2022-2023学年福建省福州市八县（市）协作校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省福州市八县（市）协作校高一上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．设集合，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】首先求，再求.

【详解】由，所以,所以.

故选：D

2．函数的定义域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据解析式的特征，直接列式求函数的值域.

【详解】函数的定义域需满足，解得：且.

所以函数的定义域是.

故选：D

3．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定是特称命题得到答案.

【详解】命题“”的否定是：.

故选：C

4．已知函数，则=（    ）

A． B． C．4 D．

【答案】B

【分析】根据分段函数解析式，先计算，再计算可得答案.

【详解】由题意可得 ，

故 ，

故选：B.

5．不等式成立的一个必要不充分条件是（    ）

A． B．

C．或 D．

【答案】A

【分析】不等式等价于，则结合必要不充分条件与集合的包含之间的关系进行判断各选项，可得答案．

【详解】不等式即，即 ，

对于A,因为，故是成立的一个必要不充分条件，A正确；

而不是集合，的真子集，故错误，

故选：A

6．已知二次函数在区间（2，3）内不单调，则a的取值范围是（    ）

A．或 B．

C．或 D．

【答案】B

【分析】二次函数在上单调递减，在上单调递增，据此得到答案.

【详解】二次函数在上单调递减，在上单调递增.

区间内不单调，故.

故选：B

7．不等式的解集为，则函数的图象为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据等式的解集为可得是的两根且，由此求出，可得的解析式，继而可判断答案.

【详解】不等式的解集为，

则是的两根且 ，则，

故 ，所以，

则函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，

只有D选项中图象符合题意.

故选:D.

8．已知定义在上的函数满足：对任意的，有，且是偶函数，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意的函数在上单调递增，且函数关于对称，题目转化为，解得答案.

【详解】对任意的，有，故函数在上单调递增.

是偶函数，即，函数关于对称.

故函数在上单调递减，

，故，平方得到.

故选：C

二、多选题

9．下列四个命题中不正确的是（    ）

A．

B．是定义域上的减函数

C．和表示同一个函数

D．幂函数的图象都过点（1，1）

【答案】ABC

【分析】根据空集，函数的单调性，以及相等函数的定义，幂函数的性质，判断选项.

【详解】A.不含任何元素，所以，故A错误；

B.的减区间是和，但不能说在定义域上是减函数，故B错误；

C. 的定义域为，而的定义域是，所以两个函数不是同一函数故C错误；

D.根据幂函数的性质可知，幂函数都过点，故D正确.

故选：ABC

10．若，则下列不等式正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】举反例可判断;根据不等式性质可判断.

【详解】由题意，当时，，A错误；

当时，，B正确；

取 ，满足，但，C错误；

由，则，D正确，

故选：

11．若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据均值不等式依次计算得到AC正确，取特殊值得到反例得到BD错误，得到答案.

【详解】，故，当时等号成立，A正确；

取，，B错误；

，当时等号成立，C正确；

取，，则，D错误.

故选：AC

12．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“k倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”.下列结论正确的是（    ）

A．若为的跟随区间，则b=1

B．函数存在跟随区间

C．若函数存在跟随区间，则

D．二次函数存在“2倍跟随区间”

【答案】ACD

【分析】根据函数“跟随区间”的定义，结合选项中每个函数的单调性和自变量的取值范围，可列出相应的方程组，如果解得存在区间符合题意，则判断该选项正确，如果解得方程的解不符合题意，可判断断该选项错误.

【详解】对于A,由题意可知，为的单调递区间，函数值域为，

若为的跟随区间，则，则或 （舍去），A正确；

对于B：函数中x的取值范围为 ，

若存在跟随区间（ ），则必有或，

又因为函数在区间上递减，

则有 ，即得 ，不合题意，B错误；

对于C,由已知函数可得，函数在上单调递减，

若存在跟随区间（ ），

则有,即 ,两式作差得：，

即，

又，所以 ，故 ，

所以 ，设，则 ，

即是的一个根；

同理也是的一个根，

即在区间上有两个不相等的实数根，

只需： ，解得 ，C正确；

对于D，若函数存在2倍跟随区间，

设定义域为 ，值域为，

当 时，函数在定义域上单调递增，则，

则是方程 的两个不相等的实数根，解得或 ，

故存在定义域为 使得值域为 ，D正确，

故选： ．

【点睛】关键点点睛：解决这类给出函数新定义的题目时，关键是要正确准确地理解定义的含义，并能根据该定义去进行解答，特别是在判断C选项时，要注意整理变式，采用换元法，将问题转化为一元二次方程在给定区间上有解的问题.

三、填空题

13．若函数，则=________.

【答案】

【分析】赋值，代入即可求解.

【详解】令，得.

故答案为：

14．已知幂函数是奇函数，则实数m的值为________.

【答案】2

【分析】根据函数为幂函数可得，求得m，结合函数为奇函数确定m的取值，可得答案.

【详解】由是幂函数可得，

解得或 ，

当时，满足，为奇函数，符合题意；

当时，，此时，不满足，不合题意，

故，

故答案为：2

15．已知函数是R上的减函数，则a的取值范围为____________.

【答案】

【分析】根据分段函数的单调性，结合每段函数的单调性，以及分界点处的函数值的大小关系，列式求参数的取值范围.

【详解】根据分段函数单调性可知，单调递减，所以，

单调递减，所以，并且在分界点处，满足，得，这三个条件需同时满足，所以的取值范围是.

故答案为：

16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，设，则满足方程的所有解之和为________.

【答案】

【分析】首先将方程的解转化为函数与函数的图象交点的横坐标之和，利用数形结合可得出结果.

【详解】方程的解，即函数与函数的图象交点的横坐标，

作出函数与函数的图象如下图所示：

由图象可知，两函数除以交点之外，其余的交点关于点对称，

所以，方程的解之和为.

故答案为：

四、解答题

17．已知集合或，

(1)若，求

(2)若，求实数a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）计算得到，再计算补集和交集得到答案.

（2）题目转化为，考虑和的两种情况，根据集合的包含关系得到答案.

【详解】（1）当时，，，故.

（2），故，

当时，，即；

当时，或，解得.

综上所述：或，即.

18．已知函数

(1)若对任意的恒成立，求实数a的取值范围；

(2)若函数在区间上的最大值为，求实数a的值.

【答案】(1).

(2)或.

【分析】（1）根据任意的恒成立，可得对应方程的判别式小于或等于0，解不等式即可求得答案；

（2）根据函数数的对称轴判断其在区间上的最大值为，可得方程，求得答案.

【详解】（1）对任意的恒成立，故，

即实数a的取值范围为.

（2）函数图象的对称轴为，

故该函数在区间上的最大值 ，故，

解得或.

19．已知函数

(1)在下图所示的平面直角坐标系中，做出函数的图像，并根据图像写出该函数的单调区间与值域（无需证明）；

(2)若，且互不相等，求的取值范围.

【答案】(1)图像见解析；函数的单调增区间为

单调减区间为和

值域为

(2)

【分析】（1）直接画出函数的图像，结合图像即可得函数的单调区间与值域；

（2）观察图像可得的范围，结合二次函数的对称性可得的值，从而得到结果.

【详解】（1）

做出函数的图像如图所示，

由图可知，函数的单调增区间为

单调减区间为和

值域为

（2）不妨设，则，

由二次函数对称性可知

所以

20．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费为（单位：万元），仓库到车站的距离为x（单位：千米），其中与成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站3千米处建仓库，则和分别为5万元和15万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？

【答案】1

【分析】根据题意设，，代入数据计算得到，利用均值不等式计算得到答案.

【详解】根据题意：，，

当时，，；，，

故，，

当，即时，等号成立.

故公司应该把仓库建在距离车站1千米处，才能使两项费用之和最小.

21．已知函数为奇函数，且

(1)求a，b的值；

(2)判断函数在区间上的单调性，并用定义加以证明；

(3)求在区间上的值域.

【答案】(1)，

(2)函数在上单调递增，在上单调递减，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据函数为奇函数得到，解得，再计算解得答案.

（2）判断函数在上单调递增，在上单调递减，设，计算得到证明，同理可得答案.

（3）根据函数的单调性计算函数的最小值和最大值得到值域.

【详解】（1）函数为奇函数，故，即，故，

，即.

，定义域为，，为奇函数，满足.

（2）函数在上单调递增，在上单调递减.

设，则，

易知，，，

故，函数单调递增；

设，则，

易知，，，

故，函数单调递减；

故函数在上单调递增，在上单调递减.

（3），.

故函数的值域为.

22．已知函数，，函数，其中.

(1)若，求实数t的值；

(2)若，

①求使得成立的x的取值范围；

②求在区间上的最大值.

【答案】(1)

(2)①；②

【分析】（1）利用列方程，解方程求得.    

（2）①结合的图象以及列方程，化简求得的取值范围.

②对进行分类讨论，由此求得在区间上的最大值.

【详解】（1）.

（2）依题意.

①，

是开口向上的二次函数，对称轴，

当时，，

，

，，

，这与矛盾，

所以时，不成立.

当时，

，解得，

所以使得成立的x的取值范围是.

②由①知，

，.

当，时，，

当，时，.

所以.