2022-2023学年甘肃省白银市第十中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年甘肃省白银市第十中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．如图所示，函数的图像是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.

【详解】，

时，时，.

故选：B.

2．圆的圆心坐标和半径分别是（    ）

A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3

C． D．

【答案】D

【分析】根据圆的标准方程，直接进行判断即可.

【详解】根据圆的标准方程可得，

的圆心坐标为，半径为，

故选：D.

3．满足函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复合函数的单调性，求出的取值范围，结合充分不必要条件的定义进行求解即可．

【详解】解：若在上单调递减，

则满足且，

即且，

则，

即在上单调递减的一个充分不必要条件是，

故选：D．

4．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（    ）

A．25天 B．30天 C．35天 D．40天

【答案】B

【分析】根据给定条件求出及的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答.

【详解】依题意，，解得，当时，，

即，解得，于是得，解得，

所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.

故选：B

5．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则（    ）

A． B．0 C．7 D．

【答案】D

【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可.

【详解】解:令得,故定点为,

所以由三角函数定义得，

所以

故选：D

6．设是等比数列，且，，则（    ）

A．12 B．24 C．30 D．32

【答案】D

【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果.

【详解】设等比数列的公比为，则，

，

因此，.

故选：D.

【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．

7．已知点，．若直线与线段相交，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，利用数形结合法，求出PA、PB的斜率，

从而得出l的斜率的取值范围,即得解

【详解】设直线过定点，则直线可写成，

令解得直线必过定点．

，．直线与线段相交，

由图象知，或，解得或，

则实数的取值范围是．

故选：A

【点睛】本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．

8．设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由图可得：函数图象过点，即可得到，结合是函数图象与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解.

【详解】由图可得：函数图象过点，

将它代入函数可得：

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，

所以，解得：

所以函数的最小正周期为

故选：C

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.

二、多选题

9．已知，则下列等式恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】利用诱导公式可判断各选项的正误.

【详解】，，

，，

故选：AB.

10．（多选题）已知，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】根据实数指数幂的运算性质，逐项计算，即可求解.

【详解】由，所以A正确；

由，所以B正确；

由，

因为，，所以，所以C错误；

由，所以D正确．

故选：ABD．

11．已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为0

C．的最大值为 D．的最大值为

【答案】ABD

【分析】根据的几何意义，结合图形可求得的最值，由此判断A，B，根据的几何意义求其最值，判断C，再利用三角换元，结合正弦函数性质判断D.

【详解】由实数x，y满足方程可得点在圆上，作其图象如下，

因为表示点与坐标原点连线的斜率，

设过坐标原点的圆的切线方程为，则，解得：或，

，，，A，B正确；

表示圆上的点到坐标原点的距离的平方，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为，

所以最大值为，又，

所以的最大值为，C错，

因为可化为，

故可设，，

所以，

所以当时，即时取最大值，最大值为，D对，

故选：ABD.

12．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮，如图所示，某摩天轮最高点离地面高度128米，转盘直径为120米，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转分钟，当时，游客随舱旋转至距离地面最远处．以下关于摩天轮的说法中，正确的为（    ）

A．摩天轮离地面最近的距离为4米

B．若旋转分钟后，游客距离地面的高度为米，则

C．若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为30

D．，，使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米

【答案】BC

【分析】易知摩天轮离地面最近的距离，从而可判断A；求出分钟后，转过的角度，即可求出关于的表达式，即可判断B；由余弦型函数的性质可求出的最小值即可判断C；求出在上的单调性，结合当时，即可判断D.

【详解】解：由题意知，摩天轮离地面最近的距离为米，故A不正确；

分钟后，转过的角度为，则，B正确；

周期为，由余弦型函数的性质可知，若取最小值，

则，又高度相等，则关于对称，则，则；

令，解得，令，解得，

则在上单调递增，在上单调递减，当时，，

当时，，所以在只有一个解；

故选:BC.

【点睛】关键点睛:

本题的关键是求出关于的表达式，结合三角函数的性质进行判断.

三、填空题

13．在数列中，，则__________.

【答案】

【分析】由递推公式求解即可.

【详解】

故答案为：

14．已知两条直线，，若，则直线与之间的距离______．

【答案】##

【分析】利用两直线平行可求得的值，再利用平行线间的距离公式可求得的值.

【详解】因为，则，解得，所以，直线的方程为，

因此，直线与之间的距离.

故答案为：.

15．已知数列的前n项和，则数列的通项公式为______．

【答案】

【分析】利用与关系即得.

【详解】因为，

当时，，

当时，，

所以．

故答案为：．

16．已知点P是x轴上的任意一点，，，则的最小值为_________.

【答案】##

【分析】如图，过B点作倾斜角为的直线，过点P作，则，从而得，然后利用点到直线的距离公式求出A到直线的距离，进而可求出的最小值，

【详解】如图，过B点作倾斜角为的一条直线，过点P作于，则，即，

所以，A到直线的距离，

因此的最小值为.

故答案为：

四、解答题

17．已知等差数列满足，前4项和．

(1)求的通项公式；

(2)设等比数列满足，，数列的通项公式．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列关于和的方程组，解方程求得和的值，即可求解；

（2）等比数列的公比为，由等比数列的通项公式列方程组，解方程求得和的值，即可求解.

【详解】（1）设等差数列首项为，公差为d．

∵

∴

解得：

∴等差数列通项公式

（2）设等比数列首项为，公比为q

∵

∴

解得：

即或

∴等比数列通项公式或

18．根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式.

(1)斜率是，且经过点；

(2)在轴和轴上的截距分别是和；

(3)经过点，且一个方向向量为.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）根据直线方程的点斜式即可得解；

（2）根据直线方程的截距式即可得解；

（3）首先根据方向方程可得直线斜率，再根据点斜式即可得解.

【详解】（1）解：根据点斜式可得直线方程为，

化简可得；

（2）解：根据截距式可得：，

化简可得；

（3）解：由直线的方向向量为可得直线的斜率，

所以所求直线方程为即.

19．已知三点在圆C上，直线，

(1)求圆C的方程;

(2)判断直线与圆C的位置关系；若相交，求直线被圆C截得的弦长．

【答案】(1)

(2)直线与圆C相交，弦长为

【分析】（1）圆C的方程为:，再代入求解即可；

（2）先求解圆心到直线的距离可判断直线与圆C相交，再用垂径定理求解弦长即可

【详解】（1）设圆C的方程为:，

由题意得:，  

消去F得: ，解得: ，

∴ F=-4，  

∴圆C的方程为:.

（2）由（1）知: 圆C的标准方程为:，圆心，半径;

点到直线的距离，故直线与圆C相交，

故直线被圆C截得的弦长为

20．已知数列{an}前n项和Sn＝n2+n．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．

【答案】(1)an＝2n，n∈N*

(2)Tn=

【分析】（1）根据已知条件并结合公式即可计算出数列{an}的通项公式；

（2）先根据第（1）题结果计算出数列{bn}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和Tn．

【详解】（1）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，

当n≥2时，an＝Sn﹣＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，

∵当n＝1时，也满足上式，

∴an＝2n，n∈N*．

（2）由（1），可得bn＝

＝

＝

＝

则Tn＝b1+b2+•••+bn

＝

＝

＝

＝

21．已知圆过点，且圆心在直线上.P是圆外的点，过点的直线交圆于两点.

(1)求圆的方程；

(2)若点的坐标为，求证：无论的位置如何变化恒为定值.

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）由题可得的垂直平分线的方程，进而可得圆心和半径即得；

（2）联立直线与圆的方程，由根与系数的关系以及两点距离公式即可求解.

【详解】（1）由，可知两点的中点为 ，斜率为，

∴的垂直平分线的斜率为1，

的垂直平分线的方程为：，

联立方程 ，解得，

∴圆心为，半径为，

即圆C的方程为 ；

（2）若MN斜率不存在，可得；

若MN斜率存在时，可设直线MN方程为，

由，可得 ，

设 ，则 ，

∴ ，

∴ ，

综上，无论的位置如何变化恒为定值，定值为4.

22．已知数列中，，.

（1）求证：是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）已知数列，满足.

（i）求数列的前项和；

（ii）若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）证明见解析，；（2）（i）；（ii）.

【分析】（1）根据题意，可得，进而可以证明是以3为首项，3为公比的等比数列，由此可得出数列的通项公式．

（2）（ⅰ）由（1）得，结合错位相减法即可求出；

（ⅱ）由（ⅰ）可得对一切恒成立，令，则是递增数列，由此可求得的取值范围．

【详解】解：（1），，，

是以3为首项，3公比的等比数列，.

所以；

（2）（i）由（1）得，，

，

两式相减，得：，

（ii）由（i）得，

令，则是递增数列，

若n为偶数时，恒成立，又，，

若n为奇数时，恒成立，，，.

综上，的取值范围是