2021-2022学年福建省福州市第十中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2021-2022学年福建省福州市第十中学高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合A=，B=则AB=（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解一元二次不等式得集合，再求交集即可.

【详解】∵A=，B=，

∴，

故选：B.

2．已知集合中有且只有一个元素，那么实数的取值集合是

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题意分方程为一次方程和二次方程两种情况分别求解.

【详解】由集合中有且只有一个元素，

得a=0或,

∴实数a的取值集合是{0, }

故选B．

【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，考查单元素集的性质等基础知识.

3．下列函数中与函数y=x是同一函数的是（　　）

A．y=|x| B． C． D．

【答案】D

【分析】根据函数的三要素，逐一判断即可.

【详解】对于A，y=|x|与y=x的对应关系不同，故A不选；

对于B，，与对应关系不同，故B不选；

对于C，，定义域为，与的定义域不同，故C不选；

对于D，，定义域为，故与是同一函数，故D选.

故选：D

【点睛】本题考查了函数的三要素，判断函数是否是同一函数，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.

4．函数 的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接列不等式组，求出定义域.

【详解】要使函数有意义，

只需，解得：且.

故函数的定义域为.

故选：C

5．已知函数是偶函数，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】C

【分析】由偶函数的定义域关于原点对称且对称轴为轴，即可得处答案.

【详解】由题意得出

由于函数是偶函数，则

所以

故选：C

【点睛】本题主要考查了由函数的奇偶性求参数的值，属于基础题.

6．在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据幂函数的图象与性质，分和讨论，利用单调性和截距，由排除法，即可得到答案.

【详解】由题意，若时，函数在递增，此时递增，

若时，函数在递减，递减，

所以当时，和单调性相同，故排除选项A，B，

选项D中：由图象可知，此时与轴交点为，

所以交于轴正半轴，可排除D，

故选：C.

7．已知函数，若函数f(x)在R上单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，，解不等式组即得解.

【详解】对于任意给定的不等实数，，在为增函数.

令，.

要使函数在上为增函数，

则有在区间上为增函数，

在区间上为增函数且，

∴，解得.

故选：D

【点睛】结论点睛：一个两段的分段函数是增函数，要满足两个条件，一是两个函数都是增函数，二是左边函数的最大值小于等于右边函数的最小值.

8．若两个正实数满足，并且恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A．（－∞， - 2]∪[4，+∞） B．（ - ∞， - 4]∪[2， +∞）

C．（ - 2，4） D．（ - 4，2）

【答案】D

【分析】先利用基本不等式求出，即可解出实数m的取值范围

【详解】要使恒成立，只需.

因为两个正实数满足，

所以（当且仅当，即时等号成立），

所以.

所以解得：.

故选：D

二、多选题

9．下列结论不正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B． “，”是假命题

C．内角，，的对边分别是，，，则“”是“是直角三角形”的充要条件

D．命题“，”的否定是“，”

【答案】BC

【解析】利用充分条件与必要条件的定义判断AC；利用特例法判断B；利用全称量词命题的否定是存在量词命题判断D.

【详解】自然数一定是有理数，有理数不一定是自然数，所以“”是“”的充分不必要条件，A正确；

，所以“，”是真命题，B错误；

由，可得，是直角三角形，但是是直角三角形不一定意味着，所以“”是“是直角三角形”的充分不必要条件，C错误；

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“，”的否定是“，”，D正确.

故选：BC.

【点睛】方法点睛：断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.

10．下列说法正确的有（    ）

A．若，那么 B．若，则

C．若，则有最小值2 D．若，则有最大值1

【答案】BD

【解析】举出反例，可得判定A不正确；利用不等式的性质，可判定B正确；利用基本不等式可判定C正确，D不正确.

【详解】对于A中，例如，此时，所以A不正确；

对于B中，由，则，所以，所以B正确；

对于C中，由，当且仅当时，即时等号成立，因为，所以等号不成立，所以C不正确；

对于D中，由，

当时，，当且仅当，即时，等号成立，

即的最小值为，此时的最大值为1；

当时，，当且仅当，即时，等号成立，即的最大值为，此时，所以D正确.

故选：BD.

【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：

（1）“一正”：就是各项必须为正数；

（2）“二定”：就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

11．高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设，用符号表示不大于的最大整数，如，，称函数叫做高斯函数.下列关于高斯函数的说法正确的有（    ）

A． B．若，则

C．函数的值域是 D．函数在上单调递增

【答案】ABD

【解析】先理解表示的含义，表示不超过的最大整数，即可判断选项AB；当时，即可判断选项C；利用分段函数的单调性判断选项D即可.

【详解】解：因为表示不超过的最大整数，则，故选项A正确；

若，则，即，故选项B正确；

函数，则，当时，，故选项C不正确；

，函数为分段函数，满足分段函数单调递增的条件，所以函数在上单调递增，故选项D正确；

故选：ABD.

【点睛】关键点睛：本题主要考查了高斯函数的应用，理解高斯函数的概念以及掌握分段函数单调性是解决本题的关键.

12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石. 布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊布劳威尔．E．J．，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用解方程，根据方程有解，则函数为“不动点”函数，否则函数不是“不动点”函数，逐项分析，即可求解

【详解】对于A中，函数，令，即，

解得或，所以函数是“不动点”函数；

对于B中，函数，令，即，此时方程无解，

所以函数不是“不动点”函数；

对于C中，函数，当时，令，解得或，

当时，令，此时方程无解，所以函数是“不动点”函数；

对于D中，函数，令，解得，所以函数是“不动点”函数.

故选：ACD.

三、填空题

13． =_________.

【答案】##-3+π

【分析】利用幂的运算性质直接求得.

【详解】

故答案为：

14．已知幂函数的图象过点，则________．

【答案】##0.5

【分析】根据幂函数过一点求解，得幂函数解析式，即可求对应函数值.

【详解】解：由题意，即，∴，

∴，∴.

故答案为：.

15．已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则 _________.

【答案】

【分析】根据已知条件求得的周期，再结合函数是奇函数，即可求得结果.

【详解】为偶函数，故可得，即，

又为奇函数，则，则，，

故，，即是周期为的函数，

又为上的奇函数，则，又，则.

故答案为：.

四、双空题

16．设函数．

①若，则__；

②若，则取值范围是__．

【答案】     1     ，．

【解析】①对分情况讨论，分段求出的值即可．

②对分和和三种情况讨论，分别求出和的解析式，化简整理解出的取值范围，最后再求并集即可．

【详解】解：①当时，，

，

，

当时，，

，

解得：（舍去），

综上所述，若，则．

②当时，，

不等式可化为：，即，

解得：，

，

当时，，

不等式可化为：，即，

△，

，

当时，，

不等式可化为：，即，

△，

，

综上所述，取值范围是：，．

故答案为：1，，．

【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，主要运用分类讨论的数学思想，考查了解一元二次不等式．

五、解答题

17．设全集，集合，，.

（1）求和；

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】(1) ， (2) 或

【分析】（1）先解出A，然后进行交集、补集的运算即可；

（2）根据题意可得C⊆A可讨论C是否为空集，从而可求出实数a的取值范围．

【详解】（1），，

（2）由知

当时，即时，，满足条件；

当时，即时，且，

综上，或

【点睛】本题考查描述法的定义，分式不等式的解法，交集、补集的运算，以及子集的定义．

考查了分类讨论的数学思想，属于中档题.

18．已知函数，并且的解集也是不等式解集.

（1）求的解析式；

（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）解不等式得其解集，可知、是关于的方程的两根，利用韦达定理可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，由此可得出函数的解析式；

（2）求得函数的图象的对称轴为直线，根据题意可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）不等式的解集为，

依题意，方程的两个根为和，则，

由根与系数关系可得：，解得，

所以的解析式为；

（2）由（1）可知函数的图象的对称轴为，

若在区间上不单调，则有，解得，

所以实数的取值范围是.

19．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，．

现已画出函数在y轴左侧的图象，如图所示，请补出完整函数的图象，并根据图象写出函数的增区间；

写出函数的解析式和值域．

【答案】（1）递增区间是，，图像见解析

（2）

【分析】由函数为偶函数,图象关于y轴对称,故直接补出完整函数的图象即可,再由图象直接可写出的增区间;

直接利用偶函数的性质求解析式,值域可从图形直接观察得到.

【详解】解：因为函数为偶函数,故图象关于y轴对称,补出完整函数图象如图所示:

由图可得函数的递增区间是,.

设,则,所以,因为是定义在R上的偶函数,所以,所以时,,

故的解析式为,

由图像可得值域为.

【点睛】本题考查分段函数求解析式、作图,同时考查函数的函数的奇偶性和值域等性质;求此类题型函数解析式时可由图象利用待定系数法求解析式,也可利用函数单调性求解解析式,属于基础题.

20．设函数，且．

(1)求解析式；

(2)判断在区间上的单调性，并利用定义证明．

【答案】(1)

(2)在上递增，证明见解析

【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得解析式.

（2）判断出的单调性，并根据函数单调性的定义进行证明.

【详解】（1）依题意.

所以.

（2）在上递增，证明如下：

任取，

，

其中，所以，

即，所以在上递增.

21．2020年新冠肺炎疫情在世界范围内爆发，疫情发生以后，佩戴口罩作为阻断传染最有效的措施，一度导致口罩供不应求.为缓解口罩供应紧张，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.已知生产口罩的固定成本为80万元，每生产万箱，需要另外投入的生产成本（单位：万元）为，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.

（1）求生产多少万箱时平均每万箱的成本最低，并求出最低成本；

（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？

【答案】（1）生产20万箱时，平均每万箱成本最低，为56万元；（2）130．

【解析】（1）可得出平均每万箱的成本为，再利用基本不等式可求；

（2）可得利润为，利用二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）设生产万箱时平均每万箱的成本为，

则，

因为，所以，

当且仅当，即时等号成立．

所以，当时取到最小值，

即生产20万箱时平均每万箱成本最低，最低成本为56万元．

（2）设生产万箱时所获利润为，

则，即，，

即，

所以，

所以生产130万箱时，所获利润最大为3300万元．

22．已知函数，．

（1）解关于的不等式．

（2）当时，若存在，使得，求实数的取值范围．

【答案】（1）详见解析；（2）

【分析】（1）讨论，，，，，几种情况计算得到答案.

（2）判断对称轴为，，解得答案.

【详解】（1），即，即.

当时，；

当时，，故或；

当时，，即

当时，；

当时，；

当时，；

综上所述：时，；时，；时，；时，；时， ；

（2），对称轴为，故，

整理得到：，解得或，故.

【点睛】本题考查了解不等式，根据函数的最值求参数，意在考查学生的综合应用能力.