又依据条件（1）A，C二人中至少选一人，可知一定选派A，

又依据条件（4）A，D二人中至多选一人，可知一定不选派D，

则一定选派B，A二人，一定不派出C，D，E三人.

又共需选派3人，则一定选派F

综上，该单位最终选派的三位员工为：A，B，F

故答案为：A，B，F

15．将A，B，C，D四份不同的文件放入编号依次为的五个抽屉，每个抽屉只能放一份文件，要求文件A，B必须放入相邻的抽屉，文件C，D不能放入相邻的抽屉，则满足要求的放置方法共有______种．

【答案】24

【分析】依据先分类再分步的原则去求解即可解决

【详解】文件A，B放入1、2号抽屉时，文件C，D只能放入3、5号抽屉；

文件A，B放入2、3号抽屉时，文件C，D只能放入1、4号或1、5号抽屉；

文件A，B放入3、4号抽屉时，文件C，D只能放入1、5号或2、5号抽屉；

文件A，B放入4、5号抽屉时，文件C，D只能放入1、3号抽屉.

则满足要求的放置方法共有

故答案为：24

16．双曲正弦函数和双曲余弦函数在工程学中有广泛的应用，也具有许多迷人的数学性质．若直线与双曲余弦函数和双曲正弦函数的图象分别相交于点、，曲线在处的切线与曲线在处切线相交于点，则如下命题中为真命题的有______（填上所有真命题的序号）．

①，；

②；

③点必在曲线上；

④的面积随的增大而减小．

【答案】①④

【分析】利用求导法则可判断①；利用指数运算可判断②；求出切线、的坐标，联立两切线方程可得出点的坐标，可判断③的正误；求出的面积关于的表达式，结合函数的单调性可判断④的正误.

【详解】对于①，，

，①对；

对于②，不恒为，②错；

对于③，、，

所以，切线的方程为，

切线的方程为，

联立，解得，即点，

所以，点不在曲线上，③错；

对于④，，点到直线的距离为，则，

所以，的面积随的增大而减小，④对.

故答案为：①④.

三、解答题

17．（1）请将下列真值表补充完整；（空格处填上“真”或“假”）

（2）给定命题p：对任意实数x都有成立；命题q：关于x的方程有实根．已知命题和命题都是真命题，求实数a的取值范围．

【答案】（1）答案见解析 ；（2） ．

【分析】（1）依据真值表去判断所给命题的真假即可解决；

（2）先判断出题给条件对命题p，q真假的要求，再去求实数a的取值范围．

【详解】（1）从上至下依次为“真”，“假”，“真”，“真”；

（2）若命题p为真命题，则或，解得，

若命题q为真命题，由，解得，

要使和都是真命题， 则需p，q同真同假，

若p，q同真，则有，若p，q同假，则有，

综上可知，a的取值范围为．

18．如图，在直三棱柱中，，，，M是的中点，.

(1)求的长；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）证明，再利用相似三角形求解；

（2）证明为直线与平面所成角，再解三角形求解.

【详解】(1)解：取中点，连接，，则，

∵平面ABC，∴，

又，平面，

∴平面，

故平面，AN即为AM在平面内的射影，

又，∴，

故，∴，而，

∴；

(2)解：连接，由（1）知平面，

故为直线与平面所成角，

，，∴，

即所求角的正弦值为.

19．某市环保局对该市某处的环境状况进行实地调研发现，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，总比例常数为．现已知相距10km的A，B两家化工厂（污染源），A化工厂的污染强度未知，暂记为，B化工厂的污染强度为4，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和，设．

(1)试将y表示为关于x，k，a的等式；

(2)调研表明y在处取得最小值，据此请推断出A化工厂的污染强度．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）根据题意去将y表示为关于x，k，a的等式；

（2）利用导数去求A化工厂的污染强度．

【详解】(1)，；

(2)，

由题意，，

经检验知，当时，y在上单减，在上单增，满足题意．

所以，A化工厂的污染强度为．

20．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”中，侧棱底面ABCD，且，棱PC的中点为E，，连接DE，DF，EF．

(1)若平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为，求的值．

(2)设棱PA与平面DEF相交于点G，且，求的值；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，，先利用向量求得的值，再去求的值；

（2）利用，由向量列出关于的方程，再去求的值.

【详解】(1)以D为坐标原点，，，方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，并设，，则，，，，，于是，，，

又，所以，

设平面DEF的一个法向量．

则，令，则，

则平面DEF的一个法向量．

易知平面ABCD的一个法向量，∴，

由题意知，，由此解得，∴；

(2)由，，

可得，

由题意，G是平面DEF上一点，则，

则，由此解得：．

21．已知函数．

(1)若恰有一个零点，求a的值；

(2)若是的零点，且在点处的切线恰与相切，求a的值．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题可得函数，进而可得，即得；

（2）利用导数的几何意义可得在处切线l：，结合条件可得，，即得.

【详解】(1)∵，

由可得，

∴当时，，当时，，

∴在单调递减，在单调递增，

所以，当时，，当时，，

∴由题意可知，是的唯一零点，由，

解得：；

(2)由可得，

∴在处切线l：，

整理得：l：，

设该切线与相切于，又，

则l：，

整理得：l：，

∴，

∴，

又由题知：，

∴，

∴即为所求．

22．已知函数，为的导函数．

(1)讨论的单调性；

(2)若，证明：对任意，存在唯一的，使得成立．

【答案】(1)答案不唯一，具体见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得的单调区间.

（2）构造函数，然后结合导数以及零点存在性定理证得结论成立.

【详解】(1)，

①当时，，∴在单调递增；

②当时，在，，在，，

∴在单调递增，在单调递减.

(2)依题意，，

设，，

在定义域内单调递减，

，

令，，则，

∵，∴在，在单调递增，

∴，故.

同理可得：，

令，，则，

∵，∴在，在单调递减，

∴，故，

综上可知，在单调递减，且，，

∴在存在唯一零点，使得，命题得证．

【点睛】利用导数研究方程的根的个数，首先将方程变形，然后构造函数，结合导数、零点存在性定理、图象等知识来进行研究.