2022-2023学年福建省福州市连江第一中学高一上学期11月期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省福州市连江第一中学高一上学期11月期中考试数学试题

一、单选题

1．已知均为实数集的子集，，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由包含关系可确定，由并集定义可得结果.

【详解】，，.

故选：B.

2．下面各组函数中是同一函数的是（    ）

A．与

B． 与

C．与

D．与

【答案】C

【分析】分别分析各个选项中函数的定义域，值域和对应关系，即可得出答案.

【详解】A．函数的定义域为，，

两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；

B．函数的定义域为，

，

两个函数的对应法则不相同，不是同一函数；

C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数；

D．由得得，由得或，

两个函数的定义域不相同，不是同一函数；

故选：C．

3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是（    ）

A．若a＜b，则 B．若a＞b＞0，则

C．若a＞b，则 D．若，则a＞b

【答案】D

【分析】举反例说明选项AC错误；作差法说明选项B错误；不等式性质说明选项D正确.

【详解】当时，，选项A错误；

，所以，所以选项B错误；

时，，所以选项C错误；

时，，所以选项D正确.

故选：D

4．已知函数，若，则=（    ）

A．0 B．6 C．3 D．3

【答案】C

【分析】分三种情况讨论，化简，求出值可得答案.

【详解】当，则相应方程无解；

当，，

则；

当，

则相应方程无解.

综上：.

故选：C

5．已知不等式解集为，若不等式解集为B，则（      ）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【分析】由不等式解集为可得，从而求出，再利用集合补集的定义求解即可.

【详解】因为不等式解集为，

所以，

化为，

即，

解得，，

所以，

故选：B.

6．将如图的“爱心”献给在抗疫一线的白衣天使，向他们表达崇高的敬意！爱心轮廓是由曲线（轴以上部分包括与轴的交点）与（轴以下部分包括与轴的交点）构成，则（    ）

A． B．10 C． D．2

【答案】B

【分析】由已知，将坐标轴上的点代入函数解析式，列出关系式，解方程即可.

【详解】由图知，过点，过点，

则，有    解得，

所以，

故选：B.

7．命题p: 在为增函数，命题Q：在单调减函数，则命题P是命题Q（     ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】计算命题：或；命题：或，得到答案.

【详解】 在为增函数，故，

解得；

在单调减函数，则，

解得或

故命题P是命题Q充分不必要条件.

故选：A

8．设偶函数的定义域为，且满足，对于任意都有（） 成立，

（1）不等式解集为     

（2）不等式解集为  

（3）不等式解集为

（4）不等式解集为

其中成立的是（    ）.

A．（1）与（3） B．（1）与（4）

C．（2）与（3） D．（2）与 （4）

【答案】A

【分析】对于（1）（2）令得的单调性，分，两种情况解决.对于（3）（4）构造函数根据判断单调性，由求解即可.

【详解】当时，则，

在上为增函数，

偶函数的定义域为，

在上为减函数，

当时，则，

当时，

（1）正确，（2）错误

设则，

是偶函数，且在上为增函数，

不等式，或

不等式解集为，（3）正确，（4）错误，

故选：A

二、多选题

9．下列说法正确的有（   ）

A．命题“”的否定是“”

B．两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件

C．若为上的奇函数， 则为上的偶函数

D．若，则，

【答案】BC

【分析】根据全称命题的否定为特称命题可判断A，根据必要不充分条件的定义可判断B，根据奇偶性的定义可判断C，根据换元法可求解D.

【详解】命题“”的否定是“”，故A错误，

两个三角形面积相等，不能得到两个三角形全等，但是两个三角形全等，那么他们的面积一定相等，所以两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件，故B正确，

若为上的奇函数，则，所以故，因此为上的偶函数，故C正确，

若，令，所以，故则，，故D错误，

故选：BC

10．下列说法正确的是（    ）

A．若幂函数的图象经过点，则解析式为

B．若函数，则在区间上单调递减

C．幂函数始终经过点和

D．若幂函数图象关于轴对称，则

【答案】ACD

【分析】设出幂函数解析式，代入点的坐标即可判断A项；根据幂指数与0的关系以及函数的性质，可判断B项；代入即可判断C项；根据已知可求出，根据函数的奇偶性以及单调性，即可判断D项.

【详解】对于A项，设幂函数解析式为，代入点，可得，所以，解得，所以解析式为，故A项正确；

对于B项，由已知为幂函数，且，所以在区间上单调递减.

又，所以为偶函数，

根据偶函数的性质可得，在区间上单调递增，故B项错误；

对于C项，因为，所以，，故C项正确；

对于D项，由已知可得，，解得或.又幂函数图象关于轴对称，所以，.所以有，又在区间上单调递增，且，所以，故D项正确.

故选：ACD.

11．已知正数满足，则下列选项正确的是（    ）

A．的最小值是4 B．最小值为1

C．的最小值是2 D．的最大值是

【答案】CD

【分析】A利用“1”代换求最值，B因为，所以，

且，代入中化简构造基本不等式验证即可，

C先把式子变形，再运用基本不等式，

D先构造，再运用基本不等式.

【详解】A.因为正数满足，即

所以

，

当且仅当，即时等号成立，

故选项A不正确.

B. 因为，所以，

且，

所以

，

当且仅当或，不满足

故取不到最小值，故B选项不正确.

C.

，

当且仅当时等号成立，故选项C正确.

D.因为，所以，

则，

当且仅当时等号成立，故选项D正确.

故选：CD.

12．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ）

A．若为的跟随区间，则

B．函数存在跟随区间

C．若函数存在跟随区间，则

D．二次函数存在“3倍跟随区间”

【答案】ACD

【分析】A，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可以求解的值；

B，假设存在跟随区间，则根据跟随区间的条件求解，的值，结合函数图象进行判断；

C，先设跟随区间为，则根据跟随区间满足的条件建立方程组，找出，的关系，然后统一变量表示出，列出关于的关系式，利用方程思想求解的取值范围，

D，若存在3倍跟随区间，则设定义域为，值域为，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解．

【详解】选项：由已知可得函数在区间,上单调递增，则有 ，

解得或1（舍，所以，正确；

选项：若存在跟随区间，

又因为函数在单调区间上递减，图象如图示，

则区间一定是函数的单调区间，即 或,

则有，解得，此时异号，

故函数不存在跟随区间，不正确；

选项：由已知函数可得：函数在定义域上单调递减，

若存在跟随区间，

则有，即，

两式作差得：，

即，

又，所以，得，

所以，设，则，

即在区间上有两个不相等的实数根，

只需：，解得，正确；

选项：若函数存在3倍跟随区间，设定义域为，值域为，

当时，函数在定义域上单调递增，

则，是方程的两个不相等的实数根，解得或，

故存在定义域为使得值域为，正确，

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：根据新的定义求解参数或者是判断函数是否符合新定义，考查学生的理解新知识运用新知识的能力，解答时要能根据新定义，灵活求解，综合性较强.

三、填空题

13．已知的定义域为，则的定义域是__________.

【答案】

【分析】本题考查抽象函数的定义域，中的范围即的取值范围，就可以求得的定义域.

【详解】因为的定义域为，所以，则，即

，解得，所以函数的定义域为.

故答案为：

14．已知命题“”为假命题，则取值范围为_________

【答案】

【分析】根据题意将特称命题转化全称命题，然后分和两种情况求解即可

【详解】因为命题“”为假命题,

则为真命题,

则当时,满足题意,

当时,则,则，

综上,的取值范围为.

故答案为:.

15．某种商品原以每件20元的价格销售，可以售出300件，据市场调查，商品的单价每提高2元，销售量就减少10件，若销售总收入不低于6000元，则定价范围是______

【答案】

【分析】设提价后每件产品的定价为元，则销售总收入为元，根据题意列出不等式即可求解.

【详解】设提价后每件产品的定价为元，

则销售总收入为元，

依题意有，

整理得，

解得，所以定价范围为.

故答案为：.

16．设函数，为定义在上的奇函数，且当时，，若，则实数的取值范围是__________

【答案】

【分析】由可求得，即若，只需；根据奇偶性可求得解析式，分别在、和的情况下，解不等式即可求得结果.

【详解】当时，由得：；当时，由得：；

则的解集为；

当时，，，

又为上的奇函数，，

又，；

当时，由得：；

当时，成立；

当时，由得：；

综上所述：实数的取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，．请从①，②，③这三个条件中选一个填入（2）中横线处，并完成第（2）问的解答．（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

(1)当时，求；

(2)若______，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)条件选择见解析，.

【分析】(1)取化简，化简A，再根据交集的定义求；

(2)若选①，由可得，讨论的正负，由条件列不等式求a的取值范围；若选②，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围；若选③，讨论的正负，化简集合，结合条件列不等式求a的取值范围.

【详解】（1）由题意得，．

当时，，

∴；

（2）选择①．

∵，∴，

当时，，不满足，舍去；

当时，，要使，则，解得；

当时，，此时，不满足，舍去．

综上，实数的取值范围为．

选择②

∵，∴，

当时，，不满足，舍去；

当时，，要使，则，解得；

当时，，此时，不满足，舍去．

综上，实数的取值范围为．

选择③

∵，∴，

当时，，不满足，舍去；

当时，，要使，则，解得；

当时，，此时，不满足，舍去．

综上，实数的取值范围为．

18．设 ，，命题，命题.

（1）当时，试判断命题是命题的什么条件；

（2）求的取值范围，使命题是命题的一个必要但不充分条件.

【答案】（1）命题是命题的必要不充分条件；（2）.

【分析】解分式不等式求得集合；

（1）求出集合后，根据可确定结果；

（2）分别在、和三种情况下，根据必要不充分条件所要求的集合的包含关系可求得结果.

【详解】由得：，即，解得：或，

或；

，

（1）当时，，

，，，

命题是命题的必要不充分条件.

（2）当，即时，，此时，满足条件；

当，即时，，此时，满足条件；

当，即时，，若命题是命题的必要不充分条件，则，即；

综上所述：的取值范围为.

【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断、根据必要不充分条件求解参数范围的问题；关键是能够通过集合的包含关系来确定推出关系.

19．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象如图所示，

(1)请画出函数在轴右侧的图象，并写出函数在上的单调减区间；

(2)写出函数，的解析式；

(3)若函数，，求函数的最大值的解析式．

【答案】(1)作图见解析，单调递减区间是，；

(2)f（x）＝

(3)

【分析】（1）根据奇函数的图象性质补充图象，观察图象写出函数的单调递减区间；

（2）根据奇函数性质先求出时函数的解析式，从而可得的解析式；

（3）由（2），结合二次函数在闭区间上最值的求解方法即可得答案.

【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以在上的图象与其在上的图象关于原点对称，由此可得图象如图所示，单调减区间是，；

（2）因为函数f（x）是定义在上的奇函数，

所以．

因为当时，，

所以当时，，

，

所以；

（3）因为函数，

所以，                      

①当时，即         

；

②当时，即时，

，

③当时，即时，

，

20．已知函数是定义在上的奇函数，且.

（1）求a，b的值；

（2）判断函数在上的单调性，并用定义证明；

（3）解关于t的不等式，.

【答案】（1）；（2）在上递增，证明见解析；（3）.

【分析】（1）由题意，令，代入求解，再检验是奇函数，即得解；

（2）利用单调性的定义按照步骤作差证明即可；

（3）利用奇函数原式等价于，再结合单调性、定义域列出不等式求解即可.

【详解】（1）依题意函数是定义在上的奇函数，

所以，

，

所以

检验：，为奇函数满足题意

（2）在上递增，证明如下：

任取

，

其中，所以，

故在上递增.

（3）由可得，

因为是定义在上的奇函数，

所以，

因为是增函数，

所以，即，解得：，

所以不等式的解集为.

21．某高校为举办百年校庆，需要氦气用于制作气球装饰校园，化学实验社团主动承担了这一任务．社团已有的设备每天最多可制备氦气，按计划社团必须在天内制备完毕．社团成员接到任务后，立即以每天的速度制备氦气．已知每制备氦气所需的原料成本为百元．若氦气日产量不足，日均额外成本为（百元）；若氦气日产量大于等于，日均额外成本为（百元）．制备成本由原料成本和额外成本两部分组成．

(1)写出总成本（百元）关于日产量的关系式

(2)当社团每天制备多少升氦气时，总成本最少？并求出最低成本．

【答案】(1)

(2)当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元

【分析】（1）根据生产天数要求，可确定的取值范围；计算可得日产量不足和大于等于时，氦气的平均成本，由此可得关系式；

（2）分别在、的情况下，利用基本不等式和二次函数求最值的方法可求得最小值，综合两种情况可得结论.

【详解】（1）若每天生产氦气，则需生产天，，则；

若氦气日产量不足，则氦气的平均成本为百元；

若氦气日产量大于等于，则氦气的平均成本为百元；

.

（2）当时，（当且仅当，即时取等号），

当时，取得最小值；

当时，，令，则，

，则当，即时，取得最小值；

综上所述：当社团每天制备氦气时，总成本最少，最低成本为百元.

22．已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是．给定函数．

（1）求函数图象的对称中心；

（2）判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；

（3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）在区间上为增函数；（3）.

【解析】（1）根据题意可知，若函数关于点中心对称，则，

然后利用得出与，代入上式求解；

（2）因为函数及函数在上递增，所以函数在上递增；

（3）根据题意可知，若对任意，总存在，使得，则只需使函数在上的值域为在上的值域的子集，然后分类讨论求解函数的值域与函数的值域，根据集合间的包含关求解参数的取值范围．

【详解】解：（1）设函数图象的对称中心为，则．

即，

整理得，

于是，解得．

所以的对称中心为；

（2）函数在上为增函数；

（3）由已知，值域为值域的子集．

由（2）知在上单增，所以的值域为．

于是原问题转化为在上的值域．

①当，即时，在单增，注意到的图象恒过对称中心，可知在上亦单增，所以在上单增，又，，所以．

因为，所以，解得．

②当，即时，在单减，单增，

又过对称中心，所以在单增，单减；

此时．

欲使，

只需且

解不等式得，又，此时．

③当，即时，在单减，在上亦单减，

由对称性，知在上单减，于是．

因为，所以,解得．

综上，实数的取值范围为．

【点睛】本题考查函数的对称中心及对称性的运用，难点在于（3）的求解，解答时应注意以下几点：

（1）注意划归与转化思想的运用，将问题转化为两个函数值域之间的包含问题求解；

（2）注意分类讨论思想的运用，结合对称性，分析讨论函数的单调性及最值是关键．