2022-2023学年甘肃省白银市会宁县会宁县第四中学高二上学期期中数学试题（解析版）

 2022-2023学年甘肃省白银市会宁县会宁县第四中学高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】若直线倾斜角为，由题设有，结合即可得倾斜角的大小.

【详解】由直线方程，若其倾斜角为，则，而，

∴.

故选：D

2．76是等差数列4，7，10，13，…的第（    ）项

A．25 B．26 C．27 D．28

【答案】A

【分析】先求出该等差数列的通项公式，再代入，即可得到答案.

【详解】设该等差数列为，

由题意可知，首项为4，公差为3，

则

故，

得

故选：A

3．若两条直线与互相垂直，则的值为（　　）

A．4 B．-4 C．1 D．-1

【答案】A

【分析】根据两直线垂直的充要条件知：，即可求的值.

【详解】由两直线垂直，可知：，即.

故选：A

4．设等差数列的前项和为，若，则（    ）

A． B．45 C． D．90

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质及求和公式进行求解.

【详解】由等差数列的性质可得：，则.

故选：B

5．已知直线过，且在两坐标轴上的截距为相反数，那么直线的方程是（    ）．

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】A

【分析】根据直线在两坐标轴上的截距为相反数，可以分两种情况来讨论，两坐标轴上的截距都为0时和两坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，即可求解.

【详解】（1）当坐标轴上的截距都为0时，直线过原点，设直线方程为

把点代入求出，即直线方程为

（2）当坐标轴上的截距互为相反数且不等于0时，设直线方程为，

把点代入求出，即直线方程为

综上，直线方程为或

故选：A

6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，a1+a4+a7=9，a2+a5+a8=18，则S9=（    ）

A．27 B．36 C．63 D．72

【答案】C

【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，则有a2+a5+a8=q（a1+a4+a7）=18，解可得q的值，进而可得a3+a6+a9的值，相加可得答案.

【详解】根据题意，等比数列{an}中，设其公比为q，

若a1+a4+a7=9，则a2+a5+a8=q（a1+a4+a7）=18，则有q=2；

故a3+a6+a9=q（a2+a5+a8）=2×18=36，

故S9=（a1+a4+a7）+（a2+a5+a8）+（a3+a6+a9）=9+18+36=63；

故选：C.

7．已知圆，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：在圆上任取一点,则此点关于直线的对称点在圆上,所以有，即,所以答案为,故选B.

【解析】曲线关于直线的对称曲线方程的求法.

8．若数列{}的前n项和为＝，=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，利用与的关系求得数列的通项公式，利用等比数列前项和公式求解即可.

【详解】解：当时，，解得，

当时，，即，

∴是首项为1，公比为-2的等比数列，∴，

所以.

故选：B.

二、多选题

9．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】根据题意写出反射光线所在直线的方程，再根据直线与圆相切列式计算即可.

【详解】射这条光线所在直线方程为，则会过点，反射光线斜率与原光线斜率互为相反数，所以反射光线所在直线方程为，圆的圆心为，半径为1，与反射光线相切，即，解得或

当时，反射光线所在直线方程为；

当时，反射光线所在直线方程为；

故选:AD

10．已知等差数列中，，公差，则使其前项和取得最大值的自然数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】CD

【分析】分析可得，利用等差数列的求和公式结合二次函数的基本性质可求得使得最大时的值.

【详解】因为，则数列为单调递减数列，由可得，则，

所以，，则，

，

所以，当或时，取得最大值.

故选：CD.

11．已知圆上有且仅有两个点到直线的距离为，则实数的可能取值（    ）

A． B． C．6 D．

【答案】ABD

【分析】由题可得圆心到直线的距离，结合条件可得不等式，进而即得.

【详解】由题可得圆的标准方程是，圆心为，半径为（），

圆心到已知直线的距离为，

则圆心到与直线平行且距离为1的直线的距离分别为3和5，

由题意，

解得．

故选：ABD．

12．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（    ）

A．是递增数列 B．

C．当时， D．当或4时，取得最大值

【答案】CD

【分析】根据表达式及时，的关系，算出数列通项公式，即可判断A、B、C选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.

【详解】当时，，又，所以，则是递减数列，故A错误；

，故B错误；

当时，，故C正确；

因为的对称轴为，开口向下，而是正整数，且或距离对称轴一样远，所以当或时，取得最大值，故D正确.

故选：CD.

三、填空题

13．已知数列中，，则_________．

【答案】

【分析】由求出，，，确定数列为循环数列，最小正周期为3，从而求出.

【详解】因为，所以，，

，……，

所以数列为循环数列，最小正周期为3，

故.

故答案为：-2

14．已知两条直线，，若，则直线与之间的距离______．

【答案】##

【分析】利用两直线平行可求得的值，再利用平行线间的距离公式可求得的值.

【详解】因为，则，解得，所以，直线的方程为，

因此，直线与之间的距离.

故答案为：.

15．由正数组成的等比数列中，若，则__________．

【答案】

【分析】由已知，根据条件，借助等比中项的性质可得：，然后利用对数的运算，将原式化为，然后将代入，即可完成求解.

【详解】由已知，数列为正项等比数列，所以，所以

由等比中项性质可知：

所以

.

故答案为：.

16．点M在圆(x－5)2＋(y－3)2＝9上，则点M到直线3x＋4y－2＝0的最短距离为__

【答案】2

【分析】求出圆心到直线的距离，再减去圆的半径即得．

【详解】圆心，到直线的距离为，

∴所求最小值为．

【点睛】设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线距离的最大值为，最小值为（直线与圆相离时，否则最小值为0）．

四、解答题

17．已知的三个顶点坐标分别为，，，求：

(1)边所在直线的方程；

(2)边的垂直平分线所在直线的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用斜率计算公式可得直线的斜率，利用点斜式即可得出．

（2）利用中点坐标公式可得线段的中点坐标，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得的垂直平分线的斜率，利用点斜式即可得出．

【详解】（1）解：直线的斜率为，

所以直线的方程为，

即

（2）解：线段的中点坐标为，

的垂直平分线的斜率为，

的垂直平分线的方程为，

即．

18．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3＝17，S7＝98．

(1)求{an}的通项公式；

(2)求Sn的最大值．

【答案】(1)

(2)100

【分析】（1）由已知结合等差数列的性质及求和公式先求出，进而可求公差d,然后结合通项公式可求；

（2）先求出等差数列的和，然后结合二次函数的性质可求．

【详解】（1）因为{an}是等差数列，设公差为d，

因为

所以，

由

所以；

（2），

对称轴为

当时，取得最大值．

19．已知圆及直线．

(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交；

(2)求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程．

【答案】(1)证明见解析

(2)，

【分析】（1）根据直线过定点，而该点在圆内，即可求解，

（2）由时，圆心到直线的距离最大，进而可求最短的弦长以及直线方程.

【详解】（1）将直线的方程变形为，令，解得，即直线过定点．因为，所以点在圆内部．所以不论m为何实数，直线与圆恒相交．

（2）（1）的结论知直线过定点，且当直线时，此时圆心到直线的距离最大，进而被圆所截的弦长最短，故,

从而此时，

此时,直线方程为，即

20．数列中，已知在直线上.

（1）求数列的通项公式； （2）若,求数列的前项和.

【答案】（I）;（II）.

【分析】（I）根据等差数列的通项公式可求；

（Ⅱ）先求，再利用错位相减法可求和.

【详解】（I）∵在直线上，

∴，即

∴是以3为首项，以2为公差的等差数列.

.

（II）

①

②

由①②得

.

【点睛】本题主要考查数列的通项公式求解和错位相减法求和，侧重考查数学运算的核心素养.

21．已知等比数列中，，且是和的等差中项.数列满足，且..

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设等比数列的公比为，由等差中项的性质建立等量关系，求解，从而求出数列的通项公式；（2）由等差中项的性质可知为等差数列，求出通项公式，分组求和即可.

【详解】解：（1）设等比数列的公比为

因为，

所以.

因为是和的等差中项，

所以，

即，

解得

所以.

（2）因为，

所以为等差数列.

因为，

所以公差.

故.

所以

22．已知圆过点，且与直线相切于点．

(1)求圆的方程；

(2)过点的直线与圆交于两点，若为直角三角形，求直线的方程；

(3)在直线上是否存在一点，过点向圆引两切线，切点为，使为正三角形，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】(1)

(2)或

(3)存在点或，使为正三角形

【分析】（1）设圆心为，根据圆心和切点连线与切线垂直、圆心到圆上两点的距离相等可构造方程组求得圆心坐标，进而得到半径，由此可得圆的方程；

（2）由等腰直角三角形性质可知圆心到直线的距离；分别在直线斜率不存在和存在的情况下，根据构造方程求得结果；

（3）由等边三角形性质可知，设，利用两点间距离公式可构造方程求得，进而得到点坐标.

【详解】（1）设圆心坐标为，则，解得：，

圆的半径，

圆的方程为：.

（2）为直角三角形，，，

则圆心到直线的距离；

当直线斜率不存在，即时，满足圆心到直线的距离；

当直线斜率存在时，可设，即，

，解得：，

，即；

综上所述：直线的方程为或.

（3）假设在直线存在点，使为正三角形，，，

设，，解得：或，

存在点或，使为正三角形.