2022-2023学年上海市宝山中学高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市宝山中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．设，则“”是“复数为纯虚数”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】A

【分析】根据复数为纯虚数的等价条件是实部为零，虚部不为零，再利用充分，必要条件的概念解题，即可得到结果.

【详解】当时，复数，为纯虚数；

当复数为纯虚数时，有

，得或.

所以“”是“复数为纯虚数”的充分非必要条件.

故选:A.

2．下列命题正确的是（    ）

A．一条直线和一个平面平行，则它和这个平面内的任何直线平行.

B．如果一条直线垂直于平面内无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直.

C．垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边.

D．两条直线与一个平面成角相等，则这两条直线平行.

【答案】C

【分析】根据线面平行，线面垂直的定义，逐个选项进行判断，可得答案.

【详解】对于A，一条直线和一个平面平行，根据线面平行的定义，不能得出它和这个平面内的任何直线平行，故A错；

对于B，根据线面垂直的定义，如果该直线垂直于平面内无数条平行直线，则该直线不一定和该平面垂直，故B错；

对于C，根据线面垂直的定义，垂直于三角形两边的直线，必定垂直于三角形所成的面，则该直线必垂直于三角形的第三边，故C正确；

对于D，两条直线与一个平面成角相等，则两条直线可以相互平行，也可以相互垂直，故D错误；

故选：C

3．已知点在圆：外，则直线与圆的位置关系是（    ）

A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定

【答案】A

【分析】根据点在圆外，求出，再根据圆心到直线的距离公式即可判断.

【详解】因为点在圆外，所以，

所以圆心到直线的距离，所以该直线与圆相交，

故选：A.

4．如图，已知正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（    ）

A．存在点，使∥

B．存在点，使平面

C．与所成的角不可能等于60°

D．三棱锥的体积随动点变化而变化

【答案】B

【分析】根据题意，结合线面平行的判定、线面垂直的判定、异面直线夹角的求法以及锥体的体积公式，一一判断即可.

【详解】根据题意，如图所示，连接.

对于选项A，∵平面，平面，

∴若//，一定有//平面，又∵与平面相交，

∴不存在点，使//，故A错；

对于选项B，当为中点时，易知//，∵在正方体中，，，且，∴平面，即平面，故B正确；

对于选项C，当为中点时，易知//，//，

∵在正方体中，，

∴与所成的角为，即与所成的角为，故C错；

对于选项D，设正方体边长为2，因为//，//，所以三棱锥的体积，故D错.

故选：B.

二、填空题

5．已知集合，，则_________.

【答案】

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】依题意，集合，，

所以.

故答案为：

6．已知直线：，则此直线的倾斜角为_________.

【答案】##

【分析】先求得直线的斜率，然后求得直线的倾斜角.

【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为.

故答案为：

7．若直线与互相垂直，则实数的值为________．

【答案】

【分析】由两直线互相垂直，建立关于实数的方程，解方程即可得到答案.

【详解】两直线与互相垂直.

所以，解得

故答案为：

【点睛】本题考查两直线互相垂直求参数的值，注意两直线互相垂直的充要条件，属于基础题.

8．方程表示圆，则实数的取值范围是_________.

【答案】或

【分析】根据圆方程的判断方法：形如的方程表示圆的条件为，列出不等式，解之即可.

【详解】因为方程表示圆，则，

解得：或，

故答案为：或.

9．若关于的实系数一元二次方程有一个根为，则_________.

【答案】

【分析】根据虚根成对的知识求得正确答案.

【详解】依题意，关于的实系数一元二次方程有一个根为，

则另一个根是，

.

故答案为：

10．圆心为且与直线相切的圆的方程为_________.

【答案】.

【分析】利用点到直线的距离公式可求出半径，从而可求出圆的方程.

【详解】由题意可得圆的半径为

，

所以圆的方程为

.

故答案为：.

11．已知、、，则在方向上的数量投影是_________.

【答案】##

【分析】分别求出，再根据在方向上的数量投影为结合数量积的坐标表示即可得解.

【详解】解：由、、，

得，

设的夹角为，

所以在方向上的数量投影为.

故答案为：.

12．将某个圆锥体沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图形是一个圆和扇形，已知该扇形的半径为，圆心角为，则圆锥的体积是_________.

【答案】

【分析】求得圆锥的底面半径和高，从而求得圆锥的体积.

【详解】设圆锥的底面半径为，高为，

则，，

所以圆锥的体积为.

故答案为：

13．在菱形中，，，为的中点，则的值是_______；

【答案】1

【详解】如图所示：

在菱形中，，

∴

故答案为1

14．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，容器内有一个实心的球，球的直径恰等于圆柱的高.现用水将该容器注满，然后取出该球（假设球的密度大于水且操作过程中水量损失不计），则球取出后，容器中水面的高度为_________.

【答案】##

【分析】设容器中水的高度为，根据水的体积和球的体积等于图中圆柱的体积可得出关于的等式，即可得解.

【详解】设容器中水的高度为，圆柱的底面半径为，

由题意可得，解得.

故答案为：.

15．如图，在直角中，，，，现将其放置在平面的上面，其中点A，B在平面的同一侧，点平面，与平面所成的角为，则点A到平面的最大距离是___________.

【答案】30

【分析】过作,交于，过作,交于，然后判断出当四点共面时，点到的距离最大，进而算出AC，最后得到答案.

【详解】如图，

过作,交于，过作,交于，

因为在中，，则，当四点共面时，点到的距离最大.

因为，所以是与平面所成的角，则，则，

于是，，即到的最大距离为30.

故答案为：30.

16．关于曲线：，有如下结论：

①曲线关于原点对称；    ②曲线关于直线对称；

③曲线是封闭图形，且封闭图形的面积大于；

④曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点；

其中所有正确结论的序号为_________.

【答案】①②④

【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确.

【详解】对于①，将方程中的换为，换为，得，所以曲线关于原点对称，故①正确；

对于②，将方程中的换为或，换为或，得，所以曲线关于直线对称，故②正确；

对于③，由得，即，同理，显然曲线不是封闭图形，故③错误；

对于④，由③知曲线不是封闭图形，联立，消去，得，令，则上式转化为，由可知方程无解，因此曲线与圆无公共点，故④正确.

故答案为：①②④.

三、解答题

17．如图，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点.

(1)证明：；

(2)求直线与平面所成角的大小.

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理证明；（2）建系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角.

【详解】（1）∵平面，平面，

∴，

又∵是矩形，则，

，平面，

∴平面，

平面，则.

（2）如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，

∴，

设平面的法向量，则，

令，则，即，

∵，

∴直线与平面所成角的正弦值为，

故直线与平面所成角的大小为.

18．（1）已知平面向量，，若与平行，求实数的值.

（2）已知复数是方程的解，若，且（、，为虚数单位），求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）求出向量的坐标，根据平面向量平行的坐标表示可得出关于实数的等式，即可求得实数的值；

（2）求出方程的虚根，结合可求得复数的值，利用复数的运算结合复数相等可求得、的值，再利用复数的模长公式可求得的值.

【详解】解：（1），因为与平行，则，解得；

（2）由，即，可得，解得，

即，因为，则，

所以，，

所以，，解得，所以，.

19．已知直线：.

(1)若直线与圆：交于，两点，求.

(2)若直线过点，且与直线的夹角为，求直线的方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求出圆心与半径，根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式求解即可；

（2）求出直线的倾斜角，再根据直线与直线的夹角可求得直线的倾斜角，再根据直线的点斜式方程即可得解.

【详解】（1）解：圆：的圆心为，半径，

则圆心到直线的距离，

所以；

（2）解：直线：的斜率为，则倾斜角为，

因为直线与直线的夹角为，

所以直线的倾斜角为或，

当直线的倾斜角为时，方程为，

当直线的倾斜角为时，其斜率为，

所以方程为，即，

综上，直线的方程为或.

20．直线过点且与轴、轴正半轴分别交于、两点.

(1)若直线与法向量平行，写出直线的方程；

(2)求面积的最小值；

(3)如图，若点分向量所成的比的值为2，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点、分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标.

【答案】(1)；

(2)12；

(3)证明见解析，定点为.

【分析】（1）利用两直线垂直设出一般式，代入点即可求出直线方程；

（2）设直线截距式为，代入点得到，利用基本不定式即可求出面积最小值；

（3）设，利用定比分点公式得到，再设，根据四边形面积得到，代回直线方程，求出定点.

【详解】（1）由题设直线，将点代入得，,故直线

（2）设直线的方程为，

将点代入得，则，

则，当且仅当，结合，即时等号成立.

故的面积最小值为12.

（3）证明：点分向量所成的比的值为2,即为,

设,由,

即有,

可得,,

梯形的面积为,由题意可得梯形的面积为6,

设,可得,即,

由直线的方程为,

将代入上式可得

,

由解得,

则直线经过定点.

21．已知非空集合，函数的定义域为，若对任意且，不等式恒成立，则称函数具有性质.

(1)当，判断、是否具有性质；

(2)当，，，若函数具有性质，求正数的取值范围；

(3)当，，若为整数集且具有性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的的值.

【答案】(1)具有性质，不具有性质

(2)

(3)为正奇数

【分析】（1）利用函数的单调性结合新定义逐一判断即可；

（2）由题意可得在为增函数，由复合函数的单调性可得函数在为增函数，求出函数的单调增区间即可得出答案；

（3）由题意可得，从而可得，从而可得出答案.

【详解】（1）解：因为函数是上的减函数，

又，所以，

所以具有性质，

因为函数是上的增函数，

又，所以，

所以函数不具有性质；

（2）解：依题意，对于任意的，恒成立，

由，得，

所以在为增函数（函数不可能为常数函数），

令，

因为函数是增函数，

所以函数在为增函数，

令，

任取，

则

，

因为，

所以，

则要使为增函数，则，即，

由时，，

所以时，，

所以函数的单调递增区间为，

所以；

（3）解：由（1）可得当时，函数不是常值函数，所以，

因为为整数集且具有性质的函数均为常值函数，

∴当时，恒成立，

即，

由题意得，则，

当，，

所以，

当时，，

所以，

综上所述，为正奇数.

【点睛】本题以新定义为载体，考查了函数的单调性及运用，考查了逻辑推理能力及对新知识的快速把握，关键在于对新定义的理解.