上海市宝山中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份上海市宝山中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（解析版），共8页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 不等式的解集是___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值的意义直接求解即可.
【详解】,
,
解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
2. 已知，若，则___________.
【答案】2
【解析】
【分析】若与垂直，则
【详解】因为，所以，解得：
故答案为：2
3. 已知复数，若，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数相等的概念求解即可.
【详解】解：因为
所以，解得
所以
故答案为：
4. 在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD的边长为4，侧棱BP与底面所成角的大小为60°，则该四棱锥的高等于___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正四棱锥的性质，将求高转化到一个直角三角形内求.
【详解】
设点在P在底面ABCD的投影为O.
根据正四棱锥的性质，O为AC和BD的交点，为直角三角形，
由题意可知，，.
所以正四棱锥P-ABCD的高，.
故答案为：.
5. 一个圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形，则该圆柱的体积是___________.
【答案】
【解析】
【分析】分析可得圆柱上下底面圆的直径，圆柱的高，由圆柱的体积公式，即得解
【详解】由题意，圆柱的轴截面是一个面积为16的正方形
故圆柱上下底面圆直径，圆柱的高
由圆柱的体积公式，
故圆柱的体积
故答案为：
6. 一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为______.
【答案】8π
【解析】
【分析】先求出截面圆半径，再求球半径，最后根据球表面积公式得结果.
【详解】因为与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，所以该截面圆的半径为1，
因此球的半径为，故该球的表面积S=4πR2=8π
故答案为：8π
【点睛】本题考查球表面积公式以及球截面，考查基本分析求解能力，属基础题.
7. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 .
【答案】
【解析】
【分析】根据正方体的性质，结合球的体积公式进行求解即可.
【详解】因为正方体体的对角线就是正方体的外接球的直径，所以由外接球的体积公式得：，即，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方体外接球的性质，考查了球的体积公式的应用，考查了空间想象能力和数学运算能力.
8. 如图，正三角形ABC的边长为2，P是三角形ABC所在平面外一点，平面ABC，且，则P到BC的距离为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】取中点，连接，，由平面ABC，即可证明平面，则有，即可求解结果．
【详解】取中点，连接，
因为为正三角形，所以
又因为平面ABC，平面ABC，则，又，
则 平面，则，
又正三角形ABC的边长为2，则
则
所以P到BC的距离为2
故答案为：2
9. 已知棱锥的高为16，底面积为256，平行于底面的截面面积为121，则截得的棱台的高为___________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据对应边比与面积比关系即可求解．
【详解】设棱台的高为x，则有 ，解之，得x＝5．
故答案为：5
10. 有一块直角三角板边贴于桌面上，当三角板和桌面成45°角时，边与桌面所成的角的正弦值是________________.
【答案】
【解析】
【详解】过A作AO垂直桌面于O，连接OC,OB，
三角板所在平面与桌面成45°角，即，
设AO=1，则，∴，
∵AB边与桌面所成角等于∠A0B，
∴sin∠AOB=
故答案为：.
11. 如图，圆锥的母线长为4，点为母线的中点，从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，这条绳子的长度最短值为，则此圆锥的表面积为__________
【答案】
【解析】
【分析】作出圆锥侧面展开图，根据给定条件求出展开图扇形圆心角，再求出圆锥底面圆半径即可作答.
【详解】将圆锥侧面沿母线AB剪开，其侧面展开图为扇形，如图，
从点处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到点，最短距离即为线段BM长，则有，
而M是线段中点，又母线长为4，于是得，即，
设圆锥底面圆半径为r，从而有：，解得，
所以圆锥的表面积为.
故答案为：
12. 《九章算术》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，现提供一中计算“牟合方盖”体积的方法，显然，正方体的内切球也是“牟合方盖”的内切球.因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，平面截内切球得到上述正方形的内切圆，结合祖暅原理，利两个同高的立方体如在等高处的截面面积相等，则体积相等.若正方体棱长为3，则“牟合方盖”体积为________.
【答案】18
【解析】
【分析】先求得正方体的内切球的体积，再由已知得出牟合方盖的体积，可求得答案.
【详解】正方体的棱长，则其内切球的半径，内切球的体积．
由于截面正方形与其内切圆的面积之比为，
设牟合方盖的体积为，则，从而牟合方盖的体积．
故答案为：.
二、选择题（每题5分，共20分）
13. 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 非充分非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，根据直线和直线外的一点，有且只有一个平面和充要条件的判定方法，即可求解．
【详解】由题意，根据直线和直线外的一点，有且只有一个平面，所以“这四个点中有三点在同一直线上”，则“这四个点在同一平面上”，反之不一定成立，所以“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的充分非必要条件，故选A．
【点睛】本题主要考查了平面的基本性质和充分不必要条件的判定，其中解答中熟记平面的基本性质和充分不必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．
14. 已知直线和平面，且，那么（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对于A选项，还可以为；对于B选项，还可以为；对于C选项根据线面垂直的性质判断；对于D选项，应该为.
【详解】解：对于A选项，或，故错误；
对于B选项，或，故错误；
对于C选项，，故正确；
对于D选项，，故错误.
故选：C
15. 如图，在四面体ABCD中，AB=CD，M、N分别是BC、AD的中点，若AB与CD所成角的大小为60°，则MN与CD所成角的大小为（ ）
A. 30°B. 60°
C. 30°或60°D. 15°或60°
【答案】C
【解析】
【分析】取中点做辅助线，将问题转化成一个三角形内的情况再求解.
【详解】取中点，连接、，
∵在四面体中，，M、N分别是BC、AD的中点，AB与CD所成角的大小为60°
∴，
，
∴是和所成的角或所成角的补角，
或，
∴或
∴MN与CD所成角为或．
故选：C．
16. 如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
分析】
根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面N到底面B的距离，再由边长关系可得四边形是平行四边形，从而侧面与桌面所转化成侧面与平面所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值.
【详解】由题意知，水的体积为，如图所示，
设正方体水槽绕倾斜后，水面分别与棱交于
由题意知，水的体积为
，即，
在平面内，过点作交于，
则四边形是平行四边形，且
又侧面与桌面所成的角即侧面与水面所成的角，即侧面与平面所成的角,其平面角为,
在直角三角形中，.
故选：D.
【点睛】本题考查了利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角.
三、解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）
17. 已知ABCD是边长为1的正方形，正方形ABCD绕AB旋转形成一个圆柱.
（1）求该圆柱的表面积；
（2）正方形ABCD绕AB逆时针旋转至，求线段与平面ABCD所成的角.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）根据圆柱的表面积公式进行求解即可；
（2）根据线面角的定义进行求解即可.
【详解】（1）该圆柱的表面由上下两个半径为1的圆面和一个长为、宽为1的矩形组成，
.
故该圆柱的表面积为.
（2）正方形，，
又，，
，且AD、平面ADB，
平面ADB，即在面ADB上的投影为A，
连接，则即为线段与平面ABCD所成的角，
而，
线段与平面ABCD所成角为.
18. 如图所示，已知三棱锥中，平面，，，为上一点且满足，分别为中点.
（1）证明：；
（2）求与平面所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法求解证明即可；
（2）结合（1），利用坐标法求解.
【小问1详解】
解：因为平面，
所以
又因为，
所以两两垂直，故以点为坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，，，，
所以，
所以，即
所以.
【小问2详解】
解：由（1）知所以，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则，
设与平面所成角为，
则，
因为，所以
19. 1.长方体中，，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下图所示的几何体.
（1）求几何体的体积；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）10 （2）
【解析】
【分析】（1）几何体的体积等于长方体的体积减去三棱锥的体积；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解点到平面的距离.
【小问1详解】
如图所示，几何体的体积等于长方体的体积减去三棱锥的体积，长方体的体积为，三棱锥的体积为，所以几何体的体积为12-2=10
【小问2详解】
以D为坐标原点，DA、DC、所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，，，，
，，
设平面的法向量
则 ，即
令得：，
∴
则
20. 如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，垂直于圆所在的平面，且．
（Ⅰ）若为线段的中点，求证平面；
（Ⅱ）求三棱锥体积的最大值；
（Ⅲ）若，点在线段上，求的最小值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【解析】
【详解】（Ⅰ）在中，因为，为的中点，
所以．又垂直于圆所在的平面，所以．
因为，所以平面．
（Ⅱ）因为点在圆上，
所以当时，到的距离最大，且最大值为．
又，所以面积的最大值为．
又因为三棱锥的高，故三棱锥体积的最大值为．
（Ⅲ）在中，，，所以．
同理，所以．
在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示．
当，，共线时，取得最小值．
又因为，，所以垂直平分，
即为中点．从而，
亦即的最小值为．
考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积．
21. 1.已知函数为奇函数.
（1）若，求函数的解析式；
（2）当时，不等式在上恒成立，求实数的最小值；
（3）当，求证：函数在上至多一个零点.
【答案】（1）
（2）
（3）证明过程见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数是奇函数，，先求出，再利用求出a的值；（2）不等式在上恒成立，只需，利用对勾函数求出在上的最大值；（3）利用对勾函数研究函数的单调性，结合零点存在性定理和函数图象进行证明
【小问1详解】
函数为奇函数
所以，即，解得：
所以
又，所以，解得：
所以
【小问2详解】
当时，，
∵不等式在上恒成立，只需
∴由对勾函数性质可知：在上单调递增，所以
所以，实数的最小值为
【小问3详解】
令，则
∵
∴
∵
∴由对勾函数的性质可知：在上单调递减，
∵
∴结合函数图象和零点存在性定理可证：当时，在上至多一个零点