2021-2022学年山东省青岛市青岛第三十九中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年山东省青岛市青岛第三十九中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．集合中的元素个数有（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用列举法表示出集合，由此可得结果.

【详解】，中的元素个数为.

故选：C.

2．函数的定义域是（　　）

A．{x|x＞0} B．{x|x≥0} C．{x|x≠0} D．R

【答案】A

【分析】由已知函数的定义域可得，求解不等式组得答案．

【详解】要使f(x)有意义，则满足，得到x>0.

故选A.

【点睛】求函数的定义域时要注意：（1）当函数是由解析式给出时，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．（2）当函数是由实际问题给出时，其定义域的确定不仅要考虑解析式有意义，还要有实际意义（如长度、面积必须大于零、人数必须为自然数等）．（3）若一函数解析式是由几个函数经四则运算得到的，则函数定义域应是同时使这几个函数有意义的不等式组的解集．若函数定义域为空集，则函数不存在．（4）对于抽象函数则要注意：①对在同一对应法则f 下的量所要满足的范围是一样的；②函数的定义域应求x的范围．

3．已知命题，则是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据全称量词命题的否定是存在性量词命题即可选出答案.

【详解】解：由题意得：

全称量词命题的否定是存在性量词命题：

故，则

故选：C

4．“且”是“”成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．即不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】若“且”成立，则“”一定成立．反之，若“”成立时，但“且”不一定成立．

故“且”是“”成立的充分不必要条件．选A．

5．下列函数中，定义域为的单调递减函数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次函数、反比例函数、含绝对值函数和一次函数的单调性和定义域进行判断每个选项的正误即可．

【详解】解：A．在上先增后减，不是单调函数，∴该选项错误；

B．的定义域是，不是，∴该选项错误；

C．在上先减后增，不是单调函数，∴该选项错误；

D．的定义域为且单调递减，∴该选项正确．

故选D．

【点睛】考查基本初等函数的单调性和定义域，是基础题．

6．在商丘一高新校区某办公室有一台质量有问题的坏天平，某物理老师欲修好此天平，经仔细检查发现天平两臂长不等，其余均精确，有老师要用它称物体的质量，他将物体放在左、右托盘各称一次，取两次称重结果分别为，，设物体的真实质量为，则(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用杠杆原理和基本不等式即可求解.

【详解】设天平的左、右臂长分别为，，物体放在左、右托盘称得的质量分别为，，真实质量为，

由杠杆平衡原理知：，，

由上式得，即，

由于，故，由基本不等式，得.

故选：C.

7．已知函数f（x2+1）＝x4，则函数y＝f（x）的解析式是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用凑配法求得解析式.

【详解】，且，

所以.

故选：B

8．若使得不等式成立，则实数a的取值范围（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意知只需即可.

【详解】由题意知使得不等式成立，只需即可，当时，故

当且仅当即时取“=”，故

故应选：A

二、多选题

9．设全集，集合，，则（    ）

A． B．

C． D．集合的真子集个数为8

【答案】AC

【分析】根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.

【详解】因为全集，集合，，

所以，，，

因此选项A、C正确，选项B不正确，

因为集合的元素共有3个，所以它的真子集个数为：，因此选项D不正确，

故选：AC

10．设，则下列不等式不成立的是（    ）

A．ab<b2<1 B．<<1 C．1< D．a2<ab<1

【答案】ABD

【分析】对于ABD举例判断即可，对于C，利用不等式的性质判断

【详解】对于A，取，则，所以A错误，

对于B，取，则，所以B错误，

对于C，因为，所以，所以，即，

因为，所以，即，综上，所以C正确，

对于D，取，则，所以D错误，

故选：ABD

11．有下列几个命题，其中正确的命题是（    ）

A．奇函数的图像一定通过直角坐标系的原点

B．函数与函数表示同一个函数

C．若函数的定义域为，则函数的定义域为

D．函数的图像可由的图像向右平移1个单位得到

【答案】CD

【分析】对于A，用函数说明不正确；

对于B，定义域不同故不是同一函数；

对于C，根据复合函数定义域判断，若的定义域为，则要满足

对于D，根据图象平移左加右减判断.

【详解】对于A，函数为奇函数，但其图象不过坐标原点，故A错误，

对于B，因为函数的定义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，故B错误，

对于C，因为函数的定义域为，要使函数有意义，则需，即，故函数的定义域为，故C正确.

对于D，将的图象向右平移1个单位得到的图象，故D正确.

故选:CD.

12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，都有；③.下列选项成立的（    ）

A． B．若，则

C．若，则 D．，，使得

【答案】ACD

【分析】由已知条件知在上为偶函数，且在上单调递减，即上单调递增，且上，上，最大值，即可判断各项的正误.

【详解】由①②知：在上为偶函数；在上单调递减，即上单调递增；

上，上，最大值.

∴对于A：，故正确；

对于B：知，或，即或，故错误；

对于C：由时，有，故正确；

对于D：上函数的图象是连续不断，可知，使有，故正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：

由题设的函数性质，确定函数的奇偶性、单调区间、函数值的符号以及最值，进而根据各选项的描述判断正误.

三、填空题

13．不等式的解集为__________.

【答案】.

【分析】根据一元二次不等式的解法，即可求得原不等式的解集.

【详解】由，得，从而解得，

所以，不等式的解集为，

故答案为：.

【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

14．已知函数为奇函数，且当时，，则的值为________.

【答案】

【详解】试题分析：由题意得，因为函数为奇函数，所以.

【解析】函数奇偶性的应用.

15．若集合，，则集合______．

【答案】

【分析】求出集合的等价集合，然后求出即可．

【详解】，

，

故．

故答案为．

【点睛】本题考查集合的并集的运算，是基础题．

16．设函数，若函数为R上的单调函数，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】分析在同一坐标系中的图象知只能为R上的单调递增， 由的单调区间知，分别就从图象上观察的单调性，确定的取值范围.

【详解】因为当时，均为增函数，故只能为R上的单调递增函数，

在上为增函数，在上为减函数，故，

当时，，观察图象知为R上的单调递增函数；

当时，，均为增函数，且在处，的函数值比的函数值小，观察图象知为R上的单调递增函数；

当时，当时，，从图象上看，图象比图象高，故为R上不再单调，所以不合题意；

综上：.

故答案为：.

四、解答题

17．（1）计算；

（2）已知，求的值.

【答案】（1）1; （2）7.

【分析】（1）根据指数运算法则，进行计算即可.

（2）将平方后可求.

【详解】（1）

．

（2）因为，所以.

18．已知，，且．

（1）求的最小值；

（2）若恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）9；（2）(－8，2)．

【解析】（1），利用基本不等式性质即可求得最小值．

（2）利用基本不等式求出的最小值，代入求出的范围即可．

【详解】解：（1）因为，，

所以，

当且仅当，即，时取等号，

所以的最小值为9．

（2）因为，，

所以，

所以．

因为恒成立，

所以，

解得，

所以的取值范围为．

【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，考查了利用基本不等式求最值问题，属于基础题．

19．自2018年10月1日起，《中华人民共和国个人所得税》新规定，公民月工资、薪金所得不超过5000元的部分不必纳税，超过5000元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分段累计计算：

(1)如果小李10月份全月的工资、薪金为7000元，那么他应该纳税多少元？

(2)写出工资、薪金收入（元/月）与应缴纳税金y（元）的函数关系式．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由分段累进思想，先算第一部分，再算第二部分，即可得到所求值；

（2）分别考虑交税的前三部分，运用分段累进思想即可得到所求解析式．

【详解】（1）全月应纳税所得额：元，

应交税为元；

（2）时，可得

当时，不用纳税，；

当时，；

当时，；

当时，，

即为．

20．已知关于x的不等式的解集为．

（1）求a，b的值；

（2）当时，解关于x的不等式（用c表示）．

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）由题意，1和2是方程的两根，由此即可求解；

（2）由（1）知关于x的不等式，即为，根据根的大小分、、三种情况进行讨论即可求解.

【详解】解：（1）因为关于x的不等式的解集为，

所以1，2是方程的两根，所以，解得；

（2）由（1）知关于x的不等式，即为，

令得或，

①时，不等式的解集为；

②时，不等式的解集为；

③时，不等式的解集为；

21．已知是二次函数，且．

(1)求函数的解析式；

(2)当时，函数的最值；

(3)令．若函数在区间上不是单调函数，求实数m的取值范围．

【答案】(1).

(2)，.

(3)

【分析】（1）由，，结合韦达定理，可得，即得解；

（2）为开口向下的二次函数，对称轴为，根据二次函数的单调性得解；

（3）转化为的对称轴在给定区间的开区间内，即，求解即可.

【详解】（1）（1）设.

∵，∴，

又，∴是方程的两个根，

∴，解得，

∴.

（2）由于为开口向下的二次函数，对称轴为，

根据二次函数性质，当，

当时，取得最大值，即，

由于比离对称轴远，故当时，取得最小值，即，

（3）∵，

∴.

∵函数在区间上不是单调函数，

∴,解之得:.

∴实数的取值范围是.

22．已知函数，．

(1)若在上为偶函数，求a，b的值；

(2)设的定义域为，在（1）的条件下：

①证明：函数在定义域上的单调性；

②若，求实数t的取值范围．

【答案】(1)，；

(2)①详见解析；②．

【分析】（1）根据函数的奇偶性知其定义域关于原点对称求得，再由其图象关于对称求得值；

（2）由（1）可知，①利用定义法证明函数的单调性；②首先可得函数为奇函数，再根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，需注意函数的定义域，再解不等式组即可；

【详解】（1），

因为在上是偶函数，所以得，

且其图象关于对称，则，所以，；

（2）由（1）可知，

①证明：设，且，则，

∵，，，，

，∴函数在上单调递增．

②因为，则为奇函数．

由，即．

又因为在上单调递增，则解得．